2019年高中提前招生考试数学试卷及答案

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2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(广东卷)

试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第一部分选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( 1 ) 若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N = （）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}【答案】B解: ∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或， ∴M ∩N }0{=，故选B ．( 2 ) 若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （）A ．0B ．2C ．25 D ．5【答案】D解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即，522=+b a ，故选D ．( 3 ) 93lim 23-+-→x x x =（）A ．61-B ．0C ．61 D ．31 【答案】A 解: 6131)3)(3(3933323lim lim lim-=-=-++=-+-→-→-→x x x x x x x x x ，故选A ．( 4 ) 已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形（如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为（） A ．41B ．21C ．63D ．43【答案】D解:∵ ,ABC B B 平面⊥'A'C'AC图1∴43343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ．故选D.( 5 ) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32【答案】B解: ∵轴上焦点在x ，∴2=a ，∵ 21==a c e ，∴22=c ， ∴23222=-==c a b m ，故选B ．( 6 )函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（）A ．),2(∞+B ．)2,(∞-C ．)0,(-∞D ．（0，2）【答案】D解: ∵,63)(2x x x f -='20,063,0)(2<<<-<'x x x x f 解得即令，故选D ．( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//．其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C解：③是假命题，如右图所示满足βα//,//m l , βα//，但 m l \// ，故选C ．( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（）A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 【答案】C解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像lαβm关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移２个单位，再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数)(x f 的表达式为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f【答案】A解：将图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得下图A ，从而可以得到)(x g 的图象，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ，∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f ，故选A ．(也可以用特殊点检验获得答案)（10）已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1xA ．23B ．3C ．4D ．5【答案】B解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x xx n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ，∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ，nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．第二部分非选择题(共100分)二．填空题：本大题共4小题目，每小题5分，共20分．(11)函数xex f -=11)(的定义域是．【答案】)0,(-∞解：使)(x f 有意义，则01>-x e ， ∴ 1<x e ，∴0<x ，∴)(x f 的定义域是)0,(-∞．(12)已知向量)3,2(=，)6,(x =，且b a //，则=x ．【答案】4解：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x .(13)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos．【答案】22±解：4)45(+x 的通项为r r rx C )45(44⋅⋅-，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ.(14)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）【答案】5，)2)(1(21-+n n解：由图B 可得5)4(=f ，由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，可推得∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个， ∴)1(432)(-++++=n n f2)2)(12(--+=n n)2)(1(21-+=n n ．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ( 15 )（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.【答案】解: )23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f ++--+++=πππππ)23sin(32)23cos()23cos(x x x +++++=πππ)23sin(32)23cos(2x x +++=ππ]3sin )23sin(3cos)23[cos(4ππππx x +++= x 2cos 4=∴ ]4,4[)(-∈x f ，ππ==22T ， ∴)(x f 的值域是]4,4[-，最小正周期是π．( 16 ) （本小题共14分）如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，342,8,10====PB AC AB PC ．F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥．（Ⅰ）证明：ＣＥF PB 平面⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的大小．图BABPF E(Ⅰ)证明：在ABC ∆中， ∵,6,10,8===BC AB AC ∴,222AB BC AC =+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证，△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形．在PCB Rt ∆中，∵,341715,342,6,10====CF PB BC PC ∴,CF PB BC PC ⋅=⋅ ∴,CF PB ⊥ 又∵,,F CF EF PB EF =⊥ ∴.CEF PB 平面⊥（II ）解法一：由（I ）知PB ⊥CE ，PA ⊥平面ABC∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE ∴CE ⊥平面PAB ，而EF ⊂平面PAB ， ∴EF ⊥EC ，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角， ∵EFB PAB ∆∆~∴35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB ， ∴二面角B —CE —F 的大小为35arctan ．解法二：如图，以C 点的原点，CB 、CA 为x 、y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则)0,0,0(C ，)0,8,0(A ，)0,0,6(B ，)6,8,0(P ，∵)6,0,0(=PA 为平面ABC 的法向量，)6,8,6(--=PB 为平面ABC 的法向量， ∴34343342636,cos -=⋅-=<PB PA ， ∴二面角B —CE —F 的大小为34343arccos ．(17 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点O 的两不同动点Ａ、Ｂ满足BO AO ⊥（如图４所示）（Ⅰ）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．y C解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率显然存在，∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，① ∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤，设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦，由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆得重心G 的轨迹方程．（Ⅱ）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB ，∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．解法二：（Ⅰ）∵ AO ⊥BO, 直线OA ，OB 的斜率显然存在， ∴设AO 、BO 的直线方程分别为kx y =，x ky 1-=，设),(11y x A ，),(22y x B ，依题意可得由⎩⎨⎧==2xy kxy 得 ),(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=21xy x ky 得 )1,1(2kk B -，设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则31321k k x x x -=++=① ， 31302221k k y y y +=++= ②，由①②可得，3232+=x y ，即为所求的轨迹方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，42||k k OA +=，4211||k k OB +=， ∴42421121||||21k k k k OB OA S AOB +⋅+⋅=⋅⋅=∆212122++=k k 12221=+≥，当且仅当221kk =，即1±=k 时，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 .解法三:（I ）设△AOB 的重心为G(x , y ) ，A(x 1, y 1)，B(x 2 , y 2 )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1）不过∵OA ⊥OB ，∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， …（2）又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ，∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y ， ∴所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y ，（II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆，由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB ，当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立，所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．( 18 ) （本小题共12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为t s :．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）取出黄球的概率是t s s A P +=)(，取出白球的概率是ts tA P +=)(，则 ts sP +==)0(ξ， 2)()1(t s st P +==ξ， 32)()2(t s st P +==ξ， ……， n n t s st n P )()1(1+=-=-ξ， nn t s st n P )()(1+==-ξ，∴ξ的分布列是（Ⅱ）++⨯++⨯++⨯=322)(2)(10t s st t s st t s s E ξ…n nn n t s t n t s st n )()()1(1+⨯++⨯-+- ①++++=+4332)(2)(t s st t s st E t s t ξ (11)11)()()1()()2(+++-+++-++-+n n n n n n t s nt t s st n t s st n ②①—②得++++++=+43322)()()(t s st t s st t s st E t s s ξ (11)11)()()1()()(+++-+-+--++++n n n n n n n n t s nt t s st n t s nt t s st∴ 11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ∴ξ的数学期望是11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ．( 19 ) （本小题共14分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ．（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴)52()32(+=-f f即 )5()1(f f =-，∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ， ∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数．（Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-,∴)10()(x f x f +=，∴)(x f 是以10为周期的周期函数，由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称， ∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ， ∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，∴在闭区间]2005,2005[-上的根的个数是802．( 20 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．。

2019年温州瓯海中学提前自主招生模拟考试数学试题及参考答案(含详解)

