重庆理工大学2014-2015高数期末考试A卷
理论力学-A-郭长文
C 的横坐标 xC 0 。此时若将绳剪断，则杆 AB 刚达到地面时 C 点的横坐标 xA 为（
）。
A. xC 0 ； B. xC 0 ； C. xC 0 ；D.无法确定。
题1图
题2图
题3图
3.如图所示，均质滚子的半径为 R，滚子轴的半径为 r。今在轴上缠有细绳，在绳端作用一个与水平线成 角的常力 P，
二、单项选择题（每题 3 分，共计 9 分）
得分
评卷人
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
1.如图所示，沿等边三角板 ABC 三边分别作用大小相等的三个力 F1、F2、F3。下列结论正确的是（
）。
A. 板保持静止；
B. 板将发生转动和移动；
C. 板只产生移动；
D. 板只产生转动。
2. 长为 l 的均质杆 AB，A 端置于光滑水平面上，B 端用绳悬挂，杆 AB 与地面成 60°夹角。在如图所示坐标系下，杆质心
得分
评卷人
1.质量为 m，长为 2l 的均质杆 OA，绕定轴 O 转动的角速度为 ，角加速度为 。将惯性力系向转轴 O 简化的主矢和主矩
分别大小为
和
。方向画在图上。
题1图
题2图
2. 刻有直槽 OB 的正方形板 OABC 在图示平面内绕 O 轴转动，点 M 以 r OM 5t2 （r 以厘米计）的规律在槽内运动，
学生答题不得超过此线
五、计算题（15 分）
得分
评卷人
如图所示，长度为 l 的细杆 OA可绕轴 O 转动，其端点 A 始终紧靠在物块 B 的侧面上。若 B 以匀速 v0 向右运动，试求当 30 时杆 OA的角速度。
六、计算题（15 分）
重庆市部分区县2014-2015学年高一下学期期末联考数学试题word版 含答案
2014-2015学年度下期期末联考（本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟）1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑。
若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，.等比数列{}n a 中，44=a ，则35a a = A.20B. 16C.15D.10如果,,a b R ∈且a b >，那么下列不等式中不一定．．．成立的是 A ．a b -<- B. 12a b ->- C. ab a >2D. a b b a ->-在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =.则b = A.6下列事件是随机事件的是1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上. （2）异性电荷相互吸引 3）在标准大气压下，水在1℃时结冰 （4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 A.（1）（2） B. （2）（3） C.（3）（4） D. （1）（4） ABC ∆中，2,3,60,b c A ===︒则a =36. 变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,02x y x y x ，目标函数y x z +=2，则z 的最小值是A ．21-B ．0C ．1D ．1-7.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = A ．4- B. 6- C.8- D.10-8．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是 A ．?7>k B ．?6>k C ．?5>kD ．?4>k9.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示（如下图),21,s s 分别表示甲、乙选手的标准差，则1s 与2s 的关系是 A. 21s s < B . 21s s = C. 21s s > D. 不能确定10.在数列{}n a 中,4,3211-==+n n a a a ,则数列{}n a 的前n 项和n s 的最大值是 A. 136 B. 140 C. 144 D. 148 11. 下列说法正确的是 A.函数x x y 2+=的最小值为 B.函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y的最小值为 C.函数xx y 2+=的最小值为函数x x y lg 2lg +=的最小值为12.在钝角三角形ABC 中，若45B =°，a =c 的取值范围是A.(B.()()0,12,+∞ C.()1,2 D.),2()1,0(+∞二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置上．13. 不等式()()120x x -+<的解集是 .14.程序：M=1 M=M+1 M=M+2 PRINT M END M 的最后输出值为甲 乙8 7 6 75 4 1 8 0 2 9 4 315. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8.若用分层抽样从中抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．16. 函数)0,1(1)3(log >≠-+=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中0,0>>n m ,则nm 21+的最小值为 . 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，11760,12.a a =-=- (Ⅰ)求通项n a ；(Ⅱ)求此数列前30项的绝对值的和．18.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边长分别是,,,a b c 且3cos , 2.5B b == (Ⅰ)当︒=30A 时，求a 的值；(Ⅱ)当ABC ∆的面积为3时，求c a +的值.19. (本小题满分12分)某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：(Ⅰ)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图； (Ⅱ)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm ，试求这批球的直径误差不超过[39.97,39.99)0.03 mm的概率；(Ⅲ)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．20. (本小题满分12分)已知1)1()(2++-=x aa x x f . （Ⅰ）当21=a 时，解不等式()0f x ≥； （Ⅱ）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f .21. (本小题满分12分) 设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且c a C b 21cos -=． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．22. (本题满分10分)已知数列{}n a 和{}n b 中，数列{}n a 的前n 项和为,n s 若点),(n s n 在函数x x y 142+-=的图象上，点),(n b n 在函数x a y =的图象上．设数列{}=n c {}n n b a .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n c 的前n 项和n T ； （Ⅲ）求数列{}n c 的最大值.重庆市部分区县2014—2015学年度下期期末联考 高一数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）。
