解直角三角形2
解直角三角形应用(2)
A
N
60˚ B
D
C
“云娜”台风中心从我县 （看成点 A）的正东方向 300km 的B 处以 每小时 25km 的速度正面袭击我县，距 台风中心 250km 的范围内均受台风的影 响 . 我县遭到了严重的影响，那么影响 北 时间有多长？
怎样解答
东
“云娜” 台风中心从我县的正东方 60 30 度方向移动， 向300km处向北偏西 其他数据不变，请问此时，我县会受 到台风影响吗？若受影响，则影响的 时间有多长？ C 30° A B E
30
20m
A
D
北
南
?m
B C
小华又想:如果要使北楼实验室内的 同学在室内也能惬意地享受阳光,已 知窗台距地面1米,那么两楼应至少 相距多少米?
30
20m
A
D
南 F
B
北 E
?m
C
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘 货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方 向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向， 货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
M
A
F
C E
240 30°
B
如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修 筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P 在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已 知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形 区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 . 为什么？ P
C · D ·
60°
A
B
例2.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙
尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向 240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙 尘暴中心150km的范围为受影响区域。 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
7.5 解直角三角形 课件2(苏科版九年级下)
A
45°
C
60° D B
练一练:在某市旧城改造的某一项目中，要将如图 所示的一棵没有观赏价值的树放倒，栽上白玉兰。 在操作过程中，师傅甲要直接把树放倒，师傅乙不 同意，他担心这样会损害这棵树周围4.5米处的花 草和动物雕塑。请你根据图中标注的测量数据，通 过计算说明：师傅乙的担心是否必要？ （计算结果精确到0.1m）
视线
铅 直 线
仰角 俯角
视线 水平线
如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两 幢楼的高，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处 测得乙楼顶部C的仰角α=300，测得乙楼底 部D的俯角β=450，已知甲乙两楼间的距离 BD=30米，求乙楼的高度。 C
A
α
β
D
B
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆30米 的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角 a＝30°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
小华去实验楼做实验, 两幢实 验楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离 BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
AA
20m
D30 ° 30南来自FF15m北 E E
15m
B
C
小华想:若设计时要求北楼的采光, 不受南楼的影响,请问楼间距BC长至 少应为多少米?
如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两 幢楼的高，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处 测得乙楼顶部C的仰角α=300，测得乙楼底 部D的俯角β=450，已知甲乙两楼间的距离 BD=30米，求乙楼的高度。 C
A
B
D
在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与 水平线的夹角叫做俯角.
1.4解直角三角形(2)
3.如图3,一灯柱AB被一钢缆CD固定. CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再 在CD上方2m处加固另一根钢缆ED, 那么,钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.01m).源自C图2图3
在直角三角形BCD和直角三角形 BED中，
点拔（10分钟）
h 坡度 i tan l
东
一.坡度（坡比）、坡角 如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）
在直角三角形ACD和直角三角形 BCD中，
7.（2012湖北黄冈）新星小学门口有一直线马路，为方便 学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马 线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端 的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯 刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为 ∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为 0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、 D、C、B 四点在平行于斑马线的同一直线上.)
当堂训练（15分钟）
2 x 5.（2010 四川南充）如果方程 4 x 3 0 的两个根分
别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，那 1 2 或 么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 3 4 6.（2011山东）校车安全是近几年社会关注的重大问题， 安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计 了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路l 旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与 l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、 B，使∠CAD=30°，∠CBD =60° (1)求AB的长（精确到0.1米， 参考数据： 3 1.73 ， 2 1.41 ）； (2)已知本路段对校车限速为 40千米/小时，若测得某辆校车从 A到B用时2秒，这辆校车是否超 速？说明理由.
沪教版(上海)数学九年级第一学期2解直角三角形课件
的红地毯问题.（结果保留整数）
解：
l 2 2 cot 36
2米2 2.754. Nhomakorabea536
5.
答:至少要买宽度一定的红地毯长5米. 如果计算结果是5.10米，实际应该买多少米呢？
6米
再见
例题2：在△ABC中，AB= 6 2 ，BC=8，∠B=45°,
求边AC的长度．
一定要有将特殊锐角化归直 角三角形的解题思想.
3、思考：在一般的三角形中，能否由适当的已知元素 求出未知的元素呢？
可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计 算问题. 就是要把握好转化的技能——通过添加辅助线构建 直角三角形来解决问题.