2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题（时间：120分钟满分150分）一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．（2017•奉化中学自主招生）实数a，b，c满足2a=5，2b=10，2c=80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值为（）A．2007B．2008C．2009D．2010 2．（2015•乐清中学自主招生）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大3．一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，若b0=1，则b2015的值是（）A．1B．6C．9D．194．如图所示，正三角形ABC的边长为2，=2，=，BD交CE于点F，则△AEF的外接圆半径长为（）A．B．C．D．第4题第6题5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA=OC，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜C．D．＜a＜16．如图，等腰△ABC内接于圆O，底边AB是直径，E为AC的中点，点D在BC上，且CD=3BD，AD与BE相交于点F，则∠AFE的正切值为（）A．B．C．D．7．（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．8．如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=R，圆O1与AO，BO和弧AB 都相切；圆O2和圆O1，AO，BO都相切；圆O3和圆O2；AO，BO都相切；则圆O3的面积为（）A．B．C．D．第8题第10题二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．（2017•芜湖一中自主招生）已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是．10．如图，一次函数y=x+1的图象交x轴于点E、交反比例函数的图象于点F（点F在第一象限），过线段EF上异于E、F的动点A作x轴的平行线交的图象于点B，过点A、B作x轴的垂线段，垂足分别是点D、C，则矩形ABCD 的面积最大值为．11．如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y 轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为．第11题第12题12．（2014•宁波重点高中自主招生）如图，在同一平面内，圆O和直线AB相切，P是圆O上一个定点，初始位置圆O和AB相切于点A（此时点P与点A重合），从A处开始圆O在直线AB上以每3分钟1圈的速度匀速向右无滑动地滚动，1分钟到达点E（圆O与AB相切于点E），此时，tan∠PAE的值为．13．（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．14．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）第14题三、解答题（共5小题，满分60分）15．（10分）已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．16．（10分）（2017•启东中学自主招生）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m ﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n ﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．17．（10分）如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证：．第17题18．（14分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．第18题19．（16分）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=45°，BC=20，点D在线段BC上，BD=4，点M、N以相同的速度从D点同时出发，点M沿DC方向运动，点N沿DB方向运动到点B后立刻以原速返回向点C运动，以MN为直径构造⊙O，过点M作⊙O的切线交折线BA﹣AC于点E，将线段EM绕点E顺时针旋转45°得到EF，过F点作FG⊥EM于G，当M运动到点C时，N也停止运动，设DM=m．（1）当m=时，点N与点B重合，此时MN=．当4＜m≤16时，BM=，BN=（用含有m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点M，N运动过程中，①当为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长．（提示：当直角三角形的两直角边之比为定值时，这个直角三角形的两个锐角度数为定值）第19题2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．【解析】∵2b÷2a=2，∴b﹣a=1，则a=b﹣1，∵2c÷2b=8，∴c﹣b=3，则c=b+3，∴2006a﹣3344b+1338c=2006（b﹣1）﹣3344b+1338（b+3）=2008．故选：B．2．【解析】∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．3．【解析】∵b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，∴b2015=b1007=b503=b251=b125=b62=b30+b31=b14+b15+b15=b6+b7+2b7=3b3+b2+b3=4b3+b0+b1=5b1+b0 =6b0，∵b0=1，∴b2015的值是6．故选：B．4．【解析】作DH⊥AB于H，如图所示：∵正三角形ABC的边长为2，=2，=，∴BE=AD=AB=，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，∴AE=，在△BCE和△ABD中，，∴△BCE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∴∠DFC=∠3+∠2=∠3+∠1=60°，∴∠DFC=∠EAD=60°，∴A、D、F、E四点共圆，作DH⊥AB于H，则∠ADH=30°，∴AH=AD=，DH=AH=，∴EH=AE﹣AH=1，∴sin∠DEH==，∴∠DEH=30°，∴∠ADE=90°，∴∠AFE=∠ADE=90°，∴AE为△AEF的外接圆的直径，∴△AEF的外接圆半径长为AE=．故选：A．5．【解析】∵OA=OC，A（m，0），∴C（0，m），即c=m，则抛物线解析式为y=ax2+bx+m，根据题意知抛物线对称轴x=﹣=，可得b=﹣am﹣an ①，将点A（m，0）代入y=ax2+bx+m，得：am2+bm+m=0，即am+b+1=0，∴b=﹣am﹣1 ②，由①、②可得﹣am﹣1=﹣am﹣an，即an=1，a=，∵4＜n＜5，∴＜a＜，故选：B．6．【解析】作EH⊥AD于H，EG∥AD交BC于G，如图，设BD=a，则CD=3a，∴CA=CB=4a，∵E为AC的中点，∴AE=CE=2a，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACD中，AD==5a，在Rt△BCE中，BE==2a，∵∠EAH=∠DAC，∴Rt△AEH≌Rt△ADC，∴=，即=，解得EH=a，∵EG∥AD，∴CG：DG=CE：AE=1：1，∴CG=DG=a，∵DF∥EG，∴===，∴EF=BE=a，∴HF==a，∴tan∠EFH===．故选：B．7．【解析】∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选：C．8．【解析】如图所示：连接各切线与对应圆的圆心．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴∠AOO1=∠BOO1=30°．∵圆O1与AO相切，∴∠OCO1=90°．∴OO1=2O1C．∴OA=3r11．∴r1=．∴OE=O1E=r1=．同理：可知：r2=，r3=．∴r3=．由圆的面积公式可知圆O3的面积==．故选：C．二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．【解析】由x2+xy+y2﹣2=0得：x2+2xy+y2﹣2﹣xy=0，即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥﹣2；由x2+xy+y2﹣2=0得：x2﹣2xy+y2﹣2+3xy=0，即（x﹣y）2=2﹣3xy≥0，所以xy≤，∴﹣2≤xy≤，∴不等式两边同时乘以﹣2得：（﹣2）×（﹣2）≥﹣2xy≥×（﹣2），即﹣≤﹣2xy≤4，两边同时加上2得：﹣+2≤2﹣2xy≤4+2，即≤2﹣2xy≤6，∵x2+xy+y2﹣2=0，∴x2+y2=2﹣xy，∴M=x2﹣xy+y2=2﹣2xy，则M的取值范围是≤M≤6．故答案为：≤M≤610．【解析】设A（a，a+1），则B（，a+1），∴AB=﹣a，AD=a+1，∴S矩形ABCD=（a+1）（﹣a）=2﹣a（a+1）=﹣（a+）2+，∴当a=﹣时，矩形ABCD的面积最大值为，故答案为：．11．【解析】过B作BM⊥x轴于M．在Rt△ABM中，∵AB=3，∠BAM=45°，∴AM=BM=，∴BC=OA﹣AM=4﹣=，CD=BC﹣BD=，∴D（，）．连接OD，则点D在∠COA的平分线上，所以∠DOE=∠COD=45°．又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴=，即：=，∴y与x的解析式为：y=﹣x2+x．故答案为y=﹣x2+x．12．【解析】如图所示，过点P作PC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥PC，垂足为D．根据题意可知∠POE==120°，AE=劣弧PE的弧长．∴AE=2πR×=．∵AB是圆O的切线，∴∠OEC=90°．∵PC⊥AB，OD⊥PC，∴∠DCE=∠ODC=90°．∴∠OEC=∠DCE=∠ODC=90°．∴四边形ODCE为矩形．∴DC=OE=R，OD=CE．∵∠POD=30°，∠PDO=90°，∴PD=，DO==．∴PC=PD+DC=，AC=AE﹣EC=﹣．∴tan∠PAE====．故答案为：．13．【解析】∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．14．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′=cm，∠PN′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．三、解答题（共5小题，满分60分）15．【解析】原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]=0．因为此方程是关于x的一元二次方程，所以，k≠6，k≠9，于是有：x1=①，x2=②．由①得k=，由②得k=，∴=，整理得x1x2﹣2x1+3x2=0，有（x1+3）（x2﹣2）=﹣6．∵x1、x2均为整数，∴．故x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3．又k==6﹣，将x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得k=7，，，，，15，3．16．【解析】由方程①知：∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，∴x1＞0，x2＜0，∵△=（m﹣2）2+8＞0，∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m﹣2＜0，∴﹣2＜m＜2，由方程②知：，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=3（舍去），m=﹣1（2分）代入②得：x2﹣（n﹣2）x+2=0，∵方程的两根为有理数，∴△=（n﹣2）2﹣8=k2，∴（n﹣2）2﹣k2=8，（n﹣2+k）（n﹣2﹣k）=8，∵n﹣2+k和n﹣2﹣k奇偶性相同，∴或或或，解得n=5或n=﹣1．17．【解析】证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M．∵OB⊥BX，OX⊥BC，∴XB2=XM•XO．①又由切割线定理得XB2=XA1•XA．②由①，②得，∴△XMA∽△XA1O，∴．又∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOX=∠BAC，∴．18．【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，∴c=0，﹣=2，则b=﹣4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2=22+42=20、OB2=a2+（a2﹣4a）2、AB2=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2=20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a=2（舍）或a=，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣3，即P（2，﹣3），∴t=（﹣3+4）÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2=20+a2+（a2﹣4a）2，解得a=0（舍）或a=，∴B（，），则直线OB解析式为y=x，当x=2时，y=1，即P（2，1），∴t=[1﹣（﹣4）]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18=0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18=0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）=0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）=0，（a﹣3）2（a﹣2）=0，则a=3或a=2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣2，即P（2，﹣2），∴t=[﹣2﹣（﹣4）]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t=2时，如图3，由（2）知，∠OBA=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为=．19．【解析】（1）当点N从点D向点B运动时，根据题意可得BM=4+m，BN=4﹣m，当点N与点B重合，BN=0，∴4﹣m=0，∴m=4，MN=2DN=2BD=8；当4＜m≤16时，此段内，点M，N以相同的速度向点C运动，∴MN=8，∴BM=4+m，BN=BM﹣MN=m+4﹣8=m﹣4，故答案为4；8；4+m；m﹣4；（2）如图1中，∵EM是⊙O的切线∴∠BME=90°，∵∠B=45°，∴∠BEM=45°=∠B，∴BM=EM∴FG⊥EM，∴∠FGE=90°=∠EFG，∴FG∥BC，∴∠EFG=∠B=45°，∴∠FEG=45°=∠EFG，∴FG=EG，∴FG=EF，由旋转知，EF=EM，当点E与点A重合时，ME的值最大，∵△ABC是等腰直角三角形，EM是底边的高，∴EM=BC=10，∵BM=EM，∴10=4+m，∴m=6；（3）①当0＜m≤4（N在往B运动）时，如图2中，设⊙O切AB于H，连接OH．∴∠BHD=90°，∵∠B=45°，∴DH=BD=4×=2，∴ND=m=DH=2，即m=2．当4＜m≤16（N从B向C运动）时，则MN=（4+m）﹣（m﹣4）=8，如图3中，设⊙O切AB于H．连接OH．∴OH=MN=4，则BO=OH=4，∴BM=BO+OM=4+4，即4+m=4+4，∴m=4．如图4中，设⊙O切AC于H，连接OH．在等腰直角三角形OHC中，OC=OH=4，则CM=OC﹣OM=4﹣4，∵BM=BC﹣CM，∴BM=20﹣（4﹣4）=24﹣4=4+m，∴m=24﹣4﹣4=20﹣4．综上所述，当m=2或4或20﹣4时，⊙O与△ABC的边相切．②如图5中，Ⅰ、当E在AB上时，点F的运动轨迹是F1→F2→F3．当点M和点D重合时，E1F1=BM1=E1M1=BD=4，∴BE1=BM1=4，∴BF1=BE1﹣BF1=4﹣4当点N和点B重合时，同理可得BF2=8﹣8，当点E和点A重合时，同理可得，BF3=10﹣10，∴F1F3=BF3﹣BF1=6﹣6，Ⅱ、当点E在AC上时，点F的轨迹为F3→C，在Rt△ACF3中，AF3=AM3=10，∴CF3==10，∴点F所经过的路径为F1F3+CF3=6﹣6+10．第21页（共21页）。

