人教版必修二第三章测试题(含答案)

第三章测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在下列四个命题中，正确的共有（ ）.

（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；

（2）直线的倾斜角的取值范围是[]0π，；

（3）若两直线的斜率相等，则他们平行；

（4）直线y =k x +b 与y 轴相交，交点的纵坐标的绝对值叫截距. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．如图：直线l 1 的倾斜角1=30°，直线 l 1 l 2 ，则l 2的斜率为（ ）.

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

3．已知，则直线通过（ ）. A . 第一、二、三象限

B . 第一、二、四象限

C . 第一、三、四象限

D . 第二、三、四象限

4．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线

的倾斜角的2倍，则（ ）.

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如果直线l ：x ＋a y ＋2＝0平行于直线2x

－y ＋3＝0，则直线l 在两坐标轴上截距之和是（ ）.

A ．6

B ．2

C ．－1

D ．－2

6．不论为何实数，直线恒过 （ ）.

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 7．若直线210(1)10,x ay a x ay a +-=--+=与平行则的值为（ ）. A ．

2

1 B ．

2

1

或0 C ．0

D ．2-

8．点（-1，1）关于直线x -y -1=0的对称点（ ）. A ．(-1，1)

B ．(1， -1)

C ．(-2，2)

D ．(2，-2)

9．等腰三角形两腰所在直线方程分别为x +y =2与x -7y -4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在的直线斜率为（ ）.

α⊥33-

3

33-30,0ab bc <

b a 1,3=-=b a 1,3-=-=b a a (3)(21)70a x a y ++-+=

A ．3

B ．2

C ．31-

D ．2

1

-

10．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）.

A . [0，5]

B . [0，10]

C . [5，10]

D . [5，15]

11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）.

A ．3

B ．2

C ．13

- D ．12

-

12．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是 （ ）.

A

．

B ．

36

4 C

D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是 ． 14．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是： ①15；②30；③45；④60；⑤75，

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

15．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是i

l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 ．

16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形

ABC 的顶点分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(

0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 均为非零实数，设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b

c

p

a

-+-=

请你完成直线OF 的方程：（ ）11()0x y p a

+-=.

5247=+y x

三、解答题 17．（10分）已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线L 平行于AB ，且分别交AC ，BC 于E ， F ，三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的

.求直线L 的方程.

18．（12分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２x －５y ＋９＝０与Ｌ２：２x －５y －７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线x －４y －１＝０上，求直线Ｌ的方程.

19．（12分）已知点A 的坐标为，直线的方程为3x ＋y －2＝0，求： （1）点A 关于直线的对称点A ′的坐标； （2）直线关于点A 的对称直线的方程．

20．（12分）在△ABC 中，A （m ，2），B （-3，-1），C （5，1），若BC 的中点M 到AB 的距离大于M 到AC 的距离，试求实数m 的取值范围.

21．（12分）光线从A （-3，4）点出发，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过D （-1，6）点，求直线BC 的方程.

22．（12分）有定点P （6，4）及定直线l :y=4x ，点Q 是在直线l 上第一象限内的点，

4

1

)4,4(-l l l l

'

直线PQ 交x 轴的正半轴于M ，则点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小？

参考答案

一、选择题

1．选A .垂直于x 轴的直线斜率不存在；倾斜角的范围是[)0π，；两直线斜率相等，它们可能平行，也可能垂直；直线y=kx+b 与y 轴相交，交点的纵坐标叫直线在y 轴上的截距.

2．选C .

3．选C .，所以通过第一、三、四象限. 4．选D . 由ax+by -1=0，得b x b a y 1

+-=. 当x=0时，y=b 1；11-=b

，得b=-1.

060a

y a b

-=?-

==的倾斜角为，所以

5． B .选由两直线平行，得a=-0.5，所以直线方程为x -0.5y +2=0，当x=0时，y=4;当y=0时，x=-2.故4+(-2)=2.

6．选B . 由方程（a +3）x+(2a -1)y+7=0 ，得：（x +2y ）a +3x -y +7=0，故x +2y =0且3x -y +7=0. 解得x =-2，y =1. 即该直线恒过（-2，1）点，则恒过第二象限.

7．选A .当0a =时，两直线重合，不合题意；111

0,.22

a a a a

a

-≠=-=当时，解之得

8．选D .设对称点为（a ，b ），则依题意，11

1022

111

a b b a -+--=-=+???????，，解得：22.a b ==-???，

9．选A .设底面所在直线斜率为k ，则由到角公式得11(1)k k

--=

+-?1

7117

k k -

+，解得3=k 或

3

1

-=k （不符合题意舍去），所以3=k .

10．选B .根据题意可知点P 在线段4x +3y =0(－14≤x －y ≤7)上，有线段过原点，故点P 到原点最短距离为零，最远距离为点(6,8)P -到原点距离且距离为10，故选B .

11．选A .11:20,1l x y k +-==-，221:740,7

l x y k --==，设底边所在直线的斜率为

11221,3

k k k k =

?=-∴=,0,0a c a c

y x k b b b b

=-

+=-><

k ，由题意，l 3与l 1所成的角等于l 2与l 1所成的角，于是有：

12

1217111173

k k k k k k k k k k k --+-=?=++-+，

再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A .

