高二数学期末测试题
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高 中 学 生 学 科 素 质 训 练高二 上 学 期 数学期末测试题题号一 二三总分171819202122得分一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．设会合 A{ x | x 2 10}, B { x | log 2 x 0 |}, 则 AB 等于（）A ． { x | x 1}B ． { x | x 0}C ． { x | x1}D ． { x | x1或 x 1}2．若不等式 | ax2 | 6 的解集为（－ 1， 2），则实数 a 等于（）A ． 8B ． 2C ．－ 4D ．－ 83．若点（ a ， b ）是直线 x +2y+1=0 上的一个动点，则 ab 的最大值是（）A ．11C ．1 D ．12B ．81644．求过直线 2x － y － 10=0 和直线 x+y+1=0 的交点且平行于3x － 2y+4=0 的直线方程（）A ． 2x+3y+6=0B ． 3x － 2y － 17=0C ． 2x －3y － 18=0D ． 3x － 2y －1=05．圆 (x1)2y21的圆心到直线 y3x 的距离是（）3A ．13C ． 1D ．32B ．26．假如双曲线的实半轴长为2，焦距为 6，那么该双曲线的离心率为 （）A ． 36C ． 3D ． 7B ．2 227．过椭圆x2y21的焦点且垂直于x 轴的直线 l 被此椭圆截得的弦长为（）43A ．3B ．3C． 3D．223 x 4 5cos ,8．椭圆3sin (为参数）的焦点坐标为（）yA ．（ 0， 0），（ 0，－ 8）B．（0， 0），（－ 8， 0）C．（ 0， 0），（ 0， 8）D．（ 0， 0），（ 8， 0）9．点P(1,0)到曲线x t 2（此中参数 t R ）上的点的最短距离为（）y2tA ．0B ．1C．2D．210．抛物线的极点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线3x 4 y12 0 上，则抛物线的方程为（）A ．y216x B．x212 yC．y216x或 x 212 y D．以上均不对11．在同一坐标系中，方程a2 x2b2 y 21与 ax by 20(a b0) 的曲线大概是（）12．在直角坐标系 xOy 中，已知△ AOB 三边所在直线的方程分别为x 0, y 0,2 x 3 y30 ，则△ AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．95B．91C．88D． 75二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13．椭圆5x2ky 2 5 的一个焦点是(0,2) ，那么k．14．已知直线 x =a (a>0) 和圆（ x -1）2+ y 2 = 4 相切，那么 a 的值是15．如图， F1，F2分别为椭圆x2y21的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△ POF2是面积为3 a 2b2的正三角形，则b2的值是．16．函数y lg(| x |x)的定义域是__．1x 2三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分）17．解对于x的不等式：log a(4 3x x2) log a(2x 1) log a2,(a0,a 1) ．(12分) 18．设A( c,0), B(c,0)(c0) 为两定点，动点P到A点的距离与到 B 点的距离的比为定值a(a 0) ，求P点的轨迹．（12分）19．某厂用甲、乙两种原料生产 A 、 B 两种产品，已知生产1t A 产品， 1t B 产品分别需要的甲、乙原料数，可获取的收益数及该厂现有原料数以下表所示．问：在现有原料下， A 、B产品应各生产多少才能使收益总数最大？列产品和原料关系表以下：产品所需原料原料甲原料（ t）乙原料（ t）收益（万元）(12 分)A 产品 B 产品总原料（ 1t）（ 1t）（ t）2510 5318 43知抛物线的极点在原点，它的准线经过曲线x2y2x 轴垂直，a1 的右焦点，且与2b2抛物线与此双曲线交于点（3,6 ），求抛物线与双曲线的方程．（12分）221．已知点P到两个定点M ( 1,0) 、N (1,0) 距离的比为 2 ，点N到直线PM的距离为1，求直线 PN 的方程．（12分）y22．已知某椭圆的焦点是F1 ( 4,0) 、 F2 (4,0) ，过并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，F1O A点 F2 BC且F2x|F1B||F2B| 10，椭圆上不一样的两点B'A( x1 , y1 ) 、 C (x2 , y2 ) 知足条件： | F2 A |、 | F2 B | 、 | F2 C | 成等差数列．（I ）求该椭圆的方程；（II ）求弦 AC 中点的横坐标．（ 14 分）参照答案一．选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案A C C B A C C D B C D B 二．填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13． 114． 315．2316．（－１，０）三．解答题（本大题共 6 小题，共 74分）17． (12分 )[ 分析 ] ：原不等式可化为log a( 4 3 x x2 ) log a 2(2x1)2x10x 1 2当 a>1 时有43x x20141x2x43x x22(2x1)3x22（中间一个不等式可省）2 x10x 1 2当 0<a<1 时有43x x201x42x 443x x 22(2 x1)x或x23∴当 a>1 时不等式的解集为12；x2当 0<a<1 时不等式的解集为2x4 18．（ 12 分）[分析 ]：设动点 P 的坐标为（ x， y）．由 |PA|a(a0)，得(x c)2y2．|PB|( x c)2a y 2化简得(1a 2)x22 (1a2)x c2(1a2)(1a2)y20.c22c(1a2)221 2a2( 2ac2当a 1时,得x x c y0 ，整理得( x)2．1a2c)2y 2a1 a 1当 a=1 时，化简得 x=0．因此当 a1时，P点的轨迹是以(a21c,0)为圆心，|22ac|为半径的圆；2a1a1当 a=1 时， P 点的轨迹为y 轴．19．（ 12 分）[分析 ]：设生产 A 、B 两种产品分别为xt，yt，其收益总数依据题意，可得拘束条件为2x5y10 6x3y18作出可行域如图：x0, y0为 z 万元 ,y25P( -,1)2352x+5y=10 x 6x+3y=18目标函数z=4x+3y，作直线 l0：4x+3y=0，再作一组平行于 l0的直线 l ： 4x+3 y =z ，当直线 l 经过 P 点时 z=4x+3y 获得最大值，由2x 5 y 10，解得交点 P (5,1) 6x3y182因此有z P53113(万元 )42因此生产 A 产品 2． 5t， B 产品 1t 时，总收益最大，为13 万元．12 分）[ 分析 ] ：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的焦距）．设抛物线的方程为y24cx.∵抛物线过点(3, 6 )64c3c1即a 2 b 2 1①22又知(3) 2( 6)213 2196 1②由①②可得a 2, b 2a 2b 24a 2 b 244∴所求抛物线的方程为y 24x ，双曲线的方程为 4 x24y21321．（ 12 分）[ 分析 ] ：设点P的坐标为( x, y)，由题设有| PM |2 |PN |即(x 1)2y 22(x 1) 2y 2整理得 x2y 26x10 ①由于点 N 到 PM 的距离为1，|MN |2因此∠ PMN30 ，直线PM的斜率为33直线 PM 的方程为y3( x 1)②3将②式代入①式整理得x 24x10解得 x 2 3 ， x23代入②式得点P 的坐标为( 23,13)或 (23,13)；(23,13)或 (23,13)直线 PN 的方程为y x1或 y x122．