2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析

（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．

2019最新重点高中提前招生数学试卷

2019年三位一体学科素养测试数学试题卷本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分。

考试时间共90分钟。

一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中) 1．不等式组1020x x +≥⎧⎨-<⎩的解在数轴上表示正确的是（ ▲ ）2．已知实数,a b 满足2217404a b a b +-++=，那么ab -的平方根是 ( ▲ ) A ． ±1 B ．1 C ．±21 D ．213．下面哪个图形不是．．正方体的展开图（ ▲ ）4．若210x x --=,则3225x x -+的值为（ ▲ ）A ．0B ．2C ．4D ．55．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ▲ ） A ． 40% B ．13 C ．12D ． 30% 6．方程组223x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（ ▲ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．对于每个自变量x ，y 是21211y x y x =+=-，两个值中的最小值，则当32x -≤≤时，函数y 的最小值与最大值的和是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．第10题第12题A ．2-B ．1C ．2D ．38．如图，在□ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点，设DEF α∠=，EFC β∠=，则下面结论成立的是（ ▲ ）A ．3βα<B ．4βα＞C ．3βα=D ．4βα=二、填空题 (本题有7个小题，每小题6分，共42分) 9．在2，2-，0三个整数中，任取一个，恰好使分式xx-+22有意义．．．的概率是 ▲ ． 10．已知一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为 ▲ ． 11．求()22(sin 20)sin 70tan 28tan 62++= ▲ ．12．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90︒，BC=6，BA=8，现以AC 为边在AC 的右侧作正方形ACDE ，则BE 的长为 ▲ ． 13．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 ▲ ．14．抛物线221236y x tx t =-+-与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB （含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，则t 的取值范围是 ▲ ． 15．设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++,…， 1210S S S += ▲ ．第8题ABCD E F三、解答题(本大题共4题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）（Ⅰ）已知,,a b c 均不为0，且232757a b b c c a +--==，求223c bb a -+的值；（Ⅱ）已知：0x >，且70x y -=，求xy的值．17．（本题满分12分）如图，点A 是函数111(0,0)k y k x x=>>图象上的任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴，交另一个函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象于点B ，在y 轴上取点C ，使四边形ABCO 是平行四边形．（Ⅰ）求证：平行四边形ABCO 的面积为定值；（Ⅱ）设直线CB 与函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象相交于另一点D ，若不论点A 在何处，都有CB BD =，试求12k k 与的关系式．18．（本题满分18分）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ．（Ⅰ）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长；（Ⅱ）若直线FH 交⊙O 于点G ，（ⅰ）当FH ∥BE 时，求AE 的长；（ⅱ）在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由． 19．（本题满分18分）如图，Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB ＝4，点B 的坐标为（－1，0），点C 在y 轴的正半轴．若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A ，B ，C ．（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点E ，与AC 交于点D 。

