等腰三角形测试题
初中数学苏科版八年级上册第2章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性-章节测试习题(8)
章节测试题1.【题文】如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AB上的点，且AE=AD，求∠EDB的度数．【答案】15°【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得又由根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠BAC=60°=30°，∴∠ADB=90°.∵AE=AD.∴∠ADE=∠AED==75°.∴∠EDB=∠ADB-∠ADE==15°.2.【题文】如图，等边三角形的边长为4，点是边上一动点(不与点重合)，以为边在的下方作等边三角形，连接.(1)在运动的过程中，与有何数量关系?请说明理由.(2)当时，求的度数.【答案】(1) ,理由见解析;(2) .【分析】（1）AE=CD，证明△ABE≌△CBD，即可解决问题．（2）证明AE⊥BC；证明∠BDC=∠AEB，即可解决问题．【解答】解：（1）AE=CD；理由如下：∵△ABC和△BDE等边三角形∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；在△ABE与△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD．（2）∵BE=2，BC=4∴E为BC的中点；又∵等边三角形△ABC，∴AE⊥BC，由（1）知△ABE≌△CBD，∴∠BDC=∠AEB=90°．3.【题文】如图点D、E分别在等边ΔABC边BC、CA上，且CD=AE,联结AD、BE.(1)求证：BE=AD；(2)延长DA交BE于F,求∠BFD的度数.【答案】(1)证明见解析；（2）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质可以得到∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，则∠EAB=∠ACD，根据SAS即可证得△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的对应边相等，即可证得：AD=BE．(2)易证∠AFE=∠ACD,从而∠BFA=∠ACB=60°.【解答】解：证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，∴∠EAB=∠ACD=120°，∵在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD=BE．（2）如图，∵△ABE≌△CAD∴∠E=∠D∵∠EAF=∠DAC∴∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=60°4.【题文】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】详见解析.【分析】要证△ADE为等边三角形，可以先证它为等腰三角形，再证该等腰三角形的一个内角为60°. 综合分析已知条件可知，可以利用△ABD和△ACE全等证明AD=AE. 根据已知条件和等边三角形的性质，不难证明∠B=∠ACE，进而利用SAS 证明△ABD和△ACE全等. 利用全等三角形的性质可以得到△ADE是等腰三角形. 利用全等三角形的性质，通过相关角之间的和差关系，不难证明∠DAE=∠BAC=60°，从而证明△ADE为等边三角形.【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC.∵∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∵CE平分∠ACD，∴.∴∠B=∠ACE.∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE (SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAC=∠DAE=60°.∵∠DAE=60°，AD=AE，∴△ADE为等边三角形.5.【题文】如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）=；（2）AE＝BD．【分析】（1）△BCE中可证，∠BCE=30°，又EB=EC，则∠D=∠ECB=30°，所以△BCE 是等腰三角形，结合AE=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，用AAS证明△DEB≌△ECF．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC.∵E为AB的中点，所以∠BCE=30°.∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED，∴BD=BE，∴BD=AE.（2）当点E为AB上任意一点时，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：过E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF.∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠ECF.在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF(AAS)．∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.6.【题文】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由。
三角形初中测试题及答案
三角形初中测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为：A. 105°B. 75°C. 90°D. 120°答案：B2. 一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边的长x满足：A. 1cm < x < 7cmB. 7cm < x < 11cmC. 1cm < x < 11cmD. 7cm < x < 15cm答案：A3. 等腰三角形的顶角为100°，则其底角为：A. 40°B. 50°C. 80°D. 30°答案：A4. 直角三角形中，一个锐角为30°，则另一个锐角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 一个三角形的内角和为：A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案：A6. 若三角形的两边长分别为5cm和7cm，则第三边的长x的取值范围为：A. 2cm < x < 12cmB. 5cm < x < 12cmC. 2cm < x < 17cmD. 5cm < x < 17cm答案：B7. 一个三角形的周长为18cm，其中一边长为5cm，则另外两边之和为：A. 13cmB. 8cmC. 15cmD. 10cm答案：C8. 三角形的两边长分别为6cm和8cm，若要构成直角三角形，则第三边的长为：A. 10cmB. 2cmC. 4cmD. 6cm答案：A9. 等边三角形的每个内角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°答案：B10. 一个三角形的两边长分别为4cm和9cm，第三边的长x满足：A. 5cm < x < 13cmB. 1cm < x < 13cmC. 5cm < x < 17cmD. 1cm < x < 17cm答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和。
人教版四年级下册数学 第五单元 三角形 单元测试题
人教版四年级下册数学第五单元三角形单元测试题一.单选题(共10题；共30分)1．（3分）一个等腰三角形的一个底角是25度，它的顶角是多少度？按角分类，这个三角形是什么三角形？（）A．77.5；锐角三角形B．90：直角三角形C．130；钝角三角形2．（3分）观察下图，已知∠1=40°，∠2=75°，那么∠3=（）。
A．105°B．115°C．125°3．（3分）把一个锐角三角形沿高剪开成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）。
A．90°B．无法确定C．180°4．（3分）下图中，点A到直线BC的距离是线段( )的长．A．AE B．DE C．AD5．（3分）等腰三角形的一个顶角是70度，那么它的底角是（）A．65度B．70度C．55度6．（3分）有两根小棒，分别长5厘米和9厘米，要想再配上一根小棒围成三角形，小棒的长度应（）A．大于5厘米，小于9厘米 B．大于4厘米，小于9厘米 C．大于4厘米，小于14厘米7．（3分）一个三角形的两个内角分别是35°和60°，这个三角形一定是（）。
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，∠C=（）。
A．50°B．65°C．无法确定9．（3分）下列小棒不能拼成三角形的一组是（）。
A．B．C．10．（3分）桌子上有一些三角形纸板，琪琪明数了数，这些三角形中一共有12个锐角、1个钝角、2个直角，那么，桌子上共有（）个锐角三角形。
A．2 B．3 C．4二.判断题(共5题；共15分)11．（3分）—个三角形的两条边都是2厘米，它的第三条边最少是4厘米。
（）12．（3分）三角形越大，它的内角和就越大。
（）13．（3分）用长度为4厘米、5厘米和9厘米的小格首尾相连，可以围成一个三角形。
（）14．14．（3分）一个三角形的两个内角之和是100°，那么这个三角形一定是锐角三角形。
精品 2014年八年级数学上册讲义-等腰三角形测试题
八年级数学上册第06课等腰三角形知识点等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.例1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在△ABC 中，∠C=900，∠A=300，如图所示.求证：AB BC 21 .例2.如图，已知B、C、D三点共线，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE、AD，交AC于G，交CE于H，AD与BE交于F点。
求证：（1）BE=AD;（2）∠AFB=600；（3）若连接GH，则△CGH为等边三角形。
