一次函数平行
一次函数图象平移的三种类型
一次函数图象平移的三种类型
求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.
一、一次函数平移的三种方式：
⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.
⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.
⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化.
二、典型例题：
（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个
x。
一次函数之平行四边形存在性问题
一次函数与平行四边形1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________.2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.%例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标"例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.*总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________【例1】．一次函数y ＝x +3与y ＝﹣x +q 的图象都过点A （m ，0），且与y 轴分别交于点B 、C ．（1）试求△ABC 的面积；（2）点D 是平面直角坐标系内的一点，且以点A 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 的坐标；（3）过△ABC 的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC 的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．【解答】解：（1）将点A （m ，0）代入y ＝x +3中，得$m +3＝0，解得m ＝﹣3，即点A （﹣3，0），将点A （﹣3，0）代入y ＝﹣x +q 中，得q ＝﹣3，∴点B （0，3）、C （0，﹣3），故S =12×BC ×AO ＝9；（2）满足条件的D 点坐标为D （﹣3，6）、D （﹣3，﹣6）、D （3，0）；（3）若过点A ，则得直线l ：y ＝0；若过点C ，则得直线l ：y ＝﹣3x ﹣3；@若过点B ，则得直线l ：y ＝3x +3．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y ＝x +m （m ＞0）的图象，直线PB 是一次函数y ＝﹣3x +n （n ＞m ）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是112，且CQ ：AO ＝1：2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在直线y ＝x +m 中，令y ＝0，得x ＝﹣m ．∴点A （﹣m ，0）．…在直线y ＝﹣3x +n 中，令y ＝0，得x =x 3． ∴点B （x 3，0）． 由{x =x +x x =−3x +x ，得{x =x −x 4x =x +3x 4，∴点P （x −x 4，x +3x 4）． 在直线y ＝x +m 中，令x ＝0，得y ＝m ，∴|﹣m |＝|m |，即有AO ＝QO ．又∵∠AOQ ＝90°，∴△AOQ 是等腰直角三角形，∴∠PAB ＝45°．（2）∵CQ ：AO ＝1：2，,∴（n ﹣m ）：m ＝1：2，整理得3m ＝2n ，∴n =32m ， ∴x +3x 4=32x +3x 4=98m ， 而S 四边形PQOB ＝S △PAB ﹣S △AOQ =12（x 3+m ）×（98m ）−12×m ×m =1132m 2=112， 解得m ＝±4，∵m ＞0，∴m ＝4，∴n =32m ＝6，∴P （12，92）． ！∴PA 的函数表达式为y ＝x +4，PB 的函数表达式为y ＝﹣3x +6．（3）存在．过点P 作直线PM 平行于x 轴，过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1，过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2，过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3．①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ，∴PABD 1是平行四边形．此时PD 1＝AB ，易得x 1(132，92)； ②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ，∴PBAD 2是平行四边形．此时PD 2＝AB ，易得x 2(−112，92)；③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ，此时BPAD 3是平行四边形．】∵BD 3∥AP 且B （2，0），∴y BD 3＝x ﹣2．同理可得y AD 3＝﹣3x ﹣12{x =x −2x =−3x −12， 得{x =−52x =−92，∴x 3(−52，−92)．3．如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；（2）填空：#①当t 为 s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形．【解答】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∵在△ADE 和△CDF 中，{∠xxx =∠xxx∠xxx =∠xxx xx =xx，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，·则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t ＝8﹣2t ，解得：t =83； 当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣8（cm ），∵AG ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t ＝2t ﹣8，]解得：t ＝8；综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝8，则此时的时间t ＝8÷1＝8（s ）；故答案是：83或8；8．