重庆市2015届高三上学期期末考试数学理试题 扫描版含答案
2014年秋高三(上)期末测试卷数学（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1～5 CAACA 6～10 ACDAB（10）提示：a c AF -=||，故以)2)(3,2(a c c a B -+为圆心、a c -为半径的圆B 恰好经过F A 、两点，且 圆B 上的点Q 即为使得30=∠AQF 的所有点，所以原题等价于直线c a x 2-=与圆B 存在公共点2173+，选B ． 二、填空题：本大题共6（11）23 （12）360 （14）3 （15）2-（13）提示：由题知)(x f y =与y 显然，方程x f 2)(=2015,,3,2,1,0 =x ，共2016个．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分）解：命题p 成立2042>⇔<-⇔a a 或2-<a ，命题q 成立212⨯⇔a≥1a ⇔≥1 ……6分由“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，知：q p ,一真一假 ……9分故⎩⎨⎧<-<>122a a a 或或⎩⎨⎧-1 ≥2≤ ≤ 2a a 即2-<a 或1≤a ≤2. ……13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，听写正确130个字以上（含130个）的人数为：20400200025.0=⨯⨯人，这400人平均听写正确的字数为：1000245.08000925.0600015.04000125.0(⨯+⨯+⨯+⨯10020)1400025.0120011.0=⨯⨯+⨯+； ……6分（Ⅱ）设该同学每次听写正确的概率为p ，则91)1(2=-p 即32=p故X 的可能取值为：3,2,1,0，其分布列为数学期望为8121481192166)(=++=X E ． ……13分 （19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）2222225)(562cos 53c b a ab abc b a C -+=⇒-+==即42=c 2=∴c ； ……5分（Ⅱ） 206)(522=-+ab b a ≥ab ab 610- ab ∴≤5 当且仅当b a =时，ab 取最大值又C ab S sin 21= ∴当b a =时，S 最大，此时B A =，53cos 2cos -=-=∴C A 即53sin 212-=-A ，解得552sin =A ． ……13分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xb a ax x f +-='22)( 由题知1)1(=='b f ∴x x a x f ln )1()(2+-=， xax ax x a ax x f 122122)(2+-=+-='，)(x f 在),2[+∞上单减，)(x f '∴≤0在),2[+∞上恒成立即1222+-ax ax ≤0在),2[+∞上恒成立，a 2≤21)1(min 2-=--x x ，a ∴≤41-；……6分 （Ⅱ）令1ln )1(1)()(2+-+-=+-=x x x a x x f x g ，则)(x g ≤0在),1[+∞上恒成立， xx ax x a ax x g )1)(12(1122)(--=-+-=' 当a 2≤0即a ≤0时，)(x g '≤0，)(x g 在),1[+∞上单减，)(x g ∴≤0)1(=g ，符合题意；当a210<≤1时，)(x g '≥0，)(x g 在),1[+∞上单增，∴当1>x 时，0)1()(=>g x g ，矛盾； 当121>a 时，)(x g 在)21,1[a 上单减，),21(+∞a上单增，而0)11l n ()11(>+=+a a g ，矛盾； 综上，a ≤0．……12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知，22=a c 且1221=⋅⋅b c ，1,2===∴c b a ∴椭圆C 的方程为1222=+y x ；……4分 （Ⅱ）设),(00y x A ，则222020=+y x ， 直线)1(1:001++=x x y y AF 与椭圆C 的方程联立得：0434)23(0202020=--++x x x y x x ，此方程的两根即为B A 、两点的横坐标，则324300++-=x x x B 321100+=+--=∴x x x B λ 又直线)2(2:00--=x x y y AP 与椭圆C 的方程联立得：0868)46(0202020=+---x x x y x x ，此方程的两根即为M A 、两点的横坐标，则324300--=x x x M 同理可得，33243200+--⋅=x x μ 123213200+-+-=+∴x x μλ 又)2,2(0-∈x )322,322(320---∈-∴x ]10,6(∈+∴μλ．……12分（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由310331221=-+++n n n n a a a a 得， 310331212=-+--n n n n a a a a （n ≥2） 两式相减得，0)(10)(3112121=----+-+n n n n n a a a a a 又1+<n n a a n n n a a a 10)(311=+∴-+即)3(3311-+-=-n n n n a a a a （n ≥2） }3{1n n a a -∴+是等比数列；……4分法二：由题知31033222=-+a a 即)3127(813102-==a 于是3310031003323=-+a a 则)9181(819913-==a 猜想)313(8111-+-=n n n a （*N n ∈），下面用数学归纳法证明． 当1=n 时，)13(81121-==a ，命题成立； 假设当k n =时，)313(8111-+-=k k k a ， 则当1+=k n 时，有 3)313(810)313(643311121121=---++-+-++k k k k k k a a 即0)31823(641)313(8102222121=+-+---+++k k k k k k a a 解得)313(8121k k k a -=++或)313(812--k k 又1+<n n a a ∴)313(8121k k k a -=++ 即对任意*N n ∈有，)313(8111-+-=n n n a 1111313)313313(813+-+-++=+--=-∴n n n n n n n a a 故}3{1n n a a -+是等比数列； ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1133++=-n n n a a 即n n n a a 3311+=+ )83(3183121+++-=-n n n n a a 83)89(3831111--+-=-=-∴n n n n a a 即)313(8111-+-=n n n a 1131381-+-=∴n n n a1113133881----+⋅=∴n n n n a 故当n ≥2时，11313881--=⋅<n n n a 则 23)311(2331131131313111111221<-=--=++++<+++-n n n n a a a 而1=n 时，23111<=a 故对任意*N n ∈有2311121<+++n a a a ． ……8分 )12313(161]31131131)31(3[81122-+=-----=-+n n n n n S 故12313161222-+=-+n n n n S n 当n ≥2时， 1111>++n a a 而当1=n 时，11111a S == 当2=n 时，113123101442<=+=S 当n ≥3时，1)1(2212)21(23238161231338162222122<-++<+==⋅<-++⋅=-n n n n n n n n S n n n n n n n n 即对任意*N n ∈时，n S n 2≤n a a a 11121+++ ……12分 综上，原不等式得证．。
