微分方程模型案例库
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
常微分方程数学建模案例分析
河 南教 育 学 院 学报 （自然 科 学 版 ）
取 时 间间隔 ［ ￡ ， ￡ ＋ｄ ｔ ］ ， 则该 时 间间 隔 内排 入 湖 ？ 白中 Ａ的量 为 ． ｄ ￡ ： ｄ ， 而 流 出湖 泊 的 Ａ 的量 为
ｙ
年， 可 使湖 泊 中污染 物 Ａ的含量 降至 ｍ。 以 内？ 模 型假 设 １ ） 假设 河 水是 湖水 的 唯一水 源且 湖水 容量 不变 ； ２ ） 假 设湖 泊 中 的浓 度 是均匀 的 ； ３ ） 假 设河 水 流进湖 后立 即与湖水 充分 混合 从而 使有 毒污 染物 全部 溶解 在湖 水 中．
ｌ ，
问题 １ ＿ ｉ
有一个湖泊的水量为 ， 据统计每年排入该湖泊 内包含污染物
内不含 Ａ的水量为÷， 流出湖泊的水量为 ÷． 经专业人员检测 ， 现在湖泊中Ａ 的含量为５ ｍ 。 ， 已经严重超过国
Ｕ
ｍ
家规定 的标 准． 为 了治理 污染 ， 从 即 日起 国家 限定 排入 湖泊 中含 Ａ污 水 的浓 度 不超 过 ， 问最多 需 经过 多少
模 型 建立
设从 即 日起 ， 第ｔ 年湖 泊 中污染 物 的总质 量为 ｍ， 则 此 时浓度 为 ．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ６—１ ８
基金 项 目： 山东科技大学教 育教 学研 究“ 群星计划 ” 项 目（ Ｑ Ｘ ２ ０ １ ３ ２ ６ ５ ） ； 山东科技大学教学研究项 目（ Ｊ Ｇ ２ ０ １ ５ ０ ４ ）
０ 引 言
传 统 的大学 数 学教学 强 调理论 知识 的推 导 和计算 技 巧 的掌 握 ， 忽视 数 学思 想 的来 源及 在 实 际生 活 中 的 应用 ， 学生 在学 习过 程 中通 常感 到抽象 难懂 ， 而 当面对 实 际 问题 时 ， 更 不知 如 何用 数 学 知识 解 决 ． 因此， 在高 等 数学 课 堂教学 中开展实 际案 例教 学是 大学 数学 教学 改 革 的重 要方 向． 案 例教 学 是 由贴 近 生活 的实 际情 境 引 出数 学 问题 ， 转化 为数 学知识 ， 然 后用 所学 的数 学知 识 处理 各 种实 际 问题 ， 缩 短 教 学情 境 与实 际 生 活情 境 的差距 ， 提 高学 生学 习 的兴趣 ， 同时培养 学生 的实践 能力 与创新 能力 ． 常 微 分方程 是 高等数 学 中的一 个重 要 内容 ， 学生 在学 习时 往往 只知 道如何 解方 程 ， 并不懂 这些 方程 的实 际背景 ， 因此造 成学 生缺 乏学 习兴 趣与 动力 ． 案例 教学 在 授课 过 程 中从 实 际案 例 出发 ， 加强 学 生对 微 分 方程
常微分方程应用案例课件
碳定年代法的根据
由于不断地蜕变而不断 减少。碳定年代法就是 根据蜕变减少量的变化 情况来判定生物死亡时 间的。
问题假设
1、现代生物体中 C 的蜕变速度与马王堆墓葬时代 14 生物体中 C 的蜕变速度相同； 2、 C 的蜕变速度与该时刻 C 的含量称正比。 由于地球周围大气中的14C 的百分含量可认为基本不 变（即宇宙线照射大气层的强度自古至今基本不变）， 假设1是合理的，假设2的根据来自原子物理学的理论。
而 x(t ) 29.78 次/分（由已知），将它们及T=5568 t ln 2036 ln 2 29.78
这样就估算出马王堆一号墓大约是2000多年前的。
注意：对 C 的半衰期各种书上说法不一，有人测 定为5568，也有人测定为5580年或5730年，本例 是用5586年计算的，若用5580年或5730年计算， 则可分别求得马王堆一号墓存在于2040年或2095年 前左右。
案例2 马王堆一号墓年代的确定
年代：西汉 墓主简介：马王堆汉墓是中国西汉初期 长沙国丞相、侯利仓及其家属的墓。位 于湖南长沙东郊。共3座。 1972年发掘马王堆一号墓，一号墓 墓主应是利仓妻子，下葬年代在 文帝十二年以后数年至十几年间。
一、问题背景
考古、地质等方面的专家常用 C （碳—14，碳—12 的同位素）测定法（通常称为碳定年代法），去估 计文物或化石的年代。长沙市的马王堆一号墓于 1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的14C 平均原子蜕变数为29.78次/分，而新看法烧成的木 14 14 C 的 炭中 平均原子蜕变数为 38.37 次 / 分，又知 C 14 半衰期（给定数量的 蜕变到一般数量所需的时间 ） C 为5568年，试估算一下该墓的大致年代？
微分方程建模案例
微分方程建模案例微分方程是数学中的一种重要工具，它被广泛应用于各个领域的建模和问题求解中。
下面将以一个具体的案例来介绍微分方程建模的过程，并通过求解微分方程来解决实际问题。
案例：生物种群的增长模型在生态学中，研究生物种群的增长是一个重要的课题。
种群的增长速度与种群中的个体数量有关。
如果种群中个体数量增加的速度与当前个体数量成正比，可以建立如下的微分方程模型：$$\frac{dN}{dt} = rN$$其中，$N$表示种群的个体数量，$t$表示时间，$r$表示增长的速率。