【冲刺实验班】江苏苏州高级中学2019中考提前自主招生数学模拟试卷(5)附解析

绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共10小题，每题4分）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣22．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2 B．1 C．D．4．方程组的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个 B．10个C．12个D．13个6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．10．若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1 B．4 C．2 D．0.5第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共10小题）11．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是．12．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是．13．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=．14．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有个．15．三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为．16．一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S=．17．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4．若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点A（a，b）在函数y=2x的图象上的概率为．18．关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是．19．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．20．王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为．三．解答题（共15小题）21．按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．（1）求h关于m A、m B的表达式；（2）设m A=3m B，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2）．22．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC 同侧，A、C在BO异侧），且AB=2，AO=4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B 相切．25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y 轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y 轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2【考点】HF：二次函数综合题．【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：过点Q作QC⊥AB于点C，∵AQ⊥BQ∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+=（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2=0．有n2+n++=0，∴an2+bn+c=﹣a．∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c=，∴﹣a=，∴a=﹣2．故选：D．【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】MB：直线与圆的位置关系．【分析】根据已知画出正确图形，进而得出圆与△ABC的三条边的公共点的个数．【解答】解：如图所示：以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有4个，故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够根据已知画出正确图形是解题关键．3．已知函数y=x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（）A．2 B．1 C．D．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】利用点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：y=x+1即x﹣y+1=0则点P到直线的距离是：=．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，正确记忆公式是关键．4．方程组的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】15：绝对值；98：解二元一次方程组．【分析】由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．5．对于一个正整数n，若能找到正整数a，b使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有（）A．8个 B．10个C．12个D．13个【考点】#B：整数问题的综合运用．【分析】由n=a+b+ab，可变形为n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数．【解答】解：由n=a+b+ab，得，n+1=（a+1）（b+1），所以，只要n+1是合数，n就是好数，20以内的好数有：3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20；【点评】本题考查了整数问题，由原式变形，可得出n+1数的性质，利用n与n+1的关系，可解答本题．6．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）A．44千米B．48千米C．30千米D．36千米【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，则可得出x+2=2（x﹣2）从而得出船在静水中的速度，然后设甲乙两地相距y千米，根据来回公用12小时可得出方程，解出即可．【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得：x+2=2（x﹣2），解得：x=6千米/小时；则可得顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，设乙两地相距y千米，则+=12，解得：y=26，y+18=44，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，属于航行问题，根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键，另外要掌握船航行时间的表示方法．8．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对折的性质可得AE=EF，∠DAF=∠DFA，∠EAF=∠AFE，∠BAC=∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE=EF，BF=FC，但并不能说明AE=EC，∴不能说明EF 是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB=AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF=∠BAF+∠DFA，∠FEC=∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC=∠BAC+∠DFE=2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．9．如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】@2：面积及等积变换．【分析】首先作出图形，由等腰直角三角形性质可知S2=S6，S1=S5，所以S阴=S ，设PA=x，CO2=y，利用勾股定理求出y的值，进而求出阴影的面积．直角梯形DEAP【解答】解：如图，由等腰直角三角形性质可知S2=S6，S1=S5，所以S阴=S直角梯形DEAP，设PA=x，CO2=y，x+2y=2，x=2﹣2y，连接O1O2，（x+y）2+1=（y+1）2，解得y=，S阴=×2×2﹣×﹣2×1×=．故选：D．【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，此题难度不大．10．若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β，则α2+2β2+β的值为（）A．1 B．4 C．2 D．0.5【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到：α+β=﹣1，α•β=﹣1，再根据方程解的定义得到α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，即α2=﹣α+1，β2=﹣β+1，然后代入α2+2β2+β，即可得到α2+2β2+β=﹣（α+β）+3=1+3=4．【解答】解：根据根与系数的关系得到：α+β=﹣1，α•β=﹣1，∵α、β是方程x2+x﹣1=0的二根，∴α2+α﹣1=0，β2+β﹣1=0，∴α2=﹣α+1，β2=﹣β+1，∴α2+2β2+β=﹣（α+β）+3=1+3=4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了方程解的定义．三．填空题（共10小题）11．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是（）米．【考点】MK：相切两圆的性质；T7：解直角三角形．【分析】最高点到地面的距离是两条半径之和+以圆心为顶点的等边三角形的高．【解答】解：连接各圆心可得到边长为1的等边三角形，此等边三角形的高为1×sin60°=，那么其最高点到地面的距离=1+米．【点评】解决本题需得到最高点到地面的距离的表达式，需注意外径指的是外直径．12．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是2﹣．【考点】@2：面积及等积变换．【分析】先判断出当r=1时两圆外切，再根据切线的性质可知四边形ABEF是长方形，由S最大=S长方形ABEF﹣S扇形ACF﹣S扇形BCE，即可得出结论．【解答】解：∵AB=2，∴当r=1时两圆正好外切，显然当两圆外切时圆弧AC，CB与线段AB所围成图形面积S的值最大，∴过C作CD垂直AB，过点C作EF∥AB，分别过点AB作AF⊥EF，BE⊥EF，则四边形ABEF是长方形，则S最大=S长方形ABEF﹣S扇形ACF﹣S扇形BCE=2×1﹣2×π=2﹣．【点评】本题考查的是面积及等积变换，涉及到切线的性质、长方形的面积、扇形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．13．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=13．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据已知条件推知ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，然后通过解方程求得①ab=3，a+b=5；②ab=5，a+b=3；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值．【解答】解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，∴ab+（a+b）=8，ab•（a+b）=15，∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，∴x=3或x=5；①当ab=3，a+b=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13，即（a﹣b）2=13；②当ab=5，a+b=3时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣20=﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；综上所述，（a﹣b）2=13；故答案是：13．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．注意：解答此题需要分类讨论．14．