证明全概率公式
2条件概率、概率的公理化定义、全概率公式(文科)
A B P A P B P AB P A B P A B AB P A P B P AB
概率在此公理化定义下，有如下运算性质
推广——
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
B 的出现与 A 和 A 均有关，所以把 B 分解为 A B + A B
去解决问题。
全概率公式
定理 设
A1 , A2 ,... An 构成一个完备事件组，且诸 P Ai 0,
n
则对任一随机事件 B ，有
P B P Ai P B Ai
i 1
（全概率公式）
条件概率
例2 袋中有16个球，颜色与材料如下表所示 木质球 红球 兰球 2 4 玻璃球 3 7
现从中任意摸取一个球，若已知摸到的是红球，那么这红球是木 质球的概率是多少？
条件概率的定义：
设A、B为同一随机试验的两个事件，且 P(A)>0,P(B)>0，则称
PB A
P AB
其中男同学GG请的第三个舞伴还不是女同学的概率。
例3 在一个化妆舞会上，有 20 个男同学，10 个女同学，试问：
解：“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于“第一、第二、 第三次请的都是男同学”。
设 Ai 表示“第i 次请的是男同学”。 则所求事件的概率是：
凡事不过三
P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 19 18 17 0.265 29 28 27
n
（贝叶斯公式）
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
全概率公式例子
全概率公式例子一、全概率公式例1.19盒中5个球，其中3个白球2个黑球,每次取一个,无放回的依次取两次。
求第二次取到白球的概率。
解令“第一次取到白球”，=“第一次取到黑球”，=“第二次取到白球”，显然，，则从而一般地有，如下全概率公式：定理1.2设是两两互不相容的事件，并且，，。
则对任一事件Ｂ，都有＝（1.9）证明由定理条件知：再由可加性知：由条件概率得：。
□注：（1）满足定理条件的事件组通常称为完备事件组，也称为基本事件空间的一个分割。
（2）全概率公式中的条件改为也成立。
例1.20某商店从甲、乙工厂分别购进30箱、20箱同一种产品，甲厂的每箱装100个零件，乙厂的每箱装120个零件，又知甲厂产品废品率是0.06，乙厂产品废品率是0.05，求：（1）任取一箱，再从中任取一件为废品的概率；（2）若将所有产品开箱混放，从中任取一件为废品的概率。
解（1）令=“任取一箱是甲厂的”=“任取一箱是乙厂的”“再从中任取一件为废品”显然，，由全概率公式得（2）令=“任取一件是甲厂的”=“任取一件是乙厂的”“任取一件为废品”显然，，由全概率公式得二、贝叶斯公式例1.21在例1.19中，如果发现第二次取到白球，问第一次取到白球的概率是多大？这时，就是要求条件概率：一般的，有如下贝叶斯公式（也称逆概率公式）：定理1.3设是两两互不相容的事件，并且，，，则对任一事件Ｂ且，都有（1.10）例1.22某厂甲、乙、丙三车间生产同一产品，其产量依次占全厂的45%、35%、20%，各车间的次品率依次为0.02、0.04、0.05。
（1）求该厂产品的次品率；（2）现从该厂产品中任取一件发现它是次品，问它最可能是哪个车间生产的。
解令分别表示任取一件是甲、乙、丙车间生产的；表示“任取一件发现它是次品”。
显然为完备事件组。
已知，，，，，。
（1）由全概率公式得＝（2）由逆概率公式得同理可求因此，它最可能是乙车间生产的。
叙述并证明全概率公式
叙述并证明全概率公式叙述并证明全概率公式全概率公式（total probability theorem）是概率论中非常重要的定理，它对多变量的概率分布有深刻的见解。
它提供了计算多变量概率分布中特定事件发生的概率的方法，并且极大地拓宽了概率论的应用范围。
全概率公式可以表达为：P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)其中，P(A)表示实验A的概率；P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示事件B1、B2、…、Bn的概率；P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)表示在B1、B2、…、Bn条件下A发生的概率。
其下面给出全概率公式的证明：首先，考虑一个实验A，该实验由事件B1、B2、…、Bn共同组成，且可以互斥，即B1∩B2=，B2∩B3=，…，Bn-1∩Bn=。
在这些互斥的情况下，可以将实验A分解为n个互斥的子实验，即A=B1∪B2∪…∪Bn。
根据概率论的基本定理，有：P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)又设在B1、B2、…、Bn情况下A发生的概率分别为P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)，可得：P(A∩B1)=P(A∣B1)P(B1)P(A∩B2)=P(A∣B2)P(B2)……………………P(A∩Bn)=P(A∣Bn)P(Bn)根据实验A=B1∪B2∪…∪Bn，又有：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)因此，将上面的两式相结合，可以得到全概率公式：P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)从而证明了全概率公式的正确性。
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
概率论与数理统计 第四节 全概率公式与贝叶斯公式
一、概率公式
二、贝叶斯公式
——贝叶斯公式 贝叶斯公式
二、贝叶斯公式
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析 三、例题分析
