2021-2022学年北师大版九年级数学上册正方形的性质习题含答案

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北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为( )A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为( )A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD 的面积为.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.参考答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为(B)A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF在△ABE与△ADF中{AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为(A)A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为(D)A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3+1.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面积为50.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解析】略【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.。

北师大版九年级数学上册 1.3正方形的性质与判定同步练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(C)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是正方形C ．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线相等的矩形是正方形2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是(D)A ．BC ＝ACB ．BD ＝DFC ．CF ⊥BFD ．AC ＝BF3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，则AC 的长是(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．24.如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是(C)A ．4B ．2C ．1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC 与BD 相交于点E ，P 为BC 上一点，点P 坐标为(a ，b)，则点P 绕点E 顺时针旋转90°得到的对应点P ′的坐标是(D)A ．(a －b ，a)B ．(b ，a)C ．(a －b ，0)D ．(b ，0)二、填空题 6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BFC ＝60°.7．如图，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，BE ＝BA ，则∠ACE ＝22.5°．8．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是3和4，则正方形ABCD 的面积是25．9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14．三、解答题10.如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE.∴四边形BECF 是正方形．11.如图，点M ，N 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 与BN 交于点P ，试探索AM 与BN 的关系．(1)数量关系AM ＝BN ，并证明；(2)位置关系AM ⊥BN ，并证明．解：(1)AM ＝BN.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠BCN ＝90°，AB ＝BC.在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS)．∴AM ＝BN.(2)AM ⊥BN.证明如下：∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠NBC.∵∠NBC ＋∠ABN ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABN ＝90°.∴∠APB ＝90°.∴AM ⊥BN.12.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°.∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°.∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°.∴△AEB ≌△AFD(AAS)．∴AB ＝AD.∴矩形ABCD 是正方形．13.已知：如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，求证：AP ＝EF.证明：连接PC.∵ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBP ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∴四边形PFCE 是矩形．∴EF ＝PC.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴AP ＝CP.∴AP ＝EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB.过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OB ＝OA.又∵AM ⊥BE ，∴∠BEO ＋∠MAE ＝∠AFO ＋∠MAE ＝90°.∴∠BEO ＝∠AFO.∴△BOE ≌△AOF(AAS)．∴OE ＝OF.15.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ＝OF ＝OE ＝12BC ，OE ∥BC. 在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)可得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB.∴∠AEO ＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．16.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.求证：OM ＝ON.证明：∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，OA ＝OB.∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BON ，OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，∴△AOM ≌△BON(ASA)．∴OM ＝ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE ； (2)连接BF ，求证：AB ＝FB.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝∠CDE ＋∠ADF ＝90°.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．(2)延长DE 交AB 的延长线于点H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB.∴B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴在Rt △AFH 中，BF ＝12AH ＝AB. 18.如图1，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E.(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)如图2，连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝45°时，求证：四边形ACED 是正方形．图1 图2证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E.∵O 是CD 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ，DO ＝CO ，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形形ACED是正方形．19.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断BG与DE的关系； (2)当AB＝3，CE＝2时，求BE2＋DG2的值．解：(1)延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形．∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°.∴Rt△BCG≌Rt△DCE(SAS)．∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC.∵∠BGC＋∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH＋∠EDC＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BG⊥DE.∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝DC＝3.∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE＝2.∴DG＝DC－CG＝3－2＝1.∴BE 2＋DG 2＝25＋1＝26.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，CF 平分∠DCH ，∴∠BME ＝∠FCH ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∵∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，E 是对角线AC 上一点，且EB ＝ED.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DE ＝EC ＝26，AD ＝43，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AE ，ED ＝EB ，∴△ADE ≌△ABE(SSS)．∴∠AED ＝∠AEB ，∠DAC ＝∠BAC.在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC(SAS)．∴DC ＝BC.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠ACB ＝∠BAC.∴AB ＝BC.∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵DE ＝EC ＝26，AD ＝43，∴DE 2＋EC 2＝AD 2＝CD 2.∴∠DEC ＝90°.∴∠DCE ＝∠EDC ＝45°.∵△ADC ≌△ABC ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°.∴∠DCB ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形．22.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.23．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：△AEH ≌△CGF ；(2)若∠EFG ＝90°，求证：四边形EFGH 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C.在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠C ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D.∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF.∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF ＝HG.又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF.∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EH ∥FG.∴∠HEG ＝∠FGE.∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG.∴∠FGE ＝∠FEG.∴EF ＝GF.又∵∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．24.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA ⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠NAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠NAD.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠NAD ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS)．∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS)．∴GM ＝MN.在Rt △GBM 中，GM 2＝GB 2＋BM 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F.(1)如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点G 在BC 延长线上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．解：(1)AF ＝EF ＋BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.(2)AF ＋EF ＝BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＋EF ＝AE ＝BF.(3)AF ＋BF ＝EF.。

