7-03 结构动力学(MD)8 模态分解
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型，进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。
在振型叠加法中，由于利用了振型的正交性，使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除，将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程，分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。
振型叠加法只适用于线性体系的动力分析，若体系为非线性，则可采用逐步积分法进行反应分析。
模态与瞬态动力学分析
• 动力学分析通常分析下 列物理现象:
– 振动 – 模态分析，如由 于旋转机械引起的振动 – 冲击 -瞬态动力学分析， 如汽车碰撞，锤击 – 交变作用力 – 谐分析， 如各种曲轴以及其它回 转机械等 – 地震载荷 – 谱分析，如 地震，冲击波等 – 随机振动 -随机振动分析， 如火箭发射，太空船和 飞机等
选择分析类型和选项
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INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
选择分析类型和选项： • 进入求解器并选择模态分析 • 模态提取选项* • 模态扩展选项* • 其它选项*
典型命令：
/SOLU ANTYPE，MODAL
选择分析类型和选项 （接上页）
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INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
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模态分析
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模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术： – 自然频率 – 振型 – 振型参与系数 （即在特定方向上某个振型在多大程 度上参与了振动） 模态分析是所有动力学分析的基础和前提。 模态分析的好处： • 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬声 器）； • 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷是如 何响应的； • 有助于在其它动力分析中估算求解控制参数（如时间步 长）。
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飞机机翼的有限元模型
飞机机翼的前5阶固有频率
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飞机机翼的前4阶模态图
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结构动力学
由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称
为该函数的变分。
从图中可看出，q 实际上代表了虚位移。
(2) 变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式
的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的 q 微增量而引起 的函数的微增 量。
o
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt t
miai ri
i 1
k d T j1 dt q j
T q j
q
j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Qjq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此结果代入(2)式中得：
k
j 1
d dt
T q j
T q j
Qj q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
——又称为达朗伯拉格朗日方程
3. Hamilton原理
(1) 变分的概念
微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变
量，q为因变量；
当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称
为该函数的微分，
q
且： dq q'(t)dt
或: q' (t ) dq dt
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
式中：P(t)可以包括：(1) 弹性约束力；(2) 粘滞阻
尼力；(3) 外荷载等等, mv(t) 为惯性力。
即：质量点m在其所受的外力及惯性力
F I mv(t)
下的作用下平衡，这称为达朗贝原理。
模态分析原理方法
5。