例3.如图，在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=600,E是AD上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC.例4.△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在AC的延长线上取一点E,使CE=BD,连结DE交BC于F.求证：DF=FE.课堂练习：1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm2.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A.11cmB.7.5cmC.11cm或7.5cmD.以上都不对3.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A.75°或30°B.75°C.15°D.75°和15°4.若等腰三角形的周长为12，则腰长的取值范围是（）A.a>5B.a<5C.4<a<7D.3<a<65.已知,如图,下列三角形中,AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③6.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是_________cm．8.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是9.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为________10.如图,在△ABC中,D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM=11.在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子的倾斜角为450，则这间房子的宽AB是m。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试卷(答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC 中，当120APBAPC BPC 时，P 就是ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++=（ ） A ．6 B ．33+C ．63D ．9 4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，已知40ADE ∠=︒，则DBC ∠度数为（ ）A ．5︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒5．如图，30MON ∠=︒点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ，223A B A ，334A B A ，…均为等边三角形，若11OA =，则边67B B 的长为（ ）A ．63B ．123C ．323D ．6436．如图，已知等边,2ABC AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD CF DE BC =⊥，于点,E FG BC ⊥于,G DF 交BC 于点P ，则下列结论中：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．一定正确的是（ ）A ．①B ．②④C ．①②③D ．①②④ 7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．28．下面说法中正确的是（ ）A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线B ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段C ．三角形的角平分线不是射线D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合9．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )．A ．40︒B ．70︒C ．40︒或70︒D ．50︒或70︒ 10．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE ∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 11．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25° 12．已知，如图在ABC 中，AB AC =，AD 是三角形的高，若20CAD ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒二、填空题13．如图，己知等边△ABC 的边长为8cm ，∠A ＝∠B ＝60°，点D 为边BC 上一点，且BD ＝3cm ．若点M 在线段CA 上以2cm/s 的速度由点C 向点A 运动，同时，点N 在线段AB 上由点A 向点B 运动，△CDM 与△AMN 全等，则点N 的运动速度是______14．如图，在ABC 中，线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ，若80C ∠=︒，40CBD ∠=︒，则A ∠的度数为_____°．15．在△ABC 中，∠ABC ＝48°，点D 在BC 边上，且满足∠BAD ＝18°，DC ＝AB ，则∠CAD ＝_____度．16．如图，在ABC 中，,45,,AB AC BAC AD BE =∠=︒是ABC 的高，点Р是直线AD 上一动点，当PC PE +最小时，则BPC ∠为______度．17．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是它的角平分线，若:3:2AB AC =，且2BD =，则点D 到直线AB 的距离为______．18．如图，在ABC ∆中，AB AC =，36BAC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于点D ，E 是AB 的中点．连接ED 并延长，交BC 的延长线于点F ，连接AF ．写出图中三角形中所有的等腰三角形______．19．如图，在ABC 中，,AB AC AD =是BC 边上的中线，50B ∠=︒，则DAC ∠=___________20．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．若83AB AC +=，24ABC S =，120EDF ∠=︒，则AD 的长为______．三、解答题21．如图，在ABC 中，BD 平分,ABC FC ∠与BD 相交于点H ，34180∠+∠=︒，（1）试说明12∠=∠的理由；（2）若FGAC 与点G ，70A ∠=︒，求ACB ∠的度数． 22．问题提出（1）如图1，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AC =12，AB =5，若P 是BC 边上一动点，连接AP ，则AP 的最小值为______．问题探究（2）如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ABC =90°，AC =m ，求边AB 的长度（用含m 的代数式表示）．问题解决（3）在图3中，若AC =8，点D 是BC 边的中点，若P 是AB 边上一动点，试求PD +22AP 的最小值．23．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l 1交BC 于点D ，AC 边的垂直平分线l 2交BC 于点E ，l 1与l 2相交于点O ，连接OB ，OC ，若△ADE 的周长为6 cm ，△OBC 的周长为16 cm ．（1）求线段BC 的长；（2）连接OA ，求线段OA 的长；（3）若∠BAC ＝120°，求∠DAE 的度数．24．如图，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE 、CD 交于F ．（1）求证：BE ＝CD ；（2）连接CE ，若BE ＝CE ，求证：从“①DE ⊥AC”、“②DE ∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明25．如图，点D 是△ABC 内部的一点，BD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BE ＝CF ．（1）求证：∠DBE ＝∠DCF ；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．26．如图，射线,ON OE OS OW ､､分别表示从点O 出发北､东､南､西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O 重合．（1）图中与∠BOE 互余的角是____________或____________；（2）①用直尺和量角器作AOE ∠的平分线OP ；②在①所做的图形中，如果132AOE ∠=︒，那么点P 在点O 北偏东____________°的方向上（请说明理由）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP =AB ，②AP =AB ，③AP =BP ，再求出答案即可．【详解】解：作BC 、AC 所在直线，然后分别以B 、A 点为圆心，以AB 为半径作圆分别交BC 、AC 所在直线于6点，再作AB 的垂直平分线与BC 所在直线交于2点，总共符合条件的点P 的个数最多有8个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据题意首先画出图形，过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，求出PE ，PF ，DP 的长即可解决问题．【详解】解：如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，在等腰Rt DEF △中，6DE DF ==DM EF ⊥，223EF DE ∴==3EM DM ∴=∵∠PEM =30°，∠PME =90°，∴EP =2PM ，则()2222PM EM PM +=，解得：1PM =，则2PE =， 故31DP ，同法可得2PF =， 则312233PD PE PF ++++=故选：B ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE 的长是解题关键． 4．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD ，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC ，即可得出答案．【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD ，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°-40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A ）=65°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键．5．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出B1B2B2B3，B3B4B n B n+1的长为 2，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，∴B1B2∵B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，∴B2B3∵A4B4=8B1A2=8，∴B3B4以此类推，B n B n+1的长为2∴B6B7的长为故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．6．D解析：D【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE ＝CG ，DE ＝FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP ＝∠GFP ，EP ＝PG ，得出PC ＋BE ＝PE ，就可以得出PE ＝1，从而得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°．∵∠ACB ＝∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠FGC ＝∠DEP ＝90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△FGC （AAS ），BE ＝CG ，DE ＝FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE ＝PG ，∠EDP ＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG ＝PC ＋CG ，∴PE ＝PC ＋BE ．∵PE ＋PC ＋BE ＝2，∴PE＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．7．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．C解析：C【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．