北师大版九年级数学上册正方形的性质

1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质一、填空题1．正方形的一边长5cm，则周长为cm，面积为cm22．E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠ABE＝3．E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE＝4．正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于cm5．正方形有条对称轴。

6．如图（1），在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝(1) (2)7．如图(2)，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝8．F是正方形ABCD的对角线AC上一点，AF＝AD，FG⊥AC于F，交CD于G，那么∠DFG＝9．如图(3)，截去正方形ABCD的∠A、∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和为（3）（4）10．如图（4），正方形的对角线相交于O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝二、选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2．如图（5），在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( )A．45°B．60°C．70°D．75°(5) (6)3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．平行四边形B．等腰三角形 C．等边三角形D．菱形4．如图(6)，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH ＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34 C．36 D．405．如右图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( )A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题1.图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？2.如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。

北师版九年级数学上册第1章 1.3.1 《正方形的性质》同步测试(含答案)

北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3.1正方形的性质同步测试第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．对角线平分一组对角2．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．174．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( ) A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°5. 如图，在正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数为( ) A．105° B．120°C．135° D．150°6. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( )A．AB B．DE C．BD D．AF7. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为( )A．(3，1) B．(－1，3)C．(－3，1) D．(－3，－1)8. 如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( )A．6 B．4 C．3 D．29．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．1610．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是_________．12．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于____________13．如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2，3)，则点F 的坐标为____________．14. 如图，在正方形ABCD 中，以AB 为边在正方形内作等边△ABE ，连接DE ，CE ，则∠CED 的度数为 .15．如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQ S 正方形AEFG的值等于____．16．如图1－3－13，将边长为8 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是________．17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2019B2020C2020的顶点B2020的坐标是．18. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为m.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O.(1)求证：△DAF≌△ABE；(2)求∠AOD的度数．20. (6分) 如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC 于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.21. (6分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠BEC的度数．22．(6分) 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE 交AG于F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．23．(6分) 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝____度．24．(8分) 如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE，我们探究下列图中线段BG，线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．(1)猜想图1中线段BG，线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察，测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．25．(8分) 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GF＝GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．参考答案1-5 CCCBC6-10 DCAAC11. 45°12. 1213. (－1，5)14. 150°15. 8916. 3 cm17. (－21010，0)18. 460019. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AD ＝AB ，在△DAF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BA ，∠DAF ＝∠ABE ＝90°，AF ＝BE ，∴△DAF ≌△ABE(SAS)(2)由(1)知，△DAF ≌△ABE ，∴∠ADF ＝∠BAE ，∵∠ADF ＋∠DAO ＝∠BAE ＋∠DAO ＝∠DAB ＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠ADF ＋DAO)＝90°20. 证明：连接MC ，在正方形ABCD 中，∵AD ＝CD ，∠ADM ＝∠CDM ，又DM ＝DM ，∴△ADM ≌△CDM ，∴AM ＝CM.∵ME ∥CD ，MF ∥BC ，∴四边形CEMF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴▱CEMF 是矩形，∴EF ＝MC.又∵AM ＝CM ，∴AM ＝EF21. (1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵△ADE 为正三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)，∴BE ＝CE(2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB.又∵∠BAE ＝150°，∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°.同理：∠CED ＝15°，∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°22. 解：线段AF ，BF ，EF 三者之间的关系AF ＝BF ＋EF.理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠1＋∠2＝90°，又DE ⊥AG ，∴∠DEA ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，又∵∠DEF ＝90°，BF ∥DE ，∴∠BFA ＝90°，在Rt △DAE 和Rt △ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEA ＝∠AFB ，∠3＝∠2，DA ＝AB ，∴△ADE ≌△BAF ，∴AE ＝BF ，∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF23. 