【自主招生考试集训】第2讲 几何小题专题
高中数学自主招生考试分类 专题六 立体几何
专题六 立体几何1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为棱AC 的中点．⑴ 证明1AB ∥平面1BDC ；⑵ 求直线1AB 与平面11BCC B 所成角的正切值．C 1B 1A 1D CB EBCD A 1B 1C 1答案:⑴（本小问6分）连接1B C ，交1BC 于点E ，则E 为1B C 中点．连接DE ，由于D 为棱AC 的中点，所以在1ACB △中，1AB DE ∥，又因为DE ⊂平面1BDC ，而且1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ． ⑵（本小问7分）因为1AA ⊥底面ABC ，11CC AA ∥，所以1CC ⊥底面ABC ，故1CC AC ⊥．又因BC AC ⊥，于是AC ⊥平面11BCC B ，所以1AB C ∠是直线1AB 与平面11BCC B 所成的角． 1Rt ACB △中，2AC =，1B C于是，11tan AC AB C B C ∠===． 所以，直线1AB 与平面11BCC B2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =。
（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PDC ；（Ⅱ）若o 120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值。
解答：（Ⅰ）由于平面PAB ⊥底面ABCD ， 且平面PAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，BC ⊂平面BCP ，所以平面PBC ⊥平面PDC .（Ⅱ）由120,1PAB AP AB AB ∠=︒==⇒由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABP BC PB ⇒⊥，且2BC PC =⇒DCBAP由于平面PAB ⊥底面ABCD ,且平面PAB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥且AD AB ⊥， 故AD ⊥平面PAB ，从而AD AP ⊥， 再由1AD AP ==知PD =，易见CD BD =. 设二面角B PD C --的平面角的大小为θ，则由空间余弦定理知cos cos cos cos sin sin BDC PDB PDCPDB PDCθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠:易求得13cos 0,cos ,cos ,sin 44BDC PDB PDC PDB PDC ∠=∠=∠=-∠=∠，故cos tan θθθ===，即所求的二面角B PD C --3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为( B ) (A(B(C(D4、在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为 ( D ) (A(B(C(D5、圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积. 【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.6、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（B ）(A)αβθγ<<< (B) αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<< 解：设正四棱锥的高是,h a 底面边长为可求cos ,cos =,cos =0,22a h h αβγ因为0,22ah h>>所以2παβγ<<≤，下面求cos θ，过B 作BM SC ⊥于M ，连接DM ，由对称性，可知DM SC ⊥，所以DMB ∠为二面角B SC D --的平面角，可以计算出ABDP22222212()2cos 102()4a h a a h a θ+=-<+，所以θ为钝角.选B. 7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是ABC的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ） (A)12(B)(C) (D) 34 解：连接BH 交SC 于M ，因此BM SC ⊥，又A H S C ⊥，因此SC ⊥ 平面ABM ，所以SCAB ，过M 作MN ⊥AB ，连接CM ，因此AB 平面SCN ，从而AB ⊥CN ，三角形ABC 为等边三角形，因此N 为AB 的中点，又SN ⊥AB ，由三角形SAN 和三角形SAN 和三角形SBN 全等，可以得到SA=SB ，类似的做法可以证明2SA SB SC ===，S 在地面射影为三角形ABC 中心。
高中提前招生集训：数学集训2
数学集训21．某商场经销一种商品，由于现进货价格比原进货价格降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，则现经销这种商品的利润率为( ) A) 23% B) 25% C) 27% D) 29% 2．若|x |+|x -2|=3, 则x = ． 3．不等式01xx ≤+的解为 ． ★4．已知x , y满足x y +，则2x yx y xy--+-= ．★5．在直角△ABC 中，D 为斜边BC 的中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，记△DEF 周长为l ，则( ) A) l >BC B) l =BC C) l <BC D)不能确定 6．已知圆O 的直径AB=6,弦AD 与弦BE 相交于点C(点C在圆O 内)，则AC ⋅AD+BC ⋅BE= ．7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，AE ⊥BC 于点E。