（ 14 分）[分析 ]：（ I）由椭圆定义及条件知2a|F1B| |F2B|10(完好word 版)高二上学期数学期末测试题.doc得 a 5，又 c4 ，因此 b a 2 c 2 3y故椭圆方程为x 2 y 2 1A B259C（ II ）由点 B (4, y B ) 在椭圆上，得OFF 12| F 2 B | | y B |9B'5解法一：x由于椭圆右准线方程为x 25 ，离心率为 4 ．4 54 25 依据椭圆定义，有 | F 24 25x 1 ) ， | F 2C |A | (5 (5 44由 | F 2A |， | F 2B |， | F 2C |成等差数列，得4 25x 1 ) (45由此得出 x 1x 2 8．设弦 AC 的中点为 P (x 0 , y 0 ) ，x 1 x 28 4 ．则 x 022解法二：x 2 )4 25 x 29 ，5() 245由 | F 2A |，| F 2B |， ||F 2C 成等差数列，得(x 1 4) 2y 12( x 24)2 y 222 9 ，5由 A ( x 1 , y 1 ) 在椭圆x 2y 21上，得 y 129(25 x 12 )25 925因此( x 1 2228x 1 1692)(54 214)y 1x 1(25x 1x 1 )( 25 4x 1 )2555同理可得 (x 2 4)2y 221(25 4x 2 )5将代入式，得 1(25 4 x 1 )1(25 4 x 2 )18 ． 5 55因此 x 1 x 2 8 设弦 AC 的中点为 P (x 0 , y 0 )则x ax 1 x 2824 ．2。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
江西省上饶市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试题
C． 0.7
D． 0.8
7． 6 名学生参加数学建模活动，有 3 个不同的数学建模小组，每个小组分配 2 名学生，
则不同的分配方法种数为（ ）
A． 45
B． 90
C．180
D． 360
8．已知抛物线
y2
8x ，弦
AB
过抛物线的焦点
F
且满足
uuur AF
uuur 3FB
，则弦
AB
的长为（
）
A． 8 3
A．1
B．2
C．4
D．8
6．某大学有 A, B 两家餐厅，某同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一
天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率是 0.4 ；如果第一天去 B 餐厅，那么第二天去 A
餐厅的概率是 0.8；则该同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率是（ ）
A． 0.5
B． 0.6
12．已知双曲线 C : x2
y2 b2
1b
0 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，左、右顶点分别为 A1 、
A2 ， P 为双曲线右支上的一点，且直线 PA1 与 PA2 的斜率之积等于 2 ，过点 P 的切线与
双曲线的渐近线交于 M 、 N 两点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线 C 的渐近线方程为 y 3x B． PM PN
呈阳性，则对剩下的 5 只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．
(1)若用方案甲，求化验次数为 5 次的概率；
(2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好．
22．已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的两焦点分别为 F1 1,0 、 F2 1,0 ，且椭圆的离
高二下期期末数学测试题及答案解析
高二下期期末数学测试题第I卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（B ）A． B． C． D．2.曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（A）A．B．2 C．3 D．03.曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ A ）A．B．C．D．14.已知函数与的图象如图所示，则（C）A．在区间(0,1)上是减函数B．在区间(1,4)上是减函数C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数5.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（D ）A．B．C．D．6.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（A ）A．B． C.D．7.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为（C ）A．B． C. 6 D．308.在的展开式中，常数项是（D）A．B．C．D．9.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（ B ）个A．10 B．11 C．12 D．1310.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（A ）A．B．C．D．11.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长/min 广告播放时长/min 收视人次/万人甲70 5 60乙60 5 25电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（A ）A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，712.若直线（）和曲线（）的图象交于，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（C ）条切线A．0 B．1 C．2 D．3第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为 -5℃/h．14.随机变量服从正态分布，若，则0.259 ．15.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．16.若直线与曲线满足下列两个条件：（）直线在点处与曲线相切；（）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是___①③_____．（写出所有正确命题的编号）①直线在点处“切过”曲线；②直线在点处“切过”曲线；③直线在点处“切过”曲线；④直线在点处“切过”曲线．①∵，，∴，∴曲线在点处切线为，当时，，当时，，即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；②设，，当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，∴，即在上恒成立，∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确；③∵，，∴，∴曲线在点处切线为，设，，∴是减函数，又∵，∴当时，，即，曲线在切线的下方，当，，即，曲线在切线的上方，③正确；④设，，当时，，当时，，函数在区间上是减函数，当时，，函数在区间上是增函数，∴，即在上是恒成立，∴总在直线上方，不合要求，④不正确．