|4．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ．（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P 点坐标和周长的最小值．【分析】（1）由A 、B 的坐标可求得AO 和OB 的长，由旋转的性质可求得OC 、OD 的长，从而可求得∠AEB ＝90°，再由勾股定理可求得CD 和AB 的长，可求得AB ＝CD ，可证得△ABE ≌△DCE ；（2）由B 、D 坐标可求得直线BD 解析式，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，则可求得M 点纵坐标，代入直线BD 解析式可求得M 点坐标，当M 点在x 轴下方时，同理可求得M 点纵坐标，则可求得M 点坐标；）（3）由AE ＝DE 可知A 、D 关于EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则P 点即为满足条件的点，由C 、D 坐标可求得直线CD 的解析式，则可求得P 点坐标，利用勾股定理可分别求得AC 和CD 的长，则可求得此时△PAC 的周长．【解答】解：（1）∵A （﹣2，0），B （0，4），∴OA ＝2，OB ＝4，∵将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，∴OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4，AB ＝CD ，∴∠ACO ＝∠ECB ＝∠CBE ＝45°，∴∠CEB ＝90°，∴∠AEB ＝∠CED ，且CE ＝BE ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中：{xx =xx xx =xx∴Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ）；（2）由（1）可知D （4，0），且B （0，4），∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +4，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，即CM ∥x 轴，∴M 点到x 轴的距离等于C 点到x 轴的距离，∴M 点的纵坐标为2，在y ＝﹣x +4中，令y ＝2可得x ＝2，∴M （2，2）；当M 点在x 轴下方时，同理可得M 点的纵坐标为﹣2，(在y ＝﹣x +4中，令y ＝﹣2可求得x ＝6，∴M 点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M 点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；（3）由（1）可知AE ＝DE ，∴A 、D 关于直线EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则PA ＝PD ， ∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∴满足△PAC 的周长最小，∵C （0，2），D （4，0），∴可设直线CD 解析式为y ＝kx +2，∴4k +2＝0，解得k =−12， ∴直线CD 解析式为y =−12x +2，∵A （﹣2，0），D （4，0），∴F （1，0），即直线EF 解析式为x ＝1，在y =−12x +2中，令x ＝1可得y =32， ∴P （1，32）， 在Rt △AOC 中，由勾股定理可求得AC ＝2√2， 在Rt △COD 中，由勾股定理可求得CD =√22+42=2√5， ∴PA +PC +AC ＝CD +AC ＝2√5+2√2， 即△PAC 的周长最小值为2√5+2√2．。
一次函数上下左右平移规律名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
b值不相等
-4
-5
在同一直角坐标系中画
出下列函数旳图像:
y＝3x－2 和 y＝
2 3
x
＋1
y y＝3x－2
6 5 4
两条直线相交 k1k2
3 2
y＝
2 3
x
＋1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x -1
-2
-3
-4
-5
-6
（3）直线y=2x+6与y=-x+6旳位置关系怎样？
它是由直线y＝2x向下平
-1 -2 -3
移 2个单位长度得到旳.
-4
-5
y y=2x+3
7
直线y＝kx+b能够看作 直线y＝kx向上（或向下）
6
5 4
y=2x
平移 |b| 个单位长度得到
3
旳
2
1
当b＞0时，向上平移
-3 -2 -1 0 -1
y=2x－2
1 23 x
当b＜0时，向下平移
-2
-3
-4
-5
y=-x+6 y
6 4 2
y=2x+6
-6 -4 -2 o
24 6
x
-2
-4
两条直线相交于Y轴上一点 K1≠K2 b1=b2
注：两条直线旳位置关系：y = k1 x+ b1
y= k2 x+ b2
1) k1k2
两直线相交
2) K1≠K2 b1=b2
两直线相交于Y轴上一点
3) k1= k2 b1 b2
（2）图像旳上下平移与K无关
（3）图像旳上下平移与b有关，图像向上移动b旳值增长, 图像向下移动b旳值减小。
一次函数左右平移规律
一次函数左右平移规律一次函数，也称为线性函数，是一种形式为y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
左右平移是指将函数图像沿x轴的方向移动。
一次函数的左右平移规律可以总结如下：1.左平移规律：当将一次函数y = kx + b向左平移h个单位时，可以通过将x坐标减去h来实现。
即，新的函数为y = k(x - h) + b。
这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a - h处。
2.右平移规律：当将一次函数y = kx + b向右平移h个单位时，可以通过将x坐标加上h来实现。
即，新的函数为y = k(x + h) + b。
这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a + h处。
左右平移规律也可以通过对一次函数的参数进行调整来实现。