解：(1)由SAS 可证(2)∵PE ＝PB ，∴∠PBC ＝∠E ，由△BCP ≌△DCP ，∴∠PBC ＝∠PDC ，∴∠PDC ＝∠E ，设EP 交CD 于F ，则∠PDC ＋∠PFD ＝∠E ＋∠CFE ＝90°，∴∠DPE ＝90°＝∠ABC(3)5824. 解：(1)易证△BCG ≌△DCE(SAS)，∴BG ＝DE ；延长BG 交DE 于点H ，∵△BCG ≌△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，又∠CBG ＋∠BGC ＝90°，∴∠CDE ＋∠DGH ＝90°，∴∠DHG ＝90°，∴BH ⊥DE ，即BG ⊥DE(2)BG ＝DE ，BG ⊥DE 仍然成立，在图(2)中证明如下：∵四边形ABCD ，四边形CEFG 都是正方形，∴BC ＝CD ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE(SAS)，∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠BHC ＝∠DHO ，∠CBG ＋∠BHC ＝90°，∴∠CDE ＋∠DHO ＝90°，∴∠DOH ＝90°，∴BG ⊥DE25. 证明：(1)如图①，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴△ADE ≌△FDE ，∴DA ＝DF ＝DC ，∠DFE ＝∠A ＝90°，∴∠DFG ＝90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DC ，DG ＝DG ， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG(HL)，∴GF ＝GC(2)BH ＝2AE ，理由：如图②，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴DM ＝BE ，由(1)知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴2∠2＋2∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG ＝45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴DE ＝EH ，∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°，∴∠1＝∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧DM ＝EB ，∠1＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH ，∴EM ＝BH ，在Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ，∴EM ＝2AE ，∴BH ＝2AE。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定形》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定形》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BCC．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BDD．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC3．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．54．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF ＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．356．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．2.4B．3.4C．D．8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．310．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在F A上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD 边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为．13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．15．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．18．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．（1）求证：DE＝BF；（2）若AH平分∠F AE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．19．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．求证：（1）BG＝DE；（2）CM＝AF．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．（3）当∠ABC＝°时，四边形OCED是正方形．参考答案一．选择题1．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．故选：D．2．解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意；B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意；D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；故选：C．3．解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．6．解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．7．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．∴EF的长为3.4．故选：B．8．解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠P AQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠P AQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．9．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．10．解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C．二．填空题11．解：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：912．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝，∴MH＝3﹣＝，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故答案为：．13．解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+BF＝AF+BF，作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，∴AF＝FH＝AE，∴AE+BF＝FH+BF，∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，∴BH＝＝＝5，故答案为：5．14．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝，∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠F AB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，，∴△BAF≌△DAE（ASA），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：由（1）知△BAF≌△DAE，∴AF＝AE，∵AH平分∠F AE，∴∠F AH＝∠EAH，在△F AH与△EAH中，，∴△F AH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．19．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，在Rt△BGC和Rt△DEC中，∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），∴BG＝DE，（2）连接AC，FC，∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，∴△ACF为直角三角形，又∵M是AF的中点，∴CM＝AF．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，即DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，∴OD＝OC，∵四边形OCED是矩形，∴四边形OCED是正方形，故答案为：90．。