重庆理工大学2014高数C2A
班级学号姓名考试科目高等数学[经管2] A 卷闭卷共3 页································································································密························封························线··································································································学生答题不得超过此线班级学号姓名考试科目高等数学[经管2] A 卷闭卷共3 页································································································密························封························线··································································································学生答题不得超过此线重庆理工大学考试试卷2013 ～ 2014 学年第 二 学期班级 学号 姓名 考试科目 高等数学 [经管2] A 卷 闭卷 共 3 页 ································································································ 密························封························线··································································································学生答题不得超过此线 5、计算二重积分3(e )d d x Dy x y +⎰⎰，其中积分区域D 是由x y =和1x =所围成。
重庆理工大学高等数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共计15分）1．=-+→113lim )0,0(),(xy xy y x （ ）A 、3B 、6C 、∞D 、不存在2．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处（ B ）A 、连续但不存在偏导数B 、存在偏导数但不连续C 、既不连续又不存在偏导数D 、既连续又存在偏导数3．D 为圆122≤+y x ，则dxdy y x D⎰⎰--221=（ D ）A 、 πB 、3π C 、32π D 、2π 4．下面四个函数中，函数（ D ）在点（0，0）处不取得极值但点（0，0）是它的驻点。
A 、xy y x f =),( B 、22),(y x y x f += C 、)(),(22y x y x f +-= D 、22),(y x y x f +=5．设平面闭区域D ={}222),(R y x y x ≤+，1D ={}0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ，则下列等式中正确的是（ D ）A 、σσd x xd D D ⎰⎰⎰⎰=14 B 、σσd y yd D D ⎰⎰⎰⎰=14 C 、σσd xy xyd D D ⎰⎰⎰⎰=14 D 、σσd x d x D D ⎰⎰⎰⎰=1224二、填空题（每小题3分，共计24分）1．微分方程1sin cos =+'x y x y 的通解为 ；2．函数xy z arctan =，则x z ∂∂= ； 3．若曲线L 是圆周122=+y x ，则曲线积分⎰Lds = 2pai ； 4．曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面方程为 2x+y-3=0 ；5．准线C 为⎩⎨⎧=--=++012222222z y x z y x ，母线平行于Z 轴的柱面方程为 ； 6．计算⎰⎰-2202x y dy e dx = ； 7．如曲线积分dy y y x dx xy x L)56()4(4214-++-⎰λλ与路径无关，则λ= 3 ； 8．幂级数∑∞=⋅13n n nn x 的收敛半径是R= 3 。
重庆理工大学 高等数学部分答案
习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. ×二、 1. A 2. D3. B4. A三、1. 直线y x =2. [ -1，3 ）3. 1[,0]2- 4.奇 5. 2log 1x y x =- 6.3,,sin u y e u v v x === 四、1(2)3f x x +=+，221()1f x x=+， 11(())1211xf f x x x+==+++，11()()2f f x x =+习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 二、 1. B 2. B3. A4. C三、 （1）22110n n ε-=<取N =即可（3）sin 10n n nε-≤< 取1[]N ε=即可四、根据条件，0ε∀>，N ∃，当n N >时，有0n n x y M ε-≤即证。
习 题 三一、 1. × 2. × 3. × 二、 1. C2. D3. C4. C四、（1）证明：0ε∀>，要32832x x ε+-=-< 取3εδ=即可（2）0ε∀>，要242x x ε+-=-< 取δε=即可 （3）0ε∀>，要213211x x x ε---=<++ 只要31x ε>+即可五、 1)lim 1x x x-→=-，0lim 1x x x+→=limx x x→不存在2)1lim ()2x f x +→=，1lim ()2x f x -→= 1lim ()2x f x →=2lim ()5, lim ()0x x f x f x →→==习题四一、1. ∨2. ×3. ∨4. ∨5. ×6. ×7. × 8. ∨ 9. ×10. × 11. ∨ 12. ×二、 1. D 2. C 3. B 4. D5. D三、 (1) 2131lim11x x x →-+=-+(2) 2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 202lim2h hx h I x h→+== (4) 23I =(5) 0I =(6) 422lim13x x I x →-==-(7) 11133lim 1213n n I +→∞-==-(8) 111lim (1)2212n n →∞-=+(9) 23211132limlim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ (10) 15I =(11) I =+∞ (12) 0I =(13) 由于lim 1lim1x x ==-，故原极限不存在。
重庆市七校联考2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