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有15个．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣（x﹣3）2+4令y=0得，x=1或x=5则在红色区域内部及其边界上的整点为（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）．共有15个．故答案为：15．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．15．三个（不一定各不相同）正整数的和等于100，将它们两两相减（大的减去小的）可得三个差数，则这三个差数的和的最大可能值为194．【考点】#B：整数问题的综合运用．【分析】设三个数为a≤b≤c，根据题意可知a+b+c=100，c﹣b+c﹣a+b﹣a=2（c ﹣a）≤2×（98﹣1）=194，答案即求出．【解答】解：设三个数为a≤b≤c，a+b+c=100，c﹣b+c﹣a+b﹣a=2（c﹣a）≤2×（98﹣1）=194，所以最大可能值为194，三个数为1、1、98．故答案为194．【点评】本题主要考查整数的综合运用的知识点，解答本题的关键是根据题意列出不等式，此题比较简单．16．一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A（，），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC面积S=．【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】把点A的坐标代入两函数解析式分别求出m、n的值，然后求出点B、C的值，然后求出BC的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，×（﹣）+m=，﹣n﹣4=，解得m=2，n=﹣2，∴两函数解析式是y=x+2和y=﹣2x﹣4，当x=0时，y=2，和y=﹣4，∴点B、C的坐标分别是B（0，2），C（0，﹣4），∴BC=|﹣4﹣2|=6，∴S=BC•|x A|=×6×=．故答案为：．【点评】本题考查了相交线的问题，根据点A的坐标求出两直线的解析式然后求出点B、C的坐标是解题的关键．17．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4．若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点A（a，b）在函数y=2x 的图象上的概率为．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：列表得：1234ab1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）因此，点A（a，b）的个数共有16个；若点A在y=2x 上，则b=2a ，可得P==．（b=2a）因此，点A（a，b）在函数y=2x图象上的概率为．故答案为：．【点评】考查了一次函数图象上点的坐标特征和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是a=0或a＞4．【考点】&9：含绝对值符号的一元二次方程．【分析】先将原绝对值方程转化为|（x﹣1）2﹣4|=a，据此作出该方程的图象；然后根据图象填空．【解答】解：由原方程，得|（x﹣1）2﹣4|=a，∴该函数图象为：根据图示知，实数a的取值范围是a=0或a＞4．故答案是：a=0或a＞4．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程．本题采用了“数形结合”的数学思想．19．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是m=1或m＞2．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】分1﹣m2=0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．【解答】解：当1﹣m2=0时，m=±1．当m=1时，可得2x﹣1=0，x=，符合题意；当m=﹣1时，可得﹣2x﹣1=0，x=﹣，不符合题意；当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0，[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]=0，∴x1=，x2=．∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数，∴0＜＜1，解得m＞0，0＜＜1，解得m＞2．综上可得，实数m的取值范围是m=1或m＞2．故答案为：m=1或m＞2．【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2=0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．20．王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅，铺设图案如图所示．购买这两种正多边形地砖的数量之比约为1：1．【考点】L4：平面镶嵌（密铺）．【分析】观察图形，根据镶嵌的条件作答．【解答】解：由铺设图案和镶嵌的条件可知购买边长相等的正四边形和正八边形这两种正多边形地砖的数量之比约为1：1．【点评】解这类题，要学会观察图形并掌握平面镶嵌的条件和规律．三．解答题（共6小题，共70）21．按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．（1）求h关于m A、m B的表达式；（2）设m A=3m B，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2）．【考点】@A：几何不等式．【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式即可；（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果即可．（1）甲：买进A的满意度为h A1=，卖出B的满意度为h B1=；【解答】解：所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲===；（2）当m A=3m B时，h===≤=﹣1．【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．22．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE2+OF2=OM2=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；（2）先设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，根据（1）可得AB=2，CD=2，从而易知S=AB×CD=2×，结合x2+y2=5，可得S四边形四边形ADBCADBC=2，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．【解答】解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，那么AB=2=4，∴OF=，又∵OE2+OF2=OM2=5，∴OE=0，∴CD=6，=AB×CD=12；∴S四边形ADBC（2）设OE=x，OF=y，则x2+y2=5，∵AB=2，CD=2，∴S=AB×CD=2×=2=2，四边形ADBC∴当x2=时，四边形ADBC的最大面积是13．【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理、二次函数的最值、矩形的判定．解题的关键是作出辅助线，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．23．如图，正方形BCEF的中心为O，△CBO的外接圆上有一点A（A、O在BC 同侧，A、C在BO异侧），且AB=2，AO=4．（1）求∠CAO的值；（2）求tan∠ACB的值；（3）求正方形BCEF的面积．【考点】LE：正方形的性质；T1：锐角三角函数的定义．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，可以得到∠ACB=∠BOH，根据三角函数的定义即可求解；（3）根据三角函数即可求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，则正方形的面积即可求解．【解答】解：（1）∠CAO=∠CBO=45°；（2）作BH⊥OA，交OA的延长线于H，则∠BAH=45°∴AH=2，BH=2∴tan∠BOH==又∠ACB=∠BOH∴tan∠ACB=．（3）∵tan∠ACB=，又AB=2∴AC=6∴BC2=80∴正方形BCEF的面积是80．【点评】本题考查了正方形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．24．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B 相切．【考点】MK：相切两圆的性质；SE：射影定理．【分析】要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA2=AC2=AE•AB，PB2=BD2=BF•AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），又PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），于是有AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB ﹣BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF 的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，∴△ACB∽△AEC，∴AC：AB=AE：AC即PA2=AC2=AE•AB，同理PB2=BD2=BF•AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），∴PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），∴AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB﹣BF，∴PE=PF，∴点P是线段EF的中点．∵M是CD的中点，∴MP是直角梯形CDEF的中位线，∴MP⊥AB，∴MP分别与⊙A和⊙B相切．【点评】这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，同学们应熟练掌握．25．某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y 轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y 轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）设出点A的坐标，按照矩形的面积公式求解即可；（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），根据直线l与双曲线有唯一公共点，可求出A点是CD的中点，继而得出答案；（3）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），可利用几何法和代数法进行求解．【解答】解：（1）图中点A在第一象限，设A（x A，y A），OM=x A，ON=y A，S OMAN=OM•ON=x A•y A=k（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），则点C，D（（0，b），，，∴，=2k．∴A是CD中点，由（1）中结论得S△OCD（3）几何方法：如图（2），过点A、B分别向坐标轴作垂线段由（1）中的结论得AE•AF=BG•BH，∴，．代数方法：设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），，，，得AF=CG，再可由全等证得DA=BC．利用图3（2）时注意点B的坐标符号，其它方法略．【点评】本题考查了反比例函数的知识，难度不大，注意善于总结这类综合题的解题思路和方法．26．已知，关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣4）x﹣a+3=0（a＜0）．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是关于a的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；G2：反比例函数的图象；G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根，就是证明方程的判别式△＞0即可；（2）由求根公式及两根关系确定x1，x2代入求得y．即可求得函数解析式；（3）a＜0及一次函数，反比例函数的作图法求出a的值．【解答】解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，利用求根公式正确求得方程的根，是解题的关键，并且本题利用函数的图象解题，体现了数形结合的思想．。