【详解】中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选解：A．ABC项不符合题意；B．当∠B或∠C是钝角时，过A不存在到线段BC的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；D．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．9．C解析：C【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【详解】当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040702；当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解．10．C解析：C【分析】根据已知可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．【详解】解：∵AB＝AC，BD=DC∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）∴∠ADC=90°，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°−40°）÷2=70°，∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.11．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 12．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠ABC ＝∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的高，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180402︒-︒＝70°， 故选：D ．【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．cm/s或cm/s【分析】由于∠C=∠A所以当△CDM与△AMN全等时分两种情况：①△CDM≌△AMN；②△CDM≌△ANM根据全等三角形的对应边相等求出AN再根据速度=路程÷时间求解即可【详解】解解析：cm/s或52cm/s【分析】由于∠C=∠A，所以当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：①△CDM≌△AMN；②△CDM≌△ANM．根据全等三角形的对应边相等求出AN，再根据速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：设点M、N的运动时间为ts，则CM=2tcm．∵三角形ABC是等边三角形，∴∠C=∠A=60°，∴当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：①如果△CDM≌△AMN，那么AN=CM=2tcm，∴点N的运动速度是2tt=2（cm/s）；②如果△CDM≌△ANM，那么CM=AM=12AC=4cm，AN=CD=BC-BD=5cm，∴点M的运动时间为：42=2（s），∴点N的运动速度是52cm/s．综上可知，点N的运动速度是2或52cm/s．故答案为：2 cm/s或52cm/s．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边三角形的性质，路程、速度与时间之间的关系，进行分类讨论是解题的关键．14．30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵∠C=80°∠CBD=40°∴∠CD解析：30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=80°，∠CBD=40°，∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA=DB，∠CDB=30°，∴∠A=∠DBA=12故答案为：30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．66【分析】作辅助线构建等腰三角形ABE证明AB=BE再证明△ABD≌△ACE得∠CAE=∠BAD=18°根据角的和可得结论【详解】解：如图在线段CD上取一点E使CE＝BD连接AE∴CE+DE＝BD解析：66【分析】作辅助线，构建等腰三角形ABE，证明AB=BE，再证明△ABD≌△ACE，得∠CAE=∠BAD=18°，根据角的和可得结论．【详解】解：如图，在线段CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，∴CE+DE＝BD+DE，即CD＝BE，∵CD＝AB，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠B＝48°，∴∠BAE＝∠BEA＝66°，∵∠B＝48°，∠BAD＝18°，∴∠ADE＝66°＝∠AED，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，在△ABD 和△ACE 中，BD CE ADB AEC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠EAC ＝∠BAD ＝18°，∴∠CAD ＝∠CAE +∠DAE ＝∠BAD +∠DAE ＝66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建等腰三角形是本题的关键．16．【分析】连接PC 只要证明PB=PC 即可推出PC+PE=PB+PE 可得PBE 共线时PC+PE 的值最小最小值为BE 的长度从而结合等腰三角形的性质求解【详解】解：如图连接PC ∵AB=ACAD ⊥BC ∴BD=解析：135【分析】连接PC ，只要证明PB=PC ，即可推出PC+PE=PB+PE ，可得P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小，最小值为BE 的长度，从而结合等腰三角形的性质求解．【详解】解：如图，连接PC ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∴PB=PC ，∴PC+PE=PB+PE ，又∵BE ⊥AC∴P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小为BE 的长，∵AB=AC ，∠BAC=45°，BE ⊥AC∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=45°∴∠PBC=∠PCB=67.5°-45°=22.5°∴∠BPC=180°-22.5°×2=135°故答案为：135．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】根据角平分线的性质利用面积比求出BD:DC=3:2代入求值即可【详解】解：∵平分∠BACDC ⊥ACDE ⊥AB ∴DC=DE ∵∴即点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质解题关 解析：43【分析】根据角平分线的性质，利用面积比求出BD:DC=3:2，代入2BD =求值即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC=DE ，12ABD S AB DE =⨯⨯，12ACD S AC CD =⨯⨯, 132122ABD ACD AB DE S S AC CD ⨯⨯==⨯⨯, 12ABD S DB AC =⨯⨯， 1212ABD ACD DB AC S S AC CD ⨯⨯=⨯⨯， 32BD CD =， ∵2BD =，∴43CD =， 43ED = 即点D 到直线AB 的距离为43， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是利用面积公式，通过角平分线的性质得出面积比，再根据面积比求出边长比．18．△ABD△BCD△ABC△ACF△ABF【分析】分别求出所有的角度即可求解【详解】解：∵AB=AC∠BAC=36°∴∠ABC=∠ACB=72°△ABC是等腰三角形∵BD是∠ABC的平分线∴∠ABD=解析：△ABD，△BCD，△ABC，△ACF，△ABF【分析】分别求出所有的角度，即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，△ABC是等腰三角形，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°=∠BAC，∴AD=BD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°=∠ACB，∴△ABD是等腰三角形，BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∵AD=BD，E是AB的中点，∴DE是AB的中垂线，∴AF=BF，∴∠ABF=∠BAF=72°，△ABF是等腰三角形，∴∠CAF=36°=∠AFB，∴AC=CF，∴△ACF是等腰三角形，故答案为：△ABD，△BCD，△ABC，△ACF，△ABF．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．19．40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可【详解】解：∵AB＝ACAD是BC边上的中线∴AD⊥BC∠BAD＝∠CAD∴∠B＋∠BAD＝90解析：40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．【详解】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝40°，∴∠CAD＝40°，故答案为：40．【点睛】考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．20．【分析】先证明△ADE≌△ADF可得：DE＝DF∠ADE＝∠ADF＝=×120°=60°再利用面积法求出DE的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF分别是△ABD和△ACD的高∴解析：【分析】先证明△ADE≌△ADF，可得：DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵AB AC+=∴DE＝∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）见解析；（2）70°【分析】（1）求出∠3+∠FHD=180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1=∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD=∠2即可．（2）根据FG⊥AC，求出∠1，可得∠2，从而得到∠ABC，利用三角形内角和得到∠ACB．【详解】解：（1）∵∠3+∠4=180°，∠FHD=∠4，∴∠3+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠2，∴∠1=∠2；（2）∵FG⊥AC，∠A=70°，∴∠1=90°-70°=20°，∴∠2=∠ABD=∠1=20°，∴∠ABC=∠2+∠ABD=40°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-40°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定和角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．22．（1）6013；（2）AB=22m；（3）DP+22PA的最小值为6【分析】（1）过A作AE⊥CB于E，根据点到直线的距离垂线段最短，则AE即为所求，根据勾股定理求出BC，再利用等积面积法即可求出AE，即可解答（2）利用等腰三角形性质，再利用勾股定理即可解答（3）连接PD，作PE⊥AC于点E，作点D关于AB的对称点D，连接PD’，则PD PD'=．