一元二次方程的根的判别式练习题
17.3 一元二次方程根的判别式
有实数根
拓展提升 2、如果关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根，试
判断关于x的方程 (m-5)x2-2(m-1)x+m=0 的根的情况.
证明： ∵ 关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根
∆＜0
[-2(m+2)]2-4m(m+5)＜0
∴ m≠0
证明：∵ 一元二次方程ax2+bx+1=0 (a≠0) 有两个相等的实数根
∴ ∆= 0， 即 b2-4a=0
∴ b2=4a
∴
ab2
ab2
(a 2)2 b2 4 a 2 4a 4 b2 4
ab2
a2 4a b2
ab2
a2
b2 a
4a a
4
巩固练习 5、已知关于x的方程 x2-2(m+1)x+m2=0. (1) 当m取何值时，方程有两个实数根； (2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数 根，并求这两个根.
特别指出： 当 ∆≥0时， 有两个实数根. 反过来， 当方程有两个不相等的实数根时， ∆＞0；
当方程有两个相等的实数根时， ∆= 0； 当方程没有实数根时， ∆＜0.
特别指出： 当方程有两个实数根时， ∆≥0.
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2-3x-2=0
解： ∵ △=b2-4ac= (-3)2 - 4×5×(-2) =49 ＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根.
解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) =(m-3)2 ≥0
∴ x b
—根的判别式练习题
—根的判别式练习题铁⾯将军：根的判别式【知识要点】1.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，⽅程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，⽅程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，⽅程⽆实数根.2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这⽅⾯的知识主要⽤来求取值范围等问题.【经典例题】【例1】已知关于x 的⽅程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何⾮负整数时：(1)⽅程只有⼀个实数根；(2)⽅程有两个相等的实数根；(3)⽅程有两个不等的实数根.【例2】已知关于x 的⽅程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满⾜2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为⼀实数，求证：关于x 的⽅程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x 的⽅程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使⽅程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【例4】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若⽅程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.【例5】已知：m 、n 为整数，关于x 的⼆次⽅程x 2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x 2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m 、n 的值.【⽅法总结】1.求判别式时，应该先将⽅程化为⼀般形式.2.应⽤判别式解决有关问题时，前提条件为“⽅程是⼀元⼆次⽅程”，即⼆次项系数不为0.【经典练习】⼀、解答题1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )A.m ＜1B. m ＜1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠02.已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )A.k ≤1B.k ≥1C.k<1D.k>13.如果⽅程组 {xy m x y 322=-= 只有⼀个实数解，那么m 的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/44.⼀元⼆次⽅程x 2+2x+4=0的根的情况是 ( )A.有⼀个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.下列⼀元⼆次⽅程中，有实数根的是( )A.x 2-x+1=0B.x 2-2x+3=0C.x 2+x-1=0D.x 2+4=06.关于x 的⽅程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )A.当k=1/2时，⽅程两根互为相反数B.当k=0时，⽅程的根是x=-1C.当k=±1时，⽅程两根互为倒数D.当k ≤1/4时，⽅程有实数根7．已知关于x 的⽅程022=+-mx x 有两个相等的实数根，则m 的值等于（）.A ．22 B. 22- C. 22-或22 D. 8或-88．若⽅程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（）.A ．0≤p B. 411≥p9．要使关于x 的⽅程0342=+-x kx 有实数根，则k 应满⾜的条件是（）.A ．34k C. 34≤k D. 34-≥k ⼆、填空题1．关于x 的⽅程x 2+(2k-1)x+k 2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .2．关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，m=3．⼀元⼆次⽅程022=-+m x x ，当m= 时，⽅程有两个相等的实根；当m 时，⽅程有两个不相等的实根；当m = 时，⽅程有⼀个根为0．4．如果关于x 的⽅程()011222=+-+x k x k 有两个实数根，则k 得取值范围是．三、解答题1．当a 是什么实数时，关于x 的⼀元⼆次⽅程()3212+=++ax a x a 。
华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋＝0； 14(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a . 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a ＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a ＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.14而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
一元二次方程解法判别式练习题(附答案)