【冲刺实验班】浙江金华一中2019中考提前自主招生数学模拟试卷（2）附解析

【冲刺实验班】浙江⾦华⼀中2019中考提前⾃主招⽣数学模拟试卷（2）附解析绝密★启⽤前重点⾼中提前招⽣模拟考试数学试卷（2）注意事项：1．答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）⼀．选择题（共10⼩题，每题4分）1．若x2﹣6x+1=0，则x4+x﹣4的值的个位数字是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知⼆次函数y=2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2x2+8x+6 C．y=2x2﹣8x+6 D．y=2x2+8x+103．已知直⾓三⾓形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直⾓三⾓形的⾯积为（）A．5 B．6 C．7 D．84．若，则y的最⼩值是（）A．0 B．1 C．2 D．35．如图，在锐⾓△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且，则S△ADE ：S四边形DBCE的值为（）A．B．C．D．6．如图，正⽅形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，，，则有（）A．m＞n＞p B．m=n=p C．m=n＞p D．m＞n=p7．⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则点P（ac，b）所在象限是（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限8．如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（）A．B．C．D．9．若⼀直⾓三⾓形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的⾯积与三⾓形⾯积之⽐是（）A．B． C．D．10．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习⽤品，若购铅笔3⽀，练习本7本，圆珠笔1⽀共需3.15元；若购铅笔4⽀，练习本8本，圆珠笔2⽀共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（共10⼩题，每题4分）11．⽅程组的解是．12．若对任意实数x不等式ax＞b都成⽴，那么a，b的取值范围为．13．已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m⼀定不通过第象限．14．如图，在直⾓△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆⼼，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的⾯积为．15．分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=．16．有三位学⽣参加两项不同的竞赛，则每位学⽣最多参加⼀项竞赛，每项竞赛只许有两位学⽣参加的概率为．17．如图，是⼀个挂在墙壁上时钟的⽰意图．O是其秒针的转动中⼼，M是秒针的另⼀端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有⼀只蚂蚁P在秒针OM上爬⾏，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（⾮蚂蚁在秒针上爬⾏的路程）是cm．18．如图的数表，它有这样的规律：表中第1⾏为1，第n （n≥2）⾏两端的数均为n，其余每⼀个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）⾏的第2个数为a n，如a2=2，a3=4，则a n+1﹣a n=（n≥2），a n=．19．如图，点O，B坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕A点按顺时针⽅向旋转90°得到△O′AB′，则点B′的坐标为．20．在平⾯直⾓坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正⽅形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正⽅形四条边上的整点的个数，若累计到正⽅形A n B n C n D n 时，整点共有1680个，则n=．三．解答题（共6⼩题，共70分）21．已知，求．22．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．23．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．24．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县⼈民的共同愿望，到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后政府计划在近⼏年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠⾯积的m%进⾏绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m值．（注：沙漠绿化率=）25．在平⾯直⾓坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，⼩敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的⾯积⽐不变，请你求出这个⽐值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x 轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有⼀个内⾓为60°的菱形，求此抛物线的解析式．26．如图，已知直线l1：y=x+与直线l2：y=﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B 两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求△ABC的⾯积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反⽅向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的⾯积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．。

2019高中自主招生数学试卷试题.docx

2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。

另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。

每小题均给出了代号为 A ， B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。

1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B点表示四月的平均最低气温约为5o C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0o C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20o C 的月份有5个十二月一月二月20o C十一月15o C三月10o C5o Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O25x 第2 题2．上图是二次函数y ax2bx c 的部分图象，由图象可知不等式ax2bx c0 的解集为A ．x 1 或 x 5B ．x5C． 1 x 5D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是M ,I , N 中的一个字母，第二位是 1， 2， 3， 4， 5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ．1B ．8C ．1D ．11515 8 304．在ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 22b 4c 5 且a 2b 2c 2 bc ，则ABC 的面积为23 C ． 2D ． 3A ．B ．225．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（表面面积，也叫全面积）为23．．．A ． 20B ． 24C ． 28D ． 324参考公式：圆锥侧面积 Srl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，44其中 r 为底面圆的半径， l 为母线长．正视图侧视图6．如下图，在ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点，g第 5 题图BEAC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP3 ， PE 1，俯视图则 AEA ．6B ． 2C ． 3D ． 622 ，． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a5 ，c2， cos A 73则 bA ． 2B ． 3C ． 2D ．38．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，gG则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为gF．． A ．9 B ．12C ． 18EgD ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷

2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷一、选择题（每小题5分，共25分）1．（5分）用一排6盏灯的亮与不亮来表示数，已知如图分别表示了数1～5，则●〇〇●●〇表示的数是（）A．23B．24C．25D．262．（5分）用11个相同的正方体堆积如图，在①②③④四个正方体中随机拿掉两个，结果左视图不变的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方问，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x ﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＞x2＞x3C．x1＝x2＝x3D．不能确定x1、x2、x3的大小5．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限图象上，点B、点C分别在x轴、y 轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2二、填空题（每小题5分，共20分）6．（5分）关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是．7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．9．（5分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为．三、解答题（每小题15分，共30分）10．（15分）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x ≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．（1）请说明是1≤x≤30上的闭函数；（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，∠OP A＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥P A交弦P A于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．。

