高中数学构造函数专题(20210207213252)
例1：例2：例3：例4：
例5：例6：例7：例8：
例9：例10：
例12：例13：
例11：例19：
例14：例15：
例16：例17：例18：
例20：例21：
高中数学构造函数解决导数问题专题复习
高中数学构造函数解决导数问题专题复习 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值； 【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围. ()()()h x f x g x =-2 1()ln 2 f x ax x x = -+,0a R a ∈≠2a =()y f x =(1,(1))f [)1,+∞()f x y ax =a ()ln ,()(0)a f x x g x a x ==- >1a =()y f x =00(,())M x f x ()y g x =00(,())P x g x 0x (0,]x e ?∈3 ()()2 f x g x ≥+a
【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线. (Ⅰ)若曲线C 在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方； ()ln a f x x x =-a ∈R 2a =()f x (1,(1))f (1,)x ∈+∞()2f x x >-+a ()=ln +1,f x x ax a R -∈=()y f x (1,(1))P f l =()(1)y f x x ≠l =()y f x :e ax C y =(0,1)2y x m =+a m a C l y ax b =+b ()2 1ln 2 f x x x = +()1,+∞()f x ()3 23 g x x = 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
高中数学构造函数专题.docx
I1例］ 定义在］R上的函数/(?T)满足：/(x) + f\x)> 1, /(()) =4,则不等式e x f(x) >e x + 3 (其中e为 自然对数的底数)的解集为()。 A： (O.+oo) B： (—00,0) U (3, +oo) C： (-00, 0) U ((), +8) D： (3,+oc) (单选)定义在(O.+x)上的函数/仗)满足： /(x) > xf(x)9且/(2) = 4,则不等式f(x) - 2x > 0 的解集为()。 A. (2,4-oc) B. (0.2) C. (0.4) D. (4. -Foo) (单选)已知定义在R上的可导函数"==/(“)的导函数为fk),满足/(") 2的解集为()。 e4* A. (―x.()) B. (0.+oc) C. (一oo?2) D. (2,+oc) (单选)定义域为R的可导函数"二几门的导函数为d 满足/(」
?)>/‘(?“，且/(0)=1,则不等式凹V 1的解集为()。 A.(—oo.()) B.(0, +x) C.(—oo.2) D.(2. +oc) (单选)函数/何的定义域为R, /(-1) = 2,对任意T€R,f(x) > 2,则f(x) > 2x + 4 的解集为()o A. (― 1. +oo) B. (-oo.-l) C. (2?+x) D. (—oo. 一2) 函数/(x)的定义域为R, /(-1) = 2015，对任意的 XER .都有f\x) < 3z2成立，则不等式 /(.r) < r34-2016 的解集为() A. (―l.+oc) B. (-1,0) C?(-oc. -1) D. (-oo.-Foo) F 例7 (单选)函数/⑴的定义域是R, /(0) = 2,对任意
高中数学解题方法与技巧---构造函数法证明导数不等式的六种方法
高中数学解题方法与技巧 构造函数法证明不等式的六种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的六种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f ?+=)1ln()(，求证：当1?>x 时，恒有 x x x ≤+≤+?)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(?++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+?=?+=′x x x x f ∴当01<′x f ，即)(x f 在)0,1(?∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(?，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞?上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1?>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤?+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(?+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+?+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′?∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(?∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞?上的最小值为0)0()(min ==g x g ，
构造函数解题的三个类型
构造函数解题的三个类型 构造函数解题是近几年高考命题的热点，笔者研究近年的高考题，发现构造函数解题主要有以下三种类型，下面举例说明． 类型1．整体构造一个函数，这是最常见的构造方法，高考题中利用这个方法的题型最为多见． 例1 解不等式：3381050(1)1 x x x x +-->++． 解：原不等式即3322()5()511 x x x x +>+++， 令3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>， ∴3()5f x x x =+在R 上是增函数， ∴原不等式即21 x x >+， ∴解得 2x <-，或11x -<<， ∴原不等式的解集为{|2x x <-，或11}x -<<． 类型2．构造两个函数，这种类型的题目较少，技巧较强 例2 若20()2()||f x x x m x m x =+---≥对于一切[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令()()||g x x m x m =--，2()2h x x x =-，则()()()f x g x h x =+． ∵22,(),()()||(),,m x m x g x x m x m x m x m ?-=--=?--， ∴()h x 在[1,2]x ∈上是增函数． ∴()()()f x g x h x =+在[1,2]x ∈上是增函数， ∴min ()(1)1(1)|1|f x f m m ==+--． 由题意只要01(1)|1|m m +--≥， ∴2101(1)m m ??--?≥≥或2101(1)m m
高中数学解题方法-----构造函数法证明导数不等式的八种方法
高中数学解题方法 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 1.移项法构造函数 2、作差法构造函数证明 3、换元法构造函数证明 4、从条件特征入手构造函数证明 5、主元法构造函数 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）8.构造形似函数 1.移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f ?+=)1ln()(，求证：当1?>x 时，恒有 x x x ≤+≤+?)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(?++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+?=?+=′x x x x f ∴当01<′x f ，即)(x f 在)0,1(?∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(?，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞?上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1?>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤?+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(?+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+?+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′?∈x g x x g x 时当时 ，
微专题1：构造函数法解选填压轴题
