判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别共17页
反常积分敛散性的判别
收敛,因此
a
f ( x ) g( x ) dx 收敛.
推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
f ( x) lim c. x g ( x )
(i ) 若 0 c ， 则
a
f ( x )dx 与
a
g( x )dx 收敛性相同;
(ii) 若c 0, 则由
中南财经政法大学
数学分析
§2 无穷积分的性质及收敛判别
本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法
一、无穷积分的性质
定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
a
f ( x )dx 收敛的充要条件是: 0, G a ,
u2
b
b a
u2
u1
f ( x )dx .
性质1
设函数 f1 与 f 2 的瑕点同为 x a , k1 , k2
b a
为任意常数, 若 f1 ( x )dx 和 f 2 ( x )dx 都收敛, 则
1
u2
再由柯西准则的充分性, 证得
a
h( x )dx 收敛.
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a , ) 上的非负函数 f 在任何 [a , u] 上可积, 则
a
f ( x )dx 收敛的充要条件是: M 0, 使
u [a , ),
a
a
3c a 2 g( x )dx 收敛,从而 a f ( x )dx 收敛. f ( x) (ii) 由 lim 0, 存在 G a , 使 x G , 有 x g ( x ) f ( x) 1, g( x ) 即 f ( x ) g( x ), x [G , ), 因此由 g( x )dx 收敛
数学分析9.3可积条件
第九章 定积分 3 可积条件一、可积的必要条件定理：若函数f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]上必定有界. 证：若f 在[a,b]上无界，则对于[a,b]的任一分割T ， 必存在属于T 的某个小区间△k ，f 在△k 上无界. 在i ≠k 的各个小区间△i 上任取ξi ，并记G=|i ki i x △)ξ(f ∑≠|.对任意大的正数M ，存在ξk ∈△k ，使得|f(ξk )|>kx △GM +，于是有 |i ki i x △)ξ(f ∑≠|≥|f(ξk )△x k |-|i ki i x △)ξ(f ∑≠|>kx △GM +·△x k -G=M. 因此，对于无论多小的║T ║，按上述方法选取的点集{ξi }，总能使 积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f 在[a,b]上可积矛盾. ∴原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。
例1：证明狄利克雷函数D(x)=⎩⎨⎧.x 0，x 1为无理数为有理数，，在[0,1]上有界但不可积.证：∵|D(x)|≤1, x ∈[0,1]，∴D(x)在[0,1]上有界.又对于[0,1]的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密可知， 在属于T 的任一小区间△i 上，当取ξi 全为有理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==1；当取ξi 全为无理数时，i n1i i x △)ξ(D ∑==0. 即不论║T ║多么小，只要点集{ξi }取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限， ∴D(x)在[0,1]上不可积.二、可积的充要条件设f 在[a,b]上有界，T 是[a,b]上的任一分割，则在每个△i 存在上、下确界：M i =ix sup ∆∈f(x)，m i =ix inf ∆∈f(x)，i=1,2,…,n.记S(T)=∑=∆n 1i i i x M , s(T)=∑=∆n1i i i x m ，分别称为f 关于分割T 的上和与下和(或称为达布上和与达布下和，统称为达布和)，则 任给ξi ∈△i , i=1,2,…,n ，有s(T)≤i n1i i x △)ξ(f ∑=≤S(T).注：达布和与点集{ξi }无关，只与分割T 有关.定理：(可积准则)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的一个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.注：设ωi =M i -m i ，称为f 在△i 上的振幅，可记为ωi f ，则有 S(T)-s(T)=i n1i i x △ω∑=，可记作∑Ti i x △ω.定理’：函数f 在[a,b]上可积的充要条件是： 任给ε>0，总存在相应的某一分割T ，使∑Ti i x △ω<ε.可积的充要条件的几何意义：若f 在[a,b]上可积，则如图，只要分割充分地细，包围曲线y=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小；反之亦然.三、可积函数类定理：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积.