【冲刺实验班】广东湛江一中2019中考提前自主招生数学模拟试卷(4)附解析

绝密★启用前重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共10小题，每题4分）1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）A．B．C．D．2．积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A．2度 B．3度 C．5度 D．7度4．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（）A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤1405．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（）A．（H+2）里/时B．（+2）里/时C．里/时D．里/时6．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣27．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q 在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F （n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表：则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（）A．①B．②C．④D．③或⑤10．反比例函数：y=﹣（k为常数，k≠0）的图象位于（）A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象限二．填空题（共10小题）11．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖块．（用含n的代数式表示）12．如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，其中矩形的长为5，宽为3，柏油小路的任何地方的水平宽度都是1，则除小路以外的草地面积为．13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=﹣1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0其中正确的命题有．（请填入正确的序号）14．写出不等式组的整数解是．15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．16．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=．17．实数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，则=．18．如果两点：M（x1，y1），N（x2，y2），那么．已知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是．19．已知恒等式：（x2﹣x+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，则（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2﹣（a+a3+a5+a7+a9+a11）2=．120．如图，若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k=．三．解答题（共6小题，共70分）21．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．24．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？24．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若a≥0，b≥0，则…①若a≥0，b≥0，c≥0，则…②不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：若ab＞0，试证明不等式：．证明：∵ab＞0∴即．现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式：（1）当ab≥0时，试证明：．（2）当a、b为任意实数时，试证明：．26．我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依此类推，…（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由；（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．重点高中提前招生模拟考试数学试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）A．B．C．D．【考点】I9：截一个几何体．【分析】首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是矩形．【解答】解：长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为矩形．故选：B．【点评】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．2．积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6C：分式的混合运算．【分析】先将（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）变形为×××…××，再约分化简，从而得出整数部分．【解答】解：∵（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）=×××…××==，∴积（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）值的整数部分是1．故选：A．【点评】本题考查了分式的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解答此题的关键是平方差公式的运用和约分．3．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A．2度 B．3度 C．5度 D．7度【考点】#5：质数与合数；K7：三角形内角和定理．【分析】由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．【解答】解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，∴必有一个内角为偶数，又∵三角形三个内角的度数都是质数，∴既是偶数又是质数的只有2；∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；故选：A．【点评】本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，是解答此题的关键．4．若均为非负整数，则M=5x+4y+2z的取值范围是（）A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤140【考点】F5：一次函数的性质．【分析】将x+y+z=30，3x+y﹣z=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将M转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到M的最大值和最小值．【解答】解：将已知的两个等式联立成方程组，所以①+②得：4x+2y=80⇒y=40﹣2x，将y=40﹣2x代入①可解得：z=x﹣10．因为y，z均为非负实数，所以，解得10≤x≤20．于是，M=5x+4y+2z=5x+4（40﹣2x）+2（x﹣10）=﹣x+140．当x值增大时，M的值减小；当x值减小时，M的值增大．故当x=10时，M有最大值130；当x=20时，M有最小值120．∴120≤M≤130．故选：C．【点评】本题主要考查一次函数的性质的知识，解决本题的关键是根据题目方程组，求得用M 表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得M的取值范围．5．一列火车花了H时行程D里从A抵达B，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（）A．（H+2）里/时B．（+2）里/时C．里/时D．里/时【考点】6G：列代数式（分式）．【分析】根据速度=路程÷时间，可确定该以什么样的速度才能准点到达．【解答】解：根据题意得，以里/时这样的速度才能准点到达．故选：C．【点评】本题考查列代数式，关键是知道速度=路程÷时间，从而可列出代数式．6．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2【考点】HF：二次函数综合题．【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：过点Q作QC⊥AB于点C，∵AQ⊥BQ∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+=（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2=0．有n2+n++=0，∴an2+bn+c=﹣a．∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c=，∴﹣a=，∴a=﹣2．故选：D．【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．【点评】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q 在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F （n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】59：因式分解的应用．【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．【解答】解：∵2=1×2，∴F（2）=是正确的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．∴正确的有（1），（4）．故选：B．【点评】本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．9．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表：则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（）A．①B．②C．④D．③或⑤【考点】B7：分式方程的应用．【分析】①②用2小时，②③用15小时，所以①的速度要比③快，②③用15小时，③④要用6小时，所以④比②进水速度快，③④用6小时，④⑤用3小时，所以⑤比③进水速度快，④⑤用3小时，⑤①用10小时，④比①进水速度快，①②用两个小时，⑤①用10个小时，所以②比⑤进水快．【解答】解：根据以上分析可得到：进水速度①＞③；④＞②；⑤＞③；④＞①；②＞⑤．所以最快的是④．故选：C．【点评】本题考查识别表格的能力，关键根据表格中两个水管灌满水的时间，两个两个横向比较，找到最快的．10．反比例函数：y=﹣（k为常数，k≠0）的图象位于（）A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象限【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x 的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．【解答】解：∵k≠0，∴﹣k2为负数，图象位于二、四象限．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质．解答本题关键是要确定反比例函数y=（k≠0）中k的符号．二．填空题（共10小题）11．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖4n+2块．（用含n的代数式表示）【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】通过观察，前三个图案中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以会发现后面的图案比它前面的图案多4块白色地砖，可得第n个图案有4n+2块白色地砖．【解答】解：分析可得：第1个图案中有白色地砖4×1+2=6块．第2个图案中有白色地砖4×2+2=10块．…第n个图案中有白色地砖4n+2块．【点评】本题考查学生通过观察、归纳的能力．此题属于规律性题目．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案有4n+2块白色地砖．12．如图，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，其中矩形的长为5，宽为3，柏油小路的任何地方的水平宽度都是1，则除小路以外的草地面积为12．【考点】Q1：生活中的平移现象．【分析】根据矩形面积公式可求矩形的面积；因为柏油小路的任何地方的水平宽度都是1，所以其面积与同宽的矩形面积相等，故可求草地面积．【解答】解：草地面积=矩形面积﹣小路面积=5×3﹣1×3=15﹣3=12．故答案为12．【点评】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路．13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=﹣1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0其中正确的命题有①④⑤．（请填入正确的序号）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据题意，得到该抛物线的图象（如图所示）①∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1＜0，a＞0∴b＞0；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0；故本选项正确；②根据图示，知当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；故本选项错误；③∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a；又∵a＞0，∴b﹣a=a＞0，∴b＞a；故本选项错误；④由图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；又∵b=2a，∴3a+c＞0；故本选项正确；⑤根据图象知，当x=﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0；故本选项正确；综上所述，其中正确的命题有①④⑤；故答案是：①④⑤．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系．系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．14．写出不等式组的整数解是﹣1，0，1．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．【解答】解：，解①得，x≤1，解②得，x＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜x≤1，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1．故答案为﹣1，0，1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，是基础知识比较简单．15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=64度．【考点】JA：平行线的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°﹣58°﹣58°=64°．【点评】此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．16．今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，则：=．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题干中给出的总人数比2000年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加50%，即可列出关于a、b的关系式，即可求得的值．【解答】解：∵今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，∴女生人数为a﹣b，∵总人数比2000年增加了30%，男生增加了20%，女生增加50%，∴=+，整理得：13a=8b，即=．故答案为．【点评】本题考查了分式方程的应用，本题中根据总人数比2000年增加了30%、男生增加了20%、女生增加50%列出关于a，b的关系式是解题的关键．17．实数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，则=﹣3．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】利用分式的计算法则将所求代数式可化为=，从已知中可以得出，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，代入代数式即可求出所求代数式的值．【解答】解：原式==，∵实数a、b、c都不为0，且a+b+c=0，∴b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，∴原式=﹣1﹣1﹣1=﹣3．【点评】本题的关键是先化简合并，再找出分子与分母的关系，然后利用整体代入的方法．18．如果两点：M（x1，y1），N（x2，y2），那么．已知：A（3，﹣1），B（﹣1，4），C（1，﹣6），在△ABC内求一点P，使PA2+PB2+PC2最小，则点P的坐标是（1，﹣1）．【考点】4E：完全平方式；D6：两点间的距离公式．【分析】设点P（x，y），则由两点间的距离公式，推出3x2+3y2﹣6x+6y+64，整理后得到3（x ﹣1）2+3（y+1）2+58，根据最小值求出即可．【解答】解：设点P（x，y），则由两点间的距离公式，得PA2+PB2+PC2=（x﹣3）2+（y+1）2+（x+1）2+（y﹣4）2+（x﹣1）2+（y+6）2=3x2+3y2﹣6x+6y+64，=3（x2﹣2x+1）+3（y2+2y+1）+58，=3（x﹣1）2+3（y+1）2+58，∵要使上式的值最小，必须x﹣1=0，y+1=0，∴x=1，y=﹣1，即P（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查对完全平方公式，两点之间的距离公式等知识点的理解和掌握，能推出3（x﹣1）2+3（y+1）2+58并进一步求出x、y的值是解此题的关键．19．已知恒等式：（x2﹣x+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，则（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12）2﹣（a+a3+a5+a7+a9+a11）2=729．1【考点】E5：函数值．【分析】只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．【解答】解：根据平方差公式，原式=（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12+a1+a3+a5+a7+a9+a11）（a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12﹣a1﹣a3﹣a5﹣a7﹣a9﹣a11），=（a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12），当x=1时，（1﹣1+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12，当x=﹣1时，（1+1+1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10+a11x11+a12x12，=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12，∴原式=16×36=729．故答案为：729．【点评】本题考查了函数值的知识，先根据平方差公式将原式因式分解，再根据式子特点，将1或﹣1代入求值．20．如图，若点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则k=﹣6．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．【解答】解：因为△AOM的面积是3，所以|k|=2×3=6．又因为图象在二，四象限，k＜0，所以k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．21．某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，根据市场行情，销售电脑机箱，液晶显示器一台分别可获得10元和160元，该经销商希望销售完这两种商品，所获得利润不少于4100元，试问：该经销商有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元，然后根据购进电脑机箱10台，和液晶显示器8台，共需要资金7000元，购进电脑机箱两台和液晶显示器5台，共需要资金4120元列出组求解即可；（2）设购买电脑机箱a台，则购买液晶显示器（50﹣a）台，然后根据两种商品的资金不超过22240元，且利润不少于4100元列不等式组求解，从而可求得x的范围，然后根据x的取值范围可确定出进货方案，并求得最大利润．【解答】解：（1）设每台电脑机箱进价为x元、每台液晶显示器的进价为y元．根据题意得：，解得：．答：设每台电脑机箱进价为60元、每台液晶显示器的进价为800元．（2）设购买电脑机箱a台，则购买液晶显示器（50﹣a）台．根据题意得：，解得：24≤a≤26．经销商共有三种进货方案：①购买电脑机箱24台，购买液晶显示器26台；②购买电脑机箱25台，购买液晶显示器25台；③购买电脑机箱26台，购买液晶显示器24台．第①种进货方案获利最大，最大利润=10×24+160×26=4400元．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO 中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG 的面积，求出即可．【解答】解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．【点评】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF 最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．【解答】解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，∴AE=AB•sinB=x，=AD•AE=，∵S△APD∴•y•x=，则y=；（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，∴∠BAP=∠CPD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴PB•PC=AB•DC=AB2，当y=1时，x=，即AB=，则PB•PC=（）2=2；（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，当PF=PH时，PF有最小值，又∵∠APD=90°，∴PF=AD=y，∴PH=y，=•AD•PH=，∵S△APD∴•y•y≥，即y2≥2，∵y＞0，∴当取“=“时，y取最小值，则y的最小值为．【点评】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P 的位置．【解答】解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）∵OA=3，OB=4，∴AC=5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大．25．先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若a≥0，b≥0，则…①若a≥0，b≥0，c≥0，则…②不等式①、②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下：若ab＞0，试证明不等式：．证明：∵ab＞0∴即．。