,模态分析方法模态分析作为动态分析的基础,是动态分析的重要内容。
模态分析是解决复杂结构振动问题的主要工具,它所寻求的最终目标在于改变机械结构系统。
由经验、类比和静态设计方法为动态、优化设计方法，它与有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。
通常把一个系统(振动结构）模型分成三种：（l)物理参数模型，即以质量、刚度、阻尼为特征参数的数学模型，这三种参数可完全确定一个振动系统。
(2)模态参数模型，以模态频率、模态矢量（振型)和衰减系数为特征参数的数学模型和以模态质量、模态刚度、模态阻尼、模态矢量（留数)组成的另一类模态参数模型，这两类模态参数都可以完整描述一个振动系统。
（3)非参数模型，频响函数或传递函数、脉冲响应函数是两种反映振动系统特性的非参数模型。
本文研究的模态分析是指以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
更确切地说,模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。
根据研究模态分析的手段和方法不同，模态分析分为理论模态分析和实验模态分析，理论模态分析或称模态分析的理论过程,是指以线性振动理论为基础，研究激励、系统、响应三者的关系。
实验模态分析又称模态分析的实验过程，是理论模态分析的逆过程。
首先，实验测得激励和响应的时间历程,运用数字信号处理技术求得频响函数（传递函数)或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型;其次,运用参数识别方法，求得系统模态参数;最后，如果有必要，进一步确定系统的物理参数。
因此，实验模态分析是综合运用线性振动理论、动态测试技术、数字信号处理技术和参数识别等手段,进行系统识别的过程。
计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要是运用有限元法对振动结构进行离散,建立系统特征值问题的数学模型,用各种近似方法求解系统特征值和特征矢量。
由于阻尼难以准确处理，因此通常均不考虑小阻尼系统的阻尼，解得的特征值和特征矢量即系统的固有频率和固有振型矢量(引用）。
ANSYS结构动力学分析
5 结构谱分析(Spectrum Analysis) 5.1结构谱分析方法
谱分析是一种将模态分析结果和已知谱联系起来计算结果最 大响应的分析方法，主要用于确定结构对随机载荷或随时间 变化载荷的动响应。 ANSYS具有三种类型谱分析功能，即响应谱分析、动力设计 方法和随机振动分析。单点响应谱分析为单点响应谱作用于 模型上所有指定的点；多点响应谱分析为不同的响应谱分别 作用于模型的不同点上；动力学设计分析方法为一种用于分 析船舶装备抗震性能的技术；功率谱密度(PSD)为用于随机振 动分析的概率方法。
5.2 结构谱分析的基本步骤
ANSYS单点和多点响应谱分析的主要步骤有6步： (1) 模型建立和网格划分(前处理) (2) 模态分析 结构的固有模态和振型是谱分析所必须的数据，在进行谱分析求解前需 要的数据，因此在进行谱分析之前都要进行模态计算。分析时模态提取 方法只能采用Block Lanczos法、Subspace法和Reduced法(必须在施加激励 的位置定义主自由度)；提取的模态数应包含所有感兴趣的频率范围；模 态分析中需进行扩展操作。 (3) 响应谱分析 其内容包括谱分析类型设置，响应谱的类型设置，激励方向设置，谱值 与频率的关系曲线，阻尼的定义和开始求解等。 GUI：Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis Main Menu>Solution> Load Step Opts>Spectrum>Single Point(单点响应谱 )>Settings Main Menu>Solution> Load Step Opts>Spectrum>Single Point(单点响应谱 )>Freq Table或Specr Values Main Menu>Solution> Load Step Opts>Time/Frequenc>Damping
模态与瞬态动力学分析
• 使用IC 命令
– Solution > Apply > Initial Condit’n > Define + – 当需在整个物体上施加非零初始位移或速度时IC 命令法是有用的。
规定边界条件和初始条件（接上页）
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INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
实例 – 承受冲击载荷的固定平板
规定边界条件和初始条件（接上页）
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INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
初始条件 • 时间t = 0时的条件：u0， v0， a0 • 它们的缺省值为， u0 = v0 = a0 =0
• 可能要求非零初始条件的实 例：
– 飞机着陆 (v00) – 高尔夫球棒击球 (v00) – 物体跌落试验 (a00)
动力学分析的意义
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INTRODUCTION TO ANSYS 11.0
