证明与拓广
第06章综合与实践猜想、证明与拓广-九年级上册初三数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与几何证明相关的实际问题，如如何证明等腰梯形的对角线相等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和剪切来验证几何猜想。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了综合与实践章节中的猜想、证明与拓广。通过这节课的教学，我发现学生们对于几何猜想的提出表现得非常积极，他们能够通过观察和思考，提出一些有创意的猜想。比如，在探讨勾股定理的逆定理时，有学生提出了关于直角三角形边长比例的猜想，这是一个很好的开始。
然而，我也注意到在证明过程中，学生们普遍存在逻辑推理不够严密的问题。他们有时会忽略一些必要的步骤，或者证明过程中逻辑链条不够清晰。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强逻辑推理的训练，特别是让学生理解每一步证明的必要性。
4.培养学生的数学建模素养，结合实际问题，引导学生运用几何知识构建数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在猜想、证明与拓广的过程中，勇于提出新观点，探索新方法，激发学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-几何猜想的提出：重点在于引导学生通过观察特例提出合理的数学猜想，如勾股定理的逆定理。举例：通过观察不同直角三角形的边长关系，引导学生发现并表述勾股定理的逆定理。
最后，我意识到教学过程中要更加注重培养学生的创新意识和解决问题的能力。在今后的课堂中，我会鼓励学生大胆猜想，勇于尝试不同的证明方法，并引导他们在实际情境中发现几何问题的解决之道。通过这样的教学方式，我相信学生们能够更好地理解和掌握几何知识，提高他们的数学素养。
九年级上册 猜想、证明与拓广 综合与实践 优质课件
知识的升华
任意给定一个矩形,是否一定存在另 一个矩形,它的周长和面积分别是已 知矩形周长和面积的一半?
请你类比本节课学到的方法解决这个 问题
驶向胜利的彼岸
n
n n2 1
n3 n2 1
n
n
n 2
1
(n
1的整数)
解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题 关键是探索归纳,猜想.
2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和 BC相交于点E,EF⊥BD于点F.
求证: 1 1 1
AB CD EF
(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与 BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成 立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.
1、特例尝试，合理化的猜想出结论 2、证明猜想的正确性 3、你能由矩形的倍增问题拓广 出新的问题吗？
挑战自我
1.观察下列各式:
2 2 8 2 2, 33 3
3 3 27 3 3 , 88 8
4 4 64 4 4 , 15 15 15
你能得到怎样的结论• •?•并证明你的结论.
解 : 所得结论为:
(3)猜想SΔABD、SΔBED和SΔBDC有什么关系?并证明你的
猜想. A
A
E
C
C E
B
FD
B
图1
F
D
图2
悟
通过今天三个问题的研究，你感悟到 了什么样的处理问题的策略和方法？
科学的知识体系就是在不断的猜想—证 明---再猜想（拓广）---再证明中往复循 环、螺旋式上升和发展的。掌握好猜想、 证明与拓广的学习模式，你的研究能力就 会增强，面对任何问题都会应对自如。
[原创]课题学习：猜想、证明与拓广(1)doc
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课题学习猜想、证明与拓广汪国刚贵阳市开阳县宅吉中学课时安排2 课时从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学^本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验 .在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发性 .教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法^第一课时课题课题学习一一猜想、证明与拓广（一）教学目标（一）教学知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.（二）能力训练要求1. 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识^2. 在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4. 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力^（三）情感与价值观要求1. 积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流^2. 获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心^教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法自主探索——合作交流.教具准备多媒体演示教学过程I.创设情境问题，搭建探究平台［问题1］任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？［问题2］任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？请大家结合自己学过的知识，认识思考问题1,并谈谈你自己的想法.［生1］若给定的正方形的边长是1,则它的周长是4,面积是1,另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4X 2= 8,面积则变成了（8）2= 4,即这个正方形的面积是原来正方4形面积的4倍.若另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.则这个正方形周长变为4.2.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.［生2］生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况^［师］到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法 ^［组1］我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍.［组2］我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为a,则其面积为a2,周长为4a,若周长倍增，即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为2a2，正方形的边长变为J窑，周长变为4%，''公，不符合要求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形^［师］很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁一一个数学问题的解决过程，但如果将问题1拓展，正方形不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢？11.展示思维过程，构建探究空间［师］你是如何思考问题2的？［生］矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的^［师］很好，我们就来先看一个特殊的、具体的矩形^多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢？你是怎么做的？与同伴交流.［生］已知矩形的长和宽分别是2和1,则其周长和面积分别为6和2,则所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多，它们的长和宽可以是5和1, 4一一一一11 一1和2, 3和3,也可以是和艾和《……其中是否有面积为4的呢？我们可以去尝试着找一下.（教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测）［生］这样找太费劲。
猜想、证明、拓广
猜想、证明、拓广
课题学习
猜想,证明与拓广
挑战“自我”
猜想,证明与拓广
1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2 倍?