若tan 2B =，EC=2， P 是边AB 上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是 ．. 8．如图，已知直线x y 21=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点，点P 在直线AB 上方 的抛物线上运动．当△PAB9．方程满足0＜＜1, 1＜＜2，则m ★10．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a =0实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2．则a A ．72-＜a ＜52 B ．a ＞52 C ．a ＜72- D ．112-＜a ＜0★11．当22x -≤≤时,函数f (x )=3ax 2-(8a -1)x +4a 的最大值为2,求实数a 的取值范围.★12．(1)在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为 ．02)13(722=--++-m m x m x 1x 2x E AC DP B第7题（2）如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点(不是端点)，且 CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，E 为垂足，若CE =10，且AD 与DB 的长均为整数，求线段AD 的长．13．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ， B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴 交于点D ．则∠DBC ∠CBE ＝ ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴 交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物 线对应的二次函数的解析式．15．在直角坐标系中，抛物线τ的对称轴垂直于x 轴，且抛物线过点A(2,1)、B(0,-1)、C(27,39-). (1)求抛物线τ的方程; (2)已知圆C 的半径为1,圆心坐标为(0,3). M 为圆C 上的动点, P 为抛物线τ上的动点,求M 与P 两点间的距离的最小值.。
专题20：《立体几何的体积和容积(二)》小升初数学专题讲练解析版)通用版
2019-2020学年通用版数学小升初总复习专题汇编讲练专题20 立体几何的体积和容积（二）（一）长方体1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh（二）正方体1、特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可以看作特殊的长方体2、计算公式：S表=6a² v=a³（三）圆柱1、圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3（四）圆锥1、圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v= sh/3（五）球1、认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O 表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r 表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d 表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r 。
2、计算公式：d=2r四、周长和面积1、平面图形一周的长度叫做周长。
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式一．圆锥的体积【例1】（2019•广东）从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是32cm π，正方体的体积是( 3)cm ． A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 【解答】解：设正方体的棱长是acm ，则圆锥的底面直径和高都是acm ，则正方体的体积是：33()a a a a cm ⨯⨯= 圆的体积是3231(2)()312a a a cm ππ÷⨯= 圆锥的体积是正方体的12π 正方体的体积是36()212cm ππ÷=答：正方体的体积是36cm ．故选：C ．【变式1-1】（2019春•方城县期中）把一个底面直径6cm 、高9cm 的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的两块后，表面积比原来增加了( )平方厘米．A ．18B ．27C ．54【解答】解：6922⨯÷⨯272=⨯54=（平方厘米）答：表面积比原来增加了54平方厘米．故选：C ．【变式1-2】（2019春•交城县期中）用一个高是36cm 的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，油面的高度是 12 cm ．【解答】解：136123⨯=（厘米）答：油面的高度是12厘米．故答案为：12．【变式1-3】（2019•衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形．（单位：厘米）（1）这个立体图形是什么？（2）这个立体图形的体积是多少？【解答】解：以直角三角形短直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高是4厘米的圆锥．所以这个立体图形是圆锥．（2）21 3.14543⨯⨯⨯1 3.142543=⨯⨯⨯3143=（立方厘米），答：这个立体图形的体积是3143立方厘米．【变式1-4】（2019•安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米．如果用这堆沙石铺路，公路宽10米．沙石厚2分米，能铺多少米长？【解答】解：2分米0.2=米1188.415(100.2)3⨯⨯÷⨯=÷9422=（米)471答：能铺471米长．二．组合图形的体积【例2】（2019•益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了250.24cm，原来这个物体的体积是()A．3401.92cm301.44cm D．3226.08cm C．3200.96cm B．3÷=（平方厘米）【解答】解：50.24225.121⨯+⨯⨯-25.12625.12(126)31=+⨯⨯150.7225.1263=+150.7250.24=（立方厘米）200.96答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米．故选：A．【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比()A ．甲大B ．乙大C ．相等 【解答】解：底面积相同时，两个高为12a 的圆锥的体积之和，等于一个高为a 的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，故选：C ．【变式2-2】（2014春•泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以AB 边为轴旋转一周，会得到一个立体图形．这个立体图形是由 圆柱 和 组成（填图形名称）．它的底面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．