立体几何大题练习(文科)61642

立体几何大题练习（文科）：

1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．

【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，

设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，

可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

由余弦定理可得AD==a，

则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，

又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，

由AD=SD=a，

在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，

△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，

由SH⊥平面BCD，可得

×a××a2=，

解得a=1，

由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，

SB===2a，

又AB=2a，

在等腰三角形SBA中，

边SA上的高为=a，

则△SAB的面积为×SA×a=a=．

【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．

2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

因为BC⊥BD，FG∥BC，

所以FG⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，

所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，

所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．

3．如图，在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，CC

1

⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B

1

C

1

和BC的中点．

（1）求证：MB∥平面AC

1

N；（2）求证：AC⊥MB．

【分析】（1）证明MC

1NB为平行四边形，所以C

1

N∥MB，即可证明MB∥平面AC

1

N；

（2）证明AC⊥平面BCC

1B

1

，即可证明AC⊥MB．

【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，因为点M，N分别是B

1

C

1

，

BC的中点，

所以C

1M∥BN，C

1

M=BN．

所以MC

1

NB为平行四边形．

所以C

1

N∥MB．

因为C

1N?平面AC

1

N，MB?平面AC

1

N，

所以MB∥平面AC

1

N；

（2）因为CC

1

⊥底面ABC，

所以AC⊥CC

1

．

因为AC⊥BC，BC∩CC

1

=C，

所以AC⊥平面BCC

1B

1．

因为MB?平面BCC

1B

1，

所以AC⊥MB．

【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；

（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．

【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；

（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．

【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）

当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，

故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）

（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面

BMQ的距离，所以V

P﹣BMQ =V

A﹣BMQ

=V

M﹣ABQ

，

取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）

又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．

又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）

所以V

P﹣BMQ =V

A﹣BMQ

=V

M﹣ABQ

=.，…（11分）

则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）

【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．

（1）求证：B

1C

1

∥平面A

1

DE；

（2）求证：平面A

1DE⊥平面ACC

1

A

1

．

【分析】（1）证明B

1C

1

∥DE，即可证明B

1

C

1

∥平面A

1

DE；

（2）证明DE⊥平面ACC

1A

1

，即可证明平面A

1

DE⊥平面ACC

1

A

1

．

【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）

又因为在三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，B

1

C

1

∥BC，所以B

1

C

1

∥DE…（4分）

又B

1C

1

?平面A

1

DE，DE?平面A

1

DE，所以B

1

C

1

∥平面A

1

DE…（6分）

（2）在直三棱柱ABC﹣A

1B

1

C

1

中，CC

1

⊥底面ABC，

又DE?底面ABC，所以CC

1

⊥DE…（8分）

又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）

又CC

1，AC?平面ACC

1

A

1

，且CC

1

∩AC=C，所以DE⊥平面ACC

1

A

1

…（12分）

又DE?平面A

1DE，所以平面A

1

DE⊥平面ACC

1

A

1

…（14分）

【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

6．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．

（1）求证：PA⊥平面CMN；

（2）求证：AM∥平面PBC．

【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．

（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．

【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，

∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，

∵PC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PC⊥AD，

又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，

∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，