微专题：构造函数法解选填压轴题 高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 几种导数的常见构造： 1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -= 2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x = 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h = 一、构造函数法比较大小 例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >> 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+, 所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D. 变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x + >， 若111(),2(2),ln (ln 2)222 a f b f c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >> 例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有
高考数学热点难点专题07+导数有关的构造函数方法(理)(教师版)
专题07 导数有关的构造函数方法 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))． (2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型 3.构造x e 形式的函数 4.构造成积的形式 5.与ln x 有关的构造 6.构造成商的形式
高三数学专题 构造函数
构造函数 一、单选题 1．设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A. (－∞，－1)∪(0，1) B. (－1，0)∪(1，＋∞) C. (－∞，－1)∪(－1，0) D. (0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 考点：函数性质综合应用 2．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11f k k ??< ??? B. 111f k k ?? > ?-?? C. 1111f k k ?? < ? --?? D. 111k f k k ??> ?--?? 【答案】C 【解析】试题分析：令()()g x f x kx =-，则()( ) g '0x f x k '=->，因此 ()()1111g 001111111k k g f f f k k k k k k ??? ??? >?->? >-= ? ? ?------???? ?? ，所以选C. 考点：利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e = ， ()()0f x f x '+<构造
()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x = ， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等 3．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)－f(x)＝xlnx ， 11 f e e ??= ??? ，则f(x)( ) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D 点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造 ()()x f x g x e = ， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '-构造()()f x g x x = ， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 4．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()2 6f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时， ()2112f x x +'< 若()()222129f m f m m +≤-+-，则m 的取值范围为（ ） A. [ )1,-+∞ B. 1,2??-+∞???? C. 2,3?? -+∞???? D. [)2,-+∞ 【答案】C 【解析】()()2 2 330f x x f x x -+--=,设()()2 3g x f x x =-，则()()()0,g x g x g x +-=∴为奇函数， 又()()()1 ''6,2 g x f x x g x =-<- ∴在(),0x ∈-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又()()22212129f m f m m m +≤- ++-，等价于()()()()2 2 232232f m m f m m +-+≤----，即()()22,22g m g m m m +≤- ∴+≥-，解得23 m ≥-，故选C. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标
高中数学：构造函数方法
高中数学：构造函数 常见构造函数方法： 1.利用和差函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f += ?<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f = ?<>''或； （3）kx x f x F k x f -=?<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f = ?<>'+'或； （2）)0)(() (g )()()0(0)()(-)(g )(≠=?<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =?<>+'或； （4）)0(x )()()0(0)(-)(x ≠=?<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =?<>+'或; (6))0(x )()()0(0)(n -)(x n ≠=?<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =?<>+'或; (8))0(e )()()0(0)(-)(x ≠=?<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =?<>+'或; (10))0(e )()()0(0)(k -)(k x ≠=?<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =?<>'+或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(≠= ?<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=?<>+'x x x f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =?<>'或; (15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '>
高中数学不等式证明中的构造函数策略
不等式证明中的构造函数策略 有些不等式证明问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，则可以顺利得到证明。把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题. 一、构造一次函数证明不等式 例1. 设0
导数中的构造函数-玩转压轴题
【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F n x x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()() F n f x x x = ；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nx x e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()() F nx f x x e = ． 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造 常用构造形式有()xf x ， ()f x x ；这类形式是对u v ?，u v 型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ?，u v 的导函数观察可得知，u v ?型导函数中体现的是“+”法，u v 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ?型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造 u v ． 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数，若当 时， ，则函数 的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A 【解析】 设 ，因为函数 为偶函数，所以 也是上的偶函数，所以 ．由已知， 时， ，可得当 时， ，
故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以 ，所以方程，即无解，所以函数没有零点．故选A． 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数 在上单调递减，从而求出函数的零点的个数． 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则 A．B． C．当时，取得极大值D．当时， 【答案】C 【解析】 设，则 则 又得 即，所以 即 ， 由得，得，此时函数为增函数 由得，得，此时函数为减函数 则，即，则，故错误 ，即，则，故错误 当时，取得极小值 即当，，即，即，故错误 当时，取得极小值
