菱形1八年级数学表格式教案
八年级数学下册《菱形的判定定理》教案、教学设计
-菱形是一种特殊的平行四边形，具有独特的性质和判定定理。
-掌握菱形的判定定理有助于解决实际问题，提高几何解题能力。
-菱形与其他几何图形之间有一定的联系，可以相互转化。
3.教师寄语：希望同学们能够将本节课所学的知识运用到实际生活中，不断探索、发现数学的奥秘。同时，要注重课后复习，巩固所学知识，为今后的学习打下坚实基础。
1.教学内容：菱形的定义、性质及判定定理。
-菱形的定义：四边相等的四边形。
-菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线上的点到对边的距离相等。
-菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，引导学生理解菱形的定义、性质及判定定理。
4.教学拓展：
-鼓励学生课后自主探究菱形与其他几何图形的联系，如菱形与正方形、矩形的性质对比。
-组织学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，提高学生的几何素养和综合素质。
-结合信息技术，如数学软件、在线课程等，为学生提供丰富的学习资源和拓展空间。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张美丽的风筝图片，邀请学生观察并描述风筝的形状。引导学生发现风筝的对称美，进而引出菱形的概念。
（四）课堂练习
1.教学活动：教师发放练习题，学生独立完成，教师对答案进行讲解。
2.练习内容：
-判断给定图形是否为菱形，并给出证明。
-运用菱形性质解决实际问题，如求菱形的面积、周长等。
-分析菱形与其他几何图形的关系，如矩形、正方形等。
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结菱形的定义、性质及判定定理。
八年级数学下册《菱形的性质定理》教案、教学设计
5.与家长共同探讨菱形在生活中的应用，请家长协助拍摄一些含有菱形元素的照片或视频，并简要说明菱形在这些实例中的作用。
作业要求：
1.请同学们按时完成作业，保持书写工整、清晰，便于老师批改和同学们互相学习。
1.老师出示一些生活中的实物图片，如菱形形状的瓷砖、首饰、风筝等，让学生观察并思考这些图形的特点。
2.学生分享观察到的特点，如四条边相等、对角线互相垂直等。
3.老师引导学生总结出菱形的基本特征，为新课的学习做好铺垫。
4.提出问题：“我们已经学过平行四边形，那么菱形与平行四边形有什么关系呢？今天我们将进一步学习菱形的性质定理。”
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活中的实例，如菱形图案的设计，引出菱形的概念，激发学生的学习兴趣。
-利用多媒体展示不同形状的菱形，让学生观察并发现菱形的特征，为新课的学习做好铺垫。
2.探究新知：
-采用小组合作的方式验证菱形的性质定理。
-设计具有启发性的问题，引导学生思考，如“为什么菱形的对角线会互相垂直平分？”、“如何运用菱形的性质解决面积和周长问题？”等，帮助学生深入理解性质定理。
3.知识巩固：
-设计不同难度的例题和练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识，提高应用能力。
-通过变式题目的训练，培养学生的发散思维和创新能力，加深对菱形性质定理的理解。
4.方法指导：
-教会学生运用数形结合、分类讨论等方法，解决与菱形相关的综合问题。
-引导学生总结解题技巧，形成解题策略，提高解决问题的能力。
2.学生分享学习心得，总结自己在学习过程中遇到的困难和解决方法。
人教版八下数学18.2.2菱形 课时2 菱形的判定教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。
八年级数学下册 菱形的性质教案
18.2.2菱形第1课时菱形的性质1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4(cm)；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．【类型三】运用菱形的性质证明角相等如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO ＝∠DCO .解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD ＝OB ，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH ＝OB ，∠OHB ＝∠OBH ，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH ＝∠ODC ，然后根据“等角的余角相等”证明即可．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°.∵DH ⊥AB ，∴OH ＝12BD ＝OB ，∴∠OHB ＝∠OBH .又∵AB ∥CD ，∴∠OBH ＝∠ODC ，∴∠OHB ＝∠ODC .在Rt △COD 中，∠ODC ＋∠DCO ＝90°.在Rt △DHB 中，∠DHO ＋∠OHB ＝90°，∴∠DHO ＝∠DCO .方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．【类型四】 运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图①，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在边AB 、AD 上．若AE ＝DF ，易知△ADE ≌△DBF .探究：如图②，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在BA 、AD 的延长线上．若AE ＝DF ，△ADE 与△DBF 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，点O 是AD 边的垂直平分线与BD 的交点，点E 、F 分别在OA 、AD 的延长线上．若AE ＝DF ，∠ADB ＝50°，∠AFB ＝32°，求∠ADE 的度数．