综上，正确命题有①③．三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,,共70分）17.已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x（1）求f′（x）（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；（2）f′（2）=17，故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），即17x﹣y﹣15=0．18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.解：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：解得，又因为，所以.(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为.19某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满100元可抽奖一次，满200元可抽奖两次…依此类推．抽奖箱中有7个白球和3个红球，其中3个红球上分别标有10元，10元，20元字样．每次抽奖要从抽奖箱中有放回地．．．．任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励．（Ⅰ）一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得20元奖励的概率；（Ⅱ）小明有两次抽奖机会，用表示他两次抽奖获得的现金总额，写出的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）设事件，事件则所求概率为（Ⅱ）的可能取值为0,10,20,30,40∴的分布列为所以，．20.已知函数，（其中为自然对数的底数，）. （1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.解（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．21.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为0 1 2 3 422.已知函数.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.（1）依题意：，在上递增，对恒成立，即对恒成立，只需.，，当且仅当时取“”，，的取值范围为.（2）由已知得两式相减，得. 由及，得令，，在上递减，.则有，又，.。
高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)
2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。
高二(下)期末数学试卷
高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数z 在复平面内对应点的坐标为(3,6)，则|2|(z i -= ) A ．3B ．4C ．5D ．62．（5分）5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有( ) A ．24种B ．48种C ．72种D ．120种3．（5分）52()x x-的展开式中3x 的系数为( )66666666666666A ．10B ．10-C ．5D ．5-4．（5分）某铁球在0C ︒时，半径为1dm ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为C t ︒时铁球的半径为(1)at dm +，其中a 为常数，则在0t =时，铁球体积对温度的瞬时变化率为( )（参考公式：34)3V R π=球A ．0B ．a πC ．43a πD ．4a π5．（5分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为( ) A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.46．（5分）正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( ) A ．33B ．63C ．22D ．237．（5分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位．若质点移动6次，则回到原点O 的概率为( )A ．0B ．14C ．516 D ．588．（5分）已知函数()f x xlnx =，()24g x x =-，若12()()f x g x =，则21x x -的最小值为()A ．22e -B ．3e -C ．2e -D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）随机变量~(2,4)X N ，则( ) A ．()2E X =B ．()2D X =C ．(4)(1)P X P X >><D ．(1)(3)1P X P X >+>=10．（5分）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则(A ．12()()f x f x <B ．32()()f x f x <C ．()f x 在(,)a b 内有2个极值点D ．()f x 的图象在点0x =处的切线斜率小于011．（5分）把4个编号为1，2，3，4的球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，则()A ．不同的放法有64种B ．每个盒子放一个球的不同放法有24种C ．每个盒子放一个球，且球的编号和盒子的编号都不相同的不同放法有9种D ．恰有一个盒子不放球的不同放法有72种12．（5分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，BF BC μ=，其中[0λ=，1]，[0μ∈，1]，则( )A ．当1μ=时，三棱锥11AB EF -的体积为定值 B ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等C ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF D ．当λμ=时，11A F C E ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若31iz i-=+，则z z += ． 14．（5分）已知(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若点(P x ，1，1)在平面ABC 内，则x = ．15．（5分）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有 个．（用数字作答）16．（5分）函数,(),x xe x a f x x x a⎧=⎨>⎩，当0a =时，()f x 零点的个数是 ；若存在实数0x ，使得对于任意x R ∈，都有0()()f x f x ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数32()f x x ax b =++在2x =处有极值2-． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[2-，3]上的最值．18．（12分）在国家政策扶持下，近几年我国新能源汽车产业迅速发展．