【解答】解：这个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成，其底面积为：23.14212.56⨯=（平方厘米）；其体积为：2213.1422 3.142(52)3⨯⨯+⨯⨯⨯-，12.56212.56=⨯+，25.1212.56=+，37.68=（立方厘米）；答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米，体积是37.68立方厘米．故答案为：圆柱、圆锥、12.56、37.68．【变式2-3】（2016春•平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）．如果每立方米的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克？【解答】解：这个粮囤的底面积是：23.14(42)⨯÷3.144=⨯12.56=（平方米）这个粮囤的体积是：112.56212.56 1.53⨯+⨯⨯25.12 6.28=+31.4=（立方米）这囤小麦的重量是：60031.418840⨯=（千克）．答：这个粮囤可囤粮食18840千克．【变式2-4】（2019•萧山区模拟）图形计算求立体图形的体积单位（分米）【解答】解：223.14[(202)(102)]15⨯÷-÷⨯3.14[10025]15=⨯-⨯3.147515=⨯⨯3532.5=（立方分米），答：这个立体图形的体积是3532.5立方分米．三．立体图形的容积【例3】（2019春•江城区期末）一个水池能蓄水3430m ，3430m 是这个水池的( )A ．表面积B ．重量C ．体积D ．容积 【解答】解：一个水池能蓄水3430m ，3430m 是这个水池的容积．故选：D ．【变式3-1】（2015•遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油360dm ，它的( )是360dm ．A ．容积B ．体积C ．表面积【解答】解：一个汽油桶可装60升汽油，是指它的容积是60升；故选：A ．【变式3-2】（2010•广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 2.4 升．【解答】解：饮料和空气的体积比是：20:54:1=饮料有：4330.8 2.441⨯=⨯=+（升)答：瓶内现有饮料2.4升．故答案为：2.4．【变式3-3】（2013•福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米．这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否真实？【解答】解：6.448.5217.6⨯⨯=（立方厘米）217=（毫升）；答：盒子的体积是217毫升，而净含量为220毫升，不真实．【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是18.84米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米．这个谷囤最多能装稻谷多少立方米？【解答】解：221 3.14(18.84 3.142) 1.5 3.14(18.84 3.142)23⨯⨯÷÷⨯+⨯÷÷⨯13.149 1.5 3.14923=⨯⨯⨯+⨯⨯14.1356.52=+70.65=（立方米）；答：这个谷囤最多能装稻谷70.65立方米．真题强化演练一．选择题1．（2019•萧山区模拟）将直角三角形ABC 以BC 为轴旋转一周，得到的圆锥体积是V ，那么(V = )A ．16πB ．12πC ．25πD ．48π【解答】解：21433π⨯⨯⨯16π=⨯16π=答：体积是16π．故选：A ．2．（2018春•平阴县期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将( )A ．扩大3倍B ．缩小3倍C ．扩大6倍【解答】解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的13，又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍；故选：A ．3．（2015春•平阳县校级期中）一个体积是325.12cm 的圆锥，半径是2cm ，它的高是( )cm ．A ．2B ．8C ．6 【解答】解：2125.12(3.142)3÷÷⨯ 25.123(3.144)=⨯÷⨯75.3612.56=÷6=（厘米），答：它的高是6厘米．故选：C ．4．（2014春•鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是2厘米，圆锥体积是圆柱体积的( )A ．13B ．16C ．112D ．14【解答】解：设圆锥和圆柱的高为h 厘米，圆锥的体积：211133h h ππ⨯=（立方厘米），圆柱的体积：224h h ππ⨯=（立方厘米），114312h h ππ÷=，答：圆锥的体积是圆柱体积的112．故选：C ．二．填空题5．（2019•杭州模拟）如图是一个直角三角形，以6cm 的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是 圆锥 ，它的体积是 3cm ．【解答】解：以直角三角形的直角边(6厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米，高是6厘米的圆锥．21 3.14263⨯⨯⨯3.148=⨯25.12=（立方厘米）答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是25.12立方厘米．故答案为：圆锥、25.12．6．（2019•杭州模拟）计算下面圆锥的体积是 50 3cm【解答】解：11510503⨯⨯=（立方厘米），答：这个圆锥的体积是50立方厘米．故答案为：50．7．（2019•衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是 150.72 立方厘米．【解答】解：21 3.14493⨯⨯⨯1 3.141693=⨯⨯⨯150.72=（立方厘米）答：它的体积是150.72立方厘米．故答案为：150.72．8．（2019•萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积．（得数保留整数）【解答】解：如图斜边的高为：345 2.4⨯÷=（厘米），21 3.14 2.453⨯⨯⨯1 3.14 5.7653=⨯⨯⨯30.144=（立方厘米）；答：所形成图形的体积是30.144立方厘米．9．（2013•永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形，放入水中，桶内还有 32 升水．【解答】解：4832÷⨯，162=⨯，32=；故答案为：32．10．（2017•杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的12π ．