一元二次方程解法判别式练习题A.2m =±B.2m =C.2m =-D.2m ≠±B.2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D.21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3.关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是( )A.18a >-B.18a ≥-C. 18a >-且1a ≠D. 18a ≥-且1a ≠4.方程5(3)3(3)x x x +=+的解为( )A.123,35x x ==B.35x = C.123,35x x =-=- D.123,35x x ==- 5.抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标是( ) A.(2,5)- B.(2,5)-- C.(2,5) D.(2,5)-6.将抛物线22(4)1y x =--先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )A.221y x =+B.223y x =-C.22(8)1y x =-+D.22(8)3y x =-- 7.二次函数22(2)1y x =+-的图象是( )A. B. C. D. 8.一元二次方程231=25x x -+两实数根的和与积分别是（ ）9.在同一坐标系中，一次函数2y ax =+与二次函数2y x a =+的图象可能是( ) A. B. C.D. 10.抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=的共同性质是( ) A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D. y 随x 的增大而增大11.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程2560x x -+=的一个根，则这个三角形的周长是( )A.13B.16C.12或13D.11或1612.已知一元二次方程2(3)1x -=的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长,则ABC △的周长为( )A.10B.10或8C.9D.813.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A.2690x x ++=B.2x x =C.232x x +=D. 2(1)10x -+=14.已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x +的值为( )A.1B.3-或1C.3D.1-或315.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.16(12)25x +=B.25(12)16x -=C.216(1)25x +=D.225(1)16x -=16.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意可列出的方程是（ ）A.(1)210x x +=B.(1)210x x -=C.2(1)210x x -=参考答案1.答案：B方程，故2m =2.答案：B3.答案：D解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到1a ≠且234(1)(2)0a ∆=--⋅-≥，然后求出两个不等式解集的公共部分即可. 4.答案：D解析：移项得5(3)3(3)0x x x +-+=，将方程等号左边因式分解得(53)(3)0x x -+=，所以530x -=或30x +=，解得123,35x x ==-. 5.答案：C解析：因为23(2)5y x =-+为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,5).故选C.6.答案：A解析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得，平移后的抛物线的解析式为22(44)12y x =-+-+，即221y x =+.7.答案：C解析：20a =>，∴抛物线开口方向向上.二次函数的解析式为22(2)1y x =+-，∴顶点坐标为(2,1)--，对称轴为2x =-.故选C.8.答案：B解析：设这个一元二次方程的两个根分别为12,x x ，方程23125x x -=+化为一元二次方程的一般形式为23260x x --=，326a b c ==-=-，，，12122262333b c x x x x a a --∴+=-===-=，=.故选B9.答案：C解析：二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与y 轴的交点为(0,2).当0a <时，二次函数的图象顶点在y 轴负半轴上，一次函数的图象经过第一、二、四象限；当0a >时，二次函数的图象顶点在y 轴正半轴上，一次函数的图象经过第一、二、三象限.10.答案：B解析：三条抛物线的开口方向分别为向上、向下、向上,故选项A 错误;三条抛物线的对称轴均为y 轴,故选项B 正确;三条抛物线分别有最低点、最高点、最低点,故选项C 错误;易知选项D 错误.11.答案：A解析：2560x x -+=，(3)(2)0x x ∴--=解得123,2x x ==.三角形的两边长分别是4和6，当3x =时，346+>，能组成三角形，当2x =时，246+=，不能组成三角形，∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为46313++=，故选A.12.答案：A解析：解方程2(3)1x -=得124,2x x ==.所以当腰长为4,底边长为2时,其周长为44210++=;当腰长为2,底边长为4时,因为224+=,所以此时不能构成三角形.故选A. 13.答案：B解析：A 、2690x x ++=.264936360∆=-⨯=-=，方程有两个相等实数根；B 、2x x =20x x -=.2(1)41010.∆=--⨯⨯=>方程有两个不相等实数根；C 、232x x +=.2230x x -+=.2(2)41380.∆=--⨯⨯=-<方程无实根；D 、2(1)10x -+=.2(1)1x -=-，则方程无实根；故选：B ．14.答案：A解析：设23y x x =+，则原方程可化为2230y y +-=，(3)(1)0y y +-=，解得123,1y y =-=231x x +=时，符合题意；233x x +=-时，2491230b ac ∆=-=-=-<，方程无实数根，不符题意，故选A.15.答案：D解析：一种药品原价每盒25元，两次降价的百分率都为x ，所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1)x -元，第二次降价后的价格用代数式表示为225(1)(1)25(1)x x x --=-元，根据题意可列方程为225(1)16x -=，故选D16.答案：B解析：该组共有x 名同学，则每名同学都要赠送()1x -本，因此可列方程为(1)210x x -=，故选B.。
一元二次方程根的判别式
第二讲一元二次方程根的判别式【趣题引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺。
一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝━━“△”，出去闯荡一下吧！”小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人！”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程堡见识见识。
”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！”说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x2+2xy+7y2-10x-18y+19=0，并且问道：“你能说出实数x、y的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y看成已知数，把它整理成关于x的一元二次方程2x2+(2y-10)x+(7y2-18y+19)=0。
好哇！因为x是实数，上面的方程必有实数根，所以△≥0,即(2y-10)2-4×2(7y2-18y+19)≥0,可得(y-1)2≤0，一下子便得到了y=•1，再将y=1代入原方程就可得x=2.小精灵这里用的法宝“△”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△〉0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△〈0时，没有实数根，反过来也成立。