某公司为了解职工购买新能源汽车的意愿，随机调查了30名职工，得到的部分数据如表所示：（1）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为“该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关”；（2）为进一步了解职工不愿意购买新能源汽车的原因，从不愿意购买新能源汽车的被调查职工中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名女职工的概率． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82819．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆是正三角形，AC BC ⊥，D 是AB 的中点． （1）证明：BC PD ⊥；（2）若2AC BC ==，22PA =，求二面角D PA C --的余弦值．20．（12分）为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高i x （单位：)cm 的未成年男性体重的平均值i y （单位：)(1kg i =，2，，12)数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．xyω1221()ii xx =-∑121()()ii i xx y y =--∑121()()ii i xx ωω=--∑11524.3582.95814300 6300 286表中(1i i lny i ω==，2，，12)，112i i ωω==∑．（1）根据散点图判断y ax b =+和cx d y e +=哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y 与身高x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）． （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175cm ，体重为78kg ，他的体重是否正常？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-，20.693ln ≈． 21．（12分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例． （1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（ⅰ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率．（ⅱ）比较（ⅰ）中所求概率的大小，说明其实际含义． 22．（12分）已知函数()(1)()f x ln x ax a a R =++-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()x a f x xe ax -+，求a 的取值范围．高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数212iz i=-的实部与虚部之和为( ) A ．25-B ．25C ．45D ．652．（5分）已知函数32()2f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则f '（2）(= ) A ．24B ．26C ．32D ．283．（5分）函数()23x f x x =-在[0，2]上的平均变化率为( ) A ．32 B ．32-C ．1D ．2-4．（5分）4(23)x -展开式中的第3项为( ) A ．216-B ．216x -C ．216D ．2216x5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果ξ服从正态分布2(70,)N σ．若ξ在[60，70]内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为( ) A ．160B ．200C ．240D ．3206．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是偶数”，则(|)(P B A = ) A ．12B ．25 C ．37D ．387．（5分）已知复数1cos sin ()z i R θθθ=+∈，2z i =，且12z z 在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则tan (θ= )A ．2-B ．2-+CD ．8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有()A ．86种B ．100种C ．112种D ．134种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）已知复数(2)(1)z i i =+-，则( ) A ．1z i =+B ．||z =C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．13zi i=- 10．（5分）已知~(4X B ，)(01)p p <<，则下列结论正确的有( )A ．若13p =，则8()9E X =B ．若13p =，则16(0)81P X ==C ．()1maxD X =D ．若(1)()3P x P X =>=，则102p <<11．（5分）下面四个结论中正确的有( )A ．43)+展开式中各项的二项式系数之和为16B ．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数C ．0.290.251()x x+的展开式中不存在有理项D ．方程10x y z ++=有36组正整数解12．（5分）已知函数2()(2)(2)f x x x a a =->，若函数()(()1)g x f f x =+恰有4个零点，则a 的取值可以是( ) A ．52B ．3C ．4D ．92三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）若随机变量ξ的分布列为．ξ0 1 2 Pa0.2a +0.3则a = ．14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x = ． 15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 ．16．（5分）若221a lna c b d--==，则22()()a c b d -+-的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 [5，10) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35]男 4 6 10 25 10 5 女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5，15)，[15，25)，[25，35]的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关．附：2K =，n a b c d =+++．2)k18．（12分）已知函数()f x 的导函数是()f x '，且21()(1)24f x f x f '=+（1）4x -． （1）求()f x 的解析式；（2）求经过点(0,6)-且与曲线()y f x =相切的直线方程． 19．（12分）已知6621201212(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++⋯+．（1）求2221311a a a ++⋅⋅⋅+的值；（2）求2412a a a ++⋯+的值； （3）求46a a +的值．20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：设第i 个月的利润为y 万元．