作D F'⊥AC于点F，PD+PE=PD'+PE≥D F'，当且仅当D、P、F三点共线时，PD+PE最短，即PF的长，利用勾股定理求出BC的长，即可得到D C'的长，再利用勾股定理即可求得D F'的长，即可解答【详解】解：（1）如图1，过A作AE⊥CB于E，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC2212513+=∵1111512132222ABC S AB AC BC AE AE =⋅=⋅=⨯⨯=⨯⨯△， ∴AE =6013（2）∵∠ABC =90°， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∵AB =AC ，AC =m∴2AB 2=m 2，∴AB =2m （3）如图3，连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，由（2）得PE =22AP ∴PD +22PA =PD +PE 作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD '，则PD =PD '．作D F '⊥AC 于点F ， PD +PE =PD ' +PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，∵AC =8，∠A =∠C =45°∴BC 2842= ∵D 是BC 中点，∴BD =DC =22∵点D 与点D 关于直线AB 对称，∴D B '=22即CD '=62又∵D F '⊥AC ，∠C =45°，∴D F FC '=222CD D F FC D F '''=+=∴D F '=2262=22PD AP 的最小值为6． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短是点的位置并能确定出最小值时点的位置是解题关键．23．（1）6 cm ；（2）5 cm ；（3）∠DAE ＝60°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到OA ＝OB ，OA ＝OC ，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据∠BAC ＝120°，得到∠ABC ＋∠ACB ＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DB ，EA ＝EC ，从而得到∠BAD ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠ACB ，继而求得∠DAE 的度数．【详解】解：（1）∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴DA ＝DB ，∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA ＋DE ＋EA ＝6 cm ．（2）连接OA ，∵l 1是AB 边的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∵l 2是AC 边的垂直平分线，∴OA ＝OC ，∵OB ＋OC ＋BC ＝16 cm ，BC ＝6 cm ，∴OA ＝OB ＝OC ＝5 cm ．（3）∵∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝60°，∵DA ＝DB ，EA ＝EC ，∴∠BAD ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BAC －∠BAD －∠EAC ＝60°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据“SAS”证明△BAE ≌△CAD ，然后根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据线段垂直平分线的判定可知CA 垂直平分DE ，进而可证明结论成立．【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠DAE ＋∠DAB ＝∠BAC ＋∠DAB ，即∠BAE ＝∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AD AE CAD BAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝CD ；（2）∵BE ＝CD ，BE ＝CE ，∴CE ＝CD ，又∵AD ＝AE ，∴CA 垂直平分DE ，∴DE ⊥AC （可得①），又∵∠BAC ＝90°，∴DE//AB （可得②）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的判定、平行线的判定等知识．25．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据HL 可证明Rt △DBE ≌Rt △DCF ；（2）由全等三角形的性质得出∠EBD ＝∠FCD ，由等腰三角形的性质得出∠DBC ＝∠DCB ，则可得出结论．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BE CF BD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）；（2）∵Rt △DBE ≌Rt △DCF ，∴∠EBD ＝∠FCD ，∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴∠DBC ＋∠EBD ＝∠DCB ＋∠FCD ，即∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．26．（1）BON ∠；AOW ∠；（2）①见解析；②24︒，见解析【分析】（1）根据互余，平角的定义判断即可；（2）①作出角平分线即可；②利用角平分线的定义求出∠POE ，再求出∠NOP 即可解决问题；【详解】（1）90180AOB WOE ︒∠=∠=︒，，90AOW BOE ∴∠+∠=︒，90NOB BOE ∠+∠=︒， ∴图中与∠BOE 互余的角是BON ∠和AOW ∠；故答案为：BON ∠和AOW ∠；（2）①如图所示：②132AOE ∠=︒，OP 平分AOE ∠，1132662POE ∴∠=⨯︒=︒， 90NOE ∠=︒，906624NOB ∴∠=︒-︒=︒，∴点P 在点O 北偏东24︒的方向上；【点睛】本题考查了作图-应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；。
专题16 等腰三角形的性质
专题16 等腰三角形的性质例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =BE ， 则∠A =___________．（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用∠A 的代数式表示这些角，建立关于∠A 的等式．【例2】如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ．（安徽省竞赛试题）解题思路：∠ADB 与∠CDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．【例3】如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线． （北京市竞赛试题）解题思路：∠ABC 的角平分线与AE 边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 度数．（北京市竞赛试题）A EBCDA BCD E A BCD EF解题思路：作等腰△ABC 的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB 为一边，向点C 所在的一侧作等边△ABN ，连结CN ，MN (如图2)；或以AC 为一边，向点B 所在的一侧作等边△ACN ，连结BN (如图3)．【例5】如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．（天津市竞赛试题）解题思路：欲证△AMN 的周长等于2，只需证明MN =BM +CN ，考虑用补短法证明．能力训练A 级1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________． 2．如图，已知∠A =150，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =_____________．3．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P 、Q ，使AP =CQ ，AQ ，BP 相交于点O ，则 ∠BOQ =____________.4．如图，在△ABC 中，∠BCA =900，∠BAC =600，BC =4，在CA 的延长线取点D ，使AD =AB ，则D ，B 两点之间的距离是____________．BACDN M BCMAB C M A 图 1 DO BC M A 图 2NBC MA 图 3 N5．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上一点，BF =CD ，CE =BD ，那么∠EDF 等于（ ） A ．900-12∠A B ．900-∠AC ．1800-∠AD ．450-12∠A 6．如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（）A ．600B ．450C ．300D ．不确定（安徽省竞赛试题）B第5题图 第6题图7．△ABC 的一个内角的大小是400，且∠A =∠B ，那么∠C 的外角的大小是（ ）A ．1400B ．800或1000C ．1000或1400D ．800或1400(“希望杯”邀请赛试题) 8．三角形三边长a ，b ，c 满足1111a b c a b c -+=-+，则三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．以a 为底边的等腰三角形C ．以c 为底边的等腰三角形D ．等腰三角形（北京市竞赛试题）9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是腰AB ，AC 延长线上的点，且BD =CE ，连结DE 交BC 于G ，求证：DG =EG ．（湖北省竞赛试题）(第2题)BACDEFM NABC QPO(第3题)ABC D(第4题)ACBEF10．如图，在△ABC 中，∠BAC =900，AB =AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，求证：CE =12BD ． （江苏省竞赛试题）11．已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =900，D 为AB 边中点，∠EDF =900，将∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC ，BC (或它们的延长线)于E 、F ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1)，易证：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ，当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF ，S △CEF ，S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（牡丹江市中考试题）12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数．（天津市竞赛试题）A B CAB CAB CE D FE DF DF图1图2图3ABC D GE A B C D EBB 级1．如图，在△ABC 中，∠ABC =1000，AM =AN ，CN =CP ，则∠MNP =_________．