证：f 在[a,b]上连续，从而一致连续. ∴任给ε>0，存在δ>0， 对[a,b]中任意两点x ’,x ”，只要|x ’-x ”|<δ，就有|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 对[a,b]作分割T 使║T ║<δ，则在T 所属的任一区间△i 上， 就能使f 的振幅满足ωi =ix ,x sup ∆∈'''|f(x ’)-f(x ”)|≤ab ε-，从而有 ∑Ti i x △ω≤ab ε-∑Tix△=ε，原命题得证.定理：若f 为[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积.证：设端点b 是f 在[a,b]上的间断点，任给ε>0，取δ’>0，满足 δ’<m)2(M ε-<b-a ，其中M 与m 分别为f 在[a,b]上的上确界与下确界.当m=M 时, f 为常量函数，可积.当m<M 时，记f 在小区间△’=[b-δ’,b]上的振幅为ω’，则 ω’δ’<(M-m)·m)2(M ε-=2ε. 又f 在[a,b-δ’]上连续，所以可积.∴对[a,b-δ’]存在某个分割T ’={△1,△2,…,△n-1}，使得∑'T i i x △ω<2ε.令△n =△’，则T={△1,△2,…,△n-1,△n }是对[a,b]的一个分割， 对于T ，有∑Ti i x △ω=∑'T i i x △ω+ω’δ’<2ε+2ε=ε. ∴f 在[a,b]上可积.同理可证f 在[a,b]上存在其它间断点时，原命题仍成立.定理：若f 是[a,b]上的单调函数，则f 在[a,b]上可积.证：设f 为增函数，且f(a)<f(b). 对[a,b]的任一分割T ，由f 的增性， f 在T 所属的每个小区间△i 上的振幅为ωi =f(x i )-f(x i-1)，于是有∑Tii x△ω≤∑T1-i i T )]f(x -)[f(x =[f(b)-f(a)]║T ║. 可见，任给ε>0，只要║T ║<b)(f )b f(ε-，就有∑Ti i x △ω<ε. ∴f 在[a,b]上可积.注：单调函数有无限多个间断点仍可积.例2：试用两种方法证明函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧⋯=≤+=1,2,n n 1x <1n 1n1，0x 0，，，在区间[0,1]上可积.证法一：在[0,1]上任取两点x 1<x 2.若1n 1+<x 1<x 2≤n 1,n=1,2…，则f(x 1)=f(x 2)； 若2n 1+<x 1≤1n 1+<x 2≤n 1或1n 1+<x 1≤n 1<x 2≤1n 1-, n=1,2…，则 2n 1+=f(x 1)<f(x 2)=n 1或n 1=f(x 1)<f(x 2)=1n 1-. 同理可证，当x 1<x 2时，f(x 1)≤f(x 2)，∴f 在[0,1]上的单调增. ∴f 在[0,1]上可积.证法二：任给ε>0，∵n 1lim n ∞→=0，∴当n 充分大时，有n 1<2ε. 即f 在[2ε,1]上只有有限个间断点. ∴f 在[2ε,1]上可积，且 存在对[2ε,1]的某一分割T ’，使得∑'T i i x △ω<2ε.∴对[0,1]的一个分割T ，由f 在[0,2ε]的振幅ω0<0，可得∑Ti i x △ω=ω0+2ε∑'T i i x △ω<2ε+2ε=ε. ∴f 在[0,1]上可积.例3：证明黎曼函数f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=>=.)1,0(0,1x 0 p.q ，q p, ，qp x q 1内的无理数以及互素，， 在区间[0,1]上可积，且⎰10f(x )dx=0.证：任给ε>0，在[0,1]内使得q1>2ε的有理点qp 只有有限个， 设它们为r 1,r 2…,r k . 现对[0,1]作分割T={△1,△2,…,△n }, 使║T ║<2kε， 将T 中所有小区间分为{△i ’|i=1,2,…,m}和{△i ”|i=1,2,…,n-m}两类， 其中{△i ’}为含有点{r i |i=1,2,…,k}的所有小区间，其个数m ≤2k. 而{△i ”}为T 中所有其父不含{r i }的小区间.∵f 在△i ’上的振幅ωi ’≤21，∴i m1i i x △ω''∑=≤21∑='m1i i x △≤21·2k ║T ║<2ε， 又f 在△i ”上的振幅ωi ”≤2ε，∴i m-n 1i i x △ω''''∑=≤2ε∑=''m -n 1i i x △<2ε. ∴i n1i i x △ω∑==i m1i i x △ω''∑=+i m -n 1i i x △ω''''∑=<2ε+2ε=ε，∴f 在区间[0,1]上可积.当取ξi 全为无理数时，使f(ξi )=0，∴⎰10f(x )dx=i n1i i 0T x △)f(ξlim ∑=→=0.习题1、证明：若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑'''T iix △ω≤∑Tiix△ω.证：依题意s(T ’)≤s(T), S(T ’)≥S(T). ∴s(T ’)-S(T ’)≤s(T)-S(T)，得证.2、证明：若f 在[a,b]上可积，[α,β]⊂[a,b]，则f 在[α,β]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，总存在相应的一个分割T ， 使得S(T)-s(T)<ε. 又[α,β]⊂[a,b]，∴在[α,β]上存在相应的一个分割T ’， T ’是T 减少若干个分点所点后所得的分割，即有 s(T ’)≥s(T), S(T ’)≤S(T). ∴S(T ’)-s(T ’)≤S(T)-s(T)<ε，得证.3、设f,g 均为定义在[a,b]上的有界函数. 