（1）根据表中数据，求y 关于i 的回归方程ˆˆˆ(22)i yb i a =-+（系数精确到0.01)； （2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元~98万元）（3）已知y 关于i 的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，y 与i 的拟合关系式更适合用ˆˆˆypi q =+还是ˆˆˆ(22)i y b i a =-+，说明你的理由． 参考数据：62221()1933.5,22523188,1418.5259ii yy =-=+=⨯=∑，1140.96109.44⨯=，取2005.4=．附：样本(i x ，)(1i y i =，2，⋯，)n的相关系数()()nii xx y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的系数1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy b xx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分． （1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X 表示游戏结束时所进行的取球次数，求X 的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数234()sin 3f x x sin x m =-+．（1）求()f x 在[0，]π上的单调区间；（2）设函数4()2(2)(16)x g x x e ln x =--，若(0,)α∀∈+∞，[0β∀∈，]π，()()f g βα，求m 的取值范围．。
2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x( )的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为()A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为2x =219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足方程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.22x y +{}n a n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122S AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD '1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=-1=-01λ≤≤1λ=-222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF，因为Q为切点，可知，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率该切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，上，所以，//OQ AF222AF OQ==2222a AF a b-=-OQ AF⊥2AF AF⊥2222AF AF F+=()()2222242244b a bc a b+-==-23a==cea====()1f x=()21f x x'=+()1,1()y f x=l()113k f='=():131l y x-=-:32l y x=-1x=()2122133f x⎛⎫=+-=⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x=223k f⎛⎫'==⎪⎝⎭2l2172:933l y x⎛⎫-=-⎪⎝⎭73y x=2x=219y-=()2,0()32y x=±320x y±=)32x y+=3()2229x y-+=()2229x y-+=()220y px p=>x()()1111,0,0A x y x y>>()11,B x y-12y=1y=)2229x y-+=()21289x-+=解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =*(1)()n n na S n n n =+-∈N 2n ≥1()(1)n n n n na n S S S n n -=-=+-1(1)(1)n n n S nS n n ---=-11n S n --=-11a ==-n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n =-+-=-(2)n S n n =-2n ≥()11(3)n S n n -=--()()121(3)23n n n a S S n n n n n -==----=--1n =23n a n =-()()()1123nnn n b a n =-=--{}n b (11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e x f x f x -+'=()()e e 1x x x f x f +'=()e 1x f x '⎡⎤=⎣⎦()e xf x x m =+0x =()00f =0m =()e xf x x -=()()2e 1e x f x -<-()2e e 1e x x x --<-e e e x x x x --<()e e x xg x x x -=-()()e e x x g x x x g x --=-+=()g x ()e e e e x x x x g x x x --'=++-0x ≥e e 0x x x x -+≥e e 0x x --≥()e e e x x xg x x x -'=++e 0x --≥()g x [)0,+∞()11e e g -=-0x ≥()e x g x x =-e e xx -<-)0,1为偶函数，故.故选：C8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=(,y k xx⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k--++=()2Δ410k=+>A Bx x+=A Bx x=Bx-==()g x()eg x<)1,1-=2A BNx x+==NMN x=-==(2k=±+2220x y x+-=22(1)1x y-+=(1,0)1r=(2,0)(2,0)2x=1yx+(,)x y(1,0)A-当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为C 错误；对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；的前5项和为11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎫⎬⎭1111134457-+-++ 111838-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C 选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD 12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =与所成角为，则与所成角的余解析：设动点，则.又.化简得，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）（2）最小值为.