2014—2015学年度第二学期期末七校联考高一数学试题（理科）命题学校：重庆市合川中学 命题人：丁德志审题人：朱光玖本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 满分 分，考试时间 分钟注意事项：．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上 ．答选择题时，必须使用 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑．答非选择题时，必须使用 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．考试结束后，将答题卷交回第Ⅰ卷（选择题，共 分）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
．若0a b <<，则（ ） ．22a ab b <<．ac bc < ．11a b > ．22a b c c> ．一个人打靶时连续射击三次，与事件 至多有两次中靶 互斥的事件是（ ） ．至少有两次中靶 ．三次都中靶 ．只有一次中靶 ．三次都不中靶 ．不等式422x x >--的解集是（ ） ．(,0)(2,4)-∞ ．[0,2)[4,)+∞．[2,4) ．(,2](4,)-∞-+∞．如图，执行其程序框图，则输出 的值等于（ ） ． ． ．．第．在某样本的频率分布直方图中，共有 个小长方形，若第三个 小长方形的面积为其他 个小长方形的面积和的14，且样本容 量为 ，则第三组数据的频数为（ ） ．．．．．某中学从文、理科实验班中各选 名同学去参加复旦大学自主招生考试，其数学成绩茎叶图如图，其中文科生的成绩的 众数为 ，理科生成绩平均数为 ，则 的值为（ ） ． ． ． ．．由 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的三位偶数有（ ） ． 个 ． 个． 个． 个．现有 、 、 、 四种玉米种子，其亩产量和方差如下表所示从其中选择一种种子进行量产，最好选择（ ）． 种子 ． 种子． 种子． 种子．在 中，角 、 、 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin cos a b B B ==+=，则角 的大小为（ ）． ． ． ．．连续抛掷两次骰子，所得的点数之和能被 整除的概率为（ ） ．16 ．13．1136 ．56．对于实数x 和y ，定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若对任意2x >，不等式()2x m x m -⊗≤+都成立，则实数 的取值范围是（ ） ．[1,7]- ．(,3]-∞ ．(,7]-∞．(,1][7,)-∞-+∞．设数列{}n a 满足10a =，且1121,n n n n a a a b ++=+=，记12n n S b b b =+++，则100S =（ ）．1-91099100110-二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分，把答案填在题中横线上。
重庆理工大学2015年 高等代数A
-2-
重庆理工大学考试试卷
2014 ～ 2015 学年第 1 学期
班级 学号 姓名 考试科目 高等代数[I] A 卷 闭卷 共 4 页 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
b1
bn O ，
（1）证明 A 的秩 R( A) 1 ；
（2）证明存在常数 k 使 A2 kA ，并求常数 k
-4-
3 1 4 2 2 2 3. 设 D 0 7 1 5 3 2
0 2 ，则 A41 A42 A43 A44 ___________ ； 3 2
4. 设 A 为 3 阶方阵且 | A | 3 ，则 | 3 A1 2 A* | ___________；
A O 1 5. 给定分块矩阵 C ，其中 A 为 m 阶可逆方阵， B 为 n 阶可逆方阵，则 C ___________ O 2 B
6.已知线性方程组 Amn x b 有唯一解，则 m _________ n 。
；
二、(8 分)
得分 评卷人
设 m ， n 是一个整数，令 nZ nz z Z ， mZ nZ mx ny x, y Z ， 证明： （1） mZ nZ 是一个数环； （2） mZ nZ =dZ ， d 是 m 与 n 的最大公因数。
重庆理工大学2015年 解析几何A
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重庆理工大学考试试卷
2014～ 2015 学年第 1 学期
班级 学号 姓名 考试科目 解析几何 I A 卷 闭 卷 共 4 页 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
5．经过计算不变量，二次曲面 4 x 2 2 y 2 3z 2 4 xz 4 yz 6 x 4 y 8 z 2 0 是第 I-V 类曲面中的第
类曲面
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重庆理工大学考试试卷
2014～ 2015 学年第 1 学期
班级 学号 姓名 考试科目 解析几何 I A 卷 闭 卷 共 4 页 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
得分
评卷人
五、求解曲面问题 (共 33)
x 2 y 2 ( z 5) 2 9 1．求以原点为顶点，圆 为准线的锥面方程。 （10 分） z 4
2014年高考理科数学重庆卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(理工农医类)数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复平面内表示复数i(12i)-的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )A .1a ,3a ,9a 成等比数列B .2a ,3a ,6a 成等比数列C .2a ,4a ,8a 成等比数列D .3a ,6a ,9a 成等比数列3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是( )A .0.4 2.3y x =+B .2 2.4y x =-C .29.5y x =-+D .0.3 4.4y x =-+4.已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k =( )A .92-B .0C .3D .1525.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为6,则判断框 内可填入的条件是( )A .12s ＞B .35s ＞C .710s ＞D .45s ＞6.已知命题p ：对任意x ∈R ,总有20x ＞；q ：“1x ＞”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题 为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧⌝ C .p q ⌝∧D .p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .54B .60C .66D .728.设1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得12||+||3PF PF b =,129||||4PF PF ab =,则该双曲线的离心率为 ( )A .43B .53C .94D .3 9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A .72B .120C .144D .16810.