浙教版2021—2022学年八年级数学(上)：第1章 三角形的初步认识 单元测试卷(一)含答案解析

浙教版八年级（上）第一单元达标测试卷(一)数 学（考试时间：100分钟 满分：120分） 学校： 班级： 考号： 得分：一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一副三角板如图所示摆放，若180∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．80°B ．95°C ．100°D ．110°2．如图，点D ，E 分别是ABC 边BC ，AC 上一点，2BD CD =，AE CE =，连接AD ，BE 交于点F ，若ABC 的面积为18，则BDF 与AEF 的面积之差BDF AEF S S -等于（ ）A ．3B ．185C ．92D ．63．将一副直角三角板按如图放置（其中90C E ∠=∠=︒），使含30角的三角板DEF 的较长直角边EF 与等腰直角三角板ABC 的斜边AB 平行，则图中1∠的度数为（ ）A ．85︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒4．已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则该三角形的第三边的长度可能是（ ） A ．5cm B ．6cm C ．8cm D ．15cm5．如图，ACB DBC ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB △≌△的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠ B ．A D ∠=∠C ．AC DB =D ．AB DC =6．如图，//,113,53EF BC ACD A ∠=︒∠=︒，则∠=AEF （ ）A ．53︒B ．63︒C ．60︒D ．68︒7．如图，AB 平行,CD EF 交AB 于点,G EM 平分,70CEF FGB ∠∠=︒，则BME ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．50︒C ．65︒D ．55︒8．在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，AD 、BE 相交于点F ，过点D 作DG 平行AB ，过点B 作BG DG ⊥交DG 于点G ．下列结论：①135AFB ∠=︒；②2BDG CBE ∠=∠；③BC 平分ABG ∠；④BEC FBG ∠=∠．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒10．如图，已知直线//a b ，直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，若58B ∠=︒，那么12∠-∠=（ ）A ．28°B ．30°C ．32°D ．58°11．如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°12．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∥CF ，则∠BEF的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，40,60B C ∠=︒∠=︒．若//DE AB ，则AED =∠________︒．14．如图，四边形ABCD 中，BAC DAC ∠=∠，请补充一个条件____，使ABC ADC △≌△．15．如图，AC AD =，12∠=∠，要使ABC AED ≌△△，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）16．如图，在ABC 中，55C ∠=︒，点D 在BC 边上，DE 平行AB 交AC 于F ，若1115∠=︒，则B 的度数为___________︒．17．如图，ABC ∆中，AB BC =，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，30B ∠=︒，若8AB =，则ABC ∆的面积是_______．18．如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ，若ABE △的面积为3，ADF 的面积为5，则四边形AECF 的面积为________．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．已知ABC 中，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，过点A 作直线//GH BC ，且60GAB ∠=︒，40C ∠=︒．（1）求ABC 的外角CAF ∠的度数；（2）求DAE ∠的度数．20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC 的顶点都在方格纸格点上，将ABC 向左平移1格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的A B C '''；（2）图中AC 和A C ''的关系_______；（3）再在图中画出A B C '''的高C D ''，中线B E ''；（4）在图中能使PBC ABC S S =△△的格点P 的个数有______个（点P 异于A ）．21．已知//AE BD ．（1）若75155A ∠=∠=，，求EBD ∠的度数．（2）若1234∠=∠∠=∠，，求证：//ED AC ．22．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．+=；（1）当点D，M都在线段AB上时，如图①，求证：BF MF CD（2）当点D在线段AB的延长线上，点M在线段BA的延长线上时，如图②；当点D在线段BA的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，如图③，直接写出线段BF，MF，CD之间的数量关系，不需要证明．23．如图，已知射线CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，E，F在射线CB上，且满足DB平分∠ADF，DE平分∠CDF．（1）求证：CD∥BA；（2）若左右平移AB，则∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．⨯的方格纸中，点A，B均在格点上，请按要求画图．24．如图，在55（1）在图1中画个面积为2的格点ABC．△，使AB是ADE的中线．