【知识延伸】例1已知关于x的二次方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0,求证:当p1p2=2(q1+q2)时,这两个方程中至少有一个方程有实根.证明设这两个方程的判别式为△1,△2,则△1+△2=p12+p22-4(q1+q2).∵p1p2=2(q1+q2),∴△1+△2=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0.∴△1≥0与△2≥0中至少有一个成立,即两个方程中必有一个方程有实根.点评两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明△1+△2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设△1<0且△2<0，则△1+△2<0，但△1+△2=(p1-p2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论还成立。
一元二次方程判别式
我们知道,任何一个一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
配方法
b b 4ac x 2 2a 4a
2 2
∵a≠0
∴4a2>0
b b2 4ac x 2a 4a 2
2
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2 4ac 0 时， 方程有两个不相等的实数根：
（3）定理与逆定理的用途不同
定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的 取值范围。
（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。
作用2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况， 可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值 例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
2 2
2 x 4k 1x 2k 1 0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等 的实根；（3）方程无实根； 2 4k 1 4 2 2k 2 1 解； =
(1).当
(2).当 (3).当
9 >0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 >0 , 即 k 8 9 = 0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 =0 , 即 k 8 9 <0 ，方程有两个不相等的实根,8k+9 <0 , 即 k 8
16k 2 8k 1 16k 2 8 8k 9
一元二方程根的判别式 b 2 4ac :
《一元二次方程的解法及根的判别式》练习
《一元二次方程的解法及根的判别式》练习1．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20122．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝33．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0，下列说法正确的是( )A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解4．若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．05．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－1＝0有两个根，分别为x1，x2，且21x－x1x2＝0，则a的值是( )A．a＝1 B．a＝1或a＝－2 C．a＝2 D．a＝1或a＝26．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k<－2 B．k<2 C．k>2 D．k<2且k≠17．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )A．a＝c B．a＝bC．b＝c D．a＝b＝c8．若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝_______．9．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的根是_______．10．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是_______．11．若a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是_______．12.如果关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是_______．13.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝22,,a ab a bab b a b⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根．则x1*x2＝_______．14.若关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)（β＋3）＝_______．15．选择适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－3)＝2x－6；(2)3(x－3)2＝x2－9.16．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．17.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？18．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看成一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x故原方程的解为x1，x2，x3x4解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0.参考答案1.A2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.39.6 10.－1或411．没有实数根12．a≥－1 13．－3或3 14．915.(1)x1＝1，x2＝3 (2)x1＝3，x2＝616．n＝－2，m＝117．(1)x1＝11mm+-，x2＝1 (2)m＝2或318．(1)换元(2)x1x2。
一元二次方程的解法及其根的判别式