已知ABC △的内角A ,B ,C 满足1sin2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是 ( )A .()8bcb c +＞B.()ab a b +＞姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .612abc ≤≤D .1224abc ≤≤二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设全集={|110}U n n ∈N ≤≤,{1,2,3,5,8}A =,{1,3,5,7,9}B =,则)U A B =(ð.12.函数22()log log (2)f x x x =的最小值为 .13.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ,B 两点,且ABC △为等边三角形,则实数a = .考生注意：14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点),再作割线PBC 依次交圆于B ,C .若6PA =,8AC =,9BC =,则AB = .15.已知直线l 的参数方程为2,()3,x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02π)ρθθρθ-=≥≤≤,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= .16.若不等式21|21||2|22x x a a -++++≥对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）已知函数ππ())(0,)22f x x ωϕωϕ+＞-≤＜的图象关于直线π3x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若π2π()()263a f α＜＜,求3πcos(+)2α的值.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数a ,b ,c 满足a b c ≤≤,则称b 为这三个数的中位数）19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,2AB =,π3BAD ∠=,M 为BC 上一点,且12BM =,MP AP ⊥. （Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A PM C --的正弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问3分,（Ⅲ）小问5分）已知函数22()e e (,,)x xf x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数,且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.（Ⅰ）确定a ,b 的值；（Ⅱ）若3c =,判断()f x 的单调性； （Ⅲ）若()f x 有极值,求c 的取值范围.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,121||||F F DF =,12DF F △. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）设11a =,*1()n a b n ++∈N .（Ⅰ）若1b =,求2a ,3a 及数列{}n a 的通项公式；数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）（Ⅱ）若1b =-,问：是否存在实数c 使得221n n a c a +＜＜对所有*n ∈N 成立？证明你的结论.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2014年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】i(12i)2i -=+，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选：A. 【提示】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数z 化为i()a b a b =∈R ，的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案. 【考点】复数的基本运算，复数在复平面中的表示 2.【答案】D【解析】因为在等比数列中23n n n a a a ，，，也成等比数列，所以369a a a ，，成等比数列，故选：D.【提示】运用等比数列的等比中项性质即可达到答案. 【考点】等比数列的性质 3.【答案】A【解析】因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将3x =， 3.5y =分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选：A. 【提示】通过x 与y 的关系先排除B 、D ，然后采用代入法得到答案. 【考点】线性回归方程的概念 4.【答案】C 【解析】232(,3)3(1a b k k -=-=--(，，又(23)a b c-⊥，(23)2(6)0k ∴-⨯+-=，解得3k =.故选：C.【提示】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k 的方程，解方程即可. 【考点】向量的运算及关系 5.【答案】C【解析】由程序框图知：程序运行的981091kSk =⨯⨯⨯-，输出的6k =，9877109810S ∴=⨯⨯=， ∴判断框的条件是710S >，故选：C.【提示】程序运行的981091kS k =⨯⨯⨯-，根据输出k 的值，确定S 的值，从而可得判断框的条件.【考点】程序框图，判断语句，循环语句 6.【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以p q ∧⌝为真命题.故选：D. 【提示】判定命题p ，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论. 【考点】命题的真假判断，命题连接词 7.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为1352525S 344535602222⨯++=⨯⨯++⨯+⨯+⨯=.故选：B.【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算. 【考点】三视图，几何体的面积计算8.【答案】B【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有122PF PF a -=，联立123PF PF b +=，平方相减得221294b a PF PF -=，则由题设条件，得2294944b a ab -=，整理得43b a =，所以53c e a ==.故选：B.【提示】可设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有122PF PF a -=，联立123PF PF b +=，运算后得到ba，即可得到答案.【考点】双曲线的简单性质数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）9.【答案】B【解析】分两步进行：（1）先将3个歌舞进行全排，其排法有33A 种；（2）将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有332A 种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有122222C A A 种.