解析：（1）圆M的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；BP DQ θcos BP DQ BP DQθ⋅===⋅ BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=-- MN MP ⋅ ()34x ∴--=2234x y +=213y +=∴23y +=213y =()()222125x y +++=0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP 2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n =ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x=()f x22ln2f=-ex=()f x2(e)e4f=-[)1,-+∞(0,)+∞2a=-2()2lnf x x x=-+2()2f x xx'=-+=()0f x'>1x>()f x(1,)+∞4a=-2()4lnf x x x=-+4()2f x xx'=-+=x>0x<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=lne lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a 的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②()22ln h x x x =+-22()1x h x x x-'=-=2()0x h x x -'=>2e x <≤2()0x h x x-'=<12x ≤<()h x [)1,2(]2,e ()(2)2(2ln 2)0h x h ≥=->[1,e]x ∈()2(1)(22ln )()0ln x x x g x x x -+-'=≥-min ()(1)1g x g ==-[)1,-+∞12n +24n n S a =- ∴2n ≥1124n n S a --=-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+--①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫-⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP1 2AP=2,03⎛⎫-⎪⎝⎭所以存在定点Q为.AP。
高二数学上学期期末测试试题(共10页)
高二年级期末(q ī m ò)测试上学期数学试卷〔考试时间是是：120分钟 总分：160分〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分.请把答案填．．．．．写上在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．. 的准线方程是 .2.命题“〞的否认是 ．中，双曲线：〔〕的一条渐近线与直线：垂直，那么实数.4.在等差数列中，,那么 ．5.假设△的内角所对的边满足，且角C=60°，那么的值是 ．6.原命题：“设＞bc 〞那么它的逆命题的真假为 ．7．假设方程表示焦点在轴上的椭圆，那么的取值范围是 ．8.在数列}{n a 中，，，其中为常数，那么B A ,的积等于 ．中，为上底面的中心(zh ōngx īn)，且每两条的夹角都是60º，那么向量的长．10.，假设是真命题，那么实数a 的取值范围是___．11.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是 ．12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，那么这两个数的和为________．13.给出以下四个命题：①假设a ＞b ＞0，那么1a ＞1b；②假设a ＞b ＞0，那么a －1a ＞b －1b；③假设a ＞b ＞0，那么2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④假设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，那么2a ＋1b的最小值为9.其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (N *)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有一样的数. 那么n 的最大值是 ．二、解答题：〔本大题一一共6小题，计90分．请把答案填写上在答题纸相．．．．．．．．．．．．应位置上．．．．, ．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．〕15．(此题满分是14分〕公比(ɡōnɡ bǐ)为3的等比数列与数列满足，且，〔1〕判断{}n a是何种数列，并给出证明；〔2〕假设，求数列的前项和16．(此题满分是14分〕△ABC 中，在边上，且o ，o．〔1〕求的长；〔2〕求△ABC的面积．17．(此题满分是14分〕如图，正三棱锥ABC—A1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为a，M是A1B1的中点．〔I 〕求证：是平面ABB1A1的一个法向量；MA1 B1C1〔II〕求AC1与侧面ABB1A1所成的角．18．(此题满分(mǎn fēn)是16分〕椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点P(1，32)。
江苏南京六校联合体2024年高二下学期期末调研测试数学试卷
2023-2024学年第二学期六校联合体期末调研测试高二数学2024.6.24注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于x ，y 两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r （如下），则线性相关性最强的是A ．－0.87B ．0.72C ．－0.78D ．0.852．在空间直角坐标系O －xyz 中，点(－1，2，3)关于x 轴的对称点坐标是A ．(1，2，3)B ．(－1，－2，3)C ．(－1，－2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋…＋a 8(x －1)8，则a 0＋a 1＋…＋a 8＝A ．－1B ．0C ．1D ．24．3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是A ．24B ．48C ．96D ．1205．已知函数f (x )＝tan x ，那么f '(π3)的值是A.33B.3C.2D.46．已知随机变量X ，Y 满足:X ～B (4，p )，P (X ＝0)＝1681，X ＋2Y ＝1，则A ．E (X )＝23B ．E (Y )＝－13C ．D (X )＝49D ．D (Y )＝297．给出下列四个命题，其中真命题是A ．若向量a 与向量b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y cB ．若存在实数x ，y ，使MP →＝xMA →＋yMB →，则点P ，M ，A ，B 共面C ．直线a 的方向向量为a ＝(1，0，－1)，平面α的法向量为m ＝(1，1，1)，则a ⊥αD ．若平面β经过三点P (－1，2，0)，Q (1，0，－1)，T (0，1，0)，向量n ＝(1，x ，y )是平面β的法向量，则x ＋y ＝28．若函数2)(x ae x f x -=有两个极值点21,x x ，且21x x <，则下列结论中不正确的是A ．12>x B ．112x e x <C ．a 的范围是2,0(eD ．0ln ln 21<+x x 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．9．A －，B －分别为随机事件A ，B 的对立事件，下列命题正确的是A ．P (A |B )＋P (A －|B )＝1B ．若P (A )＞0，P (B )＞0，则P (A )＋P (B )＝P (A ＋B )C ．