具体来说，当a为正数时，对于y = kx + b函数，可以将k的值调整为k' =k/a，然后将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向左平移a个单位。
同样地，当a为负数时，可以将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向右平移a个单位。
左右平移规律还可以通过函数图像的特征来理解。
一次函数是一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线的截距。
左右平移就是将整条直线沿x轴方向平行地移动。
当左平移时，直线的截距减小；当右平移时，直线的截距增大。
举个例子来说明左右平移规律。
考虑一次函数y=2x+3、如果将函数向左平移2个单位，则新的函数为y=2(x-2)+3，简化为y=2x-1、这意味着原来在x=1处的点现在移动到新的位置x=-1处。
另外，原来的直线在x轴上的截距由3减小到-1总结起来，一次函数的左右平移规律可以通过改变图像的参数或调整函数表达式来实现。
无论是通过改变参数还是通过改变表达式，效果都是将整个函数图像沿x轴方向移动。
左平移通过减小斜率b来实现，右平移通过增大斜率b来实现。
一次函数的图像和性质
一次函数的图像和性质一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。
它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。
斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。
当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。
斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。
即斜率a=Δy/Δx。
斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。
当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。
图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。
5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。
如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。
如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。
数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。
一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx平移I b I个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b v 0时，向上平移）•例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-i .需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移•这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移.以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？【探究一】函数图像的上下平移我们先从一些具体的函数关系开始.问题1已知直线I : y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线I i的解析式为y=2x+ b,由于直线l i的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢？注意到直线I i与两条坐标轴分别交于两点，而直线11与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线11的解析式可求.解：设直线11的解析式为y=2x+b，直线I i交y轴于点（0，-3），向上平移2 个单位长度后变为（0，-1）.把（0，-1）坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线11 的解析式为y=2x-1 .问题2 已知直线I : y=2x-3，将直线I向下平移3个单位长度得到直线I 2, 求直线12的解析式.对比直线I和直线丨1、直线丨2的解析式可以发现：将直线I : y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线I i的解析式为：y=2x-3+2 ; 将直线I : y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线12的解析式为：y=2x-3-3 . （此时你有什么新发现？）我们再来探究一般情况.问题3 已知直线I : y=kx+b,将直线I向上平移m个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.简解：设直线11的解析式为y=kx+p，直线I交y轴于点（0 , b），向上平移m 个单位长度后变为（0, b+n），把（0 , b+n）坐标代入I i的解析式可得，p=b+m从而直线11的解析式为y=kx+b+m问题4已知直线I : y=kx+b，将直线I向下平移m个单位长度得到直线丨2, 求直线12的解析式.答案：直线12的解析式为y=kx+b- m （解答过程请同学们自己完成）由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（ m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m 直线y=kx+b向下平移m（ m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-n] 这是直线直线y=kx+b上下（或沿y 轴）平移的规律.这个规律可以简记为：函数值：上加下减向上平移单勺（m > 0）向下平移沏督单何（m>0）以上我们探究了直线y=kx+b的上下（或沿y轴）的平移，如果直线y=kx+b 不是上下（或沿y轴）平移，而是左右（或沿x轴）平移，又该怎样进行平移呢？【探究二】函数图像的左右平移问题5 已知直线I : y=3x-12，将直线I向左平移5个单位长度得到直线l 1,求直线I i的解析式.