所以由计数原理可得节目的排法共有33122332222120()A A C A A +=（种）.故选：B.【提示】根据题意，分两步进行分析：（1）先将三个歌舞类节目全排列，（2）因为三个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案. 【考点】排列组合问题 10.【答案】A【解析】因为πA B C ++=，所以πA C B +=-，π()C A B =-＋， 所以由已知等式可得1sin 2sin(π2)sin[π2()]2A B A B +-=-++，即1s i n 2s i n 2s i n 2()2A B A B +=++， 所以1sin[()()]sin[()()]sin 2()2A B A B A B A B A B +-++--=++＋，所以12 sin()cos()2sin()cos()2A B A B A B A B +-=+++，所以12sin()[cos()cos()]2A B A B A B +--+=，所以1sin sin sin 8A B C =.由12S ≤≤，2sin 2sin 2sin a R Ab R Bc R C ===，，，得11sin 22bc A ≤≤. 由正弦定理得2sin 2sin 2sin a R Ab R Bc R C ===，，，所以21sin sin sin 2R A B C ≤≤， 所以2124R ≤≤，即22R ≤≤所以33()8sin sin sin 8bc b c abc R A B C R +>==≥.故选：A.【提示】运用三角形内角三角函数的变换与和差化积公式求得sin sin sin A B C ，再根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【考点】三角函数，三角函数和差化积公式，正弦定理 二、填空题 11.【答案】{7,9}【解析】由题知{4,6,7,9,10}U A =ð，(){7,9}U A B ∴=ð.故答案为：{7,9}.【提示】由条件利用补集的定义求得U A ð，再根据两个集合的交集的定义求得()U A B ð.【考点】集合的基本运算 12.【答案】14- 【解析】22221()log log (2)log 2log (2)2f x x x x ==222211log (1log )log24x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以当x 时，函数()f x 取得最小值14-.故答案为：14-.【提示】利用对数的运算性质可得2211()log 24f xx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即可求得()f x 最小值.【考点】对数函数，二次函数的性质13.【答案】4【解析】由题意可知圆的圆心为(1,)C a，半径2r =，则圆心C 到直线20ax y +-=的距离d==ABC △为等边三角形，2AB r ∴==.又||AB =，2∴，即2810a a -+=，解得=4a ±.故答案为：4±. 【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式即可得到答案.【考点】圆的方程，点到直线距离 14.【答案】4【解析】根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得2()PA PB PC PB PB BC ==+，即36(9)PB PB =+3PB ∴=，12PC ∴=.由弦切角定理知P A B P C A ∠=∠，又A P B C P A ∠=∠， PAB PCA ∴△∽△，AB PB CA PA ∴=，即3846PB CA AB PA ⨯===.故答案为：4.数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【提示】通过弦切角定理知PAB PCA ∠=∠，又AP B C P A ∠=∠，得到PAB PCA △∽△，AB PBCA PA=，由此求得AB. 【考点】切割线定理，弦切角定理，相似三角形 15.【解析】由题意得直线l 的普通方程为10x y -+=，曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，联立直线l 与曲线C 的方程，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=【提示】把直线l 的参数方程化为普通方程10x y -+=，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程24y x =，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.【考点】直线的参数方程 16.【答案】112a ≤≤- 【解析】令()|21||2|f x x x =-++，则①当2x <-时，()=212315f x x x x -+--=-->；②当122x ≤≤-时，()2123f x x x x =-+++=-+，故5()52f x ≤≤；③当12x >时，5()21231>2f x x x x =-++=+.综合①②③可知5()2f x ≥，要使不等式恒成立，则需215222a a ++≤，解得112a -≤≤.故答案为：112a -≤≤.【提示】利用绝对值的几何意义，确定|21||2|x x -++的最小值，然后让2122a a ++小于等于它的最小值即可求得答案. 【考点】绝对值不等式的解法 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）2ω=π6ϕ=-（Ⅱ）3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【解析】（Ⅰ）因()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，从而2π2Tω==. 又因()f x 的图像关于直线π3x =对称，所以ππ22π32k ϕ+=+，0,1,2,k =±±.因ππ22ϕ-≤<得0k =，所以π2ππ23ϕ=-=-. （Ⅱ）由（Ⅰ）得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1142=+=. 【提示】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π.求得2ω=.再根据图像关于直线π3x =对称，结合ππ22ϕ-≤<可得ϕ的值.（Ⅱ）根据π6α-的范围求得πc o s 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据3πππc o s s i n s i n 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角和的正弦公式计算求得结果. 【考点】三角函数的性质，三角恒等变换18.【答案】（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339584C C P C +==. （Ⅱ）X 的所有可能值为1，2，3，且2134543917(1),42C C C P X C +===1112133423633943(2)84C C C C C C P X C++===， 2127391(3)12C C P X C ===.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）从而47()12342841228E X =⨯+⨯+⨯=. 【提示】（Ⅰ）先算出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可.