2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下4个结论：①AE =CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =12S △ABC；④EF =AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A ，B 重合)．上述结论正确的是____________．（苏州市中考试题）3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，M ，N 为BC 边上两点，并且∠BAM =∠CAN ，MN =AN ，则∠MAC 的度数是____________．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线相交于D ，∠ADC =1300，那么∠CAB 的大小是（ ）A ．800B ．500C ．400D ．2005．如图，在△ABC 中，∠BAC =1200，AD ⊥BC 于D ，且AB +BD =DC ，则∠C 的大小是（ ）A ．200B ．250C ．300D ．450 6．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，连CD ，下列四个结论：①∠ADC =450；②BD =12AE ；③AC +CE =AB ；④AB -BC =2MC ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并且使AE =BD ，连结CE 、DE ，求证：CE =DE ．ABCNM P (第1题)ABC PEF(第2题)AB CN M(第3题)A(第4题)B CD(第5题)ABCD ABD ECM(第6题)8．如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是△ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．⑴ 证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； ⑵ 证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；⑶ 对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）9．在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．（江苏省扬州中学测试题）10．如图，在△ABC 中，∠C =900，∠CAD =300，AC =BC =AD ，求证：CD =BD ．A BCDEAB CDA ′B ′C ′ABC D。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-3等腰三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A．4B．10C．4 或10D．6 或102．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．6cmC．8cm或6cm D．8cm或6cm或4cm3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（）A．50°B．60°C．30°D．40°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．35°B．30°C．25°D．15°7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150B．120C．90D．808．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（）A．10B．8C．6D．410．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（）A．B．C．D．无法确定二．填空题（共6小题，满分30分）11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝cm．15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F 作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题（共5小题，满分50分）17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE＝BD；（2）求证：MN∥AB．20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；（2）当BC＝8cm为腰时，①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，故选：D．3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故选：D．4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．5．解：∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠DBE＝∠BDE＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故选：D．6．解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：D．7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．8．解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．9．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．10．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．12．解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AEB＝25°，故答案为：25°．14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝4cm，DE＝3cm，∴DM＝1cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝cm，∴BN＝cm，∴BC＝2BN＝7cm，故答案为7．15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），故答案为：3cm．16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共5小题，满分50分）17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC＝NC，∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC＝∠DCN＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，∴MN∥AB．20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．已知点P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC 中，当120APBAPC BPC 时，P 就是ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++=（ ） A ．6 B ．33+C ．63D ．9 3．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足3a -+|b ﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．7B ．10C ．11D ．10或11 5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，在Rt ABC △中，CA CB =，D 为斜边AB 的中点，Rt EDF ∠在ABC 内绕点D 转动，分别交边AC ，BC 于点E ，F （点E 不与点A ，C 重合），下列说法正确的是（ ）①45DEF ︒∠=；②222BF AE EF ；③2CD EF CD <≤A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 7．下列命题中真命题的个数（ ）（1）面积相等的两个三角形全等（2）无理数包含正无理数、零和负无理数（3）在直角三角形中，两条直角边长为n 2﹣1和2n ，则斜边长为n 2＋1；（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）A ．2220n mn m --=B ．2220m mn n +-=C ．2220m mn n --=D ．2220m mn n -+= 9．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，连HB ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC ∠=︒；③HB 平分AHC ∠；④CH EH BH =+．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5 12．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB =二、填空题13．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长为___________．14．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，交BC 于点N ，60EBC BED ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC =__________．15．如图，已知△ABC 的周长是18，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝1，△ABC 的面积是_____．16．如图，∠MON =33°，点P 在∠MON 的边ON 上，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，角OM 于点A ，连接AP ，则∠APN =____．17．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒，42AC BC ==，点D 在AB 上，连接CD ，若5CD =，则AD 的长为________．18．如图，已知：30MON ︒∠=，点1A 、2A 、3A ⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯在射线OM 上，112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆⋯均为等边三角形，若11OA =，则9910A B A ∆的边长为________．19．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，2AE =，ABD △的周长为10，则ABC 的周长为__________．20．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列结论：①1902BOC A ∠=+∠︒：②点O 到ABC 各边的距离相等；③EF BE CF =+：④1()2AD AB AC BC =+-；⑤设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn =△；其中正确的结论是______．三、解答题21．如图，四边形ABCD 中，,AB AD AC BD =、是对角线，12∠=∠．（1）求证：ABC ADC △≌△；（2）判断BCD △的形状并说明．22．