§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式一、温故互查知识要点一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）．二、题组训练一1．(2011钦州)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）A ．x 2+1=0B ．x 2-2x +1=0C ．x 2+x +2=0D ．x 2+2x -1=02．用配方法解方程x 2-4x +2=0，下列配方正确的是（ ）A ．(x -2)2=2B ．(x +2)2=2C ．(x -2)2=-2D ．(x -2)2=63．已知关于x 的方程250x mx +-=的一个根是5，那么m = ，另一根是 .4．若关于x 的一元二次方程kx 2-3x +2=0有实数根，则k 的非负整数值是 .三、题组训练二1 解下列方程：(1) 3(x +1)2=13; (2) 3(x -5)2=2(x -5)；(3) x 2+6x -7=0； (4) x 2-4x +1=0（配方法）．例2 关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---= ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)在（1）的条件下，自取一个整数k 的值，再求此时方程的根.四、中考连接1．下列方程中有实数根的是( )A ．x 2+2x +3＝0B ．x 2+1＝0C ．x 2+3x +1＝0D ．x x -1= 1x -12．若关于x 的方程(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜-23．若直角三角形的两条直角边a 、b 满足(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则此直角三角形的斜边长为 ．4．阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个实数根为x 1、x 2，则两根与方程系 数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 根据上述材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则1x 1 + 1x 2= ． 5．解下列方程：（1）(y +4)2=4y ； （2）2x 2+1=3x （配方法）；（3）2x (x -1)=x 2-1； （4）4x 2-(x -1)2=0．6．先阅读，然后回答问题：解方程x 2-|x |-2=0，可以按照这样的步骤进行：(1)当x ≥0时，原方程可化为x 2-x -2=0，解得x 1=2，x 2=-1（舍去）．(2)当x ≤0时，原方程可化为x 2+x -2=0，解得x 1=-2，x 2=1（舍去）．则原方程的根是_____________________．仿照上例解方程：x 2 -|x -1|-1=0．。
一元二次方程根的判别式
八年级(下)数学章节测试18．3 一元二次方程的根的判别式班级 姓名 得分一、慎重选择(每小题4分，共24分)1．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A ．x 2=9B ．4x 2=3(4x-1)C ．x(x+1)=1D ．2y 2+6y+7=03．已知关于x 的一元二次方程x 2–m=2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜04．关于x 的一元二次方程x 2–mx+(m –2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．若关于x 的一元二次方程036)1(2=++-x x k 有实数根，则实数k 的取值范围（ ）A.k≤4,且k≠1B.k ＜4, 且k≠1C. .k ＜4D. k≤46．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知ax 2+bx+c=0 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a=cB ．a=bC ．b=cD ．a=b=c 二、仔细填空(每小题4分，共16分)7．方程4x 2=3(4x –3)中，根的情况是8．已知方程x 2–mx+3=0有两个相等实根，那么m=9．若关于x 的一元二次方程mx 2–2x+1=0有两个相等的实数根，则m=___________。
10．已知方程x 2–mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .三、知识技能(每小题10分，共20分)11．不解方程，判断下列方程根的情况：(1)2x 2+x –6=0 (2)x 2+4x=2 (3)4x 2+1= –3x12．已知关于x 的方程x 2+2x+m –1=0(1)若1是方程的一个根，求m 的值；(2)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
八下数学每日一练：一元二次方程根的判别式及应用练习题及答案_2020年综合题版
八下数学每日一练：一元二次方程根的判别式及应用练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案答案答案2020年八下数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程根的判别式及应用练习题~~第1题~~(2019西湖.八下期末) 已知m ，n 是实数，定义运算“*”为：m*n ＝mn+n ．（1） 分别求4*（﹣2）与4* 的值；（2） 若关于x 的方程x*（a*x ）＝﹣ 有两个相等的实数根，求实数a 的值．考点： 定义新运算;二次根式的化简求值;一元二次方程根的判别式及应用;~~第2题~~(2019余姚.八下期末) 已知关于x 的方程x -3x+c=0有两个实数根，（1） 求c 的取值范围（2） 若c 为正整数，取符合条件的c 的一个值，并求出此时原方程的根考点： 公式法解一元二次方程;一元二次方程根的判别式及应用;~~第3题~~(2018瑶海.八下期中) 已知关于的二次方程.（1） 若，且此方程有一个根为 ，求 的值；（2） 若 ，判断此方程根的情况.考点： 一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用;~~第4题~~(2019温州.八下期中) 已知关于x 的方程x +ax+a-2=0.（1） 若该方程的一个根为1，求a 的值；（2） 求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点： 一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用;~~第5题~~(2019湖州.八下期中) 关于x 的方程x ﹣2x+k ﹣1=0有两个不相等的实数根。
（1） 求k 的取值范围.（2） 若k ﹣1是方程x ﹣2x+k ﹣1=0的一个根，求k 的值．考点： 一元二次方程的根;一元二次方程根的判别式及应用;2020年八下数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程根的判别式及应用练习题答案1.答案：22222.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
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一元二次方程的根的判别式
1、方程2x
2
+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。
2、关于x 的方程kx 2
+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。
3、方程x 2
+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2
+4)=0的根的情况是 。
5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2
－1=0有两个不相等的实数根。
6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2
+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
7、关于x 的一元二次方程mx 2
+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x－β)+cx=0的根。
9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况：
(1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0)(2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0
10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2
+2=0有实根?