2.你准备怎幺去做?
3.你有哪些解决方法?
挑战“自我”
解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.
猜想,证明与拓广
若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
挑战“自我”
猜想,证明与拓广
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2 倍?
老师提示:
矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2 和1,怎幺样?
挑战“自我”
由特殊到一般。
九年级数学上册《猜想证明与拓广》教案、教学设计
1.回顾本节课所学的内容，让学生总结数学猜想的提出、证明方法和拓广应用等方面的重要知识点。
2.学生分享自己的学习心得，讨论在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评学生在课堂上的表现，鼓励学生积极参与讨论，培养其勇于探索、严谨治学的精神。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的数学素养，特布置以下作业：
5.预习新课内容：
-预习下一节课将要学习的内容，为新课的学习做好准备；
-针对新课内容，提出自己的疑问和猜想，培养自主学习能力。
教师在批改作业时，应关注学生的思维过程和解答方法，及时给予评价和指导，鼓励学生发挥潜能，提高作业质量。同时，教师应认真总结学生的作业反馈，为今后的教学提供参考。通过以上作业布置，使学生更好地巩固所学知识，提高数学素养，为未来的学习奠定坚实基础。
3.注重数学思想的渗透，引导学生运用数形结合、化归等数学思想方法，简化问题，提高解题效率。
4.通过拓广练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
本章节教学应关注以下情感态度与价值观的培养：
1.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，激发学生学习数学的兴趣和热情。
-数形结合、化归等数学思想方法的运用。
2.教学难点：
-学生对数学猜想的提出缺乏创新性，难以跳出传统思维框架；
-学生在证明过程中，逻辑推理能力不足，容易陷入思维误区；
-学生在拓广练习中，难以将所学知识灵活应用于实际问题。
（二）教学设想
1.针对教学重点，设计以下教学策略：
-创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论等方式提出数学猜想，培养学生创新意识；
（四）课堂练习
课题学习猜想证明与拓广市公开课一等奖省优质课获奖课件
矩形周长和面积二分之一. 第9页
超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三
边AB,AC,BC距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结 论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息处理以下 问题：
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图
结论:假如矩形长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都 不存在另一个矩形,它周长和面积分别是已知矩形周长和 面积二分之一.
第6页
想,做,悟 15
挑战“自我”
由特殊到普通
我们已经知道:假如矩形长和宽分别为2和1,3和1,4 和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它周长和面积分 别是已知矩形周长和面积二分之一.这个结论是否含 有普通性?
由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.
结论:假如矩形长和宽分别为2和1,那么不 存在另一个矩形,它周长和面积分别是已知 矩形周长和面积二分之一.
第5页
想,做,悟 14
挑战“自我”
由特殊到普通
解:当假如矩形长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求 矩形长为x, 依据题意所得方程都有没有实数根解,则说明 这么矩形不存在.
第4页
想,做,悟 13
挑战“自我”
由特殊到普通
解:假如矩形长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别
为6和2,所求矩形周长和面积应分别为3和1.设所求矩形
长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).依据题意,
得
x(1.5-x)=1.
