数列求和练习
数列求和专题,方法大全,7种方法(全面模型+精选例题+习题附答案)精编材料word版
七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+L22221123(1)(21)6n n n n ++++=++L333321123[(1)]2n n n ++++=+L2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点．常见裂项方法：①111(1)1n n n n=-++②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n=-+++++1k=⑥1log(1)log(1)logaa an nn+=+-注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n+裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n-+，再通分求得1155(5)n n n n-=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n-+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n=-++．（2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log(1)log()log(1)loga a a ann nn n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.练习题：答案解析：1n=也适合上式，故3104na n=-+令31040na n=-+≥，解得34.7n≤即当34n≤时，0na>；当35n≥时，0na<（1）当34n≤时，12||||||n nT a a a=+++L12na a a=+++L2320522nS n n==-+（2）当35n≥时，12||||||n nT a a a=+++L12343536()()na a a a a a=+++-+++L L342nS S=-23205350222n n=-+综上：223205(34)2232053502(35)22nnn nTnn n⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩数学浪子整理制作，侵权必究。
利用等差数列求和公式求解问题的练习
利用等差数列求和公式求解问题的练习等差数列是指一个数列，从第二项开始，每一项与它前面的项之差都相等。
而等差数列求和公式则是用来求等差数列前n项和的公式。
本文将通过一些具体问题案例来练习利用等差数列求和公式解决问题。
问题一：某班级共有30名学生，学生的身高从140cm开始，每个学生的身高相差5cm，问这个班级的学生身高总和是多少？解答一：这是一个等差数列，第一项a1=140cm，公差d=5cm，共有n=30个学生。
根据等差数列求和公式，等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)代入已知数据，得到Sn = 30/2 * (2*140 + (30-1)*5) = 30/2 * (280 + 145) = 30/2 * 425 = 15 * 425 = 6375所以，这个班级的学生身高总和是6375cm。
问题二：一个等差数列的首项是3，公差是2，求该数列的前100项和。
解答二：这仍然是一个等差数列，第一项a1=3，公差d=2，共有n=100项。
根据等差数列求和公式，等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)代入已知数据，得到Sn = 100/2 * (2*3 + (100-1)*2) = 100/2 * (6 + 199*2) = 100/2 * (6 + 398) = 100/2 * 404 = 50 * 404 = 20200所以，这个等差数列的前100项和是20200。
问题三：一个等差数列的前五项的和是30，公差是3，求该数列的前十项和。
解答三：我们已知等差数列的前五项和Sn1=30，公差d=3，要求等差数列的前十项和Sn2。
根据等差数列的性质，前十项和可以表示为前五项和与后五项和之和。
即，Sn2 = Sn1 + Sn3其中，Sn1 = 30，Sn3可以用等差数列求和公式表示：Sn3 = n/2 * (2a6 + (n-1)d) = 5/2 * (2a1 + (5-1)d) = 5/2 * (2a1 + 4d) =5/2 * (2a1 + 4*3) = 5/2 * (2a1 + 12)根据等差数列的性质，a1与a6的差值等于d，即a1 + 5d = a6 = a1 + 6d，代入可得：Sn3 = 5/2 * (a1 + 5d + 12) = 5/2 * (a1 + 6d) = 5/2 * (a6) = 5/2 * (a1 + 5d) = 5 * Sn1所以，Sn2 = Sn1 + Sn3 = 30 + 5 * 30 = 30 + 150 = 180所以，该等差数列的前十项和是180。
高中数学常见数列求和的方法训练(裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项)
高中数学常见数列求和的方法训练（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项）【题组一裂项相消】1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11，则n=________。
2．（2020·河南高二月考）已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123n S S S n +++<+++L ；3．已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值。
练习1已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-。
（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；（2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ；2.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，n ∈N *．（1）判断数列{a n －2n －1}是否是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(2n －1)2n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ；【题组二错位相减】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n 。
(1)设b n ＝12n n a -.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和；2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()214n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R ；3．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且满足2d =-，476S =.等比数列{}n b 满足1310b b +=，2420b b +=。
(完整word)四年级《数列求和》
数列求和（课堂练习）1、已知等差数列1、3、5、7、……99，这个等差数列共有多少项？2、求等差数列3、7、11、15……的第99项。
3、请你求出等差列1、2、3、4……49、50中各项相加的和。
4、儿童剧院有30排座位，第一排30个，后面每一排都比前一排多2个座位，最后一排有88个座位。
这个剧院共有多少个座位？5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下层有33根。
这堆圆木共有几层？一共有多少根？6、小明练习写毛笔字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写了34个，共字了589个大字。
问：小明每天比前一天多写几个大字？1、已知等差数列200、198、196……100这个等差数列共有多少项？2、求数列3、5、7、9……这个等差数列的第20项是多少？3、求和：5+10+150+20……+1004、晓诚读一本书，第一天读了10页，以后第天都比前一天多读2页。