【解答】解：假设正方体的棱长为a 厘米，正方体的体积是：3a a a a ⨯⨯=（立方厘米）， 削出最大圆锥的体积是：23211(2)33412a a a a a πππ⨯÷⨯=⨯⨯=（立方厘米）， 所以圆锥的体积占正方体体积的：331212a πππ÷=； 故答案为：12π．三．判断题11．（2014•桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，剩下部分的体积是圆柱的23． √ ．（判断对错）【解答】解：根据题干分析可得：这个圆柱的体积与挖出的圆锥是等底等高，所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍， 则剩下部分的体积是圆柱的体积的2(31)33-÷=． 故答案为：√．12．（2019•亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13． ⨯ ．（判断对错） 【解答】解：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13，如果没有确定削成的圆锥是否与圆柱等底等高，那么把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13，这种说法是错误的．故答案为：⨯．13．（2016•温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1． √ （判断对错）【解答】解：圆柱体削成一个最大的圆锥体，则：3V V =圆柱圆锥():V V V -圆柱圆锥圆锥2:V V =圆锥圆锥2:1= 答：削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1．故题干的说法是正确的．故答案为：√．14．（2012•紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的12． 正确 ．（判断对错） 【解答】解：把圆柱体的体积看作“1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的13，削求部分是圆柱体的23． 12133-=； 1213133322÷=⨯=； 答：圆锥体体积是削去部分的12．故答案为：正确．四．计算题15．（2019•萧山区模拟）求如图图形的体积．单位：厘米．【解答】解：2 501030 3.14(202)10⨯⨯-⨯÷⨯15000 3.1410010=-⨯⨯150003140=-11860=（立方厘米），答：它的体积是11860立方厘米．16．（2019•萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积．（单位：分米）【解答】解：22 3.1444 3.1424 3.14[(42)(22)]2⨯⨯+⨯⨯+⨯÷-÷⨯50.2425.12 3.14[41]2=++⨯-⨯50.2425.12 3.1432=++⨯⨯50.2425.1218.84=++94.2=（平方分米），答：这个空心圆柱的表面积是94.2平方分米．五．应用题17．（2019•宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米．把这块木料加工成一个最大的圆柱．削去部分的体积是多少？【解答】解：2 444 3.14(42)4⨯⨯-⨯÷⨯64 3.1444=-⨯⨯6450.24=-13.76=（立方分米），答：削去部分的体积是13.76立方分米．18．（2018•萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是250m ，高是3m ．用这堆沙在10米宽的公路上铺2cm 厚的路面，能铺多少米？【解答】解：2厘米0.02=米， 1503(100.02)3⨯⨯÷⨯500.2=÷250=（米)，答：能铺250米．19．（2019•萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米．用这堆沙子铺在宽10米，厚5厘米的路上，能铺多长？【解答】解：5厘米0.05=米21 3.14(42) 1.5(100.05)3⨯⨯÷⨯÷⨯1 3.144 1.50.53=⨯⨯⨯÷6.280.5=÷12.56=（米)答：能铺12.56米．六．解答题20．（2019•萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是5厘米．以斜边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？【解答】解：直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是同一底面的两个圆锥，如上图所示， 设这个圆锥的底面半径是r ，则：52342r ÷=⨯÷，512r =，2.4r =，所以这个立体图形的体积是：21 3.14 2.4()3AO CO ⨯⨯⨯+，1 3.14 5.7653=⨯⨯⨯；30.144=（立方厘米），答：旋转一周后的立体图形的体积是30.144立方厘米．21．（2016•龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为1:3的圆锥体煤堆．高是6米，如果每0.75立方米的煤是1吨，这堆煤有多少吨？ 【解答】解：21 3.14(63)63⨯⨯÷⨯3.148=⨯25.12=（立方米）251225.120.7575÷=（吨) 答：这堆煤有251275吨．22．（2012•桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 【解答】解：116 1.27503⨯⨯⨯，6.4750=⨯，4800=（千克）．答：这堆小麦重4800千克．23．（2017•朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里． 小红．（2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程）【解答】解：（1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等．以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是3厘米的圆柱内有一个空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱．（2）甲的体积：2213.1436 3.143(63)3⨯⨯-⨯⨯⨯-13.1496 3.14933=⨯⨯-⨯⨯⨯169.5628.26=-141.3=（立方厘米）；乙的体积：221 3.143(63) 3.14333⨯⨯⨯-+⨯⨯1 3.1493 3.14933=⨯⨯⨯+⨯⨯28.2684.78=+113.04=（立方厘米）；141.3:113.04(141.3 3.14):(113.04 3.14)=÷÷(459):(369)=÷÷5:4=．