重庆理工大学高等数学下试卷一答案已附后

高等数学下模拟试卷一

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 微分方程

x y dy

e dx

+=的通解是（ ） A 、y x e e C -+= B 、y x e e C -+= C 、y x e e C --= D 、

y x e e C --=

2. 函数2

u xy z =在点(1,1,2)处沿l =r

（ A ）的方向导数最大

A. (2,4,1)

B. (4,2,1)

C. (2,4,1)-

D. (2,4,1)-

3. z

x y z e ++=，则

z z

x y

∂∂-=∂∂（ C ） A. 2 B. 1- C. 0 D. 2

4. 原点到平面326140x y z -++=的距离d

= ( D )

A. 14

C. 7

D. 2

5. 曲线21

2x y z y ⎧-+=⎨=⎩

在xoz 面上的投影曲线为( A )

A. 直线

B. 抛物线

C. 圆

D. 点

6. 若级数

1

n n u ∞

=∑收敛(0,1,2,)n u n ≠=L ，则级数11

n n

u ∞

=∑

（ B ） A 、收敛 B 、发散 C 、收敛且

11

11

n n

n

n u u

∞

∞

===∑∑ D 、可能收敛可能发散

7. L 是抛物线2

y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分

L xdy ⎰为（ C ）

A 、1/2

B 、3/2

C 、2/3

D 、1

8. D 为环形域：()()2

2222221214,,,D

D

x y I x y d I x y d σσ≤

+≤=+=+⎰⎰⎰⎰，则（ D ）

A ．11/2I <

B ．21I <

C ．12I I > D. 12I I <

9. 设∑是平面4x y z ++=被柱面221x y +=截出的有限部分，则yds ∑

=⎰⎰（ B ）

A 、π

B 、0 C

、

10. 设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[],ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 展开成傅里

叶级数，其系数n b =（ D ）

A 、4n π

B 、2n π

C 、20

4

n n n π

⎧⎪⎨-⎪⎩为偶数为奇数

D 、0

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11. 函数2

x z y

=当2,1x y ==时的全微分dz =_______. 12. 极限(,)(2,0)sin()

lim

x y xy y

→＝ .

13. ),(2

2

xy y x f z -=，则

x

z

∂∂＝______. 14. 设2

sin z y x =，则

2z x y

∂∂∂＝______.

15．交换积分次序

13

03(,)y

dy f x y dx =⎰⎰

__________

16. 设345a i j k →

→

→

→

=-+，22b i j k →

→

→

→

=--+，则a →与b →

之间的夹角为____

17.

(2,3)

22 (1,1)

xy dx x ydy +⎰

＝__________. 18. 函数

1

()4f x x

=

-展开成x 的幂级数为()f x =__________ 19．幂级数

113

n

n

n x n ∞

=⋅∑的收敛半径是_______. 20．若过曲面2

2

4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，

则点P 的坐标为_________

三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。

21．过点(2,1,1)A -作平面2390x y z ++-=的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。. 22. 求函数z y x u 22--=在条件1222=++z y x 下可能的极值点。 23．计算

(24)(536)L

x y dx y x dy -+++-⎰Ñ，其中L 为圆周122

=+y x

，取逆时针方向。

24. 求

()()(),x y dydz y z dzdx x y z dxdy ∑

++-+++⎰⎰Ò其中∑是介于0,1z z ==之间的圆柱

体229x y +≤的整个表面的外侧。.

25.

求

Ω

，其中Ω是由1=z 和22y x z +=围成的区域。

26. 求微分方程234y y y x '''+-=的通解。

四、应用题（本题6分）

27. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，它的面密度xy μ=，求

该薄片的质量。

五、证明题（6分）

28. 用级数收敛的必要条件证明：40!lim n

n n →∞

= 参考答案与评分标准

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

A A C D A,

B

C

D B D

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11. 44dx dy - 12. 2 13. 122xf yf ''+ 14. 2cos y x 15.

330

(,)x

dx f x y dy ⎰

⎰

16. 4π 17. 35

2 18. 1

0(44)4

n n n x x ∞

+=-<<∑ 19. 3

20. (1,1,2)

三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 21. 解：直线方程为

211

213

x y z --+==

（4分） 即参数方程为22113x t

y t z t

=+⎧⎪

=+⎨⎪=-+⎩

代入平面方程得：12t = （6分）

故垂足为31

(3,

,)22

（8分） 22.解：拉格朗日函数为2

2

2

22(1)L x y z x y z λ=--+++- （3分）

122222x y z L x

L y L z

λλλ=+=-+=-+ （5分）