如图，在△ABE 中，AB=AE ，AD=AC ，∠BAD=∠EAC ，BC 、DE 交于点O ． 求证：（1）△ABC ≌△AED ；（2）OB=OE ．23．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论．如图，现要在ABC 内建一中心医院，使医院到,A B 两个居民小区的距离相等，并且到公路AB 和AC 的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．24．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，AD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）若∠DAC=30°，求∠FDC 的度数；（2）试判断∠B 与∠AED 的数量关系并说明理由．25．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：（1）证明：DE DF =；（2）若60A ∠=︒，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．26．如图，在ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，CD 的垂直平分线FM 交AC 于点F ，交BC 于点M ．（1）求ADE ∠的度数；（2）ADF 是什么三角形？说明理由．（3）若将题目中“100BAC ∠=︒”改为“∠BAC =120°”，且FM =4，其他条件不变，求AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP =AB ，②AP =AB ，③AP =BP ，再求出答案即可．【详解】解：作BC 、AC 所在直线，然后分别以B 、A 点为圆心，以AB 为半径作圆分别交BC 、AC 所在直线于6点，再作AB 的垂直平分线与BC 所在直线交于2点，总共符合条件的点P 的个数最多有8个，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．B解析：B【分析】根据题意首先画出图形，过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，求出PE ，PF ，DP 的长即可解决问题．【详解】解：如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，在等腰Rt DEF △中，6DE DF ==DM EF ⊥，223EF DE ∴==3EM DM ∴=∵∠PEM =30°，∠PME =90°，∴EP =2PM ，则()2222PM EM PM +=，解得：1PM =，则2PE =， 故31DP =-，同法可得2PF =，则312233PD PE PF ++=-++=+．故选：B ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE 的长是解题关键． 3．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP 为底，②OP 为腰，讨论点P 的个数，再求出m 的值即可.【详解】解：由点P （m ，0）知点P 在x 轴上，分两种情况：当OP 为底时，以A 点为圆心OA 为半径画圆，交x 轴于点P ，以OA=AP 为腰，点P 的坐标为m=2×3=6，当OP 为腰时，以O 为圆心，OA 长为半径，画圆交x 轴于两点P ，点P 在y 轴左侧或右侧，OP=OA=222313+=，∴m=13±，点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．4．D解析：D【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，解得a=3，b=4，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，∵4+4＞3，∴能组成三角形，4+4+3=11，②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，所以，三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．5．D解析：D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，即可求解.【详解】∵AB= AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°= 60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=1260°= 30°，∵DF// AB∴∠F=∠BAE= 30°，∴∠DAE=∠F= 30°，∴AD= DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.6．A解析：A【分析】①证明∠A=∠DCB ，AD=CD ，∠ADE=∠CDF ，根据ASA 证明△ADE CDF ≅∆得ED=FD ，从而可判断①；②运用SAS 证明△EDC FDB ≅∆，得到CE BF =，再由222CE CF EF +=即可判断②；③当DE AC ⊥时，DE最短，从而可得2CD DE CD ≤<，整理后代换即可判断③． 【详解】解：①∵,90CA CB ACB =∠=︒，∴△ABC 是等腰直角三角形∴∠45A B =∠=︒∵点D 是AB 的中点，∴,DA DB DC CD AB ==⊥，∠45DCB DCA =∠=︒∵∠EDF ADC =∠∴∠EDF EDC ADC EDC -∠=∠-∠∴∠ADE CDF =∠在△ADE 和△CDF 中A DCB AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE CDF ≅∆∴,DE DF AE CF ==∴△DEF 是等腰直角三角形∴∠45DEF =︒，故①正确；②∵∠90EDF CDB ︒=∠=∴∠EDF CDF CDB CDF -∠=∠-∠∴∠EDC FDB =∠在△EDC 与△FDB 中DE DF EDC FDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDC FDB ≅∆∴CE BF =∵222CE CF EF +=∴222BF AE EF ，故②正确； ③∵△DEF 是等腰直角三角形，∴EF =∵当DE AC ⊥时，DE ==最短，∴2DE CD ≤< ∴CD ≤<即CD EF ≤<，故③错误；∴综上，正确的是①②，故选：A ．【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．B解析：B【分析】根据三角形全等的性质、无理数的定义、勾股定理进行判断即可；【详解】面积相等的三角形不一定全等，故（1）是假命题；零不是无理数，故（2）是假命题；()()222242214211n n n n n -+=++=+，故（3）是真命题； 根据题意可得，底边长为12246⨯÷=，则底边长的一半为623÷=，腰长为5=，故（4）是真命题；综上所述，真命题有2个；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，结合全等三角形的定义、无理数定义、勾股定理判断是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2＋m 2＝（n−m ）2，整理即可求解【详解】 解：如图，ABD 是等腰三角形，ACD 是等腰直角三角形，∴AD=BD=n-m ，根据勾股定理得：m 2＋m 2＝（n−m ）2，∴2m 2＝n 2−2mn ＋m 2，m 2＋2mn−n 2＝0．故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．9．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEB CME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解． 【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．10．A解析：A【分析】利用等边三角形,ABD BCE 的性质，证明 ,ABE DBC ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC ≌可得,EAB CDB ∠=∠ 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N 利用全等三角形的对于高相等证明,BM BN = 从而可判断③，如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK 证明EHK 为等边三角形，再证明,EHB EKC ≌ 可得,HB KC = 从而可判断④．【详解】解：,ABD BCE 为等边三角形， ,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠(),ABE DBC SAS ∴≌,AE DC ∴= 故①符合题意；,ABE DBC ≌,EAB CDB ∴∠=∠,DGH AGB ∠=∠180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠60DHG ABD ∴∠=∠=︒，120AHC ∴∠=︒，故②符合题意；如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，,BM BN ∴=HB ∴平分,AHC ∠ 故③符合题意；如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK60,EHK AHD ∠=∠=︒EHK ∴为等边三角形，,60,EK EH HEK ∴=∠=︒60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠,HEB KEC ∴∠=∠,BE CE =(),EHB EKC SAS ∴≌,HB KC ∴=.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故④符合题意；综上：①②③④都符合题意，故选：.A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求，如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12．D解析：D【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD ＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．二、填空题13．【分析】由已知条件利用线段的垂直平分线的性质得到AD＝CDAC＝2AE结合周长进行线段的等量代换可得答案【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD＝CDAC＝2AE＝6cm又∵ABD的周长＝AB+B解析：19cm【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【详解】AE ，解：∵DE是AC的垂直平分线，3cm∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为：19cm．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．14．8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6DE=2进而得出△BEM为等边三角形△EFD为等边三角形从而得出BN的长进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M延长AD交BC于N∵AB解析：8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6， DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，∵ AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴ BN=4，∴BC=2BN=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键；15．