第10天读28页正好读完。
这本书共多少页？5、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了26个。
丹丹在这些天中共学会了多少个单词？6、欣欣电影院共有座位630个，已知第一排有座位18个，最后一排有52个，而且每相邻两排相差的人数相等，那么相邻的两排相差多少个座位？7、等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4，它的项数是多少？8、求等差数列5、8、11、14……的第50项。
9、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各比赛一场。
如果有25人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？10、求自然数中所有两位数的和。
11、养鸡场第一个笼里有4只鸡，第二个笼里有7只鸡，第三个笼里有10只鸡，每个鸡笼总比前一个多放3只鸡，最后一个鸡笼里有40只鸡。
问：一共有几个鸡笼？共多少只鸡？12、用1320张纸由少到多地装订不同规格的练习本。
已知第一本18页，最后一本102页，而且前后两本纸张的相差页数相等，那么相邻的前后两本相差多少页？13*、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数，余下的50个数相加的和是多少？14*、莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是60，但她重复计算了其中一个数字。
等差数列求和及练习题(整理).docx
等差数列求和引例：算 1+2+3+4+⋯⋯ +97+98+99+100一、有关概念 :像1、2、3、4、5、6、7、8、9、⋯⋯起来的一串数称数列；数列中每一个数叫个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二，第三个叫第三，⋯⋯，最后一又叫末项；共有多少个数又叫数；如果一个数列，从第二开始，每一与前一之差都等于一个固定的数，我就叫做等差数列。
个固定的数就叫做“公差”。
二、有关公式：和 =（首项 +末项）×项数÷2末 =首 +公差×（数 -1）公差 =（末 -首）÷（数 -1）数 =（末 -首）÷公差 +1三、典型例：例 1、明筋：判断下列数列是否是等差数列是的打“√” ，并把等差数列的首，末、公差及数写出来，如果不是打“×” 。
判断首末公差数（1）1、2、4、8、16、32.（）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77.（）（）（）（）（）（3） 5、1、4、1、3、1、2、1.（）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）1、填空：数列首末公差数2、5、8、 11、140、4、8、 12、163、15、27、39、511、2、3、 4、5、⋯⋯、 48、49、 502、4、6、 8、⋯⋯、 96、 98、100例2、已知等差数列 1,8,15,⋯,78.共 12 ，和是多少（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式）例3、算 1+3+5+7+⋯⋯ +35+37+392：算下列各（1）6+10+14+18+22+26+30（3）1+3+5+7+⋯⋯+95+97+99（2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8+⋯⋯+96+98+100（3）已知一列数4,6,8,10，⋯，64，共有 31 个数，个数列的和是多少例 5、有一堆木堆成一堆，从上到下，上面一有 10 根，每向下一增加一根，共堆了 10 。
最新数列求和练习题
精品文档 精品文档 数列求和问题 例1．求和： （1）)()2()1(2naaan
（2）)12)(12(1531311nn
（3）)1(32112xnxxxn
例2．在等差数列na中，11a，前n项和nS满足条件242,1,2,1nnSnnSn， （Ⅰ）求数列na的通项公式；
（Ⅱ）记(0)nannbapp，求数列nb的前n项和nT。 例3．正项数列}{na的前n项和为nS，且.12nnaS(公差为2)
（1）求数列}{na的通项公式； （2）设.21:,}{,11nnnnnnTTnbaab求证项和为的前数列
四、练习题： 1．数列}{na的通项公式是)(11Nnnnan，若它的前n项和为10，则其项数n为 A．11 B．99 C．120 D．121
2．数列,211,,3211,211,1n的前n项和为 A．122nn B．12nn C．12nn D．12nn 3．数列}{na的通项是14nan，naaabnn21，则数列}{nb的的前n项和为 4．已知数列}{na的前n项和为142nnSn ，则||||||||10321aaaa的值是
5．设221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求 精品文档 精品文档 )0()4()5(fff)6()5(ff的值为
A．23 B．2 C．22 D．22 6．22222212979899100的值是 7．数列,21)12(,,815,413,211nn的前n项和为nS，则nS
8．在等比数列}{na中，1221nnaaa，则22221naaa 9．数列2211,(12),(122),,(1222),n的通项公式na ，前n项和nS .
数列求和专项练习高考题
数列的前n 项和的求法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=.例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k=-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=. 例6、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111（裂项） 则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n例7、 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
数列求和练习
(推荐时间：60分钟)一、选择题1． 已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －12． 在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 0133． 设{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，记M n ＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ，则数列{M n }中不超过2 013的项的个数为( )A ．8B ．9C ．10D ．114． 在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 1a 1B.S 8a 8C.S 9a 9D.S 15a 155． 数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012等于( )A.4 0242 013B.4 0182 012C.2 0102 011D.2 0092 0106． 已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012等于( )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011二、填空题7． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．8．9． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|<1125的最小整数n 是________．10． 三、解答题11．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n＝n＋1(n＋2)2a2n ，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n<564.12．。
三年级奥数等差数列求和问题练习
三年级奥数等差数列求和问题练习三年级奥数第五讲：等差数列求和
例题1：计算2+5+8+11+17+20+23.
