非线性物理——混沌
非线性电路中混沌现象的研究实验
非线性电路中混沌现象的研究实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。
但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。
【实验目的】1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。
2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验仪器】非线性电路混沌实验仪【实验原理】图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线1.非线性电路与非线性动力学：实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 电路的非线性动力学方程为：11211Vc g )Vc Vc (G dtdVc C ∙--∙=L 2122i )Vc Vc (G dtdVc C +-∙=式中,导纳21W W 1G +=,1C V 和2C V 分别表示加在1C 和2C 上的电压,L i 表示流过电感器L 的电流,g 表示非线性电阻R 的导纳。
2. 有源非线性负阻元件的实现：有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放 353LF ) 和六个配置电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安 特性曲线如图4所示。
非线性电路理论与混沌现象
确定的系统与不确定的未来 ——非线性系统初始值的细微变化造成结果的巨大差差异
混沌现象的出
三体问题：一颗质量很小的 卫星 （灰尘）在两颗大质量的行星作用下运 动。假定行星（灰尘）在它们之间的万 有引力作用下绕其联线中心作圆周运动， 而卫星（灰尘）质量很小，对行星运动 的影响可以忽略。同时假定三个天体在 同一平面内运动。现在要问：卫星在两 颗行星作用下的运动情况如何呢？
使用了几个世纪的牛顿引力定律是广义相对论的弱场 近似。 只有当GmM/R << mc^2时牛顿引力定律才是正确的。
拉普拉斯曾写道：“我们应当把宇宙目前的状态视为其过去状态的结果和 未来状态的原因。” ——拉普拉斯的世界不但是确定的，而且是可预测的。这就是牛顿 世界中的决定论。
20世纪初，庞加莱首先意识到在确定论系统中有混沌现象的存在，对牛顿 严格的决定论提出置疑，拉开了非线性研究的序幕。 20世纪50年代，由杨振宁和米尔斯建立的杨—米尔斯规范场论是非线性 的，并且随后建立起来的弱电统一理论、量子色动力学也都是非线性的。而 这些理论与实验符合得很好。物理学家断言：最后的大统一场论肯定也是非 线性的。 ——整个世界，从宇观、宏观到微观本质上都是非线性的。
2. Intermittency Route to Chaos（或称为准周期道路）
使用和上面的实验相同的参数，当R进一步减小到系统产生3个极限环时，系统会形成另 一种混沌现象：系统产生的信号几乎是周期性的，只是信号中存在一些没有规则的现象。也 就是说信号中同时存在周期性的行为与没有规则的行为。 产生这种混沌现象的方式为：在前一个实验中当系统产生三个稳定的极限环时，适当增 加R的大小。
混沌基本特征
1、敏感性。表现在对系统结构参数敏感性和对初始条件敏感性。前者是 指系统运动状态 依赖于结构参数的变化，后者指初始条件的微小变化将 导致系统运动行为的巨大差 异。该特点违背了微分方程解对初始条件 的连续依赖性，该特点形象的称为“蝴蝶效 应” 。
混沌理论与非线性系统
混沌理论与非线性系统混沌理论是一种描述复杂系统行为的数学理论，它与非线性系统密切相关。
非线性系统是指系统的输出不是线性的，即输出与输入之间的关系无法用简单的线性函数描述。
混沌理论从科学的角度揭示了非线性系统内部的复杂性和不可预测性。
混沌理论最早由美国数学家Edward Lorenz在20世纪六、七十年代提出，他在研究天气预报时意外发现了混沌现象。
他发现即使微小的初始条件的微小改变，也会导致模型结果的巨大变化。