练习1 设某光学仪器厂制造的透镜, 练习1 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下 时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破 第二次 若第一次落下未打破, 时打破的概率为 若第一次落下未打破 落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破 第 若前两次落下未打破, 落下打破的概率为 三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 三次落下打破的概率为 试求透镜落下三次而 未打破的概率. 未打破的概率. 解 以Ai ( i = 1,2,3)表示事件" 透镜第 i 次落下打破" , 表示事件“透镜落下三次而未打破” 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
P( B) = ∑ P( Ai ) P( B Ai )
3 3 1 3 1 3 3 C9 C6 C92C6 C7 C9C62 C83 C6 C9 = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = ... C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15
i =1 4
因为 B = A1 A2 A3 ,
所以
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
练习3 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 15个乒乓球 练习3 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 在第一次比赛时任意取出三个球， 在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球， 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第 二次取出的三个球均为新球的概率。 二次取出的三个球均为新球的概率。 解 设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2 设第一次取出的球为“ 新 新 旧 新 “3旧”分别为事件 、A2、A3、A4；“第二次取 旧 分别为事件A1、 、 、 ； 出三个新球”为事件B， 出三个新球”为事件 ，则
高中数学 全概率公式
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
——求和符号
二、探读与思考
n
P( Ai ) 1
i 1
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,
且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有
P(B)= =
P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P(An )P(B | An ) .
由贝叶斯公式得
P(A|B)＝PAPPBB |A＝00..8858×7 51≈0.958.
堂 21 小 结
1.设事件 2.写概率 3.代公式
条件概率 P(B|A)＝PAB―→乘法公式 P(AB)＝P(A)P(B|A) PA
↓
全概率公式 由因求果
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋…＋P(BAn) 加法公式
易知, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，
且两两互斥，
A4 0.4
四、引导与迁移
由因求果
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概
率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到
的概率分别为
由已知得
0.25,0.3,0.1,0.2,
我们称该式为概率的乘法公式.
回顾旧知
1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是145,刮风的概率为125,既刮
风又下雨的概率为 1 ,则在下雨天里,刮风的概率为( C ) 10
A.2825
B.12
C.38
D.34
条件概率
1
解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
7.1.2全概率公式课件(人教版)
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产
的可能性大？
学习目标
新课讲授
课堂总结
解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由
甲、乙、丙厂生产”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，
(1)由全概率公式得：
3
P ( A) P Bi P A∣ Bi
i 1
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，
学习目标
新课讲授
课堂总结
(2)由贝叶斯公式得
P B1 P A∣ B1 0.2 0.95
贝叶斯公式：设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有
P Ai P( B | Ai )
P Ai P( B | Ai )
P( Ai | B)
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, i 1, 2,, n.
设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0，
i=1，2，...，n，则对任意的事件 ⊆ ，求事件B的概率P(B).
学习目标
课堂总结
新课讲授
概念生成
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件 ⊆ ，有
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。