北师大版九年级数学上同步练习1：正方形的性质 (含答案)

正方形的性质
1、下列说法中错误的是（）
A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B、每组邻边都相等的四边形是菱形
C、四个角相等的四边形是矩形
D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形
2、下列结论：（1）正方形具有平行四边形的一切性质；（2）正方形具有矩形的一切性质；（3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质。

其中正确的结论有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意点，延长AB至F，使BF = BE，AE的延长线交CF于G，求证：AG⊥CF
4、如图，已知正方形ABCD，BE∥AC，AE＝AC，求证：CF＝CE
补：1、已知如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD = 120°，且对角线长为10cm，求AB的长
2、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，
试说明EF与DF相等
3、如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，
∠BDF = 15°，求∠DOC和∠COF的度数
4、如图，矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线
交∠BAD的平分线于点E，试说明CE与BD的数量关系
参考答案1、D 2、D
3、略
4、略
补：
1、AB = 5cm
2、略
3、60度和75度
4、CE = BD
5、。

1.3 正方形的性质与判定第2课时北师大版数学九年级上册同步练习(含答案)

第一章3正方形的性质与判定第2课时核心回顾微点拨1．正方形的判定除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).2．矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件．基础必会1．下列命题中，正确的是(D)A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(D)A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当∠ABC＝90°时，它是正方形3．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)A．30 B．34 C．36 D．404．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(C)A．AC，BD相等且互相平分B．AC，BD垂直且互相平分C．AC，BD相等且互相垂直D．AC，BD垂直且平分对角5．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是(B)A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为____；所作的第n个四边形的周长为__4()n__．7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，△BEA 旋转后能与△DFA重合，若AE＝5 cm，则四边形AECF的面积为__25__cm2__．8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.(1)求证：△BDF≌△CDE.(2)若DE＝12BC，求证：四边形BECF是正方形．【证明】(1)∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA).(2)∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形BECF是菱形，∵DE＝12BC，DE＝DF＝12EF，∴EF＝BC，∴菱形BECF是正方形，即四边形BECF是正方形．9．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC.CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线．(1)求证：四边形AECF是矩形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．解析:(1)∵CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，∴∠ACE＋∠ACF＝12×180°＝90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE＝12∠ACB＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠EAC＝45°＝∠ACE，∴AE＝CE，∵四边形AECF是矩形，∴矩形AECF 是正方形．能力提升1．如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，DE ⊥AB ，若四边形ABCD 的面积为16，则DE 的长为(C )A ．3B ．2C ．4D ．82．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B )A.nB. n －1 C ．(14)n －1 D ．(14)n 3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB ⊥AD ，且AB ＝AD ；②AB ＝BD ，且AB ⊥BD ；③OB ＝OC ，且OB ⊥OC ；④AB ＝AD ，且AC ＝BD .其中正确的序号是__①③④__．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°.点E ，F 分别在边AB ，AD 上，CE 与BF 相交于点G ，BE ＝AF .线段BG 的垂直平分线交BE 于点H ，且∠EHG ＝54°.若∠EGH ＝m °，则m ＝__63__．5．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∠B ＝∠D ，点E ，F 分别是BC ，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．解析:(1)∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∵∠B＝∠D，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD，AD＝BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝12BC，DF＝12AD，∴BE＝DF，在△ABE与△CDF中，{AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，理由：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴EC＝12BC，AF＝12AD，∴EC＝AF，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝12BC＝EC，∴平行四边形AECF是菱形，∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形．6．如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．解析:(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴BE＋OB＝DF＋DO，∴FO＝EO，∴EF与AC垂直且互相平分，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；(2)∵BD＝4，BE＝3，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴菱形ABCD的面积＝1 2AC·BD＝12×10×4＝20.。

北师大版九年级上册 1.3正方形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题附答案

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题附答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是( )A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=°时,四边形ADCF 是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是( )A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( )A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为( )A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是( )A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.参考答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是(B)A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是(C)A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=90°时,四边形ADCF是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.【证明】∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形;∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC∴菱形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是(A)A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是4.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为(D)A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为(A)A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是(D)A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是2√5.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解析】略【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.。

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北师版九年级数学上册
1.3.1正方形的性质
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()
A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.四条边都相等B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等D．对角线平分一组对角
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )
A．15° B．35° C．45° D．55°
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则
PE ＋PF 的值为( )
A ．4
B ．2 2
C ． 2
D ．2
8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC′D′.若∠D′AB ＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( )
A ．1
B ．12
C ．22
D ．32
9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB.EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．1
4
10．如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积( )
A ．先变大后变小
B ．先变小后变大
C ．一直变大
D ．保持不变二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE.若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝________．
12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个
13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．
14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.
15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝.
16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.
17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.
18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．
三．解答题（共6小题，46分）
19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.
20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.求证：AG＝CG.
21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝
DF，连接AE，AF，EF.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝5，请求出EF的长．
22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：△BAE≌△CDE；
(2)求∠AEB的度数．
23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若正方形边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．
参考答案
1-5 DCCCB 6-10CCBBD
11. 22° 12. 8 13. 213 14. 22.5° 15. 45° 16. 2 －1 17. 135° 18. 13 2
19. 解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵CE ＝DF ，∴BE ＝CF ，在△AEB 和△BFC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，
∴△AEB ≌△BFC(SAS)，∴AE ＝BF 20. 证明：易证△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，
AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(AAS)，∴AG ＝CG
21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)
(2)由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝ 2 AE ＝5 2
22. 解：(1)∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DC ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，
∴△BAE ≌△CDE(SAS) (2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠AEB ＝1
2 (180°－
150°)＝15°
23. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°.在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90，AF ＝CE ，
∴△ABF ≌△CBE(SAS) (2)由已知可得S 正方形ABCD ＝16，S △ABF ＝S △CBE ＝1
2
×4×1＝2.所以S 四边形BEDF ＝16－2×2＝12
24. 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴▱BEDF 为菱形
(2)∵正方形边长为4，∴BD ＝AC ＝42，∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －22＝22，∴S 菱形BEDF
＝
12
BD·EF ＝1
2×42×22＝8。