（2）在图2中画一个格点Rt ADE参考答案二、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一副三角板如图所示摆放，若180∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．80°B ．95°C ．100°D ．110°【答案】B【分析】 由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A =90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A +∠4=60°+35°=95°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．2．如图，点D ，E 分别是ABC 边BC ，AC 上一点，2BD CD =，AE CE =，连接AD ，BE 交于点F ，若ABC 的面积为18，则BDF 与AEF 的面积之差BDF AEF S S -等于（ ）A ．3B ．185C ．92D ．6【答案】A【分析】 由ABC ∆的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【详解】 解：111822ABC BC AC S BC h AC h ∆=⋅=⋅=， 11()()1822ABC BC AC S BD CD h AE CE h ∆∴=+⋅=+⋅=， 12AE CE AC ==，12AEB AC S AE h ∆=⋅，12BCE AC S EC h ∆=⋅， 1118922AEB CEB ABC S S S ∆∆∆∴===⨯=， 即9AEF ABF S S ∆∆+=①，同理：2BD CD =，BD CD BC +=， 23BD BC ∴=，12ABD BC S BD h ∆=⋅， 22181233ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 即12BDF ABF S S ∆∆+=②，①-②得：()()1293BDF AEF BDF ABF AEF ABF S S S S S S ∆∆∆∆∆-=+-+=-=，故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．3．将一副直角三角板按如图放置（其中90C E ∠=∠=︒），使含30角的三角板DEF 的较长直角边EF 与等腰直角三角板ABC 的斜边AB 平行，则图中1∠的度数为（ ）A．85︒B．75︒C．60︒D．45︒【答案】B【分析】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，∠A=45°，∠F=30°，∵AB∥EF，∴∠ACF=∠A=45°，∴∠CHF=180°-∠F-∠ACF=180°-30°-45°=105°，∴∠1=180°-∠CHF=108°-105°=75°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．4．已知三角形的两边长分别为4cm和10cm，则该三角形的第三边的长度可能是（）A．5cm B．6cm C．8cm D．15cm【答案】C【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【详解】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，得10-4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14．故选：C ．【点睛】本题主要考查了求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可，难度适中．5．如图，ACB DBC ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB △≌△的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠ B ．A D ∠=∠C ．AC DB =D ．AB DC =【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可【详解】解：A 、在ABC ∆和DCB ∆中 ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DCB ASA ∴∆≅∆，故本选项不符合题意；B 、在ABC ∆和DCB ∆中A D BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DCB ASA ∴∆≅∆，故本选项不符合题意；C 、在ABC ∆和DCB ∆中BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故本选项不符合题意；D 、根据ACB DBC ∠=∠，BC BC =，AB DC =不能推出ABC DCB ∆≅∆，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．如图，//,113,53EF BC ACD A ∠=︒∠=︒，则∠=AEF （ ）A ．53︒B ．63︒C ．60︒D ．68︒【答案】C【分析】 根据三角形外角的性质求出∠B ，再根据平行线的性质可求∠AEF ．【详解】解：∵∠ACD =113°，∠A =53°，∴∠B =60°，∵EF ∥BC ，∴∠AEF =60°．故选：C ．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据三角形外角的性质求出∠B ．7．如图，AB 平行,CD EF 交AB 于点,G EM 平分,70CEF FGB ∠∠=︒，则BME ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．50︒C ．65︒D ．55︒【分析】根据两直线平行的性质定理，进行角的转换，再根据平角求得CEF ∠，进而求得BME ∠．【详解】解：//AB CD ，FED FGB ∴∠=∠，CEM BME ∠=∠又∵70FGB ∠=︒70FED ∴∠=18070110CEF ∴∠=-︒=， EM 平分CEF ∠， 1552CEM CEF ∴∠=∠=︒， 55BME ∴∠=︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义等知识点，根据条件数形结合是解题切入点． 8．在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，AD 、BE 相交于点F ，过点D 作DG 平行AB ，过点B 作BG DG ⊥交DG 于点G ．下列结论：①135AFB ∠=︒；②2BDG CBE ∠=∠；③BC 平分ABG ∠；④BEC FBG ∠=∠．