a、b、c、∠A、∠B这五个元素
间有哪些等量关系呢？
锐角之间的关系：
B
三边之间的关系： c
a
边角之间的关系：
A bC
Rt△ABC中，∠C=900，
B
(1)两锐角互余 ： ∠A＋∠B＝90°
c
a
(2)三边满足勾股定理：
a2＋b2＝c2
A
b
C
(3)边与角关系：
sinA＝cosB＝ a
c
tanA＝cotB＝ a
假设某一同学现在站在操场上任意一位置C处， 用皮尺测出C点到旗杆底B的距离BC=10米；在C点用 测角仪(测出看旗杆顶A的倾斜角 ∠C=30度 。你能根 据以上数据求出旗杆AB的高度吗？
A
A
画出示意图
30°
C
10米
B
30°
C
30
B
（1）在三角形中共有几个元素？
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，
通过本节课的学习，你有哪些收获？我们一起分享吧！
九年级：解直角三角形(2)
解直角三角形（2）1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．参考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．A、B、C、D四个朋友一起去郊外探险，途径一条小河的时候，被挡住了去路，他们找了许久，才看到附近有一座破旧的小木桥。
河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学数学 第28章 解直角三角形课件2 (新人教版九年级下)
160 3 120 3.8小时内卸完 40
2.如图所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场 上空，已知气球的半径为2m，在地面A点测得气球中心O的 仰角为60°，测得气球的视角 ∠BAC=2°(B、C是⊙O上的点, 且OB⊥AB,OC⊥AC)，则气球 B 中心O离地面的高度OD为( C ) o (sin 1°=0.0175， 3 1.732 结果精确到1m) C A.94m B.95m C.99m D.105m
解直角三角形的依据
三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系
边角之间的关系 sinA＝ a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
c
cosA＝ b c b cotA＝ a
Ａ
c
a
a tanA＝ b
b
Ｃ
运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关 的问题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域. 在测量时,须掌握仰角和俯角;方向角的概念.
在Rt⊿BCD中，CD=BD· tan∠CBD
=X· tan600= 3x 在Rt⊿ACD中，AD=CD· cot∠DAC A =
0= · cot45 3x
450 600
B
D
∵AD-BD=AB=20,即：3x x 20 x 10 10 3 ∴气球离地面的高度为： (30 10 3 )m
3 20 3 3 3
∴BC=AC· tanA=20· tan300=20× 而: CE=AF=1.5
20 3 1 .5 （ m） 3
∴ 旗杆高BE=
（二）你行吗? 【例1】天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C 的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知 AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面 C 的高度?(结果保留根号） 解：作CD⊥AB，垂足为D。设BD=x
2025年北师大版九年级下册数学第1章专题2 解直角三角形的六种常见类型
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专题
9. 如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°， 求AD，CD的长.
专题
【解】如图，过点 B 分别作 BE⊥AD 于点 E， BF⊥CD 于点 F. 又∵AD⊥CD，∴易得四边形 BEDF 为矩形． 则 ED＝BF，FD＝BE. 在 Rt△ AEB 中，∠AEB＝90°，∠A＝30°，AB＝10. ∴BE＝12AB＝5.∴FD＝BE＝5，AE＝ 3BE＝5 3.
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专题
3. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，BC＝8 5，∠ABC 的 平分线 BD＝136 15，求 AB 和∠DBC 的度数.
专题
【解】在 Rt△ BCD 中，BC＝8 5，BD＝136 15，
∴cos∠DBC＝BBDC＝186 35＝Βιβλιοθήκη 1523.∴∠DBC＝30°.
又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.
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专题
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为 ∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形. 【解】∵在 Rt△ ABC 中，∠B＝45°，∠C＝90°， ∴∠A＝45°＝∠B.∴a＝b. 又∵c＝10，∴易得 a＝b＝5 2.
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专题
7. 如图，已知在△ ABD 中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4， cos∠ABC＝45，BF 为 AD 边上的中线.
人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用2》教学设计
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高解决实际问题的自信心。
3.培养学生运用数学知识为社会服务的意识，增强社会责任感。
4.培养学生遵循科学规律，严谨治学的精神，为将来的学习和工作打下坚实基础。
针对以上情况，教师在本章节的教学中，应注重以下方面：一是通过生动的实例，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高其识别和应用能力；二是设计富有层次的练习题，让学生在反复练习中熟练掌握三角函数的运用；三是结合生活情境，培养学生的数学应用意识，使其能够将所学知识灵活运用于解决实际问题。通过这样的教学策略，有助于提高学生对本章节知识的掌握程度，为未来的学习和生活打下坚实基础。
作业布置要求：
1.学生需认真完成作业，确保作业质量，提高解题能力。
2.小组合作作业要充分发挥团队作用，注重分工与协作，共同解决问题。
3.总结反思要真实、有深度，体现学生对知识的理解和运用。
4.教师将对作业进行详细批改，给予评价和指导，帮助学生发现不足，提高学习效果。
人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用2》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及特性，能准确判断给定三角形是否为直角三角形。
2.掌握运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、确定物体的高度等。
3.学会使用三角函数（正弦、余弦、正切）解决直角三角形中的角度问题，并能应用于实际情境。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握解直角三角形的方法，包括勾股定理和三角函数的运用。
1.3 解直角三角形(2)
S= ab sina
探究活动
如图, ABC中 ∠A为锐角 为锐角,sina= 如图, △在ABC中, ∠A为锐角,sina= 2 , AB+AC=6cm,设AC=xcm, △ABC的面积为ycm . AB+AC=6cm,设 ABC的面积为ycm 的面积为 (1)求 关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; C (2)何时 ABC的面积最大 最大面积为多少? 何时△ 的面积最大, (2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
i1＝1∶3 ∶ i2=1∶2.5 ∶
E F
如图所示，某水库大坝的横断面 如图所示， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 斜坡AB的坡度为 的坡度为1 现要加高2m， 斜坡AB的坡度为1：2．现要加高2m， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 加高一条长为50 m的大坝 的大坝， 加高一条长为50 m的大坝，需要多少 土方? 土方?