即
2x2-3x+2=0.
假如这个方程有解,则说明这么矩形存在.
北师大版九年级上册数学综合与实践2猜想、证明与拓广课件
2、每小组选一种情况进行说明。
3、整理并写出完整的解答过程。
4、尝试更多的方法解决。
3 倍增问题——猜想
任意给定一个矩形，是否存在另 一个矩形，它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积2倍.
猜想的结论是：存在.
3 倍增问题——证明
从特殊到一般：
当已知矩形的长和宽分别为n和m时， 是否仍然有相同的结论？
九年级数学(上) 综合与实践
课题学习：猜想，证明与拓广
1 七桥问题的解决经历了哪几步？
验证 猜想
欧拉怀疑七 桥问题是不 是本来就无 解呢
A
建模
C
证明
B
延伸
D
拓广
拓扑学
探究活动一：初步感知探究模式
提出问题：
生活在草原上的小明家有一个用篱笆围成的 正方形羊圈，随着羊的数量的增加，需要重 建一个更大的羊圈,那么能否新建一个正方形 羊圈,使得它的周长和面积都是本来的2倍?
的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半?
2.如果已知矩形的长和宽分别为3和2，是否还有相同的结论?
3.如果已知矩形的长和宽分别为4和1呢?
4 减半问题——验证
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长 和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解：当如果矩形的长和宽分别为2和1，3和2，4和1时
那么所求矩形的周长和面积应分别为 m+n 和
.
设所求矩形的长为x，那么它宽为
其面积为
根据题意，得 由
,即
知道,只有当 m2+n2≥6mn 时，这个方程才有实数根.
结论:矩形长宽满足m2+n2≥6mn时，才存在。
5 课堂小结
特例验证 大胆猜想 建立模型 严格证明 延伸拓广
数学通讯问题征解第610号解答与拓广
数学通讯问题征解第610号解答与拓广一、问题描述问题：设a和b是不全为0的复数，证明ab的取值范围是以原点为中心的半平面。
二、问题分析此题是关于复数乘法的性质问题，要求证明复数乘积的取值范围是以原点为中心的半平面。
复数乘法的几何意义是复平面上的两个向量的相乘，而一个复数对应于复平面上的一个点，可以表示为向量的形式。
问题实质是要求证明复平面上任意两个复数的乘积所对应的点位于以原点为中心的半平面上。
三、证明与拓广证明：假设a=re^{iα}，b=se^{iβ}，其中r、s为实数，α、β为实数，根据欧拉公式，任意复数都可以写成指数形式。
则ab=rse^{i(α+β)}=rs(cos(α+β)+isin(α+β))。
由于cos(α+β)和sin(α+β)皆为实数，所以ab的实部为rs*cos(α+β)，虚部为rs*sin(α+β)。
当α+β=0时，ab为实数，取值范围为实轴上的点。
当α+β=π/2时，ab为纯虚数，取值范围为虚轴上的点。
当α+β在0到π/2之间时，ab为复数，取值范围为复平面上的一半。
ab的取值范围是以原点为中心的半平面。
拓广：本题只是证明了ab的取值范围是以原点为中心的半平面，并未给出具体的几何图形表示。
我们可以进一步拓广，通过具体的几何图形分析来展示ab的取值范围。
我们可以在复平面上取一些具体的a和b，计算它们的乘积并画出对应的点，从而观察ab的取值范围的具体形态。
取a=1+i，b=2+i，计算ab=(1+i)(2+i)=1+3i，代表复平面上的一个点，我们可以将这一过程画出来，并观察ab的取值范围。
通过这种具体的例子分析，可以更加直观地理解ab的取值范围是以原点为中心的半平面。
通过欧拉公式和复数乘法的性质，我们证明了ab的取值范围是以原点为中心的半平面，并且通过具体的几何图形分析拓广了问题的解答。
这一问题的解答和拓广不仅帮助我们更好地理解复数乘法的性质，也有助于我们对复平面的具体图形形态有更深入的认识，有利于我们在进一步学习和研究复数及其性质时有更清晰的认识和理解。
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难点突破：探索活动从学生熟悉的
简单情形出发，创设 情境问题，搭 建探究平台。从特殊到一般，逐步深 入不断经历猜想证明和拓广。
教具：多媒体课件，学案 教法：情景教学，启发诱导 学法：自主探索，合作交流
3
大家来看这幅美丽的正方形图片：北 京奥运会的场馆鸟巢，只是有些小。如果 老师想把它的周长和面积同时扩大为原来 的2倍，使它成为一个新的图片，能实现 吗？先猜想结论，并尝试试用数学的方法， 科学的解释你的结论．
矩形成立，菱形呢？梯形 0这10个自然数中， 每次取两个数，使得所取两数 之和大于10，共有多少取法？
猜想：
证明： 拓广：
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通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.知识和技能方面.