答：甲、乙体积的比是5:4．故答案为：小红．24．（2012•苍南县）工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥．如果每立方米沙重1.5t，这堆沙重多少吨？（得数保留一位小数．)【解答】解：213.14(42) 1.6 1.5 3⨯⨯÷⨯⨯13.144 1.6 1.53=⨯⨯⨯⨯6.7 1.5≈⨯10.1≈（吨)，答：这堆沙重10.1吨．25．（2009•新昌县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱地面的周长是6.28m，高是2m，圆锥的高是1.5m，这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤能装稻谷多少千克？【解答】解：（1）圆柱的底面积为：23.14(6.28 3.142)⨯÷÷23.141=⨯3.14=（平方米）；这个粮囤的体积：13.14 1.5 3.1423⨯⨯+⨯1.57 6.28=+7.85=（立方米）；答：这个粮囤能装稻谷7.85立方米．⨯=（千克）（2）7.855003925答：这个粮囤最多能装稻谷3925千克．。
2023深圳中学自主招考几何题目
2023深圳中学自主招考几何题目随着教育改革的不断深入，越来越多的中学开始采取自主招生的方式，而深圳中学作为一所知名的中学也不例外。
每年的自主招考都备受关注，其中数学科目的几何题目更是备受学生和家长们的关注。
在2023年的深圳中学自主招考中，几何题目将会是怎样的呢？下面我们就来分析一下。
一、题目类型在2023年的深圳中学自主招考中，几何题目可以分为基础题和拓展题两种类型。
基础题主要涉及到几何图形的性质、判定和计算，如平行线性质、三角形全等判定等；而拓展题则会涉及到一些几何定理的证明和应用，如圆的性质证明、相似三角形的应用等。
二、题目难度在题目难度上，2023年的深圳中学自主招考几何题目将会有一定的难度，既考察了学生对几何知识的掌握，又考察了学生对几何证明和推理能力的运用。
基础题将会有一些综合性较强的计算题目，需要学生熟练掌握相关公式和定理；而拓展题则会要求学生具有一定的逻辑思维能力，需要通过一些几何证明来解决问题。
三、解题技巧针对2023年的深圳中学自主招考几何题目，学生在备考时可以注意以下几点解题技巧：1. 熟练掌握几何基本定理和性质：在备考过程中，要花时间巩固几何基本定理和性质，这样才能在考试中游刃有余地解决基础题目。
2. 多做几何题目：通过多做几何题目来提高解题速度和准确度，加强对各种几何题型的应对能力。
3. 注重几何证明的训练：针对拓展题目中的几何证明，要多进行相关训练，提高自己的推理能力和逻辑思维能力。
四、总结2023年的深圳中学自主招考几何题目将会是一个考察学生数学综合能力的重要环节。
学生在备考时要注重对几何知识的掌握和运用，同时要注重对几何证明和推理能力的训练。
只有全面提升自己的数学能力，才能更好地应对未来的考试。
希望学生们在备考中能够取得优异的成绩，实现自己的理想。
家长和学生们急切地期待2023年深圳中学的自主招生考试。
对于数学考生来说，几何题目往往是备受关注的焦点。
在备考阶段，家长和学生都希望了解更多关于几何题目的内容和要求，以便有针对性地进行复习和提高。
竞赛与自主招生专题第16讲：解析几何二
第十六讲 解析几何二从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
一、知识精讲一．椭圆中的经典结论：1.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=． 2.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=． 3.椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b α∆=．二．双曲线中的经典结论：1.点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=．2点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP的直线方程是00221x x y ya b-=． 3.双曲线22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．三．抛物线：1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、 ，则：(1)2124p x x =，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。
高考立体几何专题训练题二
2014 高考 立体几何专题训练题二1.若三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为（ ）C.1答案：D.图解如下——OA OS =，即2221223x x x ⎛⎫+=⨯-⇒=⎪⎝⎭. 2. 已知正三棱椎P ABC -O ，且满足0OA OB OC ++=则正三棱锥P ABC-的外接球的半径为（ ）A.1B.C. D.2答案：B ，由0OA OB OC ++=得出球心O 为△ABC 的中心，于是锥高为球半径，故2113sin12032r r ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，推出r =3. 已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该 三棱锥的外接球体积为．答案：.4.已知一个三棱锥的三视图如图2所示， 其中俯视图是顶角为120的等腰三角形， 则该三棱锥的外接球体积为．答案：3.寻求球心是关键，模仿圆心确定的方式，来确定球心—— 先确定底面的圆心（球的小圆圆心）1O ，球心必然在过1O 且垂直于平面ABC 的垂线上，如图，1112OO PA ==，圆1O 的半径可以通过正弦定理得到1O A =2俯视图1B5题图5.已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SCASC，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）33（B）32（C）3（D）1答案：C.提示：对体进行分割，由A作AN⊥SC于N，连接BN，以截面为底求体积.如图——6.，将4个半径为1的球装入正四面体型容器内，则此容器的最小高度为.答案：4+提示：分层处理——（1）最上层的小球相当于正四面体内切球，143r a=⋅，而r=1，从而a=，所以此小球球心到四面体顶点距离为3343⋅⋅=；（2）中间层是上层小球球心到下面三球球心距离为以2r为棱长的正四面体的高233r⋅=；（3）最下层是下层球心到底面距离为r=1.故整个大正四面体容器的最小高度为3+3+1=4+3.说明：立体几何的接切问题最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.7.在四面体ABCS-中，BCAB⊥，2==BCAB，2==SCSA，二面角BACS--的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（）A.π68 B.π6 C.π24 D.π6方法一：还原到几何体中——B B依据已知条件研究各个棱长得出，联想到正方体的棱间关系，容易将图形还原到原几何体．．．．．．．——正方体中.如图——问题迎刃而解. 方法二：若是不能还原到正方体，我们也可以这样考虑：计算得出SO 1在面ABC 内的射影到O 1的距离为1，即DO 1=1，刚好为小圆的半径，∴SD.，下同上.点评：利用圆的截面性质找圆心是必须掌握的能力。
