北师大版课题学习猜想证明拓广PPT课件

解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a, 面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为 2 a ,
此时周长应为 4 a , 它不是已知给定的正方形的
周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不 存在这样的正方形. (2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的 周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
3.情感、态度与价值观.
在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.
教学重点难点
1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体 验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
2.难点:处理问题的策略和方法.
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合作交流，解读探究
问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另 一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形 周长和面积的2倍？
整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0
解得: x 1 m n m 2 n 2 ,x 2 m n m 2 n 2.
经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为
mn m2n2, 宽为 mn m2n2.
结论: 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的
周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
关键是探索归纳,猜想.
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2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和 BC相交于点E,EF⊥BD于点F.
求证: 1 1 1
AB CD EF
(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与 BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成 立吗?如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.
(3)猜想SΔABD、SΔBED和SΔBDC有什么关系?并证明你
的猜想. A
A
E
C
C E
B
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FD
B
图1
F
D
图2
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超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三
边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC的高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结 论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列 问题：
仍然成立.
证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、
Q、K.由题意得:h1+h2=AK
A
∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC,
∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900 ∴四边形KMFP是矩形
D
PE
NK
Q
∴KM=PF=h3 ∵AK=AM-KM
AB
MF C （2）
∴h1+h2=h-h3 即h1+h2+h3=h
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挑战自我
1.观察下列各式:
2 2 3
3 3 8
8 2 2, 33
27 3 3 ,
8
8
4 4 64 4 4 ,
15 15
15
•••
你能得到怎样的结论?并证明你的结论.
解:所得结: 论为
n n n3 n n (n1的整) 数 n21 n21 n21
解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题
(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么 其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积 应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程
组
x y 6
xy
4
,
然后讨论它的解是否符合题意.
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议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还
有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和 1,……n和1呢？
更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时， 是否仍然有相同的结论？
解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长 和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6, 设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6,
即x2-8x+6=0.解得: x141,0 x2410
经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为 4 10,
2
2
2
2
P
E
1 2a1h1 2a2h1 2a3h1 2ah A
B
MF C
（2）
即 :h1h2h3h
对于图3,又有怎样的关系? D
又如何证明?
B
F
E
M
C
（3） P
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通过本节课的学习,你有哪些收获?
1.本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间 的内在联系.
2.本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受 由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的 必要性.
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教学目标：
1.知识与技能
(1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得 探索和发现的体验.
在联系， 形成对数学的整体性认识.
2.过程与方法
在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必 要性.
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),
这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予
证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写
出你的猜想,并证明你的猜想.
A
A
A
D E
B
MP
C
2020/12/9 （1）
D
PE
D
F
E
B
MF （2）
C
B
M （3） P
C
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解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”
宽为 4 10.
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练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否 仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周 长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和 面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽 为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.
D
F
E
B
M
C
图3又有怎样的关系呢? （3） P
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总结反思，拓展升华
思考：对于图1，为什么会成立？对于图2呢？ 对于图2,证明如下:
证明:设等边ΔABC的边长为a.连结PA、PB、PC，
A
∵SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC=SΔABC
1 A P B D 1 A P C E 1 B P C F 1 B C ADM
矩形的形状太多了,我们可以先
2020/12/9 研究一个具体的矩形.
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如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会 怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.
总结如下:有三种思路可以选择:
(1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6x)=6是否有解的问题.
(2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程 x+4/x=6是否有解的问题.