11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2
+4)=0没有实数根。
12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2
+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根?
13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2
－1)
(x 2+1)=0也无实根。
14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2
+bx+c=0根的情况。
15、m 为何值时，方程2(m+1)x
2
+4mx+2m －1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
16、当一元二次方程(2k －1)x 2
－4x －6=0无实根时，k 应取何值?
17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2
+(2－b)y+4=0
的两实根，求以
、
为根的一元二次方程。
1
y 2
y 18、若x 1、x 2是方程x 2
+
x+q=0的两个实根，且
，求p
p 23x x x x 22
2121=+
+
25x 1x 12
221=+和q 的值。
19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q≠0)的两个根，且x 21+3x 1x 2+x 2
2=1，
，求p 和q 的值。
0x 1
(x )x 1(x 2
211=+++
20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x
2
－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且
，求常数m
2
3
x x 21=的值。
21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2
+β3=0，求证：p=0,q<0
22、已知方程(x －1)(x －2)=m
2
(m 为已知实数，且m≠0)，不解方程证明：
(1)这个方程有两个不相等的实数根；(2)一个根大于2，另一个根小于1。
23、k 为何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－4x+4=0和x 2－4kx+4k 2
－4k －5=0的根都是整数。
24、不解方程判别根的情况x(x －2)+1=0。
6625、不解方程判别根的情况x
2
－0.4+0.6=0；26、不解方程判别根的情况2x 2
－4x+1=0；27、不解方程判别根的情况4y(y －5)+25=0；28、不解方程判别根的情况(x －4)(x+3)+14=0；
29、不解方程判别根的情况。
854121=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 30、试证：关于x 的一元二次方程x
2
+(a+1)x+2(a －2)=0一定有两个不相等的实数根。
31、若a ＞1，则关于x 的一元二次方程2(a+1)x 2
+4ax+2a －1=0的根的情况如何?
32、若a ＜6且a ≠0，那么关于x 的方程ax 2
－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若 此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a ＜6且a ≠0?
33、.a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2
－2ax+4=0有两个相等的实数根?
34、已知关于x 的一元二次方程ax 2
－2x+6=0没有实数根，求实数a 的取值范围。
35、已知关于x 的方程(m+1)x 2
+(1－2x)m=2。
m 为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?36、分别根据下面的条件求m 的值：(1)方程x 2－(m+2)x+4=0有一个根为－1；
(2)方程x 2－(m+2)x+4=0有两个相等的实数根；(3)方程mx 2－3x+1=0有两个不相等的实数根；(4)方程mx 2+4x+2=0没有实数根；(5)方程x 2－2x －m=0有实数根。
37、已知关于x 的方程x 2+4x －6－k=0没有实数根，试判别关于y 的方程y 2
+(k+2)y+6－k=0的根的情况。
38、m 为什么值时，关于x 的方程mx 2
－mx －m+5=0有两个相等的实数根?
39、已知关于x 的一元二次方程
(p ≠0)有两个相等的实数根，
)0(056
22≠=+-
p q px x 试证明关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0有两个不相等的实数根。
40、已知一元二次方程x 2
－6x+5－k=0的根的判别式=4，则这个方程的根为。
∆41、若关于x 的方程x 2－2(k+1)x+k 2
－1=0有实数根，则k 的取值范围是( )
A.k ≥－1
B.k ＞－1
C.k ≤－1
D.k ＜-1
42、已知方程
ax 2+bx+c=0(a ≠0，c ≠0)无实数根，试判断方程
的根的情况。
02=+-
c a x c b x。