12. 选D ．过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由AB BC AC ==，知2222()149a b b a -+=+=+=边长，检验A ：

222()14912a b b a -+=+=+=，无解；检验B ：22232()1493

a b b a -+=+=+=

， 无解；检验D ：22228

()1493

a b b a -+=+=+=，正确. 二、填空题

13. 设所求直线方程为7x +24y +C=0，由两平行线间的距离公式得：

，

解得C=-80或70.

【答案】或 14. 两平行线间的距离为21

1|

13|=+-=

d ，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.故填写① ⑤.

【答案】①⑤

15. 设12300(0,),(,0),(,)P b P a P x y ．由题设点1P 到,A B 两点的距离和为

d =．

显然当3b =即1(0,3)P 时，点1P 到,A B 两点的距离和最小．同理23(2,0),(1,0)P P ，所以123

231

322

P P P S P P b ?=??=．

【答案】

32

16.画草图，由对称性可猜想填11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1y

x b a

+=，直

线CP ：1y

x c p

+=，两式相减得1111()()0x y c b p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足

此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

【答案】 11c

b

-

三、解答题

17.【解析】由已知，直线AB 的斜率K=

，

3d ==080247=-+y x 070247=++y x 2

1

∵EF ∥AB ，∴ 直线EF 的斜率为 K=

， ∵三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的

，∴E 是CA 的中点. 又点E 的坐标（0，

） ，直线EF 的方程是，即. 18. 【解析】设线段ＡＢ的中点P 的坐标（a ，b ），由P 到L 1，、L 2

的距离相等，得

=

经整理得，，又点P 在直线x －4y －1＝0上，所以.解方程组25103

4101

a b a a b b -+==---==-???

?

??，得，即点P 的坐标（-3，-1），又直线L 过点（2，3），所以直线Ｌ的方程为

，即.

19. 【解析】（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）.

因为点A 与A ′关于直线对称，所以AA ′⊥，且AA ′的中点在上，而直线的斜率

是－3，所以′＝

.又因为＝． 再因为直线的方程为3＋－2＝0，AA ′的中点坐标是（），所以3·－2＝0 .由①和②，解得x ′＝2，y ′＝6.所以A′点的坐标为（2，6） . （2）关于点A 对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3＋＋c ＝0. 在直线上任取一点M （0，2），其关于点A 对称的点为M ′（x ′，y ′），于是M ′点在上，

且MM ′的中点为点A ，由此得02

4422

x y ''++=-=，，即x ′＝－8，y ′＝6. 于是有M ′（－8，6）.因为M 点在上， 所以3(－8)＋6＋＝0，∴＝18 . 故直线的方程为3x ＋y ＋18＝0 .

20. 【解析】M （1，0），设M 到AB 、AC 的距离分别为d 1，d 2. 当m ≠-3，m ≠5时，

由两点式得AB 的直线方程为(1)(3)2(1)(3)

y x m ----=

----，

即3(3)60x m y m -+-+= 同理得AC 的直线方程

1

521

5

y x m --=--，

即 x - (m -5)y +m -10=0．

2

14

1

25x y 2

1

25=-052=+-y x 0152=+-b a 014=--b a )

3(2)

3()1(3)1(----=----x y 0754=+-y x l l l l A A k '3

1

A A k '314x 4y ,4x 4y =+'-'+'-'所以l x y 2

4

y ,24x +'-'2

4

y 24x +'+-'l l 'l 'x y l l 'l '?c c l '

12d d =

=

由于d 1>d 2

>

解得：m <1

2

.

21. 【解析】如图所示，由题设，点B 在原点O 的左侧，根据物理学知识，直线BC 一定过（-1，6）关于y 轴的对称点（1，6），直线AB 一定过（1，6）关于x 轴的对称点（1，-6）且k AB =k CD ，

∴k AB = k CD = 4631+--=52-.∴AB 方程为y -4 =5

2-(x +3).

令y =0，得x =75-，∴B （7

5-，0）.

CD 方程为y -6 =52-(x +1). 令x =0，得y =72，∴B （0，7

2

）.

∴BC 的方程为

17752

x y

+=-

，即5x -2y +7=0. 22. 【解析】设点Q （x 0，4x 0）（x 0＞1），由题意显然x 0≠6，

∴直线PQ 的方程为00444(6)6

x y x x --=

--，

令y=0，得x M = 0

051x x - ，∴点M 的坐标为（0051

x x -，0），

设△OMQ 的面积为S ，则20

00101

421x S OM x x =?=-2

0010=11x x -+2010=

111()+x 24

--≥40， （当且仅当x 0=2时等号成立）.

当S =40时，x 0=2，4x 0=8，∴点Q 的坐标为（2，8）.而当x 0=6时，点Q （6，24），此时S =

12

×6×24=72＞40，不符合要求，故当点Q 坐标为（2，8）时，△OMQ 的面积最小，且最小值为40.