这个微分方程描述了种群个体数量随时间变化的规律。
解：首先，我们需要求解上述微分方程，得到种群个体数量随时间的函数关系。
这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用分离变量的方法求解。
将微分方程变形为：$$\frac{dN}{N} = rdt$$将方程两边同时积分，得到：$$\int \frac{dN}{N} = \int rdt$$经过积分运算，得到：$$\ln N = rt + C$$其中，$C$为积分常数。
进一步求解，得到：$$N = e^{rt + C}$$根据初始条件，当$t=0$时，$N=N_0$，其中$N_0$为初始种群个体数量。
代入初始条件，解得$C=\ln N_0$，将其代入上述方程，得到最终的解：$$N = N_0e^{rt}$$这个解描述了种群个体数量随时间的增长情况。
接下来，我们来解决一个具体的问题，一个兔子种群的增长情况。
假设初始时刻兔子种群中有100只兔子，增长速率$r=0.02$，那么该种群在未来的10个月内，兔子的数量会如何变化？根据上面的微分方程解，代入初始条件$N_0=100$，$r=0.02$，$t=10$，得到：$$N=100e^{0.02t}$$将$t=10$代入上述方程，可以得到10个月后兔子种群的个体数量：所以，10个月后的兔子种群中大约有122只兔子。
通过这个模型，我们可以预测种群在未来的增长情况，并在实践中应用于生态学、环境保护等领域，为实际问题的决策提供参考。
二阶线性常微分方程的求解及其在物理建模中的应用
二阶线性常微分方程的求解及其在物理建模中的应用二阶线性常微分方程是指包含未知函数及其导数和二阶导数的方程，且其各项系数都是常数。
求解这类微分方程并研究其在物理建模中的应用具有重要意义。
要求解二阶线性常微分方程，常用的方法之一是特征方程法。
特征方程法基于二阶线性常微分方程的特征根和特征向量来求解。
具体步骤如下：1.将二阶微分方程化为标准形式：将未知函数及其导数、二阶导数的系数项分离出来，使方程的形式为u'' + pu' + qu = 0。
2.假设解的形式为u = e^(rt)，其中r为待定常数。
将假设解代入方程中，得到特征方程r^2 + pr + q = 0。
3.求解特征方程，求得特征根r1和r2。
如果特征根是不相等的实数，则解的形式为u = C1e^(r1t) + C2e^(r2t)，其中C1和C2为待定系数。
4.如果特征根是共轭复数对，则解的形式为u = e^(at)(C1cos(bt) + C2sin(bt))，其中a和b是特征根的实部和虚部，C1和C2为待定系数。
二阶线性常微分方程的解不止以上两种形式，但特征方程法是最常用的方法之一，能够求得方程的所有解。
二阶线性常微分方程在物理建模中有广泛的应用。
下面将介绍其中的两个典型案例。
1.弹簧振动模型二阶线性常微分方程广泛应用于描述弹簧振动模型。
考虑一个质量为m的物体通过一根弹簧与原点相连。
当物体受到外力作用时，弹簧会发生振动。
假设该系统在平衡位置附近运动，可以得到以下微分方程：m * u'' + k * u = F(t)其中u是物体的位移，m是质量，k是弹簧的弹性系数，F(t)是外力关于时间的函数。
通过求解上述微分方程，可以得到物体的位移与时间的关系。
对于简谐振动的情况，可以采用特征方程法求解，得到位置随时间的变化规律。
这在物理实验中有着很重要的应用，如研究弹簧的弹性恢复力及振幅的大小等。
2.电路中的RLC振荡器二阶线性常微分方程在电路中的RLC振荡器模型应用广泛。
偏微分方程数值算法综述及应用案例分析
偏微分方程数值算法综述及应用案例分析偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学和工程学科领域中经常用到的基础概念。
偏微分方程的求解对于许多领域的研究和实践具有重要的作用，例如材料科学、地球物理学、计算机科学和机械工程学等。
然而，由于偏微分方程的求解难度较大，传统的解析方法无法处理更加复杂的情况。
为了解决这个问题，人们发展出了一些数值算法，使得偏微分方程的数值求解可以得以实现。
本文主要介绍偏微分方程数值算法的综述和应用案例分析。
一、偏微分方程数值算法综述偏微分方程的数值求解方法可以分为有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种比较常见的偏微分方程数值求解方法。
其基本思想是用有限差分代替微分，将偏微分方程化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到数值解。
有限差分法的优点是实现简单，易于理解，缺点是精度较低，适用范围有限。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的偏微分方程数值求解方法。
在有限元法中，原问题被抽象成一组离散化的小问题，每一个小问题都在一个有限元形状中求解。
通过求解多个小问题的结果来近似求解原问题。
有限元法的优点是精度较高，适用范围广泛，缺点是计算量较大，实现难度也较大。
3. 谱方法谱方法是一种通过函数级数展开求解偏微分方程的方法。
谱方法基于傅里叶级数展开，将解表示为一组基函数的线性组合。
通过确定系数来求解偏微分方程，谱方法的优点是精度高，实现简单，缺点是需要求解傅里叶系数。
