[配套K12]2018届高考数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列学案 文

配套K12内容资料 配套K12内容资料 第三节 等比数列

1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．

知识点一 等比数列的有关概念 1．等比数列的定义 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于________非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．

数学语言表达式：anan－1＝____(n≥2)，q为常数． 2．等比中项 如果________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________. 答案 1．2 同一个 公比 q 2．a，G，b G2＝ab

1．将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )

A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 答案：B 配套K12内容资料 配套K12内容资料 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am，ak，an成等比数列，故选D. 答案：D 知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝__________.

2．等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝a1－anq1－q. 答案 1．a1qn－1 amqn－m 2.a1－qn1－q

3．在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝________，S4＝________. 答案：－4 51

4．(必修⑤P62习题2.5B组第2题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9

S3

＝________.

解析：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由S6S3＝12知S6＝12S3，则14S23＝S3·(S9－S6)，所以S9＝34S3，所以S9S3＝34.

答案：34

热点一 等比数列的基本量计算 【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

(2)(2017·石家庄模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________. 配套K12内容资料 配套K12内容资料 【解析】 (1)设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝12，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝12，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.

(2)由已知得： a1＋a2＋a3＝7，a1＋＋a3＋2＝3a2. 解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q.又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7.即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. 【答案】 (1)64 (2)2n－1 【总结反思】 等比数列运算的思想方法 (1)方程思想：设出首项a1和公比q，然后将通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用a1，q表示，寻求两者联系，整体代换即可求． (3)利用性质：运用等比数列性质，可以化繁为简、优化解题过程.

(1)在正项等比数列{an}中，an＋1(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________. 解析：(1)设公比为q，则由an＋1∴a5＝6，∴a4＋a6＝6q＋6q＝5，

解得q＝26，而a5a7＝1q2＝622＝32.

(2)∵ a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴ a1＋a1q2＝52，①a1q＋a1q3＝54，② 由①除以②可得1＋q2q＋q3＝2，解得q＝12， 配套K12内容资料 配套K12内容资料 代入①得a1＝2.∴an＝2×12n－1＝42n，

∴Sn＝2×1－12n1－12＝41－12n，

∴Snan＝41－12n42n＝2n－1. 答案：(1)32 (2)2n－1 热点二 等比数列的判定与证明 【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (Ⅰ)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(Ⅱ)若S5＝3132，求λ.

【解】 (Ⅰ)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0.所以an＋1an＝λλ－1.

因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λ(λλ－1)n－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－(λλ－1)n.由S5＝3132得1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132.解得λ＝－1. 【总结反思】 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N＋. (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1. 配套K12内容资料 配套K12内容资料 当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1

＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1. 当n＝1时，53－23×－121－1＝1＝a1， ∴an＝53－23－12n－1(n∈N＋)． 热点三 等比数列的性质及应用 【例3】 (1)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( ) A．2 B．1 C.12 D.18 (2)(必修⑤P77复习参考题B组第1(2)题改编)若某等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则( ) A．(A＋B)－C＝B2 B．A2＋B2＝A(B＋C) C．A＋B＝C D．B2＝AC (3)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( ) A．4 B．6 C．8 D．－9 【解析】 (1)法1：∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)，∴a24－4a4＋4＝0，∴

a4＝2.又∵q3＝a4a1＝214＝8，∴q＝2.

∴a2＝a1q＝14×2＝12，故选C. 法2：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)． 将a1＝14代入上式并整理， 配套K12内容资料 配套K12内容资料 得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2. ∴a2＝a1q＝12，故选C. (2)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，即A，B－A，C－B也成等比数列，即(B－A)2＝A(C－B)，所以A2－2AB＋B2＝AC－AB，即A2＋B2＝A(B＋C), 故选B. (3)a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2，∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2

＋2a6＋a10)＝4.

【答案】 (1)C (2)B (3)A 【总结反思】 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形，此外，解题时注意设而不求思想的运用.

(1)(2017·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝158，a8a9＝－98，则1a7＋1a8＋1a9＋1a10

＝________.

(2)已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________. (3)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40

＝( )

A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50

解析：(1)因为1a7＋1a10＝a7＋a10a7a10，1a8＋1a9＝a8＋a9a8a9，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以1a7＋1a8＋1a9＋1a10

＝

a7＋a8＋a9＋a10

a8a9

＝158÷－98＝－53.

(2)设数列{an}的公比为q，则q3＝a5a2＝18，解得q＝12，a1＝a2q＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝18的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