9【分析】过点O作OE⊥AB于EOF⊥AC与F连接OA根据角平分线的性质求出OEOF根据三角形面积公式计算得到答案【详解】解：过点O作OE⊥AB 于EOF⊥AC于F连接OA∵OB平分∠ABCOD⊥BC解析：9【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE、OF，根据三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝1，同理可知，OF＝OD＝1，∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积，＝12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD，＝12×18×1，＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．16．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知PO=PA∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO，再用外角的性质求解即可．【详解】解：由作图可知，PO=PA，∴∠MON=∠PAO=33°，∠APN=∠MON+∠PAO=66°，故答案为：66°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．17．1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS）推出∠DBE＝90°根据勾股定理即可解决问题【详解】解：在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝4∴AB8①如图1中当点D在线段AB上时绕点C逆时针旋转解析：1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE＝90°，根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝42，∴AB22=+=8，AC BC①如图1中，当点D在线段AB上时，绕点C逆时针旋转90°到CE，连接BE，DE，则∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA ＝CB ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE ，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠CBA ＝45°，∴∠CBE ＝∠A ＝45°，∴∠ABE ＝90°，∵CD ＝5，∴DE ＝52，∵BE 2+BD 2＝DE 2， ∴AD 2+（8﹣AD ）2＝（52）2，解得：AD ＝1或7；②如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图2这种情况不符合条件③如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图3这种情况不符合条件综上所述，AD 的长为1或7；故答案为：1或7．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°A1B1=A1A2则可计算出∠A1B1O=30°所以A1B1=A1A2=OA1利用同样的方法得到A2B2=A2A3=OA2=2OA1A3B3=A解析：256【分析】利用等边三角形的性质得到∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，则可计算出∠A 1B 1O=30°，所以A 1B 1=A 1A 2=OA 1，利用同样的方法得到A 2B 2=A 2A 3=OA 2=2OA 1，A 3B 3=A 3A 4=22•OA 1，A 4B 4=A 4A 5=23•OA 1，利用此规律得到A n B n =A n A n+1=2n-1•OA 1．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，∵∠MON=30°，∴∠A 1B 1O=30°，∴A 1B 1=OA 1=1，∴A 1B 1=A 1A 2=OA 1=1，同理可得A 2B 2=A 2A 3=OA 2=2OA 1=2，∴A 3B 3=A 3A 4=OA 3=2OA 2=22•OA 1=22，A 4B 4=A 4A 5=OA 4=2OA 3=23•OA 1=23，…，∴A n B n =A n A n+1=2n-1•OA 1=2n-1．则△A 9B 9A 10的边长为28=256．故答案为：256．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．19．14【分析】由线段的垂直平分线的性质可得从而可得答案【详解】解：是的垂直平分线的周长故答案为：【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键解析：14【分析】由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC ==，从而可得答案．【详解】 解： DE 是AC 的垂直平分线．2AE =，24,,AC AE AD DC ∴===10,AB BD AD ++=ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++10414.=+=故答案为：14.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 20．①②③④【分析】由∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 可得结合三角形的内角和定理可得再次利用内角和定理可判断①如图1过点O 作OM ⊥AB 于M 作ON ⊥BC 于N 结合利用角平分线的性质可判断②利用平行线的性 解析：①②③④【分析】由∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，可得11,,22OBC ABC OCB ACB ∠=∠∠=∠结合三角形的内角和定理可得190,2OBC OCB A ∠+∠=︒-∠再次利用内角和定理可判断①，如图1，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，结合,OD AC ⊥ 利用角平分线的性质可判断②，利用平行线的性质与角平分线的定义证明,BE OE CF OF ==可判断③，如图2，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，证明,BNO BMO ≌ 可得,BN BM = 同理可得：,,AM AD CD CN == 从而可判断④，如图2，由1122AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD =+=+，结合,,OM OD m AE AF n ==+= 从而可判断⑤．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠ 180,ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()11118090,222OBC OCB ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠ ∴()111801809090,22BOC OBC OCB A A ⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭故①符合题意；如图1，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，,,OM ON ON OD ∴==,OM ON OD ∴== 故②符合题意；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠OBE ，∠OCB=∠OCF ，∵//EF BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∴∠EOB=∠OBE ，∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE ，CF=OF ，∴EF=OE+OF=BE+CF ， 故③符合题意；如图2，过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，90,BNO BMO ∴∠=∠=︒ OB 平分,ABC ∠,MBO NBO ∴∠=∠,BO BO =(),BNO BMO AAS ∴≌,BN BM ∴=同理可得：,,AM AD CD CN ==()()1122AB AC BC AM BM AD CD BN CN ∴+-=+++-- ()112,22AM AD AD AD =+=⨯= 故④符合题意， 如图2，由②得：ON=OD=OM=m ， ∴1122AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD =+=+ ()1,2m AE AF =+ AE AF n +=，1,2AEF S mn ∴= 故⑤不符合题意． 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）△BCD 是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）根据SAS 证明△ABC ≌△ADC 即可；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可．【详解】证明：（1）在△ABC 与△ADC 中，12AB AD AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）；（2）∵△ABC ≌△ADC ，∴BC =DC ，∴△BCD 是等腰三角形．【点睛】本题考查线全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．再运用全等三角形的性质可得相应的结论． 22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABC ≌△AED ；（2）利用△BAC ≌△EAD 全等的性质，得到角与边的关系，进一步证明即可．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠EAC ，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC ，即∠BAC=∠EAD ，在△BAC 和△EAD 中，AB AE BAC EAD AC AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△BAC 和≌△EAD ；（2）∵△BAC ≌△EAD ，∴∠ABC=∠AED ，∵AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∴∠OBE=∠OEB ，∴OB=OE ．【点睛】题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键．23．见解析【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．【详解】解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．24．（1）∠FDC=60°（2）∠AED=2∠B，理由见解析【分析】（1）根据垂直平分线及高线的性质即可求解．（2）根据高的定义和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得EF//BC，∠AED=2∠AEF，再根据平行线的性质得∠AEF=∠B，故可得∠AED=2∠B．【详解】解：（1）∵AD是BC边上的高线，EF是AD的垂直平分线，∠DAC=30°∴AF=FD，∠ADC=90°∴∠FDA=30°，∴∠FDC=90°-30°=60°．