解析：探究：△ADE 与△DBF 全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD 为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE ≌△DBF ；拓展：因为点O 在AD 的垂直平分线上，所以OA ＝OD ，再通过证明△ADE ≌△DBF ，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE 的度数．解：探究：△ADE 与△DBF 全等．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∵AB ＝BD ，∴AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 为等边三角形，∴∠DAB ＝∠ADB ＝60°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝120°.∵AE ＝DF ，∴△ADE ≌△DBF ；拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA ＝OD .∴∠DAO ＝∠ADB ＝50°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝130°.∵AE ＝DF ，AD ＝DB ，∴△ADE ≌△DBF ，∴∠DEA ＝∠AFB ＝32°，∴∠EDA ＝∠OAD －∠DEA ＝18°.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．探究点二：菱形的面积已知菱形ABCD 中，对角线AC与BD 相交于点O ，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是( )A ．163B ．83C ．43D ．8解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，OA ＝12AC ＝2，OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∠BAD ＋∠ABC ＝180°.∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝AB2－OA2＝42－22＝23，∴BD＝2OB＝43，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×4×43＝8 3.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．三、板书设计1．菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的面积S菱形＝边长×对应高＝12ab(a，b分别是两条对角线的长)通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．。
人教版八年级下册数学教案设计：18.2.2 菱形 第一课时
课题
第1课时
教学目标
知识与技能：掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
过程与方法：通过运用菱形知识解决具体问题，理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
情感态度与价值观：提高分析能力和观察能力，通过画图向学生渗透集合思想．
重点
菱形的性质1、2．
菱形的性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形）
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P57练习1、2
小结：
本节课你有何收获？
板书预设
菱形的定义 例3菱形的源自质教导处（教研组）审阅意见
3.对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现菱形还有一些性质：
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
流
教师指导学生归纳总结，并适时点拨、评价。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
强调：菱形是平行四边形；一组邻边相等．
学生独立完成练习，小组长批改，小组内纠正。
个别学生总结收获，相互补充,让全班学生更加明确本节课的知识点。
作
业
布
置
课后作业：P605、11
前置性作业设计：
1.的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。
2.你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？
人教版八年级数学下册《菱形的判定》教学设计
人教版八年级（下）18.2.2菱形的判定教学设计教材分析在本章的学习中，教材已研究了平行四边形性质和判定、矩形性质和判定、菱形的定义和性质，学生已初步了解并掌握了特殊四边形的一些判定方法。
本节知识,既是前面所学知识的延续和拓展，也为下一节学习正方形和其他平面图形作必要的知识储备。
本节课，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。
学情分析学生在此前已经学习了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、菱形的定义和性质，掌握了菱形性质的简单应用，学生在此基础上探究菱形的判定方法。
由于八年级的学生对事物的感性认识丰富，正在向抽象思维转型，所以本节课让学生在丰富的实践活动中，探索学习，推理论证得出菱形的判定方法，利用菱形的判定方法解决问题，促使学生从感性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。
教学目标及重、难点分析【教学目标】1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算；2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路．3.从学生已有的知识出发，让学生在动手操作、讨论交流、归纳总结的过程中，加深对菱形判定方法的理解，感受身边的数学，以及合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学习数学的热情，树立学好数学的信心。