立体几何题(自主招生难度题)
立体几何题1、证明下列结论：正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
2、如果相交成2π的两条直线和一个平面所成的角64ππ和，则这两条直线在平面上的射影所成的锐角是_________2.1、设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积为V ，其中以OA 为母线的圆锥的体积为V4，则以OB 为母线的圆锥的体积等于（ ） A.V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 152.2、若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cmC. 2183cmD. 3123cm2.3、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是___________2.4、自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA 、MB 、MC ，若2MA MB =，则MA MB MC ++的最大值为5R3.由曲线24x y =,24x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足2216x y +≤,22(2)4x y +-≥,22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕yB C OA DA轴旋转一周所得的几何体的体积为2V ,求1V :2V .3.1、在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________4.如右图,底面半径1r =,被过A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心率为2的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB =,则截面以下部分的几何体体积是多少?4.1、设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（ ）（A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能 D5.在四面体ABCD 中,设AB m =,CD n =,直线AB 与CD 的距离为d ,夹角为θ,则四面体ABCD 的体积等于多少?1sin 6mnd θ6.正四棱锥S ABCD -中,045ASB ∠=,二面角A SB C --为θ且cos m θ=,(m , n 为整数),求_________m n +=7、求棱长为a 的正八面体的对角线长及相邻两面所成的二面角的大小的余弦值1,23-8.空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这 四个球都相切,则这个小球的半径等于多少?（1995年第十届CMO ）9、已知三棱锥P A B C -的顶点都在同一球面上，PA ⊥平面0,150,A B C A B C ∠=1,2P A A C ==,则该球的表面积为_______________10、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点P 为线段11AC 上的动点，则四棱锥P ABCD -的外接球的半径的取值范围是________________11、有一个m n p ⨯⨯的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +⨯+⨯+的长方体盒子, 其中,,m n p 均为正整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值.12、已知长方体1111ABCD A BC D -中，15,4,3AB AA AD ===,从点A 出发沿着表面运动到1C 的最短路线长是________12.1、在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面ADE ∆的周长最小时,ADE S ∆=?P 到截面ADE 的距离为?12.2、如图所示，圆锥母线长4,PB =底面半径1r =，3PM MB =，也即是M 为PB 的四等分点，从M 点拉一根绳子，绕圆锥侧面一周到点B （1）求绳子的最短长度（2）当绳子长度最短时，求圆锥顶点P 与绳子上点联线的最小长度5；0.4；12.3、过点()1,0的直线交抛物线24y x =于,P Q 两点，现沿x 轴将平面直角坐标系翻折成直二面角，则翻折后线段PQ 的最小值是___________________13、若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP、11OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为：_________________.13.1、设正三棱锥P ABC -的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上下两部分，求两部分体积之比（91年全国联赛）42113.2、设P A B C D -是一个高为3，底面半径为2的正四棱锥，过顶点A 和棱PC 的中点K 作一平面，分别交棱,PB PD 于点,M N ，求四棱锥P AMKN -的体积V 的取值范围43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14、在平面几何中，有勾股定理：“设∆ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则.222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .14.1、若三棱锥P ABC -为直三棱锥（,,PA PB PC 两两垂直），H 为三角形ABC 的垂心。
自主招生 15.解析几何(2)(教师版)