（Ⅱ）先根据题意求出随机变量X 的所有可能取值，按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现. 【考点】古典概型，排列组合和分布列 19.【答案】（Ⅰ）PO =【解析】（Ⅰ）如图，连结AC BD ，，因ABCD 为菱形，则ACBD O =，且AC BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因π3BAD ∠=，故πcos36OA AB ==πsin 16OB AB ==，所以()0,0,0O ，A ，(0,1,0)B ，(C ，(0,1,0)OB =，(1,0)BC =-.由122BM BC ==，知，11,044BM BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭， 从而3,044OM OB BM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，即3,0.44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,0,)P a ，0a >，则(,0,)A Pa =，33,4MP a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.因为MP AP ⊥，故0M P A P =即2304a -+=，所以a ，a =，即PO =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，33333,0,,,,,3,0,4AP MP CP ⎛⎫⎛⎫⎛=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 设平面APM 的法向量为()1111,,n x y z =，平面PMC 的法向量为()2222,,n x y z =由0n AP =，0n MP =得1111102304z x y ⎧+=⎪⎪-=故可取1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由20n MP =，20n CP =得222223040y-=⎨=，故可取2(1,2)n =-，从而法向量12,n n 的夹角的余弦值为12121215cos ,||||n n n n n n <>==-故所求二面角A PM C --的正弦值为5.【提示】（Ⅰ）连接AC ，BD ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系O xyz -，分别求出向量AP ，MP 的坐标，进而根据MP AP ⊥，得到0MP AP =，进而求出PO 的长.（Ⅱ）求出平面APM 和平面PMC 的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得二面角A PM C --的正弦值. 【考点】空间直角坐标系，二面角 20.【答案】（Ⅰ）1a =1b =（Ⅱ）()f x 在R 上为增函数 （Ⅲ）(4,)+∞【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得22()22x xf x ae be c-'=+-，由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=，即222()()0x xa b e e --+=.因220x x e e -+>，所以a b =，又(0)224f a b c c '=+-=-，故11a b ==，.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）（Ⅱ）当3c =时，22()3x x f x e e x-=--，那么22()223310x x f x e e -'=+-≥=>，故()f x 在R 上为增函数.（Ⅲ）由（Ⅰ）知22()22x x f x e e c -'=+-，而22224x x e e -+≥，当0x =时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意22()220x xx f x e e c -'∈=+->R ，，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意0x ≠，22()2240x xf x e e -'=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t +-=有两根，1,20t =>，即()0f x '=有两个根111ln 2x t =或221ln 2x t =.当12x x x <<时，()0f x '<；又当2x x >时，()0f x '>，从而()f x 在2x x =处取得极小值.综上，若()f x 有极值，则c 的取值范围为(4,)+∞. 【提示】（Ⅰ）根据函数22()(,,)xxf x ae becx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -，构造关于a ，b 的方程，可得a ，b 的值.（Ⅱ）将3c =代入，利用基本不等式可得()0f x '>恒成立，进而可得()f x 在定义域R 为均增函数.（Ⅲ）结合基本不等式，分4c <时、4c =、4c >时三种情况讨论()f x 极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案. 【考点】导函数，函数单调性，函数的极值21.【答案】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==，从而12211212222DF F S DF F F ∆===1c =.从而12DF =由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=，故2221a b a c =-=.因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=. （Ⅱ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212xy +=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212||PP x =，由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1111(1,)F P x y =+，2211(1,)F P x y =--，再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=，由椭圆方程得22111(1)2x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥，知21CP CP ⊥， 又12||||CP CP=，故圆C的半径1121CP ===.【提示】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c，依题意可求得1c =，易求得12DF ==，2DF =2a =，于是可求得椭圆的标准方程. （Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，1212||PP x =，由1122FP FP ⊥，得143x =-或10x =，分类讨论即可求得圆的半径. 22.【答案】（Ⅰ）解法一：因为11a =，1na b +，1b =，所以22a =，数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）31a =，再由题设条件知221(1)(1)1n n a a +-=-+，从而2{(1)}n a -是首项为0公差为1的等差数列，故2(1)1n a n -=-，即1n a ，*()n ∈N .