【重点】菱形判定条件的探索、证明和应用．【难点】引导学生探究菱形的判定方法,并利用菱形的判定方法解决实际问题。
教学过程设计一、创设问题，引入新课【问题引入】为了迎接第33届牡丹花会，公园里的园艺师建造了一个如图所示平行四边形花坛ABCD，经测量花坛的边长AB=20米，沿着花坛的两条对角线修建的两条小路AC和BD交于点O，AC=24米，BD=32米，小亮说这是个菱形花坛。
他的说法正确吗？为什么？【设计意图】联系实际，激发兴趣。
师：菱形该如何判定呢？你会吗？这节课我们一起来学习《菱形的判定》。
2020-2021学年下学期人教版八年级数学第18章18.2.2菱形(教案)
4.培养学生的团队合作意识：在小组讨论和探究过程中，培养学生与他人合作解决问题的能力，增强团队合作意识。
5.激发学生的创新意识：鼓励学生在探索菱形性质和判定方法的过程中，勇于提出自己的观点和方法，培养学生的创新意识。
（3）区分菱形与其他四边形：在学习过程中，学生容易将菱形与其他四边形（如矩形、正方形等）混淆。
举例：通过对比分析，让学生了解菱形与其他四边形在性质和判定方法上的异同，提高区分能力。
（4）在实际问题中运用菱形知识：将菱形知识应用到实际问题的解决中，对于学生来说是一个挑战。
举例：设计一些与实际生活相关的题目，让学生学会运用菱形知识解决实际问题，提高知识运用能力。
举例：利用几何画板或实物模型，让学生观察并证明菱形的性质，加深对性质的理解。
（3）掌握菱形的判定方法：学会两种判定菱形的方法，并能灵活运用。
举例：通过具体例题，让学生学会运用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，以及四边相等的四边形是菱形这两个判定方法。
2.教学难点
（1）理解并证明菱形的性质：对于初学者来ห้องสมุดไป่ตู้，理解菱形的性质并运用严密的逻辑推理进行证明是一大难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《菱形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过四边相等的图形？”（如窗户的形状、地砖的布局等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
3.菱形的判定方法：学习并掌握两种判定菱形的方法，即对角线互相垂直平分的四边形是菱形，以及四边相等的四边形是菱形。
菱形的判定-人教版八年级数学下册教案
菱形的判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解菱形的定义和性质；
2.学会根据菱形的性质判定一个图形是否为菱形；
3.能够利用菱形的性质解决一些实际问题。
二、教学重点和难点
1.教学重点：菱形的定义和性质；
2.教学难点：根据菱形的性质判定一个图形是否为菱形。
三、教学内容及安排
第一课时
1. 教学内容
1.通过探究发现菱形的定义和性质；
2.初步学会利用菱形的性质判定一个图形是否为菱形。
2. 教学安排
1.通过引导学生观察和实践，让他们自己发现什么是菱形；
2.学生们通过讨论归纳出菱形的定义和性质；
3.老师讲解菱形的定义，让学生进一步理解和巩固；
4.根据已经掌握的知识，通过判定图形是否对称来让学生初步学会利用菱形的性质判定一个图形是否为菱形。
第二课时
1. 教学内容
1.完善菱形的定义和性质；
2.学会更加准确地判定一个图形是否为菱形。
2. 教学安排
1.老师讲解完善菱形的定义和性质；
2.通过实例让学生更加准确地判定一个图形是否为菱形；
3.让学生自己找一些实际问题并利用菱形的性质解决。
四、教学方法
1.探究式学习；
2.合作学习；
3.讲解与演示。
五、教学评价
1.学生能够准确地定义和描述什么是菱形；
2.学生能够根据菱形的性质准确地判定一个图形是否为菱形；
3.学生能够利用菱形的性质解决一些实际问题；
4.学生能够在小组中合作学习，提高团队协作能力。
六、拓展学习
1.制作一个关于菱形的知识卡片；
2.在日常观察中寻找菱形；
3.使用菱形布置一些数学题目。
1.1.3菱形的性质与判定(教案)
（2）菱形的性质：对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角，这是菱形与其他四边形区分的关键特征。
举例：通过实际操作和观察，使学生理解并掌握菱形对角线的特性。
（3）菱形的判定方法：掌握四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角等判定方法。
举例：通过例题和练习，让学生熟悉并掌握各种判定要学习的是《菱形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过形状像钻石的图案？”（例如，窗户上的装饰图案）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
1.1.3菱形的性质与判定（教案）
一、教学内容
《菱形的性质与判定》选自八年级数学教材第1章第3节。本节内容主要包括以下两部分：
1.菱形的性质：讨论菱形的定义，即四边相等的四边形为菱形；掌握菱形的对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角的性质。
2.菱形的判定：学习使用四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角等方法判定一个四边形是否为菱形；同时，掌握菱形与矩形、平行四边形、正方形之间的关系。
其次，在新课讲授环节，我尝试以理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式组织教学内容。从学生的反馈来看，这种教学方式有助于他们理解菱形的性质和判定方法。但同时，我也注意到部分学生对菱形对角线性质的推导和判定方法的应用仍存在困难。这可能是因为我在这部分讲解的深度和广度还不够，需要进一步加强。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，提高他们的动手能力和团队协作能力。但我也发现，在实验操作过程中，部分学生动手能力较弱，对实验步骤不够熟悉。为了提高实践活动的效果，我需要在课前对学生进行更多的引导和培训。
八年级数学下册26_2菱形的判定教案新版湘教版1