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案．【详解】在直角三角形ABC 中，=90C ∠︒，∴BAC ∠+ABC ∠=90°，∵AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，∴∠F AB =12BAC ∠，∠ABE =∠EBC =12ABC ∠， ∴∠F AB +∠ABE =12（BAC ∠+ABC ∠）=45°， ∴180()18045135FAB ABF AFB ∠=-=︒-︒=∠+∠︒，∴①正确；∵DG AB ∥，∴BDG ABC ∠=∠∵∠EBC =12ABC ∠， ∴∠EBC =12BDG ∠， ∴2BDG CBE ∠=∠，∴②正确；∵ABC ∠的度数不确定，∴根据已知条件无法证明BC 平分ABG ∠，∴③不正确；∵BG DG ⊥，90C ∠=︒,∴∠BGD =90°，90CAB ABC ∠+∠=︒,∴90BDG DBG ,又∵DG ∥AB ，∴BDG ABC ∠=∠,∴DBG CAB , 又∵BEC EAB ABE ,∴BEC DBG ABE ,又∵BE 平分ABC ∠,∴ABE EBC ∴DBG ABE DBG EBC EBG ,即BEC FBG ∠=∠，∴④正确；综上，正确的结论为①②④，共3个．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点．9．如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】 如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∵//,140m n ∠=︒，∴∠4=∠1=40°，∵230∠=︒，∴34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．10．如图，已知直线//a b ，直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，若58B ∠=︒，那么12∠-∠=（ ）A ．28°B ．30°C ．32°D ．58°【答案】C【分析】 由两直线平行，运用同位角相等，转化1∠，根据对顶角相等，转化2∠，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】//a b13∠∠∴=24∠∠=，34A ∠=∠+∠1234A ∴∠-∠=∠-∠=∠90C ∠=︒，58B ∠=︒32A ∴∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形的外角性质，根据平行线性质，对顶角知识，把已知的角度放到一个三角形中讨论是解题的关键．11．如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D【分析】 根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【详解】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中． 12．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∥CF ，则∠BEF 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【分析】 根据一副直角三角锐角大小一定，根据平行线的性质内错角相等，可得∠DEF = ∠EFB = 45°，再由三角形外角的性质，即可求出∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 15°．【详解】解：∵DE ∥CF ，∠DEF = 45°，∴∠DEF = ∠EFB = 45°，∵∠ABC = 60°，∴∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 60°-45°= 15°故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形一个外角与其不相邻两个内角的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，40,60B C ∠=︒∠=︒．若//DE AB ，则AED =∠________︒．【答案】100【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A =80°，再根据平行线的性质，求出AED ∠，即可．【详解】解：∵40,60B C ∠=︒∠=︒，∴∠A =180°-40°-60°=80°，∵//DE AB ，∴AED =∠180°-80°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．14．如图，四边形ABCD 中，BAC DAC ∠=∠，请补充一个条件____，使ABC ADC △≌△．【答案】D B ∠=∠(答案不唯一)【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】解：添加的条件为D B ∠=∠，理由是：在ABC 和ADC 中，BAC DAC D B AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC ADC △≌△(AAS )，故答案为：D B ∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS ，，，，两直角三角形全等还有HL ．15．如图，AC AD =，12∠=∠，要使ABC AED ≌△△，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）【答案】B E ∠=∠或C D ∠=∠或AB AE =（只需写出一个条件即可，正确即得分）【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC =∠EAD ，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．【详解】解：如图所所示，∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ．∴∠BAC =∠EAD ．（1）当∠B =∠E 时，B E BAC EAD AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC AED AAS ≅∴△△．（2）当∠C =∠D 时，C D AC ADBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC AED ASA ≅∴△△．