2020届河北省衡水金卷原创精准模拟考试(二)数学(理)试题

2020届河北省衡水金卷原创精准模拟考试（二）

数学（理）

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）

一．单选题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}

2

30B x x x =->，则A

B =

A ．{}1-

B ．{}1,0-

C ．{}1,3-

D ．{}1,0,3-

2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =

A ．

25

B ．

3

5

C

D

3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =

A ．2

B ．3

C ．2-

D ．3-

4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤??

-+≥??≥?

，

，，则2z x y =+的最大值为

A ．0

B ．4

C ．5

D ．6

5．9

12x x ??- ???

的展开式中3

x 的系数为

A ．212-

B ．92-

C ．9

2

D ．212 6.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图， 会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tan θ＝2，若在大正方形 内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7 .已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为

A ．ln 2

B ．1

C ．1ln 2-

D ．1ln 2+

8. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并

且

甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，

则

不同的推荐方法共有

A ．36种

B ．24种

C ．22种

D ．20种

9.()0??>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则?的最小值为

A ．

6π B ．12

π

C ．4π

D ．3π 10.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的 半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的 上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A ．π27 B ．π32 C ． π45 D ．π64

11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，P 为双

曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为

A

B

C

．1 D

．2+

12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有

()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对

称函数”．现给出四个函数：()3

2132

f x x x =-+

；()2e 1x

f x x =--；()()3ln 1,0,

0;2,x x f x x x ?-+≤?= ?>??

()411,0,2120,0.x

x x f x x ??

+≠ ?-??

=??=

???

则其中是“偏对称函数”的函数个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b ，则向量a 的模为________．

14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，

若20182a =

，则20172019

12a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：2

2(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，

3BF =，则p 的值为________．

16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，

cos (2)cos a B c b A =-．

（1）求角A 的大小；

（2）求△ABC 周长的最大值．

18.（本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

5

2

． (Ⅰ)求b a ,的值；

(Ⅱ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望ξE ．

19.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，

PA ⊥底面ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==．

（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；

（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o

45，求二面D CE P --的余弦值．

20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，以短轴的一个

过椭圆C 的右焦点作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相较于A B 、两点，线段AB 的中点为P . （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点1,07D ??

???

，求k 的值. 21．已知函数x ax x x f -++=2

)1ln()()0(>a ， （1）讨论函数)(x f 的单调性. （2）若对于任意的[]

2,1∈a ，当??

????∈1,21x 时，不等式m a x f ≤+ln )(恒成立，求实数m 的

取值范围. （二）选考题：

E

D

B

C

A

P

22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=??=?，

（α为

参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y '=??'=?

，

后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极

轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．

（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；

（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数()||f x x a =+．

（1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；

（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -?，求a 的取值范围．

理科数学试题答案及评分参考

一．选择题

13．10 14．4 15．4 16．11π 三、解答题

17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．

由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=…………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………2分

sin 2sin cos C C A =． ………………………………………4分

因为sin 0C ≠，所以1

cos 2A =． ……………………………………5分 因为0A <<π，所以 3

A π

= …………………………………………6分

解法2：由已知根据余弦定理，得

()222222

222a c b b c a a c b ac bc

+-+-?=-?

． ……………………1分

即222

b c a bc +-=． ………………………………………………3分

所以2221

cos 22

b c a A bc +-==．…………………………………………5分

因为0A <<π， 所以3

A π

=

………………………………………………6分 （2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，

得224bc b c +=+，………………………………7分

即2()34b c bc +=+．…………………………………………………8分

因为2

2b c bc +??

≤ ???

，…………………………………………………………9分

所以223

()()44

b c b c +≤

++．即4b c +≤（当且仅当2b c ==时等号成立）

．……11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………12分 解法2：因为

2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3

A π

=，

所以sin 3b B =

，3

c C =．………………………8分

所以)2sin sin 3a b c B C ++=+

+22sin sin 3B B π?

??=+- ??????

……9分 24sin 6B π?

?=++ ??

?．……………………………………10分

因为203B π<<

，所以当3

B π

=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………12分

18． 解析：(Ⅰ)设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62

()205

a P A +=

=．解得 2a =． …………… 3分 所以4b = ……………5分 (Ⅱ) ξ的可能取值为0，1，2． …………… 6分

20位学生中有8人是运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．

所以2

1222033(0)95C P C ξ===，111282

2048

(1)95

C C P C ξ===， 2822014

(2)95

C P C ξ===． ……… 10分

所以ξ的分布列为

所以，0E ξ=?