证明：若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且⎰baf(x )dx=⎰bag(x )dx.证：记F=g-f ，则F 在[a,b]上只有有限个点不为零，∴F 是[a,b]上可积. 对[a,b]上任何分割T ，取每个△i 上的介点ξi ，使F(ξi )=0，就有iix △)f(ξ∑=0，∴⎰baF =in1i iT x △)F(ξlim∑=→=0.又对任意T ，和每个△i 上的任意一点ξi ’，有iix △)ξg(∑'=iiix △)]ξf(-)ξ[g(∑''+iix △)ξf(∑'=iix △)ξF(∑'+iix △)ξf(∑'.由F,f 在[a,b]上可积，令║T ║→0，等式右边两式极限都存在， ∴等式左边的极限也存在，即g 在[a,b]上可积，且⎰ba g =⎰ba F +⎰ba f =⎰ba f .4、设f 在[a,b]上有界，{a n }⊂[a,b]，∞→n lim a n =c. 证明：若f 在[a,b]上只有a n (n=1,2,…)为其间断点，则f 在[a,b]上可积. 证：设c ∈(a,b)，f 在[a,b]上的振幅为ω，任给ε>0(4ωε<min{c-a,b-c})， 由∞→n lim a n =c 知存在N ，使得n>N 时，a n ∈U(c,4ωε)，从而 在[a,c-4ωε]∪[c+4ωε,b]上至多只有有限个间断点，即 存在[a,c-4ωε],[c+4ωε,b]上的分割T ’, T ”使得∑'''T i i x △ω<4ε, ∑''''''T i i x △ω<4ε. 记T 为T ’, T ”的所有分点并添上点c-4ωε, c+4ωε作为[a,b]上的分割，则 ∑Ti i x △ω≤∑'''T i i x △ω+ω(c+4ωε-c+4ωε)+∑''''''T i i x △ω<4ε+2ε+4ε=ε. 得证。
瑕积分的dirichlet判别法
瑕积分的Dirichlet 判别法一、引言Dirichlet 判别法是数学分析中一个重要的判别法，它被广泛应用于研究函数的性质和收敛性。
其中，瑕积分是一类特殊的积分，它在实际问题中具有重要的应用价值。
本文将详细介绍瑕积分的Dirichlet 判别法，探讨其原理和应用。
二、瑕积分的定义和性质2.1 瑕积分的定义瑕积分是指在某些点上函数值无界，从而导致积分无法直接计算的情况。
设函数f(x)在[a,b)上有界，除了有限个点x1,x2,…,xn 处发散外，在[a,b)上可积。
若函数在每个发散点xi 处的极限存在，且非无穷大，则称瑕积分∫f ba (x )dx收敛。
否则，称瑕积分发散。
2.2 瑕积分的性质瑕积分具有以下性质：1. 瑕积分的线性性质：若瑕积分∫f b a (x )dx 和∫g ba (x )dx 都收敛，则∫(αf (x )+βg (x ))b a dx 也收敛，其中α和β为常数。
2. 瑕积分的绝对收敛性：若瑕积分∫|f (x )|b a dx 收敛，则瑕积分∫f b a (x )dx 也收敛。
三、Dirichlet 判别法的原理Dirichlet 判别法是通过构造适当的函数序列，利用瑕积分的性质来判断瑕积分的收敛性。
其基本思想是寻找一个递减的正数列{a n }和一个函数序列{u n (x )}，使得对于任意正数N ，存在常数M ，使得对于任意n 和x∈[a,b)，有|u_n(x)|≤M 且∫u n b a (x )dx ≤M/N 。
如果函数序列{u n(x)}满足上述条件，且满足以下两个条件之一，则瑕积分(x)dx收敛：∫f ba1.函数序列{u n(x)}一致有界，即存在常数M，使得对于任意n和x∈[a,b)，有|u_n(x)|≤M。
2.函数序列{u n(x)}一致收敛于0，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得对于任意n>N和x∈[a,b)，有|u_n(x)|<ε。
四、Dirichlet判别法的应用Dirichlet判别法在实际问题中具有广泛的应用。
函数的原函数与函数的可积性
函数的原函数与函数的可积性
在高等数学中，原函数的概念和定积分的概念虽建立的背景不同，但通过微积分基本公式的建立却将两者有机的结合起来。
与此同时，在学习过程中，许多学生会认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两个结论是不正确的.本文结合具体例子，来讨论原函数存在性与可积性之间并没有必然联系。
函数可积：可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。
原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。
此条件为充分条件，而非必要条件。
即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。
由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。
需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。
一、在区间上可积的函数不一定存在原函数
【例1】设函数，则显然在上可积，
但是由于在点处间断，且是第一类间断点，所以在上不存在原函数。
二、在区间上存在原函数的函数不一定可积
【例2】设函数，则易知
在区间有原函数；但是由于在区间上无界，故在此区间上不可积。
通过上述两个例题的讨论，不难发现，函数的可积性和原函数存在性，是两个不同的概念，它们互不蕴含.即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；反过来，原函数存在的函数，可能可积也可能不可积.因此在学习中只有理解概念之间的内在关系，才能从本质上真正把握高等数学中的概念，乃至深刻理解微积分的思想。