2.6.2菱形的判定教学目标：1．明白得并把握菱形的概念及两个判定方式；会用这些判定方式进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方式的探讨与综合应用中，培育学生的观看能力、动手能力及逻辑思维能力．教学重点：菱形的两个判定方式．教学难点：判定方式的证明方式及运用．教学进程：一、忆一忆（1）菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线彼此平分，而且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的概念进行菱形的判定，应具有几个条件？（判定：2个条件）二、探一探：要判定一个四边形是菱形，除依照概念判定外，还有其它的判定方式吗？用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，周围围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，那个四边形何时变成菱形？通过演示，容易患到：菱形判定方式1 对角线彼此垂直的平行四边形是菱形．注意此方式包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线彼此垂直．通过教材P109下面菱形的作图，能够取得从一样四边形直接判定菱形的方式：菱形判定方式2 四边都相等的四边形是菱形．例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC 别离交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线彼此垂直的平行四边形是菱形)．三、练一练1．填空：（1）对角线彼此平分的四边形是；（2）对角线彼此垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且彼此平分的四边形是________；（4）两组对边别离平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长别离为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
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天津市第六十三中学课时教案
1
年级： 学科： 第 学期 第_____周 第_______课时
课题: 菱形1
教
学
目
标
知识与能力：
1、经历观察菱形的特点、猜想及证明的过程，理解菱形性质定理及其推论．
2、通过练习及例题的分析，能正确运用性质解题．
过程与方法：1、经历亲身体验、动手实验的过程，发展探索知识的能力．
2、经历定理及推论的总结，培养对命题的抽象概括能力，加强发散思维的训
练。
情感态度价值观：1、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于探索的精神
和能力，形成良好的思维品质。
2、通过分组讨论，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
教学
重、
难点
重点：菱形的性质
难点：菱形的性质
学情
分析
学生的空间想象能力不强，经历定理及例题的训练，提高解决一般文字命题
的证明方法的能力，培养逻辑思维能力和创造性思维能力．
课前
准备
多媒体
教学
过程
教师活动 学生活动 设计意图
创设
情境
1、前面我们学习了矩形的性质和判定。请大家回忆一下矩形的性质和判定。 2、我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，平行四提问学生 引起学生学习这
节课的兴趣
天津市第六十三中学课时教案
2
边形的一个角是直角就是
矩形，如果有一组邻边相等
就是就成为了另一种特殊
的平行四边形，这就是今天
我们要研究的——菱形。
自主探究 一、学习菱形的定义 请同学们根据刚才的演示图试着给出菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 三、学习菱形的性质定理 从定义上分析，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。那么除了这两个特点之外，大家观察，菱形还有什么特点？ 命题1：菱形的四条边都相等。
定理1：菱形的四条边都相
等。
定理的应用格式：
命题2：菱形的对角线互相
垂直。
定理2：菱形的对角线互相
垂直，每条对角线平分一组
对角。
菱形的面积；
已知菱形两条对角线长为
a、b，求菱形的面积.
推论:菱形面积等于它的两
条对角线乘积的一半.
学生活动
学习教材，分析问题。
寻求答案
并师生共同写出过程
引导学生通过合
理、正确的思维方
法，得出菱形的性
质
尝试应用 练习： 1、菱形的四边 ；两条对角线 ，并
且 .
2、四边形ABCD是
菱形，O是两条对
针对自我尝试所完成的问
题，让学生总结问题解决时
所用到的知识点、方法规律
问题解决策略及易错点。
通过学生自己
动手操作，找到解
决问题的方法。
天津市第六十三中学课时教案
3
角线的交点，AB=5，
AO=4，则对角线AC
的长为 、
BD的长为 .
3、菱形的两条对角线
的长分别是6和8，则其周
长为 ，面积
为 .
4、用你认为是最简洁
的方法画一个菱形.
成果展示 1、.菱形的两条对角线将菱形分成\_____个等腰三角形；_____个直角三角形. 2.菱形的对角线长为4和6求面积 3.菱形的对角线长为6和8求边长 4.菱形的边长为10，一条对角线长为12，求另一条对角线长
5.菱形的面积为24，一条对
角线长为6，求另一条对角
线的长度。
6.菱形的边长为10,一个内
角为60º,求对角线的长
7.菱形的周长为24，短对角
线为6，求各内角
8.菱形的边长为8，一个内
角为120º，求对角线的
长
让学生根据自我反思、交流
总结问题解决的方法、技
巧、创新思路和未能解决的
问题，为成果展示奠定基
础。
教师随时纠正学
生出现的错误。
补偿
提高
一、本节课你有哪些收获？ 1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、菱形的性质 菱形的四条边都相等，对边互相平行 菱形的对角相等,邻角互补 针对学生出现的问题，有选择的做《同步》的题目 学生互相补充
天津市第六十三中学课时教案
4
菱形的对角线互相垂直平
分、且每一条对角线平分一
组对角
菱形面积等于它的两条对
角线乘积的一半.
板书
设计
菱形1
一菱形的定义
二菱形的性质
例题
练习
课后
反思