等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）

2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法

推广公式：()n m a a n m d =+-

变形推广：m

n a a d m n --=

3、等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2

（2）等差中项：

数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =

+-2An Bn =+

前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6、等差数列的证明方法

定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

（4）{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

【新数列可以化为一次函数的形式】

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

推导过程：

(6) 数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

推导过程：

（7）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则

2121

n n n n a A b B --=

（8）等差数列{}n a 中，

若m S n =，n S m =，则()m n S m n +=-+ （1）

若,n m a m a n ==，则0m n a += （2）

推导：2n S An Bn =+ 解出A 和B 就可以推导出（1）

（2）式直接用推广公式即可

(9)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由???≤≥+0

01n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001>

01n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值． 或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q n +=

等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义：

()()1

2n n a q q n a -=≠≥0，q 为公比

2、通项公式：

11n n a a q -=，1a 为首项，q 为公比

推广公式：n m n m a a q -=

n m n m

a q a -=

3、等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=?

4、等比数列的前n 项和n S 公式：

(1) 当1q =时， 1n S na =

(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --=

=-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q

=

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 推导过程：

5、等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或

为常数，?{}n a 为等比数列

（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列

（3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列

（4） 前n 项和公式： ()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义：若

()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列

7、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：11n n a a q -= 如奇数个数成等比，可设为…，

22,,,,a a a aq aq q q

…（公比为q ，中间项用a 表示）；注意隐含条件公比q 的正负

8、等比数列的性质：

(1) 当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q

②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q

--==-=-?=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m n s t +=+(,,,m n s t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?。特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?=

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a b ??{}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列。

【可以化为()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列】

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列

(7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????,122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列

备注：和（7）本质上是一样的。

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列, 110{}0{}{n n a

a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q =奇偶,。

(11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?