静力分析也许能确保一个 结构可以承受稳定载荷的 条件，但这些还远远不够， 尤其在载荷随时间变化时 更是如此。 著名的美国塔科马海峡吊 桥（Galloping Gertie） 在 1940年11月7日，也就是在 它刚建成4个月后，受到风 速为42英里/小时的平稳载 荷时发生了倒塌。
– – – – 列表输入法 多载荷步施加法 函数载荷法 Ansys命令流程序
Load
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t
Load
t
求解（接上页）
列表输入法 • 允许定义载荷随时间变化的表（用数组参数） 并采用此表作为载荷； • 尤其是在同时有几种不同的载荷，而每种载荷 又都有它自己的时间历程时很方便； • 例如，要施加下图所示的力随时间变化曲线：
结构动力学(4)-第三章-结构动力学的离散化方法
2、弹性杆的有限单元 形函数： 其中
x [ N ( x)] 1 L x [1 ] L
x L
弹性杆上任意点的位移可表示为
u ( x, t ) [ N ( x)]{ qe (t )} ui (u j ui )
则其应变为
x L
xx ( x, t )
AL 1 0
2 0 1
其中 [M e ] 定义为弹性杆元素的（一致）质量矩阵． 根据集中质量假设，还推出对角质量矩阵
[M e ]
这是非一致质量矩阵，是将弹性杆的分布质量按杠杆质量分配 于节点处的两个集中质量。
平面杆元：
在杆本身的坐标系中的单元刚度矩阵
[K e ]
EA 1 1 L 1 1
解：位移
内力
结点位移 式中：
u a sin / Ex b cos / Ex
N ( x) A E (a cos / Ex b sin / Ex)
u i 0 1 a u j S C b
S sin / EL
当
0
时
K e ()
1 1 EA 1 1 L
因此，仅当
/ EL
比较小时，静态有限元的解才能满足精度要求。
也可以从能量表达式求解得到：
ui u ( x, ) N ( x, ) u j
N ( x, ) cos / Ex ctg / EL sin / Ex sin / Ex / sin / EL
弹性梁的应变能是
Ui
则得
L 0
1 2w 2w [( ) EI ( 2 )]dx 2 x 2 x
第8章 模态叠加
+ 决定积分时间步长 Dt比决定要叠加的模 态个数更为容易
M8-7
模态叠加
第二节：如何使用模态叠加的方法
五个主要步骤： • 建模 • 获得模态解 • 转换成谐分析和瞬态分析 • 加载并求解 • 查看结果
M8-8
模态叠加
建模
模型 • 与模态分析所考虑的问题相同 • 只能用线性单元和材料 忽略各种非线性性质 • 注意密度! 此外,若有与材料相关的阻尼,必须在这一步中定义 • 参见第一章中建模要考虑的问题
M8-27
模态叠加
察看结果（接上页）
观察扩展解 • 使用通用后处理器POST1 • 步骤与完全瞬态和谐分析相同 – 从结果文件中读入所需要的结果，然后画出变形的形状以及应力 等值图等等 – 对谐分析如果选择扩展实部和虚部两者，使用HRCPLX 命令在 特定的相角下对两者进行组合（如果选择在特定的相角下扩展位 移解，就不需要这样做）
• 对模型上的特殊点定义位移变量，然后得出位移对时间（或频率）曲线图
•
使用图和表来确定各临界时 间点（或频率和相角）
M8-24
模态叠加
察看结果命令（接上页）
/POST26 ! 时间历程后处理 FILE,,rfrq ! 或 FILE,,rdsp NSOL,… ! 定义变量 PLVAR,… ! 绘制变量曲线 PRVAR,… ! 列表显式变量 EXTREM,… ! 列表显式极值 FINISH
M8-12
模态叠加
获得模态解 （接上页）
• 载荷和约束条件： – 在这一步中必须施加所有的位移约束,位移约束值只能为零,非零值是不 允许的 – 如果谐分析和瞬态分析中要施加单元载荷（如压力温度和加速度等） 时,它们必须在这一步中定义 – 求解器忽略模态求解中 的载荷,但是将载荷向量 写入 . mode文件
结构动力学傅里叶变换
结构动力学傅里叶变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：结构动力学是研究结构在受到外力作用时的变形、振动以及稳定性等问题的学科。
而傅里叶变换则是一种重要的数学工具，可用于分析结构的振动响应并识别结构的固有频率及模态形态。
结构动力学与傅里叶变换的结合，不仅可以帮助工程人员更好地理解结构的动态响应特性，还可以指导设计人员优化结构的设计，提高结构的抗震性能和安全性。
一、结构动力学基础结构动力学是一个复杂的领域，需要掌握一定的数学和物理知识。
结构动力学主要涉及结构的振动、变形和稳定性等问题。
结构在受到外力作用时会发生振动，其振动特性取决于结构的固有频率、质量、刚度和阻尼等因素。
结构动力学的研究对象包括建筑、桥梁、船舶、飞机等各种工程结构。
结构动力学的研究方法包括模态分析、频域分析、时域分析和模态综合等。
模态分析是一种常用的方法，通过对结构进行模态分解，可以得到结构的固有频率和模态形态。
频域分析则是利用傅里叶变换将结构的时域响应转换为频域响应，可以进一步分析结构的频域特性。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波形成的谱。
傅里叶变换在处理各种信号和振动问题中得到广泛应用，而在结构动力学中，傅里叶变换可以用于分析结构的振动响应和识别结构的固有频率及模态形态。