简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k相等”，可设直线l i的解析式为y=3x+b，直线I交x轴于点（4，0），向左平移5个单位长度后变为（-1，0）.把（-1，0）坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线I i的解析式为y=3x+3.问题6 已知直线I : y=3x-12，将直线I向右平移3个单位长度得到直线12,求直线丨2的解析式.答案：直线丨2的解析式为y=3x-21 .（解答过程请同学们自己完成）那么我们尝试着探究一般情况问题7已知直线I : y=kx+b，将直线I向左平移n个单位长度得到直线I 1,求直线11的解析式.简解：设直线11的解析式为y=kx+p，直线I交x轴于点（b ,0），向左平移kn个单位长度后变为（b n,0），把（b n,0）坐标代入I 1的解析式可得k k0 k（- n） p，p=kn+b.从而直线11 的解析式为y=kx+km+b，即y=k（x+n）+b. k问题8已知直线I : y=kx+b，将直线I向右平移n个单位长度得到直线丨2,求直线12的解析式.答案：直线丨2的解析式为y=k（x-m+b.（解答过程请同学们自己完成）通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的函数关系来验证一下我们得到的规律.将直线I : y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线I i的解析式为：y=3x+3, 这个函数关系可以改写为：y=3(x+5)-12 ；将直线I : y=3x-12向右平移3个单位长度得到直线12的解析式为：y=3x-21，这个函数关系可以改写为：y=3( x-3)-12.由此我们得到：直线y=kx+b向左平移n(n为正)个单位长度得到直线y=k(x+n)+b，直线y=kx+b 向右平移n (n为正)个单位长度得到直线y=k(x- n)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律.这个规律可以简记为：自变量：左加右减向右平移川个单位(n > 0)向左平聒也亍单啞in > Oj总结：一次函数图像平移的规律函数值：上加下减；自变量：左加右减向左平移博个单忖i n>0)向下平tp位A E※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律F面，我们对直线y kx b(k 0)在平移规律中”左加右减”作一点解释我们知道，对于直线y kx b(k 0)上的任意一点的坐标可以表示为y b(x,kx b)，反过来我们可以先将y kx b变一下形，得到：x -- ，则此k k时直线上任意一点的坐标就可以表示为(y b,y)，由左右平移横坐标会发生变k k化，不改变纵坐标大小(即令y恒定).由此可知：如果一次函数图象向右移平移了n个单位，那么平移后点的坐标就会变成(丫b n, y)，即x — - n，化成一般可得kx y b kn，变k k k k形可得y k(x n)b式所以“右减”.同理，如果一次函数的图象向左平移n个单位，那么平移后点的坐标就会变成(上b n ,y)，即x ——n，化成一般可得kx y b kn，变形可得k k k ky k(x n)b式所以“左加”.如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出，当函数图象向左或向右平移n个单位时，函数图象在x轴上的截距减小或增大n个单位，而在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加n个单位。
一次函数的使用方法与技巧
一次函数的使用方法与技巧
一次函数又称为线性函数，是形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，x 是自变量，y是因变量。
以下是一些使用一次函数的方法与技巧：
1. 理解斜率和截距：斜率a表示直线的倾斜程度，正值表示向上倾斜，负值表示向下倾斜；截距b表示直线与y轴的交点位置。
2. 点斜式方程：如果已知一次函数的斜率a和经过的点(x1, y1)，可以使用点斜式方程y - y1 = a(x - x1)来表示一次函数。
3. 斜率截距式方程：一次函数的标准形式是y = mx + c，其中m为斜率，c为截距。
4. 求解交点：当两条一次函数相交时，可以通过联立方程组求解得到它们的交点坐标。
5. 判定平行和垂直：两条一次函数平行的条件是它们的斜率相等；两条一次函数垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
6. 拟合数据：对于给定的一组数据点，可以使用最小二乘法拟合一条一次函数，
以找到最佳拟合直线。
7. 解决实际问题：一次函数可以用于解决许多实际问题，例如速度和时间之间的关系、成本和产量之间的关系等。
8. 利用图像解题：可以通过绘制一次函数的图像来直观地解答问题，例如找到函数的零点、最大值和最小值等。
9. 利用函数性质：一次函数的性质可以用于简化计算，例如直线上两点的中点坐标等。
10. 对对称性的应用：一次函数具有对称性，可以利用这一性质来简化计算或解决问题。
一次函数图象的平移及解析式的变化规律
(1)求 一次函数的关系式;
(2)将 该函数的图象向上平移 6个 单位,求 平移后的图象与 艿轴的交点的坐标。
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它 的函数关系式。
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23,在 直线 y〓 -:艿 +3上 分另刂找出满足下列条件的点,并 写出它的坐标: (1)横 坐标是-4; (2)和 万轴的距离是 2个 单位。
式为
(A)y〓 -3艿 +2
(B) `〓 -3艿 -2
【】
(C) y〓 -3(苈 +2)
(D) `=-3(丌 -2)
9,直 线 `=弦 十4向 下平移 4个 单位,得 到直线
.
10.函 数 y=‰ -3的 图象 可 以看 作 由 函数 ⒉ +7的 图象 向
`〓
个 单位得 到,
平移
11.把 函数 -2艿 +3的 图象 向下平 移 4个 单位 后 的函数 图象 的表达 式为 【 1
一次 函数 图象 的平移及解析式 的变化规律
我 们 在 研 究 两 个 一 次 函数 的 图 象 平 行 的条 件 时 ,曾 得 出“其 中 一 条 直 线 可 以 由另 外 一 条 直 线 通 过 平 移 得 到”的结 论 ,这 就 涉 及 到 一 次 函数 图象 平 移 的 问题 .