2. 过程和方法:猜想、证明、拓广； 自主探索，相互交流；感受由特 殊到一般，由简单到复杂的解决 问题的策略方法；数形结合的思 想方法；体会证明的必要性。
3.情感和价值观：成功的喜悦， 相互交流，克服困难
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布置作业: 写篇小论文，把课题 学习探索的过程和探 索得到的结果及你的 感受体验整理成数学 小论文
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欢迎提出宝贵意见
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9
对于长和宽分别为2和1的 矩形，能够找出另一个矩 形，它的周长和面积是原 矩形周长和面积的2倍
10
议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,
是否还有相同的结论?已知矩形的长和 宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？分组讨论
解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长 和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6, 设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6, 即x2-8x+6=0.解得: x1 4 10 , x2 4 10 经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为 4 10 , 宽为 4 10 .
3.情感、态度与价值观.
积极参与数学活动，在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力. 获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心。
教学重点难点
1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的过程体验，体现归纳、 综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法. 2.难点:处理问题的策略和方法.从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、 2 不等式等知识发现一般性的结论，寻求一般性的解决方法
5
4 a,
正方形不成立，那么 其他图形是否成立呢？其 他的的正多边形呢？
其他的四边形呢？你能 提出什么猜想？说说看
6
(2) 任意给定一个矩形,是否存 在另一个矩形,它的周长和面积 分别是已知矩形周长和面积的 2倍?
矩形的形状太多了,我们可以先 研究一个具体的矩形.
7
如果已知矩形的长和宽分别为 2和1,结论会怎样呢?你是怎么 做的?和同伴交流.
4
合作交流，解读探究 问题1： 任意给定一个正方形，是否存在另 一个正方形，它的周长和面积分别是已知正 方形的周长和面积的2倍？
解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a, 面积为a2 ；若面积变为2a2,则其边长应为
2a,
此时周长应为 它不是已知给定的正方形的 周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不 存在这样的正方形.
九 年 级 数 学 上 册
河南省太康县朱口一中
徐蕴伟
1
教学目标：
1.知识与技能
(1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验. （2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整 体性认识.
2.过程与方法
自主探索，相互交流；在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的数学思想方法， 体会证明的必要性.
2 2 2 2
经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为
m n m n , 宽为 m n m n .
2 2
2
2
12
结论: 任意给定一个矩 形,一定存在另一个矩 形,它的周长和面积分 别是已知矩形周长和面 积的2倍.
13
你还能提出什么猜想？
2倍成立，那么3倍呢？4倍 呢？……w倍呢？
11
思考与 拓广 ：当已知矩形的长和宽分别为
n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周 长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和 面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽 为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn. 整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0 解得: x1 m n m n , x2 m n m n .
长 原 2 矩 形 新 x 矩 形 宽 1 周长 面积 6 2
y
12
4
8
总结如下:有三种思路
(1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程 x(6-x)=6是否有解的问题. (2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为 方程x+4/x=6是否有解的问题. (3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为 2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所 求矩形的周长和面积应分别为12和4,设 其长和宽分别为x和y,则得方程 x y 6 组 xy 4 , 然后讨论它的解是否存在并 符合题意.