傅里叶变换的基本原理是将时域函数f(t)分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，其数学表达式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dtF(ω)为频率为ω的谱，f(t)为时域函数，e^(-jωt)为复指数函数。
三、结构动力学中的傅里叶变换应用结构动力学中常用的傅里叶变换方法包括离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)。
DFT是将一个有限长度的时域信号分解为不同频率的正弦和余弦波的线性组合，而FFT则是一种高效的计算DFT的快速算法，可以在计算上更快速地得到频域响应。
第二篇示例：结构动力学是一个研究结构在受到外部力作用时的振动和变形特性的学科。
结构动力学j
二、 二元体规则
在刚片上增加一个二元体，是几何不变体系。
二元体: 在刚片上增加由两根链杆连接而成的一个新的铰结点，这个“两杆一铰”体系，称为
二元体。
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为几何不变体系。
加二元体组成结构, 如何减二元体？
三、两刚片规则：
两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余联系的几何不变体系。
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
几何可变体系: 瞬变 , 常变
瞬变体系(instantaneously unstable system)--原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不
变的体系。
机动分析步骤总结：
1. 可首先通过自由度的计算，检查体系是否满足几何不变的必要条件(W≤0)。对于较为简
单的体系，一般都略去自由度的计算，直接应用上述规则进行分折。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交的支座链杆与基础相联接的体系，则
可直接分析体系内部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于三根，应把基础
也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。
5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚片选择的原则是使得三者之间彼此的
连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部使用，且不可重复使用。
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▽ 4/5
结构动力学
2 振型叠加法计算动力反应的步骤
1 2
3
形成[M]，[K](或[])；利用频率方程计算频率。 由 i i Φ Y ΦV
结构动力学
第七节 多自由度体系受迫振动
2、任意荷载作用下的无阻尼受迫振动
1 正则坐标（广义坐标）
问题：微分方程是耦联的，求解困难； 方法：通过变换，解耦方程组，简化计算。
线性变换
Y G V
G 0
保证单值(线性无关)的条件是
体系的振型是相互正交的，即各振型间是线 性无关的，满足作为变换矩阵的条件。
Ai vi 0
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Bi
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Байду номын сангаасi 0 的确定 v Y Φ V
T
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i 1, 2, , n
i M Y i M Φ V M i*vi T T M Y i i M Y0
i K i*vi Fi* (t ) Mi*v 1 2 vi vi * Fi* (t ) Mi
每个方程只含一个正 则坐标，相当于单自 i 1, 2, , n 由度体系运动方程。
▽ 3/5
结构动力学
正则方程的解
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▽ 1/5
结构动力学
取 则
G n Y V v j j
j 1
几何意义表明体系中每个质点的位移由 n 固有振型线性叠加而成，故称振型叠加法； 又可理解为任意位移可按振型分解，故又 称振型分解法。v1,v2，… ,vn 称正则坐标。
▽ 2/5
结构动力学
依次计算 M
* i
Fi ( t ) i FP ( t )
* T
1 i v i 4 建立 v Fi* ( t ) 并求解 Mi i 1, 2, , n 5 求几何坐标下的动位移
2 i
Y Φ V
6 求其它动反应。
▽ 5/5
正则方程的推导
K M Y Y FP (t ) K Φ M Φ V V FP (t ) T ΦT K Φ ΦT M Φ V V Φ FP (t )
1 K1* M1* v v1 F1* ( t ) * * * v M K 2 2 2 v2 F2 ( t ) * * * v v M K F n n n n n ( t )