重庆理工大学高等数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，共计15分）

1．=-+→113lim )0,0(),(xy xy y x （ ）

A 、3

B 、6

C 、∞

D 、不存在

2．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222

2y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处（ B ）

A 、连续但不存在偏导数

B 、存在偏导数但不连续

C 、既不连续又不存在偏导数

D 、既连续又存在偏导数

3．D 为圆122≤+y x ，则dxdy y x D

⎰⎰--221=（ D ）

A 、 π

B 、

3π C 、32π D 、2

π 4．下面四个函数中，函数（ D ）在点（0，0）处不取得极值但点（0，0）是它的驻点。 A 、xy y x f =),( B 、22),(y x y x f += C 、)(),(22y x y x f +-= D 、22),(y x y x f +=

5．设平面闭区域D ={}222),(R y x y x ≤+，1D ={}0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ，则下列等式中正确的是（ D ）

A 、σσd x xd D D ⎰⎰⎰⎰=1

4 B 、σσd y yd D D ⎰⎰⎰⎰=14 C 、σσd xy xyd D D ⎰⎰⎰⎰=14 D 、σσd x d x D D ⎰⎰⎰⎰=1

224

二、填空题（每小题3分，共计24分）

1．微分方程1sin cos =+'x y x y 的通解为 ；

2．函数x y z arctan =，则x

z ∂∂= ； 3．若曲线L 是圆周122=+y x ，则曲线积分⎰L

ds = 2pai ； 4．曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面方程为 2x+y-3=0 ；

5．准线C 为⎩⎨⎧=--=++0

12222222z y x z y x ，母线平行于Z 轴的柱面方程为 ； 6．计算⎰⎰-2202

x y dy e dx = ； 7．如曲线积分dy y y x dx xy x L

)56()4(4214-++-⎰λλ与路径无关，则λ= 3 ； 8．幂级数∑∞

=⋅13n n n

n x 的收敛半径是R= 3 。

三、解答题（每小题7分，共计56分）

1、设一平面经过点P （2，-1，-1）及点Q （1，2，3）且与平面06532=+-+z y x 垂直，求此平面方程。

2、设x

y e z =，求y

x z ∂∂∂2。 3、设),(22xy e y x f z -=，其中f 可微，求x z ∂∂，y z ∂∂。

4、设),(y x f z =是由方程0=+----x y z xe x y z 确定的隐函数，求dz 。

5、求⎰⎰D dxdy y

x 22 ，其中D 是由x y =，2=y 及双曲线1=xy 围成的平面区域。 6、计算三重积分dv z ⎰⎰⎰Ω

，其中Ω由曲面22y x z +=和平面4=z 所围成。

7、计算dy x x dx y xy L

)4()22(2-+-⎰，其中L 为圆周922=+y x 的正向边界。 8、求微分方程x e y y y =+'-''23的通解。 四、判定级数∑∞=+1)

1(cos n n n n α是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（5分）