2018年下半年教师资格证国考笔试真题(科目三)高中数学真题
2018年下半年高中数学教师资格证考试真题及解析一、单选题1.与向量()2,3,1=a 平行的平面是（）A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=3 2.201cos lim x x x →-的值是（） A.0B.12C.1D.∞ 3.函数f （x ）在[a ，b]上黎曼可积的必要条件是f （x ）在[a ，b]上（）A.可微B.连续C.不连续点个数有限D.有界4.定积分a a -⎰（a ＞0，b ＞0）的值是（） A.ab π B.2abπ C.3abπ D.4abπ5.与向量()1,0,1=α，()1,1,0=β线性无关的向量是（）A.（2,1,1）B.（3,2,1）C.（1,2,1）D.（3,1,2）6.设f （x ）=acosx+bsinx 是R 到R 的函数，V=()(){}|cos sin ,,f x f x a x b x a b R =+∈是线性空间，则V 的维数是（）A.1B.2C.3D.∞7.在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）A.B.了解C.掌握D.知道8.命题p 的逆命题和命题p 的否命题的关系是（）A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不确定二、简答题9.求函数f （x ）=3cosx+4sinx 的一阶导数为0的点。
10.设2152D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭表示x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在D 作用下的象，若x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足方程xy=1，求x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭满足的方程。
11.设f （x ）是[0，1]上的可导函数，且()f x '有界。
证明：存在M ＞0，使得对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，有()()1212f x f x M x x -≤-。
12.简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。
13.2a b +≤（a ，b ≥0）的一种几何解释，并说明几何解释对学生数学学习的作用。
D微积分基本定理
又
f 2 (0)
0
f (t)
sin t
dt 0 得 f (0) 0
0 2 cos t
故
f (x) 1 ln(2 cos x) 1 ln 3
2
2
注 上述方程称为积分方程. 上面的方法是处理第1积9页分/共2方0页程重要的方法
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例求 解令
则 是连续函数，故
故上述极限是
0 0
型，故
原式 lim ecos2 x( sin x) 1
x0
2x
2e
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例 确定常数 a , b , c 的值, 使
解
令
则 是连续函数，故
其中 介于0与b之间。
故
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说明 目录 上页 下页 返回 结束
x a
f
(t) dt
F(x)
F (a)
F (t )
x a
证明 法一：由定理4.1.2立即可得。
法二：
注意到 x a
f (t) dt
与
F ( x)
均是
f (x)在[a , b]
原函数，故
x f (t) dt F (x) C, 注意到
a
a
f (t) dt 0,
a
可得
C F(a).
故
x a
f
(t) dt
F(x) C
F(x) F(a)
F (t )
x a
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注 （1）
f
(
)(b
a)
b
a
f
(x)
dx
可积准则1
o
k
x[ x ', xk ]
x
x
x
k 1
x
k
显然，m m' , m m' '
k k k
k
小和s(T )在区间 [ x , x ]的项是m ( x x ).
k 1 k k k k 1
小和s(T ' )在区间 [ x , x ]的项是两项和
k 1 k
同法可证s(T ' ) S (T ).
性质5. 对 [a, b] 的一个分法 T ，小和的上确界不 {s(T )} inf { S ( T )} 超过大和的下确界，即 sup T T
{s(T )}有上界. 证明： 根据性质4, 任意分法T的小和集合
(任意一个大和皆是它的 上界.s(T ) S (T ' )、s(T ' ) S (T ))
n n n
a b c
n n
则 lim b l
n n
0
n
且 lim a lim c l
n n n n
定理7 (函数的两边夹定理)P107
若x U (a), 有f ( x) g ( x) h( x) 且 lim f ( x) lim h( x) b
xa xa
0 T 0 T
通常称 I 为f在[a, b]上的下积分，称 I 为f在[a, b]上的上积分 .