【冲刺实验班】重庆巴蜀中学2019中考提前自主招生数学模拟试卷(5)附解析

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2019年高中提前招生考试数学试卷一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1.下列计算正确的是 A、22a·632aa B、6329)3(aa C、326aaa D、（632)aa 2．抛物线2)8(2ay的顶点坐标是 A、（2，8） B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2） 3．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为

A、270π2cm B、360π2cm C、450π2cm D、540π2cm 4．如图，已知AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有 A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 5．现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京京的概率是

A、101 B、103 C、41 D、51 6．如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图像是

7．如图是5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 A、2个 B、4个 C、6个 D、8个 8. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 A、甲乙 B、甲丙 C、乙丙 D、乙 9．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为

A、2π B、4π C、32 D、4

10．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X、Y表示直角三角形的两直角边（X＞Y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 A、X2＋Y2＝49 B、X－Y＝2 C、2XY＋4＝49 D、X＋Y＝13

11．如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH,设小正方形EFGH的面积为Y，AE为X，则Y关于X的函数图象大致是

12．先作半径为22的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方

aac丙7250　乙50甲a507250



58c

A 形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为

A、（6)22 B、（7)22 C、（6)2 D、7)2( 二、填空题（第小题4分，共24分） 13．我们知道，1纳米＝10—9米，一种花粉直径为35000纳米，那么这种花粉的直径用科学记数法可记为 ▲ 米。 14．如图，A、B、C为⊙0上三点，∠ACB＝20○,则∠BOA的度数为 ▲ ○。 15. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ▲ 。 16．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题。

n=1 n=2 n=3 在第n个图中，共有 ▲ 白块瓷砖。（用含n的代数式表示） 17．直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与 B（0，－3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 ▲ 秒后动圆与直线AB相切。 18．小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t(t＞0)的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线aaxy(2＞0)上向右跳动，得到点P2、P3，这时△P1P2P3的面积为 ▲ 。三．解答题（第19题第小题5分，第20题8分，第21、22、23题各为10分，第24题12分） 19.（1）计算203)3(2007)21( （2）化简1624432xx

降价次数一二三 LO2O1HGF

EDCB

20..本商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快出售，该商店采取了如下销售方案，先将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理；第一次降价30%标出了“亏本价”，第二次降价30%，标出“破产价”，第三次又降价30%,标出“跳楼价”，三次降价处理销售情况如右表。问：（1）跳楼价占原价的百分比是多少？（2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利，请通过计算加以说明 21.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形。（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小方

形的顶点）上，且长度为22；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数。

22. 图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为222和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。（1）计算：O1D= ，O2F= 。（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 。（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）。 23．据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程S. (1)当t=4时，求S的值；（2）将S随t变化的规律用数学关系式表示出来；

销售件数 10 40 一抢而光 OCBAV（km/h）（h）t352010

30 （3）若N城位于M地正南方向，且距M地 650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。 24．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）①设点P的坐标为（1, b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。

参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1.下列计算正确的是 A、22a·632aa B、6329)3(aa C、326aaa D、（632)aa 【答案】D。【考点】同底幂乘法运算法则，幂和积的乘方运算法则，同底幂除法运算法则。【分析】A、∵232352=2=2aaaa，∴选项错误。 B、∵3232363=3=27aaa，∴选项错误。 C、∵62624==aaaa，∴选项错误。 D、∵32236==aaa，∴选项正确。故选D。

2．抛物线2)8(2ay的顶点坐标是 A、（2，8） B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2）【答案】B。

X=1OLPXYCBA 【考点】二次函数顶点坐标。【分析】根据二次函数顶点坐标的求法，直接得出结果。故选B。 3．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为

A、270π2cm B、360π2cm C、450π2cm D、540π2cm 【答案】A。【考点】圆锥的侧面积。【分析】根据公式：圆锥的侧面积=12×母线长×圆锥底面的周长，直接得出结果。故选A。 4．如图，已知AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有 A、1对 B、2对 C、3对 D、4对【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】①∵AB∥CD，∴∠A=∠D。又∵AB=CD，AE=FD，∴∆ABE≌∆DCF（SAS）。②∵AE=FD，∴AF=DE。又∵AB=CD，∠A=∠D，∴∆ABF≌∆DCE（SAS）。③∵∆ABE≌∆DCF，∴BE=CF。∵∆ABF≌∆DCE，∴BF=CE。又∵EF=FE，∴∆BEF≌∆CFE（SSS）。故选C。 5．现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京京的概率是

A、101 B、103 C、41 D、51 【答案】C。【考点】概率。【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率：P=51204。故选C。 6．如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图像是