33951+?48952+?

1495764

955

==． …………… 12分 19.（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．

因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF

PA ，且

1

2

OF PA =

，因为DE PA ，且1

2

DE PA =

， 所以OF DE ，且OF DE =．…………1分

平行四边形OFED

，所以OD

EF ，即

BD EF ．……………2分

因为PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．………………………………4分 因为BD

EF ，所以EF ⊥平面PAC ． …………………………5分

因为FE ?平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………6分 (2)：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，

所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．…………………………7分 因为2AB BC ==，所以?ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．

因为?OB 平面ABCD ，?OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ．

在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．

以OB ，OC ，OF 为轴，建立坐标系-O xyz 如图则

(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则

(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．………

…………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，

则0,0,CP CE ??=?

??=??n n 即11111220,0.y z y z -+=???-+=?

? 则法向量()0,1,1=n ． ……………10分 设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，

则0,0,CE CD ??=?

??=?

?m m 222220,

0.

y z y ?-

+=??

-=?? ()

1,=m ．…………………………………………11分

设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，

则cos cos ,4θ?=-=-

==-?n m n m n

m

．

所以二面角--P CE D 的余弦值为4

-

．…………………………12分

20．（1）设焦距为2c ，则222,1,2

{ c a bc

a b c ===+ 解得2,1a b c ===，

∴椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ……………5分 （2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为()1y k x =-，

将其代入22

143

x y +=中得， ()

22223484120k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222

8412

,3434k k x x x x k k -+==++，……………7分

z O

y

x

P

A

C

B

D

E

∴()3121222

86223434k k

y y k x x k k k k -+=+-=-=++，

∵P 为线段AB 的中点，∴点P 的坐标为22243,3434k k k k ??

- ?

++??

，……………8分 又直线PD 的斜率为1k

-

， 直线PD 的方程为2223143434k k y x k k k ??

--=-- ?++??，……………9分 令0y =得， 2

234k x k =+，由点D 的坐标为22

,034k k ?? ?+??

，……………10分 则221=347

k k +，解得1k =±. ……………12分

21，（1）,因为

的定义域是

，

①当时，在，单调递增；在单调递减.

②当时，，在单调递增.

③当时，

在，单调递增；在单调递减.

（2）由（2）可知当时，在单调递增，所以

在单调递增.

所以对于任意的

的最大值为

，

要使不等式在上恒成立，须，

记，因为

，

所以

在

上递增，

的最大值为

，所以

.

故的取值范围为

.

22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y α

α

=??

=?（α为参数），

因为2.x x y y '=??

'=?，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .

x y αα'=??'=?，

．…………………2分

所以2C 的普通方程为2

2

4x y ''+=．………………………………………3分

所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．……………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．………………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………6分

曲线2C 上的点M 到直线l 的距离

+)10|d απ

-==

．…………8分 当cos +

=14απ?

?

?

?

?即()=24k k αππ-∈Z 时，d

2．……9分 当cos +=14απ??- ???即()3=

24k k απ

+π∈Z 时，d

+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．……………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252

|

1000|=--=

d ，………………7分

因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．……………………………8分

所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为

225-=-r d ．…10分

23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．………………………………1分 ①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．………2分 ②当112

x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分

③当1

2

x ≥-

时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………4分 综上可知，原不等式的解集为{

1x x ≤-或}1≥x ．……………………………5分

（2）解法1：①当3a ≤时，()3,

3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-??

=----<<-??-≥-?

………………6分

所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-?A ，所以3231a a -≤-??

-≥?

，

，解得1a ≤．……………………………7分

②当3a >时，()3,

,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-??

=++-<<-??-≥-?

…………………8分

所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-?A ，所以3231a a -≤-??

-≥?，

，

解得5a ≥．……………………9分

综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………10分

解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，…………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．

所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………8分 因为[2,1]-?A ，所以|3|2|3|1a a --≤-??-≥?，

，

解得1a ≤或5a ≥．

所以a 的取值范围是(]

[),15,-∞+∞．………………………………10分