0 0
证明： 将[a, b]的两个分法T与T '的分点放在一起， 构成[a, b]的一个新分法T ' '. T ' ' T T ' T 'T
13、习题解答 第9章第3节-3页 文字版
T
i xi
0
T*
i xi
T*
i xi
. 22
这里0 为 f (x) 在[a, a ] 上的振幅。由可积准则知，在 f (x) 上[a,b] 可积。
5．证明：若 f (x) 在 上有界,则 sup f (x) inf f (x) sup f (x) f (x) .
x
，使当 n
N
时，
an [a, a ]
从而 f (x) 在[a ,b] 上至多只有有限个间断点，由定理 9.5 知 f (x) 在[a ,b] 上可积，
再由可积准则，存在[a ,b] 上的分割T * ，使
T*
i xi
2
.
把[a, a ] 与T * 合并，就构成[a,b] 的一个分割T ，则
f
(c)
，则
T
， i ，有
g(i )xi f (i )xi g(i ) f (i ) xi
T
T
T
T
T
g(i )
f (i )
T
g(c) f (c)
2
于是
g(i )xi I g(i )xi f (i )xi f (i )xi I
T
T
T
T
22
b
b
这就证明了 g(x) 在[a,b] 可积，且 g(x)dx I f (x)dx .
2．证明：若 f (x) 在[a,b] 上可积,[ , ] [a,b] ,则 f (x) 在[, ]上也可积.
【证】已知 f (x) 在[a,b] 上可积，故任给 0 ，存在对[a,b] 的某分割T ，使得
ixi
T
在T 上增加两个分点 , ，得到加细分割T ，由上题结论
证明函数在某个点可积
证明函数在某个点可积在数学中，可积性是一个非常重要的概念。
一个函数在某个点可积，意味着它在该点处存在一个有限的积分值。
那么，如何证明一个函数在某个点可积呢？本文将从定积分和黎曼可积性两个方面进行探讨。
一、定积分定积分是求解函数在某个区间上的积分值的方法。
如果一个函数在某个点可积，那么它在该点处的积分值应该是有限的。
因此，我们可以通过计算该点左右两侧的定积分来判断函数在该点是否可积。
假设函数$f(x)$在$x=a$处可积，那么它在该点左侧的定积分为：$$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$$右侧的定积分为：$$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$$如果这两个积分值都是有限的，那么$f(x)$在$x=a$处可积。
否则，它在该点处不可积。
二、黎曼可积性黎曼可积性是指一个函数在某个区间上的积分是否存在的判定方法。
如果一个函数在某个区间上黎曼可积，那么它在该区间上的积分值应该是有限的。
因此，我们可以通过判断该函数在该区间上是否满足黎曼可积性来判断它在某个点是否可积。
黎曼可积性的判定方法有很多种，其中最常用的是黎曼判别法。
该方法的基本思想是将区间分成若干个小区间，然后计算每个小区间上的上积分和下积分。
如果它们的差值趋近于0，那么该函数在该区间上黎曼可积。
假设函数$f(x)$在$x=a$处可积，那么我们可以将区间$[a-\epsilon,a+\epsilon]$分成若干个小区间，然后计算每个小区间上的上积分和下积分。
如果它们的差值趋近于0，那么$f(x)$在$x=a$处可积。
否则，它在该点处不可积。
综上所述，证明一个函数在某个点可积需要从定积分和黎曼可积性两个方面进行探讨。
通过计算该点左右两侧的定积分和判断该函数在该区间上是否满足黎曼可积性，我们可以得出结论：该函数在该点处是否可积。
9-3 可积条件
因此当 [a ,b] 上的分割 T 满足 T 时,
i Mi mi
sup{ f ( x) f ( x) ，x, x[ xi1, xi ] }
,
ba
从而
n
i Δxi
i 1
ba
n
Δxi
i 1
.
定理9.5（有限个间断点的有界函数必可积） 若f 在 [a, b] 上有界，且只有有限多个间断点，则
n
n
于是 i f ( xi ) f ( xi1) f (b) f (a) .
i 1
i 1
因此,若 T
,则
f (b) f (a)
n
n
iΔ xi T i
i 1
i 1
f (b) f (a) .
f (b) f (a)
§3 可积条件
定理9.2 (可积必有界） 若函数 f 在 [a ,b] 上可积，则 f 在[a ,b] 上必有界. 注：有界性并不是可积的充分条件，即有界函数 未必可积.
定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
条件是： 0, 分割 T ,使 S(T ) s(T ) .
称 i Mimi (i 1, 2, n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
定理9.3’ 函数 f 在[a, b]上可积的充要条件是：
0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, n;