（3）当AB =AE 时，AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC AED SAS ≅∴△△．故答案为：∠B =∠E 或∠C =∠D 或AB =AE【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键． 16．如图，在ABC 中，55C ∠=︒，点D 在BC 边上，DE 平行AB 交AC 于F ，若1115∠=︒，则B 的度数为___________︒．【答案】60︒【分析】根据三角形的外角性质，先求出FDC ∠，在利用平行线的性质得B FDC ∠=∠，即可得出答案．【详解】解：1C FDC ∠=∠+∠又1115,55C ∠=︒∠=︒11155560FDC C ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//AB DE60B FDC ∠=∠=︒故答案为：60︒．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．17．如图，ABC ∆中，AB BC =，AD 是BC 边上的高，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，30B ∠=︒，若8AB =，则ABC ∆的面积是_______．【答案】16【分析】先在Rt ABD ∆中求出AD 的长，再结合8BC AB ==运用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在Rt ABD ∆中，30B ∠=︒， 118422AD AB ，8BC AB ，ABC ∆∴的面积184162=⨯⨯=． 故填：16．【点睛】本题考查了中垂线的性质、角平分线的性质以及直角三角形的性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．18．如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ，若ABE △的面积为3，ADF 的面积为5，则四边形AECF 的面积为________．【答案】8【分析】连结AC ，过点A 分别作AH ⊥BC 于点H ，AG ⊥CD 于点G ，根据三角形的面积公式得到S △ABE =S △ACE ，S △ADF =S △ACF ，即可求解得到四边形AECF 的面积．【详解】解：连结AC ，过点A 分别作AH ⊥BC 于点H ，AG ⊥CD 于点G ，∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴BE =CE ，CF =DF ，∵S △ABE =12•BE •AH ，S △ACE =12•CE •AH ， ∴S △ABE =S △ACE ，同理，S △ADF =S △ACF ，∵△ABE 的面积为3，△ADF 的面积为5，∴S △ACE =3，S △ACF =5，∴四边形AECF 的面积=S △ACE +S △ACF=3+5=8．故答案为：8．【点睛】此题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．已知ABC 中，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，过点A 作直线//GH BC ，且60GAB ∠=︒，40∠=︒．C∠的度数；（1）求ABC的外角CAF∠的度数．（2）求DAE【答案】（1）100°；（2）10°【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE=40°，根据平行线的性质求出∠GAD=90°，结合图形计算，得到答案．【详解】解：（1）∵GH∥BC，∠C=40°，∴∠HAC=∠C=40°，∵∠F AH=∠GAB=60°，∴∠CAF=∠HAC+∠F AH=100°；（2）∵∠HAC=40°，∠GAB=60°，∴∠BAC=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD=90°，∴∠BAD=90°-60°=30°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．20．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC 的顶点都在方格纸格点上，将ABC 向左平移1格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的A B C '''；（2）图中AC 和A C ''的关系_______；（3）再在图中画出A B C '''的高C D ''，中线B E ''；（4）在图中能使PBC ABC S S =△△的格点P 的个数有______个（点P 异于A ）．【答案】（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析；（4）5【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′即可．（2）根据平移的性质回答即可；（3）根据高和中线的定义画图即可；（4）根据△PBC 和△ABC 同底等高，画出平行线，找到相应格点即可．【详解】解：（1）如图，A B C '''即为所作；（2）AC 和A C ''的关系为：平行且相等；（3）如图，C ′D ′和B ′E ′即为所作；（4）如图，共有5个点满足条件．【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．已知//AE BD ．（1）若75155A ∠=∠=，，求EBD ∠的度数．（2）若1234∠=∠∠=∠，，求证：//ED AC ．【答案】（1）50°；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A +∠1+∠EBD =180°，代入求解即可；（2）根据平行线的性质得到∠3=∠EBD ，根据三角形外角的性质和已知可推出∠1=∠DEB ，即可证明ED ∥AC ．【详解】（1）解：//AE BD ，1180A EBD ∴∠+∠+∠=︒，75A ∠=︒，155∠=︒，50EBD ∴∠=︒；（2）证明：//AE BD ，3EBD ∴∠=∠，12∠=∠，2EBD BEF ∠=∠+∠，23BEF ∠=∠+∠，34∠=∠，14BEF DEB ∴∠=∠+∠=∠，//ED AC ∴．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质的应用，能正确利用定理进行推理是解此题的关键．22．