高中数学：构造函数方法
高中数学：构造函数 常见构造函数方法： 1.利用和差函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=?<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =?<>''或； （3）kx x f x F k x f -=?<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =?<>'+'或； （2）)0)(() (g ) ()()0(0)()(-)(g )(≠= ?<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =?<>+'或； （4）)0(x ) ()()0(0)(-)(x ≠= ?<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =?<>+'或; (6))0(x ) ()()0(0)(n -)(x n ≠= ?<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =?<>+'或; (8))0(e ) ()()0(0)(-)(x ≠= ?<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =?<>+'或; (10))0(e ) ()()0(0)(k -)(kx ≠= ?<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =?<>'+或; (12))0(sin sinx ) ()()0(0tan )(-)(≠=?<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos ) ()()0(0)(tanx )(≠= ?<>+'x x x f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =?<>'或; (15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '>
高中数学专题---构造新函数
高中数学专题--- 构造新函数 基本方法： 常见的构造函数的途径有： ①把方程、不等式、等式移项，让一边归零. 再去掉等号或不等号，去掉参数的标号构造函数； ②把参数视为变量构造函数； ③利用熟知的公式、法则逆向思考构造函数； ④改变题目中代数式的结构，出于简化运算而构造函数. 一、典型例题 1. 对(),1,e a b ?∈，且a b >，证明：11b a a b ++>. 2. 已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数），若x ?∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围. 二、课堂练习 1. 已知函数()()()2121ln 12 f x x a x a x =-++-，其中a 为实数. 当[]0,1a ∈，[]12,2,3x x ∈，且12x x ≠时，若恒有()()22111ln 1x f x f x x λ--<-，试求实数λ的取值范围. 2. 已知a ∈R ，函数()()2e 2x f x x a ax =--. 当x ∈R 时，()()0f x f x +-≥,求a 的取值范围. 三、课后作业 1. 设函数()1 e x f x x x -=-，e 为自然对数的底数. 当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围. 2. 已知函数()2ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++= ，证明：12x x + 3. 已知函数()()21e 2x a f x x x =--，其中a ∈R . （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由； （2）求最大的整数a ，使得对任意()12,0,x x ∈∈+∞R ，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立.
导数中的构造函数(最全精编)
1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ), f (x ) ；这类形式是对u ? v , u 型 数导数计算的推广及应用，我们对u ? v , u 的导函数观察可得知， u ? v 型导函数中 体现的是“ + ”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当 导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ? v 型，当导函数形式出现 的是“－”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 例 1，例 2. 【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为 【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ， 可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数， 所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解 集为(-∞,-4) ? (0,4) . ???思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. 导数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 （一）利用 f (x ) 进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数， 且 f (1) = 0 ， 当 x < 0 时， 有 xf ' (x ) - f (x ) > 0 恒成立，则不等式 f (x ) > 0 的解集为
2018年高考复习专题01构造函数的通法(解析版)
一、单选题 1．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A . (－∞，－1)∪(0，1) B . (－1，0)∪(1，＋∞) C . (－∞，－1)∪(－1，0) D . (0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 考点：函数性质综合应用 2．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A . 11f k k ??< ??? B . 111f k k ?? > ? -?? C . 1111f k k ??< ? --?? D . 111k f k k ?? > ?--?? 【答案】C 【解析】试题分析：令 ()()g x f x kx =-，则()() g '0x f x k '=->，因此 ()()1111g 001111111k k g f f f k k k k k k ??? ?? ?>?->? >-= ? ? ? ------???? ?? ，所以选C .学#科网 考点：利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e = ， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x = ， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等 3．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )＝xlnx ， 11 f e e ?? = ??? ，则f (x )( )
构造函数题型
第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 1．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()23'f x x f x =-，当(),0x ∈-∞ 时，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ 2．已知函数 ()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是（ ） A.()1,3- B.()(),33,-∞-+∞ C.()3,3- D.()(),13,-∞-+∞ 3．已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()()10x f x xf x '++>对x R ∈恒成立，则下列函数在 实数集内一定是增函数的为（ ）A ．()f x B ．()xf x C ．()x e f x D ．()x xe f x 4．已知()f x 是R 上的减函数，其导函数'()f x 满足那么下列结论中正确的是（ ） A ．x R ?∈，()0f x < B ．当且仅当(,1)x ?∈-∞，()0f x < C ．x R ?∈，()0f x > D ．当且仅当(1 +)x ?∈∞，，()0f x > 5．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x '->，则当24a <<时，有（ ）A ．()()()222log a f f f a << B ．()()()222log a f f f a <