这就是混沌现象的本质，也是非线性系统的核心特征。
混沌现象的一个重要特征是系统的行为对初始条件非常敏感。
换句话说，稍微改变系统的初始状态，系统的行为就会发生显著的变化。
这被称为“蝴蝶效应”，意味着一个小小的初始扰动可能在未来产生巨大的影响。
这使得长期天气预测变得极其困难，因为任何微小的测量误差都会导致预测结果的巨大误差。
混沌系统还具有不可预测性。
尽管初始条件对系统的行为产生重要影响，但混沌系统中的行为是随机的、不可预测的。
这意味着我们无法准确地预测混沌系统的未来状态，只能通过统计方法来描述其可能的行为。
虽然混沌系统的行为复杂难以预测，但它们仍然存在一定的规律性。
混沌系统的行为可以通过分形几何来描述，分形几何是一种用于描述不规则形状和复杂结构的数学工具。
混沌系统的分形特征表现为自相似性和尺度不变性，这意味着系统的局部结构与整体结构具有相似性，并且系统在不同尺度上的行为是相似的。
混沌理论在许多领域有着重要的应用。
在物理学中，混沌理论被用于研究粒子运动、流体流动等复杂系统的行为。
在生物学中，混沌理论被用于研究生物体内部的非线性动力学和分子交互作用。
在经济学和社会学中，混沌理论被应用于研究市场波动、人群行为等复杂系统的演化。
混沌理论的发展也促进了对非线性系统的研究。
非线性系统广泛存在于自然界和人类社会中，它们的行为往往更加复杂和多样。
非线性系统的研究不仅帮助我们理解和解释现实世界中的复杂现象，还为我们掌握和预测系统行为提供了新的方法和工具。
混沌与非线性动力学在天体物理中的应用
混沌与非线性动力学在天体物理中的应用天体物理学是一门涉及宇宙、太阳系、星云、恒星、行星等各种天体的学科，是研究天文现象及其规律、性质和演化的科学。
在天体物理学的研究中，混沌与非线性动力学的应用日益重要。
混沌现象被认为是一种不存在可预测行为的动力学现象，它的表现为某个系统状态的轨迹在相空间中不断变化，并且永远无法重现某一特定的状态。
对于天体物理学中的系统，比如行星的运动轨迹，混沌现象的存在意味着行星的轨迹变得不可预测，这使得预测天体运动变得更加复杂。
非线性动力学则是研究非线性系统的动力学行为。
在天体物理学中，行星/卫星运动的运动方程是一组非线性微分方程，系统的非线性特征显而易见。
因此，非线性动力学在分析这些天体运动中起着至关重要的作用。
在天体物理学中，混沌和非线性动力学的应用十分广泛。
比如，对太阳系中的天体运动轨迹进行深入研究，可以帮助我们更好地了解各个天体的形成演化过程，了解它们的性质和特点；同时，还可以为制定太空任务和探测器运行计划提供帮助。
具体来看，混沌现象的存在使得天体物理学中行星的轨迹变得不可预测，这一结果使得人们需要寻找新的方式来研究和控制太阳系中的天体。
非线性动力学给出了这种方式。
通过研究非线性系统中的动力学行为，人们可以更好地预测行星等天体的轨迹，了解其演化过程，制定太空任务和探测器运行计划。
此外，在天体物理学中，混沌和非线性动力学还可以用来解决太阳系中天体间的相互作用问题。
当天体间的引力相互作用时，系统的动力学行为是非线性的。
通过研究这种非线性动力学行为，我们可以更好地理解行星之间的引力相互作用，并得到更加准确的轨道预测。
在研究天体物理时，混沌与非线性动力学的应用也会提高计算的效率。
对于复杂的天体系统，使用不断迭代并计算系统状态的方式进行研究，会导致计算量的大幅度增加，而使用混沌现象的分析方法和非线性动力学的理论，可以更有效地处理海量的计算。
总之，混沌与非线性动力学在天体物理学中的应用不仅加深了我们对天体运动的认识，而且对太空任务和探测器的运行计划提供了有力保障。
非线性电路混沌现象研究
非线性电路混沌现象研究对混沌现象的研究，是20世纪物理学的重大事件。
相对论和量子力学的兴起，使牛顿力学受到巨大冲击。
而近二十年内进一步发起挑战的是对混沌现象的研究。
混沌理论是当前物理学范围的前沿课题，涉及物理学、数学、生物学、计算机科学、电子学、经济学等领域，范围相当广泛。
混沌理论包含的物理内容非常多，研究这些内容需要比较深入的数学理论如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等。
研究表明，混沌现象与系统的非线性特征紧密相关。