二、偏微分方程数值算法的应用案例分析偏微分方程的数值算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用。
本文简要介绍一些偏微分方程数值算法应用案例。
1. 热传导方程的数值求解偏微分方程中的热传导方程是一类广泛应用的模型。
通过对热传导方程的数值求解可以实现对一些热传导问题的模拟和实验研究。
其中，使用有限差分法可以求解热传导方程，并可以得到热传导的温度分布。
2. 构造三维曲面的谱方法谱方法在计算机辅助设计、建模和制造等领域中应用广泛。
微分方程模型案例分析
微分方程模型案例分析-------传染病传播的数学模型张清华由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。
医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。
以下仅讨论传染病的传播问题。
人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。
这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。
最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。
同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。
传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。
如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。
如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
下面由简单到复杂将建模的思考过程作一个示范，读者可以从中得到很好的启发。
1 模型一假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数K 0；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
记i t ()表示t 时刻病人数，K 0表示每个病人单位时间内传染的人数，i i ()00=，即最初有i 0个传染病人。
则在∆t 时间内增加的病人数为i t t i t K i t t ()()()+-=∆∆0于是得微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (1)， 其解为 i t i e k t ()=00结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。
这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。
常微分方程第五章 微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。
第九章动力学微分方程(陆)案例
o
x
★理论力学电子教案
第一个方程的解：
dv x dt
k m
v
x
dvx k dt
vx
m
ln vx
k m
t
c
kt
vx ce m
初始条件：
第9章 约束 质点动力学微分方程
kt
vx v0e m
kt
dx v0e m dt
x
x0
mv 0 k
kt
em
10
y
v O
F
h
mg
o
x
初始条件： x |t0 0 x0 v0m / k
vx |t0 v0 c v0
x
v0m
(1
kt
em
)
k
★理论力学电子教案
第9章 约束 质点动力学微分方程
11
第二个方程的解：
dv y dt
k (mg mk
vy )
dy vydt
y
y0
mg k
( k m
第9章 约束 质点动力学微分方程
例题 一质点M在xy平面内运动，已知运动 轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。 试分析质点的受力。
解:
Fx
ma x
m
d2x dt 2
mbk 2
cos(kt)
mk 2 x
y
o r
F
Fy
ma y
m
d2y dt 2
mck
|t0 0, |t0 0 c g / r
微分方程应用举例
ln M t ln c , 即M ce t ,
代入M
t 0
M 0 , 得 M 0 ce C
0
M M 0e
t
衰变规律
案例3【 物体冷却问题】 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气 温度恒为 24o C ，在时刻 t 0时，测得其温度 为 150o C ， 10分钟后测得温度为 100o C ．已知 牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的 温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系， 并计算 分钟后该物体的温度． 20
解 设 T T (t ),
则T (t ) 0. 由牛顿冷却定律，有
dT k ( t 24), k 0 dt T (0) 150.