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解析；（2）图②：BF MF CD -=；图③：FM BF CD +=【分析】（1）过点A 作AN AB ⊥交BF 的延长线于点N ．证明ABN BCD ≌△△，根据全等三角形的性质可得AN BD =，BN CD =．再证NAF MAF ≌△△，由此即可证得结论；（2）图②：BF MF CD -=，类比（1）中的方法证明即可；图③：FM BF CD +=，类比（1）中的方法证明即可．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AN AB ⊥交BF 的延长线于点N ．∴90NAB ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，∴90ABF EBC ∠+∠=︒，NAB ABC ∠=∠．∵CD BF ⊥，∴90BCD EBC ∠+∠=︒．∴ABF BCD ∠=∠．在ABN 和BCD △中，,,,NAB ABC AB BC ABF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA ABN BCD ≌△△． ∴AN BD =，BN CD =．∵AB CB =，90ABC ∠=︒，∴45CAB ∠=︒．∴45NAF NAB BAC ∠=∠-∠=︒． ∴NAF FAM ∠=∠． ∵AN BD =，AM BD =， ∴AN AM =．在NAF 和MAF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS NAF MAF ≌△△． ∴FN FM =．∵BN FN BF =+， ∴BF MF CD +=．（2）图②：BF MF CD -=． 证明：过点A 作AN AB ⊥交BF 于点N ．∴90NAB ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，∴90ABF EBC ∠+∠=︒，NAB DBC ∠=∠． ∵CD BF ⊥，∴90BCD EBC ∠+∠=︒． ∴ABF BCD ∠=∠．在ABN 和BCD △中，,,,NAB DBC AB BC ABF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA ABN BCD ≌△△． ∴AN BD =，BN CD =． ∵AB CB =，90ABC ∠=︒， ∴45CAB ∠=︒． ∴45CAB MAF ∠=∠=︒， ∵90NAM ∠=︒ ∴45NAF NAM MAF ∠=∠-∠=︒． ∴NAF FAM ∠=∠． ∵AN BD =，AM BD =， ∴AN AM =．在NAF 和MAF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS NAF MAF ≌△△． ∴FN FM =． ∵BF FN BN -=， ∴BF MF CD -=． 图③：FM BF CD +=． 证明：如图，过点A 作AN AB ⊥交BF 的延长线于点N ．∴90NAB ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，∴90ABF EBC ∠+∠=︒，NAB ABC ∠=∠．∵CD BF ⊥，∴90BCD EBC ∠+∠=︒．∴ABF BCD ∠=∠．在ABN 和BCD △中，,,,NAB ABC AB BC ABF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA ABN BCD ≌△△． ∴AN BD =，BN CD =．∵AB CB =，90ABC ∠=︒，∴45CAB ∠=︒．∴45NAF NAB BAC ∠=∠-∠=︒．∴NAF FAM ∠=∠．∵AN BD =，AM BD =，∴AN AM =．在NAF 和MAF △中，,,,AN AM NAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS NAF MAF ≌△△． ∴FN FM =．∵BN FN BF =+，∴BF MF CD +=．【点睛】本题是全等三角形的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．23．如图，已知射线CB ∥DA ，∠C ＝∠DAB ＝120°，E ，F 在射线CB 上，且满足DB 平分∠ADF ，DE 平分∠CDF ．（1）求证：CD ∥BA ；（2）若左右平移AB ，则∠DEC ﹣∠DBF 和∠DEC +∠DBA 的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解析；（2）不变，∠DEC ﹣∠DBF =30°，∠DEC +∠DBA =90°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可证明；（2）先根据平行线的性质可得出∠DBF ＝∠ADB ，再利用角平分线的性质得出∠DEC ﹣∠DBF ＝∠EDB ，从而得出答案．【详解】解：（1）∵CB ∥DA ，∠C ＝∠DAB ＝120°，∴∠CDA ＝180°﹣∠C ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDA +∠DAB ＝180°，∴CD ∥BA ；（2）不变，理由如下：∵CB∥DA，∴∠DBF＝∠ADB，∵DB平分∠ADF，∴∠FDB＝∠ADB，∴∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠EDB＝∠FDE+∠FDB＝12∠CDA＝12×60°＝30°；∴∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB＝30°；∵∠DBA＝∠ABC﹣∠DBF，∴∠DEC+∠DBA＝∠DEC+60°﹣∠DBF＝30°+60°＝90°．∴∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值不变，分别是30°和90°．【点睛】本题考查了平行线、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．24．如图，在55的方格纸中，点A，B均在格点上，请按要求画图．（1）在图1中画个面积为2的格点ABC．（2）在图2中画一个格点Rt ADE△，使AB是ADE的中线．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可．【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，△ADE即为所求（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。