练：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
例题2：计算8+10+12+14+16+18+20.
练：计算3+6+9+12+15+18+21.
例题3：计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5.
练：20+17+14+11+8+5+2.
例题4：计算9+11+13+15+17+19+22.
练：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25.
例题5：计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23.
练：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26.
例题6：XXX为了买课外书自己存钱，2003年元月存一
元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一
年里一共可以存多少钱？
练：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公
汽上的作为刚好坐满。
求这两公汽共有多少个座位？
例题7：三年级数学培优班第1小组由8名同学，开学时，老师要求该组每人都握一次手，问共握多少次手？。
等比数列求和练习题
等比数列求和练习题一、基础题1. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。
2. 已知等比数列的首项为5，公比为2，求前4项的和。
3. 已知等比数列的首项为10，公比为0.5，求前6项的和。
4. 已知等比数列的首项为4，公比为1，求前3项的和。
5. 已知等比数列的首项为8，公比为1/3，求前5项的和。
二、提高题1. 已知等比数列的前5项和为31，首项为3，求公比。
2. 已知等比数列的前4项和为40，公比为2，求首项。
3. 已知等比数列的前6项和为1023，首项为1，求公比。
4. 已知等比数列的前3项和为12，公比为2，求首项。
5. 已知等比数列的前5项和为124，公比为1/2，求首项。
三、综合题1. 已知等比数列的首项为a，公比为r，求前n项的和。
2. 已知等比数列的前n项和为S，首项为a，求公比r。
3. 已知等比数列的前n项和为S，公比为r，求首项a。
4. 已知等比数列的前n项和为S，且S = a(1 r^n) / (1 r)，求首项a和公比r。
5. 已知等比数列的前n项和为S，且S = a(1 r^n) / (1 r)，求n。
四、应用题1. 某公司计划在5年内将年产量提高一倍，每年提高的产量相同。
如果第一年的产量为1000件，求这5年的总产量。
2. 一项投资计划，每年收益率为20%，初始投资为10000元，求5年内的总收益。
3. 一款手机每年降价10%，原价为3000元，求5年内的总降价金额。
4. 某生物种群每年增长率为30%，初始数量为100只，求5年后的总数量。
5. 一项技术每年改进率为25%，初始技术水平为60分，求5年后的技术水平。
五、变形题1. 已知等比数列的前n项和为S，且S = a + ar + ar^2 + +ar^(n1)，如果S = 2a，求公比r。
2. 已知等比数列的前n项和为S，且S = a ar ar^2ar^(n1)，如果S = a，求公比r。
3. 已知等比数列的前n项和为S，且S = a(1 + r + r^2 + +r^(n1))，如果S = 0，求首项a。
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1：
求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.
解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积
设nnnS2226242232…………………………………①
1
2
n
S
231242(1)22222nnnn
………………………………②
（设制错位）
①－②得1432222222222222)211(nnnnS
（错位相减）
1122212nn
n
∴ 1224nnnS
2：
求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值
解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S…………. ①
将①式右边反序得
1sin2sin3sin88sin89sin22222S
…………..②
（反序）
又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx
①+②得
（反序相加）
)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S
＝89
3：
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设kkkkkkak2332)12)(1(
∴ nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝kkknknknk1213132
（分组）
＝)21()21(3)21(2222333nnn
＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn
（分组求和）
＝2)2()1(2nnn
4：①
在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前
n项的和.
解： ∵ 211211nnnnnan
∴ )111(82122nnnnbn
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
)]111()4131()3121()211[(8nnS
n
（裂项求和）
＝)111(8n ＝ 18nn
②
求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12
解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S
∵nnnntan)1tan()1cos(cos1sin
（裂项）
∴89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S
（裂项求和）
＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan1sin1
＝)0tan89(tan1sin1＝1cot1sin1＝1sin1cos2
∴ 原等式成立
③
求和：
222
1335(21)(21)nsnn
5：
在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.
解：设1032313logloglogaaaSn
由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm （找特殊性质项）
和对数的运算性质 NMNMaaalogloglog 得
)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn
（合并求和）
＝)(log)(log)(log6539231013aaaaaa
＝9log9log9log333 ＝10
6：
已知数列{an}：118,(1)()(1)(3)nnnnkanaann求的值.
解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1nnnnnaannn （找通项及特征）
＝])4)(3(1)4)(2(1[8nnnn （设制分组）
＝)4131(8)4121(4nnnn （裂项）
∴ 11111111(1)()4()8()2434nnnnnkkknaannnn （分组、裂项求和）