用通解公式法解得 24 126e T
将T (10) 100代入，解得
k t
1 126 k ln 0.051 10 76
R sin t L cos t
代入上式，得
E0 R sin t L cos t Ce i 2 2 2 R L
R t L
又i (0) 0，代入上式，求得
E0 L C 2 ， 2 2 R L
所以
R t E0 R sin t L cos t L e L i (t ) 2 2 2 R L
所以 T 24 126e
0.051t
将t 20代入，解得
T ( 20) 24 126e
0.05120
64(C )
案例4【电路电流问题】 设有一电路如图所示，R 是电阻，L是电感，它们 都是常数，电源的电动 势为 E E0 sin t
R
L E
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微分方程模型案例库
一、经济学模型
人口增长模型：人口增长可以用微分方程描述，最简单的模型是人口增长速率与人口数量成正比，即dP/dt=kP。
其中，P是人口数量，t是时间，k是一个常数。
这个模型可以体现人口增长速度与人口数量的关系，可以用来预测未来的人口增长趋势。
供求模型：供求模型是经济学中常用的模型，可以用微分方程描述。
设商品的需求函数为Qd=f(p)（商品需求量与价格的关系），供给函数为Qs=g(p)（商品供给量与价格的关系）。
则供求平衡点满足p和Qs、Qd的交点，即f(p)=g(p)。
通过求解这个方程组，可以得到经济体中的均衡价格和交易量。
二、物理学模型
自由落体模型：自由落体是一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体下落的速度为v，物体的质量为m，重力加速度为g，则质量与速度之间的关系为m(dv/dt)=mg。
通过求解这个微分方程，可以得到物体下落的速度随时间的变化。
阻尼振动模型：阻尼振动是另一个常见的物理现象，可以用微分方程描述。
设物体的位移为x，阻尼系数为b，弹簧常数为k，则质量、阻尼和弹簧之间的关系为m(d^2x/dt^2)+b(dx/dt)+kx=0。
通过求解这个微分方程，可以得到物体振动的特性，包括振幅、周期等。
三、生物学模型
物种竞争模型：物种竞争是生物学中一个重要的研究问题，也可以用
微分方程模型来描述。
设两个物种的数量分别为x和y，它们的增长速率
分别为dx/dt和dy/dt，竞争系数为a和b，资源可持续利用的速率为r，则物种数量的变化满足dx/dt=a*x*(1-(x+y)/r)-b*x*y和dy/dt=b*x*y-
a*y*(1-(x+y)/r)。
通过求解这个方程组，可以得到两个物种数量随时间
的变化，从而研究它们之间的竞争关系。
病毒传播模型：病毒传播是流行病学中的重要问题，也可以用微分方
程模型来描述。
设感染者的数量为I，易感者的数量为S，恢复者的数量
为R，感染率为β，康复率为γ，则感染者、易感者和恢复者的变化满
足dS/dt=-β*S*I，dI/dt=β*S*I-γ*I，dR/dt=γ*I。
通过求解这个方
程组，可以研究病毒传播的动态过程，评估防控措施的有效性。
以上是一些微分方程模型的案例，它们在不同领域中有着广泛的应用。
通过建立适当的微分方程模型，并对其进行求解，可以帮助我们更好地理
解和解释许多自然和社会现象。