高中数学第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项学案(含解析)新人教B版必修5

一、数列的单调性 (1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)． (2)判断单调性的方法 ①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．

例1 已知函数f(x)＝1－2xx＋1(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．

解 f(x)＝1－2xx＋1＝－2＋3x＋1. 方法一 ∵an＝－2＋3n＋1(n∈N＋)，an＋1＝－2＋3n＋2， ∴an＋1－an＝3n＋2－3n＋1＝n＋1－n－n＋n＋ ＝－3n＋n＋＜0. ∴an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列． 方法二 设x1＞x2≥1，则

f(x1)－f(x2)＝－2＋3x1＋1－－2＋3x2＋1

＝3x1＋1－3x2＋1 ＝x2－x1x1＋x2＋， ∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴an＝f(n)为递减数列． 反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1)在[1，

＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立． 跟踪训练1 数列{an}的通项公式为an＝－3×2n-2＋2×3n-1，n∈N＋.求证：{an}为递增数列． 证明 an＋1－an＝－3×2n-1＋2×3n－(－3×2n-2＋2×3n-1) ＝3(2n-2－2n-1)＋2(3n－3n-1) ＝－3×2n-2＋4×3n-1

＝2n-212×32n-2－3，

∵n≥1，n∈N＋，∴32n-2≥321-2＝23， ∴12×32n-2≥8＞3， ∴12×32n-2－3＞0，又2n-2＞0， ∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N＋. ∴{an}是递增数列． 二、求数列中的最大(或最小)项问题 常见方法： (1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．

(2)利用 an≥an＋1，an≥an－1(n≥2)求数列中的最大项an；利用 an≤an＋1，an≤an－1(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．

例2 在数列{an}中，an＝n－2018n－2019，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别是________． 答案 45,44

解析 an＝n－2 018n－2 019＝1＋2 019－2 018n－2 019，设f(x)＝1＋2 019－2 018x－2 019，则f(x)在区间(－∞，2 019)与(2 019，＋∞)上都是减函数． 因为44<2019<45，

故数列{an}在0象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44. 反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．

跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝411－2n(n∈N＋)，则{an}的最大项是( ) A．a3 B．a4 C．a5 D．a6 答案 C

解析 f(x)＝411－2x在－∞，112，112，＋∞上都是增函数． 且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴{an}的最大值为a5. 例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值． 解 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4. ∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．

(2)∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，且n∈N＋， ∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．

跟踪训练3 已知(－1)na＜1－12n对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 －12，34 解析 设f(n)＝1－12n，n≥1，则f(n)单调递增． 当n为奇数时，有－a＜1－12n 又f(n)min＝f(1)＝1－12＝12. ∴－a＜12即a＞－12. 当n为偶数时，a＜1－12n. f(n)min＝f(2)＝1－14＝34.

∴a＜34.综上，－12＜a＜34. 例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n79n+1，n∈N＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由． 解 ∵an＋1－an＝(n＋1)·79n+2－n79n+1＝79n+1·7－2n9，且n∈N＋， ∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0； 当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0. 综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在

最大项．又a3＝3×793+1反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦． 跟踪训练4 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n－92n，n∈N＋，求{bn}的最大值．

解 ∵bn＋1－bn＝2n－72n+1－2n－92n＝－2n＋112n+1，且n∈N＋， ∴当n＝1,2,3,4,5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5. 当n＝6,7,8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，

又b5＝132＜b6＝364.

∴{bn}的最大值为b6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围 常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 例5 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋. (1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围． (2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围． 解 (1)由{an}是递增数列⇔an－(2n＋1)，n∈N＋

⇔λ>－3.

∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．

(2)依题意有 a7≤a6，a7≤a8，即 72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]． 反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满

足 a7≤a6，a7≤a8，不一定a7最小． 跟踪训练5 数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围． 解 an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n， an＋1－an＝2－k·2n－1.

∵{an}是递减数列， ∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，

即k＞22n－1恒成立，

∴k＞22n－1max＝2， ∴k的取值范围为(2，＋∞)．

1．设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是( ) A．103 B.8658

C.8258 D．108 答案 D 解析 ∵an＝－2n－2942＋2×29216＋3，n∈N＋， ∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D. 2．已知数列{an}的通项公式为an＝49n-1－23n-1(n∈N＋)，则数列{an}( ) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 答案 C

解析 an＝49n-1－23n-1＝23n-12－23n-1，

令23n-1＝t，则t是区间(0,1]内的值，而an＝t2－t＝t－122－14，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值．

使23n-1最接近12的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A．10B．11C．10或11D．12 答案 C 解析 ∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，∴{an}前10项都是正数，第11项是0，∴数列{an}前10项或前11项的和最大．故选C. 4．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________． 答案 1024

解析 ∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴anan－1＝2＞1， ∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1024.

5．已知数列{an}中，an＝1＋12n－1＋m.若a6为最大项，则实数m的取值范围是________． 答案 (－11，－9) 解析 根据题意知，y＝1＋12x－1＋m的图象如下：

由a6为最大项，知5＜1－m2＜6.∴－11＜m＜－9. 一、选择题 1．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不对 答案 B

解析 ∵a1>0，an＋1＝12an，

∴an>0，∴an＋1an＝12<1， ∴an＋1