数学方法在物理学中的应用

数学方法在物理学中的应用（一）

物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。

一、极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。

1．利用三角函数求极值

y ＝acos θ＋bsin θ

＝√a 2+b 2 (√a 2+b 2cos θ + √a 2+b 2sin θ ) 令sin φ＝√a 2+b 2，cos φ＝√a 2+b 2

则有：y ＝√a 2+b 2 (sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝√a 2+b 2sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝π2

时，y 有最大值，且y max ＝√a 2+b 2． 典例：在倾角θ= 30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=

3

3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?

【解析】设所加的外力F 与斜面夹角为α,物体受力情况如图所示。

由于物体做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件,有

F cos α- mg sin θ-f = 0

N +F sin α - mg cos θ = 0

而f =μN

解得:F =α

μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数

y=cos α + μsinα = √1+μ2 (2 cos α + 2 sin α ) = √1+μ2 (sin ∅ cos α + cos ∅ sin α ) = √1+μ2 sin(∅ + α )

其中 sin ∅ = 2 ，cos ∅ = 2，即 tan ∅ = 1

μ。 当∅ + α = 90° 时，即 α = 90° - ∅ 时，y 取最大值√1+μ2 。

F 最小值为 2 ,由于μ = √3

3 ，即 tan ∅ = √3 ，所以 ∅ = 60°。 带入数据得 Fmin = 100√3 N,此时 α = 30° 。

【名师点睛】根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。

2．利用二次函数求极值

二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2

4a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 2

4a

(若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)。 典例：在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿直道建立xOy 坐标系。在t = 0 时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v 0=k m/s 沿 -x 轴方向做匀速直线运

动,乙车沿 +y 方向运动,其坐标为(0,y),y 与时间t 的关系为y= t k 221+ m,关系式中,k>0,问:

(1)当k 满足什么条件时,甲、乙两车间的距离有最小值,最小值为多大?

(2)当k 为何值时,甲车运动到O 处,与乙车的距离和t=0时刻的距离相同?

【解析】(1)t 时刻两车坐标:甲车:x=(1-kt) m,乙车:y=t k 221+ m

t 时刻两车相距s=y x 22+= t k k t 2221(1(+++m=2)1(222+--t k k t k m

当t=k

k -1 s 时,甲、乙两车间的距离有最小值 最小值为s min = )1(2k --m,其中k 满足k<1。

(2)当t=0时,甲车坐标为(1,0),乙车坐标为(0,1),此时两车距离s 0= 2m

当甲车运动到O 处时,kt=1 m,乙车y=t k 221+ m= 2m

两式联立解得:k=2

1。 【名师点睛】根据物体满足的物理规律建立起已知量与所求量之间的函数关系,若这个函数关系是二次函数,则可用二次函数求极值。二次函数求极值,是物理解题中经常用到的数学方法之一,应很好掌握。

3．均值不等式

对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝ b 时，其积ab 取得极大值 p 24

；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝ b ＝ c 时，其积abc 取得极大值 q 3

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。 典例：一轻绳一端固定在O 点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度地释放,如图甲所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值?

【解析】如图乙所示,当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时,重力的功率:

P=mgvcos α=mgvsin θ

乙

小球从水平位置到图中C 位置时,由机械能守恒有

mgL cos θ=2

1mv 2 解得:P = mg θθsin 2cos 2gl

令y=cos θθsin 2 =sin cos 422(21θ =

sin)sin cos 222(21

又因为2cos 2 θ+sin 2 θ+sin 2 θ=2(sin 2 θ+cos 2

θ)=2(定值) 所以当且仅当2cos 2 θ=sin 2

θ时,y 有最大值 由2cos 2 θ=1-cos 2

θ 得cos θ=3

3 即:当cos θ=3

3时,功率P 有最大值。 【答案】当细绳与竖直方向的夹角余弦值为cos θ=

33时,重力的瞬时功率取得最大值 【名师点睛】重力的瞬时功率与物体速度及速度和重力间的夹角有关,正确找到重力的瞬时功率的表达式是解题的前提,利用不等式求极值成为解题的关键所在。