函数 的 图象 及 其 解 析 式 ,是 从 “形 叮 口“数 ”两 个 方 面 反 映 函数 的性 质 ,也 是 初 中
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竹fjr+刀)+D(竹 ≠0)
一次函数基本性质
一次函数基本性质一次函数是初中数学课程中重要函数之一,也是中考必考内容之一,容易与其他知识点相交汇综合。
什么是一次函数呢？下面是店铺整理的什么是一次函数，欢迎阅读。
什么是一次函数一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
其中x是自变量，y是因变量，k为一次项系数，y是x的函数。
其图象为一条直线。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，原函数变为正比例函数(direct proportion function)，其函数图象为一条通过原点的直线。
所以说正比例函数是特殊的一次函数。
一次函数表示方法一。
一次函数是一条直线y=kx (o，0)(1，k)y=kx+b(0，b)与y轴的交点1、解析式法用含自变量x的式子表示函数的方法。
2、列表法把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
3、图像法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。
一次函数解析式一次函数的解析式为：其中k是比例系数，不能为0;x表示自变量。
且k和b均为常数。
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法，叫做待定系数法。
一次函数基本性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b为常数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b).当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;当k互为负倒数时，两直线垂直;6.平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间图像性质1.作法与图形：通过如下3个步骤：(1)列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，(2)描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;(3)连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一次函数，也称为一元一次方程或线性方程，是数学中最基本和最简单的函数之一。
它的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，具有许多重要的特性和应用。
接下来，我将总结一次函数的知识点。
1. 斜率：斜率表示了直线的倾斜程度。
在一次函数中，斜率a的值决定了直线的倾斜方向和倾斜角度。
当a大于0时，直线向上倾斜；当a小于0时，直线向下倾斜；当a等于0时，直线是水平的。
斜率的绝对值越大，直线越陡峭；斜率的绝对值越小，直线越缓和。
2. 截距：截距b表示了直线与y轴的交点在y轴上的位置，即当x为0时，直线与y轴的交点的纵坐标。
截距可以用来确定直线在纵向上的位置。
3. 斜率截距形式：一次函数的一般形式y = ax + b可以通过变换，化简成斜截式y = kx + m，其中k为斜率，m为截距。
4. 判定一次函数的平行和垂直关系：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
5. 求解一次方程：一次函数可以用来解决一元一次方程。
当给定一次方程y = ax + b时，可以将x代入方程中求解y的值，或者将y 代入方程中求解x的值。
6. 直线的图像特性：一次函数的图像是一条直线，具有以下特性：- 直线通过两个点：一次函数的图像可以通过任意两个点来确定。
- x轴截距：当y = 0时，可以通过方程0 = ax + b来求解直线与x轴的交点，从而得到x轴截距或者零点。
- y轴截距：当x = 0时，可以通过方程y = ax + b来求解直线与y轴的交点，从而得到y轴截距。
- 对称性：一次函数关于y = x和x轴具有对称性，即直线关于这两条线对称。
7. 应用：一次函数在数学和实际应用中有丰富的应用场景，如经济学、物理学、工程学等。
一次函数可以用来描述直线运动、成本和收入关系等问题。
总结起来，一次函数是数学中最简单的函数之一，具有直线特性和基本的方程求解能力。
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一次函数平行
一次函数是一种形式为 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 都是常数，且 a 不等于零。
这个函数的图像是一条直线，因此也被称为直线函数。在平面直角坐标系中，a 表示直线
的斜率，它表示直线的倾斜程度；b 表示直线与 y 轴的截距，它表示直线在 y 轴上的截
距位置。在本文中，我们将讨论一次函数平行的概念和相关性质。
在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率相等或者其中有一条直线的斜率不存在
（也就是平行于 y 轴），那么这两条直线互相平行。如果两个一次函数的斜率相等，那么
它们的图像是平行的。换句话说，如果两条直线图像的倾斜程度相同，那么它们是平行
的。
举个例子，考虑两个一次函数：
y1 = 2x + 1
y2 = 2x - 3
这两个函数的斜率都是 2，因此它们的图像是平行的。如果我们将它们画出来，可以
看到它们是一条水平间距为 4 的平行线，如下图所示：
一次函数平行具有一些性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用它们。下面是
它们的一些重要性质。
1. 平行函数的斜率相等
如果两个一次函数是平行的，那么它们的斜率相等。证明如下：
设 y1 = a1x + b1 和 y2 = a2x + b2 是两个平行函数，其中 a1 ≠ 0 且 a2 ≠ 0。
因为它们是平行的，所以它们的斜率相同：
a1 = a2
我们可以将 y2 = a2x + b2 转换为 y1 = a2x + c1 的形式，其中 c1 = b2 - a2x。
因为 a1 = a2，所以 y1 = a1x + b1 和 y1 = a2x + c1 都是同一条直线的方程。因此，
它们的截距相同：
这个式子可以化简为：
b1 - b2 = -a2x
因此，如果两个一次函数是平行的，它们的截距之差是常数乘以 x。
3. 平行函数间距的计算
d = | y1(x0) - y2(x0) | = | (a1 - a2) x0 + (b1 - b2) |
证明如下：
因此，如果我们知道两个平行函数的斜率和一条直线上的某个点，那么我们就可以计
算出它们的间距。
总结
本文介绍了一次函数平行的概念和相关性质。我们发现，如果两个一次函数的斜率相
等，那么它们的图像是平行的；如果它们的截距不相等，那么它们的距离就是一个常数乘
以 x；如果我们知道两个平行函数的斜率和一条直线上的某个点，那么我们可以计算出它
们的间距。这些性质在解决实际问题中都非常有用，并且也有助于更深入地理解一次函
数。