水平面的夹角叫做坡角， 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记 作a，有 ， h tan a＝ ＝ｉ.
l
铅垂 高水平长度
坡角
显然，坡度越大，坡角 就越大 坡面就越陡. 就越大， 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡
一水库大坝的横断面为梯形ABCD， ， 一水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽6米 斜坡CD 坝顶宽 米，斜坡 长为60米，斜坡 的 米 斜坡AB的 坡度i 的坡度i ∶ 求 坡度 1＝1∶3，斜坡 的坡度 2=1∶2.5.求： ∶ ，斜坡CD的坡度 的坡角与坝底AD的宽度 （1）斜坡 的坡角与坝底 的宽度；(长 ）斜坡CD的坡角与坝底 的宽度； 长 度精确到0.1米 度精确到 米） 若堤坝长150米 。 问建造这个堤坝需用 （ 2)若堤坝长 若堤坝长 米 多少土石方(精确到 立方米)？ 精确到1立方米 多少土石方 精确到 立方米 ？
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形第二课时利用仰角和俯角解直角三角形说课稿
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析、归纳，自主发现直角三角形中边角关系的规律，培养学生的探究能力。
3.互动讨论法：组织学生进行小组讨论，通过生生互动，促进学生之间的交流与合作，共同解决问题。
4.实践应用法：通过设计实际测量问题，让学生在实践中运用所学知识，提高学生的应用能力。
选择这些方法的理论依据是，情境创设法能够激发学生的学习兴趣，引导发现法能够培养学生的探究能力和思维能力，互动讨论法能够促进学生之间的交流与合作，实践应用法则能够将理论知识与实际相结合，提高学生的实际应用能力。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.通过引入生活中的实际例子，如测量高楼的高度、观察物体的俯仰角度等，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性。
2.设计互动性强的小组讨论和实践活动，让学生在合作中学习，通过解决问题来体验成功的喜悦。
3.创设竞争性的学习环，如课堂小测验、解题比赛等，激发学生的好胜心，提高学习积极性。
3.教师反馈：对学生的表现和作业进行点评，指出优点和需要改进的地方，并提供具体的建议。
（五）作业布置
课后作业的布置情况如下：
1.布置一些与仰角和俯角相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，以巩固课堂所学知识。
2.设计一个实际测量项目，让学生在课后进行实际操作，测量某个物体的高度，并将过程和结果写成报告。
1.创设情境：通过展示一张城市天际线的图片，引导学生观察并提问：“你们注意到建筑物的角度了吗？我们如何测量这些高度？”
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怀铁二中九年级数学学科导学案
课题：根与系数的关系 主备人： 胡旻 课时： 1 学案编号： 1
班级：139、140 小组： 姓名：
导学流程：
1.明确目标(1-3分钟)
2.自主预习(7-10)
3合作探究展示 (20-25)
4.反馈检测 (5-10)
5.总结反思(2)
【学习目标】
1、知识教学点：使学生了解仰角、俯角的概念，根据直角三角形的知识解决实际问题．
2、能力训练点：逐步培养分析问题、解决问题的能力．
3、德育渗透点：培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
【重难点预测】
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【自主预习】
方向角
指北或指南方向与
目标方向所成的小
于90°的角叫做方
向角，途中点A的方
向角为北偏东60°
仰角、俯角
当我们进行测量时，
在视线与水平线所
成的角中，视线在水
平线上方的角叫做
仰角，在水平线下方
的角叫做俯角．
【反馈检测】
【合作探究展示】
例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶
部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热
气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结
果精确到0.1m)?
例2 海岛A周围10海里有暗礁，现有货船由西向
东航行，开始在A南偏西60°，往该岛东行驶20海
里到达该岛南偏西30°的C处，继续航行是否有危
险
1．如图4－3－19，从热气球C处测得地面A、B两
点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求A、B两点的距离是 2 小明从河岸A处游乐100m到达对岸的B处，测得B在A的南偏西60°的方向上，求河宽。 3 如图，李军在A处测得风筝(C处)的仰角为30°，同时在A处正对着风筝方向距A处30米的B处，
李明测得风筝的仰角为60°.求风筝此时的高度
(结果保留根号)．
【总结反思】
在本堂课中，主要面临的问题是把现实生活中的
问题转化成数学模型，转换到直角三角形中，在习
题中要引导学生分析、归纳。