若P (A |B )＝P (A )，则A 与B 独立D ．P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝P (A )10．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2－x ，下列选项正确的是A ．若f (x )在区间(0，2)上单调递减，则a 的取值范围为(34，＋∞)B ．若f (x )在区间(0，2)上有极小值，则a 的取值范围为(－∞，34)C ．当a ＝0时，若经过点M (2，m )可以作出曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为(－2，23)D.若曲线y ＝f (x )的对称中心为(1，－53)，则a ＝111．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点F 在底面ABCD 内运动(含边界),点E 是棱CC 1的中点,则A.若F 在棱AD 上时，存在点F 使cos ∠D 1B 1F ＝56B.若F 是棱AD 的中点，则EF //平面AB 1CC.若EF ⊥平面B 1D 1E ，则F 是AC 上靠近C 的四等分点D.若F 在棱AB 上运动，则点F 到直线B 1E 的距离最小值为255三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．平面α过点A (0，1，0)，其法向量为m ＝(0，2，1)，则点B (1，1，1)到平面α的距离为▲________．13．从集合U={a 1，a 2，a 3，a 4}的子集中选出2个不同．．的子集A ，B ，且A ⊆B ，则一共有▲________种选法．14．现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球．先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒．记事件A 为“从甲盒中取出2个红球”，事件B 为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P (B |A )＝▲________，P (－A －B )＝▲________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据：（1）求a ,b 的值，并判断是否有90％的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？（2）经调查，学生的学习效率指数y 与每天锻炼时间x （单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见右下表，求y 关于x 的线性回归方程．附：（1）()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（2）()()()1122211ˆ,ˆˆnni iiii i n niii i x x yy x ynx y ba y bxx x xnx ====---===---∑∑∑∑16．(本小题满分15分)已知),3()2()(*N n n x x f n ∈≥+=的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）求)001.0(f 的近似值（精确到0.01）；（3）求n x )2(+的二项展开式中系数最大的项．男学生女学生合计喜欢运动a b 60不喜欢运动b b合计60100x 23456y 2.533.556α0.10.050.01x α2.7063.8416.63517．(本小题满分15分)如图，所有棱长均为2的正四棱锥P －ABCD ，点M ，N 分别是PA ，BD 上靠近P ，B 的三等分点.（1）求证：MN ⊥BC ；（2）求二面角M －CN －B 的余弦值．18．(本小题满分17分)某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知甲同学每次投进的概率为13，乙同学每次投进的概率为23，且甲、乙每次投篮相互独立．（1）求甲最后得3分的概率；（2）记甲最后得分为X ，求X 的概率分布和数学期望；（3）记事件B 为“甲、乙总分之和为7”，求P (B )．19．(本小题满分17分)定义：如果函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象上分别存在点M 和点N 关于x 轴对称，则称函数y ＝f (x )和y ＝g (x )具有“伙伴”关系.（1）判断函数f (x )＝9x －4与g (x )＝3x +1是否具有“伙伴”关系；（2）已知函数f (x )＝ln x －ax －1，x ∈(1，＋∞)，a ＞0，g (x )＝1－a x ＋2a .①若两函数具有“伙伴”关系，求a 的取值范围；②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋14n ＞ln2，其中n 为正整数．。
高二数学试卷期末题及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。
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高二数学期末测试题
题号 一 二 三 总分
16 17 18 19 20 21 22
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知Rcba,,，下列命题正确的是 （ ）
A．22bcacba B．bacbca
C．baabba11033 D．baabba11022
2．过点M（－4，3）和N（－2，1）的直线方程是 （ ）
A．03yx B．01yx C．01yx D．03yx
3．圆01)4()3(22yxyx关于直线对称的圆的方程是 （ ）
A．1)4()3(22yx B．1)3()4(22yx
C．1)3()4(22yx D．1)4()3(22yx
4．过椭圆13422yx的焦点且垂直于x轴的直线l被此椭圆截得的弦长为 （ ）
A．23 B．3 C．32 D．3
5．若0,0ba，则与不等式axb1等价的是 （ ）
A．axbx11或 B．bxa11
C．axxb1001或 D．bxxa1001或
6．若a、1||||,baRb成立的充分不必要条件 （ ）
A．1||ba B．21||21||ba且
C．1a D．1b
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7．与椭圆1251622yx共焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为 （ ）
A．14522xy B．14522yx C．13522xy D．13522yx
8．不等式)310)(31(xxxy的最大值是 （ ）
A．2434 B．121 C．641 D．721
9．两定点A（－2，－1），B（2，－1），动点P在抛物线2xy上移动，则△PAB重心G
的轨迹方程是 （ ）
A．312xy B．3232xy C．3222xy D．41212xy
10．直线220323yxyx截圆=4得的劣弧所对的圆心角为 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
11．不等式2|2|xxxx的解集是 （ ）
A．（－2，0） B．]0,2( C．R D．),0()2,(
12．定长为)2(2abll的线段AB的端点在双曲线222222bayaxb的右支上，则AB中
点M的横坐标的最小值为 （ ）
A．222baal B．222bala C．222)2(baala D．222)2(baala
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若不等式}213|{0342xxxxxax或的解集为，则a= .