解法二：因为11a =，1n a b +，1b =，所以22a =，31a =+，可写为11a =，21a =，31a =.因此猜想1n a =.数学归纳法证明：1n a =. 当1n =时结论显然成立. 假设n k=时结论成立，即1k a =.则1111k a +，这就是说，当1n k =+时结论成立.所以1n a =，*()n ∈N .（Ⅱ）解法一：设()1f x ，则1()n n a f a +=.令()c f c =，即11c ，解得14c =. 数学归纳法证明：2211n n a c a +<<<.当1n =时，2(1)0a f ==，3(0)1a f =所以23114a a <<<，结论成立.假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<，易知()f x 在(,1]-∞上为减函数，从而212()(a )(1)k c f c f f a +=>>=，即2221k ca a +>>>，再由()f x 在(,1]-∞上为减函数得2223()()()1k c f c f a f a a +=<<=<.故231k c a +<<， 因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立.综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x ，则1()n n a f a +=，先证：01n a ≤≤(*n ∈N ①，当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤，易知()f x 在(,1]-∞上为减函数，从而0(1)()(0)11k f f a f =≤≤<，即101k a +≤≤ 这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.再证：221n n a a +<()*n ∈N ②，当1n =时，2(1)0a f ==，3(0)1a f =，有23a a <，即当1n =时结论②成立.假设n k =时，结论成立，即221k k a a +<，由①及()f x 在(,1]-∞上为减函数，得21221()()k k k ka f a f a a +++=>=，()21222(1)121()()k k k k a f a f a a +++++=<=，这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n ∈N 成立.由②得21k a <，即22222(1)22k k k a a a +<-+，因此214k a <③， 又由①、②及()f x 在(,1]-∞上为减函数得221()()n n f a f a +>，即2122n n a a ++>，所以211,n a +解得2114n a +>④. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n ∈N 成立. 【提示】（Ⅰ）解法一：若1b =，利用1n a b +=，可求2a ，3a ；证明2{(1)}n a -是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{}n a 的通项公式；解法二：若1b =，利用1n a b +，可求2a ，3a ；通过观察2a ，3a ，猜想1n a =通过数学归纳法证明.（Ⅱ）解法一：设()1f x ，则1()n n a f a +=，令()c f c =，即11c ，解得14c =.用数学归纳法证明2211n n a c a +<<<即可.解法二：设()1f x -，则1()n n a f a +=，用数学归纳法先证：01n a ≤≤()*n ∈N ①，再证：221nn aa +<()*n ∈N ②，依题意可解得214k a <③2114n a +>④，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n ∈N 成立. 【考点】等差数列，数学归纳法，函数的性质。
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2013~2014学年第一学期
年级学号姓名考试科目高等数学[(1)经管]A卷共3页
··································································密························封························线········································································
8、设函数 ，则高阶导数 =
A．12!B．11!C．10!D．0
9、设极限 ，则常数
A. B. C. D.2
10、设函数 连续， ,则 =
A. B． C． D．
重庆理工大学考试试卷
2012~2013学年第一学期
年级学号姓名考试科目高等数学[(1)经管]A卷共3页
·····································································密························封························线·····································································
8、设函数 在( )上连续，且对任意的x，有 ，则 ________。
得分
评卷人
三、计算题（共9小题，每小题6分，共54分）
1、求极限：
2、求极限：
3、设函数 ，求
4、求曲线 的凹凸区间及拐点
5、求函数 的单调区间
6、计算定积分
重庆理工大学考试试卷
2012~2013学年第一学期
年级学号姓名考试科目高等数学[(1)经管]A卷共3页
学生答题不得超过此线
题号
一
二
三
四
总分
总分人
分数
得分
一、单项选择题（请将答案填入下表）（共10小题，每小题2分，共20分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评卷人
答案
1、设函数 ,则
A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为非奇非偶函数D. 的奇偶性与参数a有关
2、设函数 ，则
A. B． C. D．
3、极限 =
A．0B． C． D．
学生答题不得超过此线
7、求定积分
8、设函数 可导，且 ， ，求 .
9、设函数 ，计算定积分
得分
四、证明题（共2小题，每小题5分，共10分）
评卷人
1、证明：当 时，
2、已知 在 上连续，且 ，证明：
·····································································密························封························线·····································································
学生答题不得超过此线
得分
评卷人
二、填空题（共8空，每空2分，共16分）
1、函数 的定义域是___________。2、极限 __________。
3、设函数 , 在 处连续，则 。4、若 ，则 。
5、函数 在区间［-1,1］上的最小值为。
6、某产品产量为 时总成本 ，则 时的边际成本为。
7、设函数 ，则微分 。
4、若 时函数 为 的高阶无穷小量，则 =
A．0B． C．1D．∞
5、方程 在下列区间（）内有根
A. [-4,-1]B.[-2,0]C. [0,2]D.[1,5]
6、设函数 满足 ，则 =
A.0B.1C.2D.不存在
7、设函数 在区间[a,b]上可导，且 ， ,则在[a,b]上
A.恒大于零B.恒小于零C.恒等于零D.有正有负