第15讲解析几何二一、知识精讲一．椭圆中的经典结论：1.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=．2.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b +=．3.椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．二．双曲线中的经典结论：1.点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=．2点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b -=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b-=．3.双曲线22221x ya b-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．三．抛物线：1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB ,记准线与x 轴交点为E ，AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角 2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、，则：(1)2124p x x =，212y y P=-；(2)pFB F A 211=+。
3.共线：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于A B 、两点，如图示，有下列三个结论：（1）1A O B 、、三点共线．（2）1B O A 、、三点共线．（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为1B ，则1BB 平行于x 轴．（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为1A ，则1AA 平行于x轴．【知识拓展】一．圆锥曲线和直线的参数方程1.圆222x y r +=的参数方程是cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩其中θ是参数。
历年自主招生试题分类汇编平面几何.docx
历年自主招生试题分类汇编——平面几何4．（ 2013 年北约）如图，△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， DM 、DN 分别为∠ ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋ CN 与 MN 的大小关系，并说明理由．AMNC D C解析延长 ND 至 E，使 ND ＝ ED，连结 BE、 ME ，则△ BED ≌△ CND ，△ MED ≌ △ MND ，ME＝ MN ，由BM ＋BE ＞EM，得 BM＋CN＞ MN ．AMNC D CE题 4（ 2012 年北约）如果锐角ABC 的外接圆圆心为O ，求 O 到三角形三边的距离之比。
解：如图，过 O 分别作 BC ,CA, AB 的垂线，垂足为 D , E , F , 设OD d1, OE d2,OF d3，OA OB OC RABOC 2 A ，∴ BOD A ，d1Rcos A由平几知识得EF同理： d2 R cosB ， d3RcosC CO∴ d1 : d2 : d3cos A:cos B :cos CD A即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。
评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。
题 8（ 2012 年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。
A AB E B EC D H C D G解：如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形，延长 AE , CD , DC , AB 有两交点 G, H ，连接 AC ，∵AED EDC ,∴GED GDE∴ GE GD∵ A, C , D , E在O 上∴CAG GDE , GCA GED∴CAG GCA∴ GA GC∴ AE CD连结 AD ，同理可得AB CD ，从而 AE AB CD ，同样，延长BC , ED , BA, DE , 可证得：BA BC DE∴ AB BC CD DE EA ，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。
高考数学解答题考前集训 解析几何2
2012届高考数学解答题题考前集训：解析几何2 1. 已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为PA k 和PB k ，且满足PA k ·PB k =t (t ≠0且t ≠－1).（１）求动点P 的轨迹C 的方程；（２）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F1，F2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F1QF2=120O ， 求t 的取值范围.2. 在直角坐标系xoy 中，射线OA 在第一象限且与x 轴的正方向成定角︒60，若点P 在射线OA 上运动，点Q 在y 轴负半轴上运动，且POQ 面积为定值32。
（1）求线段PQ 中点M 的轨迹C 的方程；（2）若1R 、2R 表示曲线C 上的两个动点，且()u OR OR ,221=+，求u 的最大值。
3. （2012年沧州六县大联考）如图, 已知线段AB 在直线2=x 上移动, O 为原点. ))2,0((πθθ∈=∠AOB , 动点P 满足222PO PB PA ==.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程; (Ⅱ) 当4πθ=时, 动点P 的轨迹与直线OA 交于D C ,两点(点C在点D 的下方), 且OC CD 4-=, 求直线OA 的方程.4. 如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C 、D 、C1、D1，连接CC1与OB 交于点H ，且有B A A HB OH ,,,)323(21其中+=是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距.(1)当c=1时，求双曲线E 的方程；(2)试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数；(3)连接A1C ，与双曲线E 交于点F ，是否存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.