14．设椭圆)0(12222babyax的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等
于F1到l1的距离，则椭圆的离心率为 .
15．F1，F2是双曲线145422yx的两个焦点，P是双曲线上的点，已知|PF1|，|PF2|，|F1F2|
依次成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2= .
16．给出下列命题：
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（1）角2tanxy是的倾斜角
（2）若x、|"|||||""0",yxyxxyRy是则的充要条件
（3）若xxRx22,则的最小值为2
（4）若定义1*)1(*)1(,1)1)(1(*xxxxyxyx则
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．已知不等式}1|{2)63(log22bxxxxax或的解集是.
（1） 求a，b的值，（2）解不等式0baxxc（c为常数）.（12分）
18．求过点P（1，6）与圆25)2()2(22yx相切的直线方程.（12分）
19．已知椭圆12222byax，其长轴长是短轴长的2倍，右准线方程为334x.
（1）求该椭圆方程，
（2）如过点（0，m），且倾斜角为4的直线l与椭圆交于A、B两点，当△AOB（O为
原点）面积最大时，求m的值.（12分）
20．已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过曲线12222byax的右焦点，且与x轴垂直，
抛物线与此双曲线交于点（6,23），求抛物线与双曲线的方程.（12分）
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21．已知抛物线xy42的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k的直线
l交抛物线于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（,0xO）.
（1）求k的取值范围
（2）求证：30x
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出k的值，若不能，请说明理
由.（14分）
高二数学期末测试题参考答案
一、1． C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．A 12．D
二、13．－2 14．21 15．120° 16．（4）
三、17．（1）a=1, b=2 （3）c<－2时，解集为（c,－2）; c=－2时空集；c>－2时，
解集为（－2，c）
18．解：∵圆心为（－2，2） ∴|OP|=5 则P在圆上，且切线的斜率存在.
设切线方程为06)1(6kykxxky即
由0274343,51|622|2yxkkkk切线方程为解得
19．解（1）2343,22222aceabacba.
又141,3,2334222yxbcaca椭圆方程为
（2）设mxyl:，代入椭圆方程得0448522mmxx
令550)44(206422mmm得.设544,58),(),(221212221mxxmxxyxByxA则
2212
2121
55244)(2||2||mxxxxxxAB
原点O到l的距离2||md
425)25(525||52||2
1
222
mmmdABS
OAB
时当252m
，S取得最大值. 即当△AOB的面积最大时，.210m
20．解：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的焦距）.
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设抛物线的方程为.42cxy∵抛物线过点112346)6,23(22bacc即①
又知16491)6()23(222222baba② 由①②可得43,4122ba
∴所求抛物线的方程为xy42，双曲线的方程为134422yx
21．解：设安排生产产品Z、Y的件数分别为x，y，利润总额为S元.
由题意得约束条件为0,01563125321004yxyxyxyx 如图，作出可行域.
若市场情况如（I），则目标函数yxS10002000
作直线02010002000:1yxyxl即.
把l1向右上方平移到l1′的位置时，直线经过可行域
上的点C，且与原点距离最大，此
时S取得最大值. 解9,49.156312532yxcyxyx点坐标得.此即所求最优解.
若市场情况如（II）则目标函数030001000:,300010002yxlyxS作直线
即03yx，把l2向右上方平移至l2′的位置时,直线经过可行域上的点B,且与原点距
离最大，此时S取得最大值，解方程组.1540100412532yxByxyx点坐标得此即所求最优解.
答：若市场情况如（I），应生产Z、Y各49件和9件.
若市场情况如（II），应生产Z、Y各40件和15件.
22．解：由题设有)0,1(),0,1(MF（1）设0)2(24)1(),1(:22222kxkxkxyxkyxkyl得由
令11016164)2(42422kkkk得
（2）设AB中点为kxkykkxxxyxPPPPP2)1(,22),,(2221则
∴AB的垂直平分线的方程为)2(1222kkxkky
令322121002220xkkkxy得
（3）
PEFkkPkEF).2,21(),0,21(),0,1(
22
是以EF为底的等腰三角形.
C
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)1,1(22,21221121222kkkk则
∴△PEF能构成以EF为底的等腰三角形，此时22k