（2)∵AD是BC边上的高线，EF是AD的垂直平分线，∴EF//BC，EA=ED，∴∠AED=2∠AEF，∴∠AEF=∠B，∴∠AED=2∠B．【点睛】本题考查了垂直平分线及高线的性质，平行线的判定及性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、高线、平行线性质．25．（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接AD由AE AF=可得AEF是等腰三角形，由三条角平分线交于一点可证AD ∠即可；平分BAC（2）在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，易证AEF 为等边三角形，可得2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，可证BED ≌BMD （SAS ）可得DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠60DMN AEF ∠=∠=︒，再证NCD ≌FCD （SAS ）可得,52DN DF CN CF x ===-，可证DMN 为等边三角形，由BC BM MN NC =++构造方程解之即可．【详解】（1）证明：连接AD ，AE AF =，∴AEF 是等腰三角形，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，∴AD 平分BAC ∠，∴DE DF =；（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，60A AE AF ∠=︒=， ，∴AEF 为等边三角形，∴2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，在BED 和BMD 中，BE BM EBD MBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ≌BMD （SAS ），∴DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠，60DMN AEF ∴∠=∠=︒，在CND △和CFD △中，CN CFBM NCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴NCD ≌FCD （SAS ），∴ ,52DN DF CN CF x ===-，又DE DF =，∴DM DN DE x ===，又60DMN ∠=︒，∴DMN 为等边三角形，∴MN DM x ==，∴(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，即2x =，∴24EF x ==．【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，利用BC BM MN NC =++构造方程是解题关键．26．（1）∠ADE =20°；（2）△ADF 是等腰三角形，证明见解析；（3）AB=16．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B 和∠C ，求出∠BDE ，即可求出答案；（2）根据垂直平分线的性质定理和等边对等角可求得∠FDC ，再根据三线合一和直角三角形两锐角互余可求得∠DAF 和∠ADF 得出它们相等即可得出△ADF 为等腰三角形；（3）可求得∠C=30°根据30°角所对直角边是斜边的一般可得FC ，可证明△ADF 为等边三角形即可求得AF ，从而求得AC ，继而求得AB ．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=12×（180°-∠BAC ）=40°， ∵BD=BE ，∴∠BDE=∠BED=12×（180°-∠B ）=70°， ∵在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°；（2）△ADF 是等腰三角形，理由是：∵CD 的垂直平分线MF 交AC 于F ，交BC 于M ，∴DF=CF ，∵∠C=40°，∴∠FDC=∠C=40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∴∠DAF=90°-∠C=50°，∴∠ADF=50°，∴∠DAF=∠ADF ，∴AF=DF ，∴△ADF是等腰三角形；（3）∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=1×（180°-∠BAC）=30°，2又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠DAC=90°-∠C=60°，∵CD的垂直平分线MF，∴∠FMC=90°，DF=FC，∴∠FDC=∠C=30°，∴∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°，∠AFD=∠C+∠FDC=60°，∴△ADF为等边三角形，AF=DF=FC，∵MF=4，∴FC=2MF=8，∴AF= 8，∵AC=AF+CF=8+8=16，∵AB=AC，∴AB=16．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．。
《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试题(含答案解析)
《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试题（含答案解析）一、选择题1．一个等腰三角形的顶角是周角的四分之一，这个等腰三角形的底角是（）。
A. 55°B. 45°C. 65°2．下列不是利用三角形稳定性的是（）。
A. 自行车的三角形车架B. 三角形房架C. 照相机的三角架3．三角形中，已知两条边长分别为1.8厘米和1.3厘米，第三条边可能长（）。
A. 3厘米B. 3.2厘米C. 3.1厘米D. 0.5厘米4．一个等腰三角形的顶角是一个底角的3倍。
这个三角形的顶角和一个底角分别是（）度和（）度。
（）A. 102° 35°B. 108° 36°C. 105° 35°5．一个三角形的两条边分别是5厘米，10厘米，第三条边的长度可能是（）厘米。
A. 5 B. 12 C. 186．下面几幅图中，不能直接判断被遮三角形种类的是（）图。
A. B. C.7．下面三组木棒中（）不能拼成三角形。
（单位：厘米）A.B.C.8．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长8cm、10cm，那么第三根小棒最短是（）cm．A. 2B. 3C. 9D. 179．如果一个三角形的两条边分别是30厘米、40厘米，第三条边的长度要在下面的三个量中选出，只能选（）A. 50厘米B. 70厘C. 80厘米10．下面三组小棒，不能围成三角形的是（）。
A. B. C.11．在一个三角形中，一个内角的度数比另外两个内角的度数和大2°，这个三角形是（）。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形12．莉莉用三根小棒摆成一个三角形，两根小棒的长度分别是4厘米和7厘米，第三根小棒的长度不可能是（）。
A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米二、填空题13．一个直角三角形中一个锐角是46°，它的另一个锐角是________；一个等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是________。
八年级上第06讲 轴对称及等腰三角形 讲义测试题(含答案)【精品】
轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。
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初二上《等腰三角形》单元测验
一、填空(每空2分，共44分)：
1. 等腰三角形的底角为50，则顶角为 ；等腰三角形的
顶角为50，则底角为 ；等腰三角形一个角为110，
则其它两个角分别为 。
2. 如图1所示，ABC中，ACAB，ADBDBC，则
A
度，ABC 度。
3. 若等腰三角形顶角为120，腰长为cm5，则底边上的高为 cm；若底
角为15，则腰上的高为 cm。
4. 如图2，△ABC中，ACAB，40A，DE为AB的中
垂线，则CBE 度；若△ABC的周长为cm15，
cmBC4，则△BCE
的周长为 。
5. 等边三角形边长为2，则高为 ，面积为 。
6. 角的对称轴是 。
7. 线段的垂直平分线是 点的集合。
8. 在ABCRt中，90C，若5b，13c，则a 。
9. 在ABCRt中，90C，30A，若2a，则b ，c 。
10. 在ABCRt中，90C，45B，若2a，则b ，c 。
11. 在ABCRt中，90C，6AC，8BC，则AB ，斜边上的高
为 。
12. 在ABC中，若8a，17b，15c，则 90。
13. 在ABC中，若ba，60C，则A 度。
14. 如图3，ABC中，90B，30BAC，cmAB9，
D是BC延长线上一点，且DCAC，则AD
。
二、选择题(每小题3分，共12分)：
15. 以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是( )
A．cm6，cm12，cm14 B．cm45，cm1，cm32
C．cm5.1，cm2，cm5.2 D．cm2，cm3，cm5
16. 如图4，ABC中，ACAB，120BAC，D是
BC的中点，ACDE，则ECAE:
等于( )
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．3:1
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17. 下列图形中，不是轴对称的图形是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有一个内角是45的直角三角形
C．有一个内角是30，一个内角是120的三角形
D．有一个内角是30的直角三角形
18. 如图5，ABC中，B和C的平分线交于
O
，
DODB，延长DO交AC于E，若6AB，8AC
，
则ADE的周长为( )
A．7 B．10 C．14 D．20
二、作图(保留作图痕迹，每题6分，共12分)：
19. 已知直线l和ABC， 求作：'''CBA，使'''CBA与ABC关于直线l对称。 20. 已知：直线l及同侧的两点A、B，
求作：l上一点P，使PBPA最小。
三、证明(每题8分，共32分)：
21. 已知：如图，ABC中，BD、CE为AC、AB边上的高，且CEBD，O为
BD
、CE的交点，求证：OCOB。
22. 如图，ABC中，ACAB，O是ABC内一点，且21，求证：BCAO。
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23. 已知： ABC中，90ACB，30A，ABCD，求证：ABBD41。
24. 已知：BE平分ABC，DE∥BC，F为BE中点，求证：BEDF。
附加题(各小题得分分别为2、6、6、6分，共20分)：
25. 等腰三角形的腰为5，底边为6，P是底边上任一点，则P点到两腰的距离
之和为 。
26. [94镇江]阅读下面的解题过程：
已知a，b，c为ABC的三边，且满足442222bacbca。试判断
ABC
的形状。
解：∵442222bacbca )(A
∴))(()(2222222bababac )(B
∴222bac )(C
∴ABC是直角三角形。
问：⑴上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
⑵错误的原因为 ；⑶本题正确的结
论是 。
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27. [98杭州]已知三角形两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，求第
三边的长。
28. [98哈尔滨]如图，已知ABC中，90B，BCAB，CEBD，M是
AC
边上的中点，求证：DEM是等腰三角形。