参考答案 1. (１) 设点P 坐标为(x,y),依题意得22-⋅+x y x y =t ⇒y2=t(x2－4)⇒42x +t y 42-=1 轨迹C 的方程为42x +t y 42-=1（x ≠±2）.(２) 当－1＜t ＜0时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设1PF =r1，2PF = r2, 则r1+ r2=2a=4.在△F1PF2中，21F F =2c=4t +1, ∵∠F1PF2=120O ，由余弦定理，得4c2=r+r －2r1r20120cos = r+r+ r1r2 = (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(221r r +)2=3a2, ∴16（1+t ）≥12, ∴t ≥－41.所以当－41≤t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠F1QF2=120O当t ＜－1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆， 设1PF =r1，2PF = r2，则r1+r2=2a=－4 t,在△F1PF2中， 21F F =2c=4t --1. ∵∠F1PF2=120O ，由余弦定理，得4c2=r+r －2r1r20120cos = r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(221r r +)2=3a2,∴16（－1－t ）≥－12t ⇒t ≤－4.所以当t ≤－4时，曲线上存在点Q 使∠F1QF2=120O综上知当t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠AQB=120O 的t 的取值范围是(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃-∞-0,414,2. （1）设()()0,>x y x M ，由题意，得()()x y Q x x P 322,0,32,2-， yx OQ x OP 232,4-==， 又()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒=-=︒⋅-⋅⋅=x x y y x x y x x S 1332232150sin 232421()0>x ， ∴轨迹C 的方程为()013>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y 。
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镭霆自主招生考试集训讲义
【几何小题专题】
【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，设AC，BD交于
O点，则图中共有多少对面积相等的三角形（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=32．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ） A．B．C．D． 【例4】一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（ ） A．3 B．10 C．11 D．32 【例5】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，2AC为半径作圆，则阴影部分的周长为（ ） A．48 B．258π C．8+5π D．96﹣25π 【巩固】已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图
中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和
2的圆弧围成．则阴影部分的面积是 ．
【巩固】如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以
1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差
是 ．
【例6】已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，
点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平
分线交AC于点F，且ACCF31时．求AP+BP的值．
【例7】如图所示，在▱ABCD中，AD=2AB，M是AD的中
点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是 ．
【例8】如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好
拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，
EF=4厘米，则边AD的长是 厘米．
【例9】如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为 ． 【巩固】如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则 ( ) A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关 【例10】如图，n＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn＋1DnCn的面积为Sn，则Sn＝ （用含n的式子表示）． 【例11】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn＝ S△ABC（用含n的代数式表示）． 【例12】如图，P为△ABC的边BC上任意一点，设BC＝a，BC边上的高为h，B1、C1分别为AB、AC的中点，B1、C1分别为BB1、CC1的中点，B2、C2分别为B1B、C1C的中点，……，Bn、Cn分别为Bn－1B、Cn－1C的中点．则BnCn＝ ；△PBnCn的面积为 （用含a、h的代数式表示）．
【例13】如图，矩形纸片ABCD，BC＝10，点E是AB上
一点，把△BCE沿EC向上翻折，使点B落在AD边上点
F处，若⊙O内切于以B、C、F、E
为顶点的四边形，且
AE:EB＝3:5，则⊙O
的半径为 ．
【例14】如图，已知正方形纸片ABCD的边长是⊙O半
径的4倍，圆心O是正方形ABCD的中心，将纸片按图
示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，则tan∠
A1EF
的值为 ．
【例15】如图，将边长为3＋3的等边△ABC折叠，折
痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、
N，DF⊥AB于D，AD＝1，则重叠部分（即四边形DEMN
）
的面积为 ．