而非线性特征是自然界普遍存在的现象。
例如，在非线性电路中，往往伴随着混沌现象的出现。
本实验通过chua电路，观察电路混沌现象，包括“蝴蝶效应”分岔、收敛吸引子，奇异吸引子等，从而可以直观地了解混沌观察和理论。
[预习提要]1、什么叫“混沌”？什么叫系统的非线性？2、结合chau’s电路理解。
什么叫“蝴蝶效应”？什么叫“分岔”？什么叫“分形”？什么叫“奇异吸引子”？3、本实验中chua’s电路的非线性电阴伏安特性怎样？如何测量？[实验要求]1、理解混沌及相关概念的含义。
2、学会测量有源理想非线性负电阻伏安特性。
3、掌握一种测有芯电感电感量的方法。
[实验目的]1、理解混沌及相关概论的含义。
2、了解有源理想非线性负电阻的伏安特性及测量方法。
[实验器材]非线性电路混沌实验电路板（包括：1、LC振荡器；2、RC移相器电路；3、双动放及6个电阻组成的等效“有源非线性负阻元件”；4、连接导线及同轴电缆线；5、四位半数字电压表。
）双踪示波器。
[实验原理]一、基本概念在混沌学中，混沌一词一般取其混乱和无序的意思。
在英、法、德文中，都写作“chaos”。
混沌一词的科学定义是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动或表现。
一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
因为是决定性系统内部所因有的，故又称之为“内禀随机性”。
混沌现象的通俗解释
混沌现象的通俗解释非线性，俗称“蝴蝶效应”。
什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。
为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。
为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。
而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。
”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。
1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
非线性动力学中的混沌现象及其应用
非线性动力学中的混沌现象及其应用混沌，是指在某种程度上具有确定性的系统，但其长期演化的结果却十分难以预测，极度敏感于初值条件的不规则、随机行为。
在非线性动力学中，混沌现象一直是研究的热点，它的性质和应用也备受关注。
本文将从混沌现象的定义、特性与图像展示、混沌对噪声抑制和混沌通信三个方面来介绍混沌。
一、混沌的定义与特性混沌现象源自于流体力学中的"洛伦兹方程"，经过40多年的发展，已经家喻户晓了。
混沌是一种无序的动力学行为，表现为明显的随机性，但又有可能呈现各种规则的形式。
混沌的行为具有以下特点：1. 非周期性混沌的行为不像周期性运动那样具有周期性。
混沌的状态不断发生变化，几乎无法重复，且不再出现规律性的模式。
2. 灵敏依赖初值混沌动力学系统对初始条件有极高的敏感性，即使两个系统在初值上仅有微小的偏差，也会随时间的流逝而出现大的不同。
3. 塞逊定理塞逊定理指的是混沌系统概率密度变化的特性，即系统中相邻的状态点的距离，在不断演化过程中往往成倍增长，混沌的标记是大规模的分岔。
二、图像展示混沌现象不仅以数学方程表示，还以图像、音乐甚至语言等多维度方式进行表现。
下面就是一组展示混沌的图像：通过这些图像，我们可以更直观的了解混沌现象的特征和行为。
三、混沌对噪声抑制的应用随着科学技术的发展，我们生活中出现了很多噪声，它们都会给人们的生活带来很多不便。
因此，在工程技术中，如何对这些噪声进行抑制是一个很重要的问题。
混沌抑制理论可以在一定程度上克服线性系统抑制效果不佳的问题，达到噪声抑制的目的。
混沌抑制的主要思路是控制非线性系统的混沌状态，通过改变混沌吸引子来获得不同的响应。
混沌抑制通过非线性反馈也能控制力学结构或电气电路的状态。
四、混沌通信的应用混沌通信是一种通过混沌技术实现信息传递的通信方式。
相比于传统通信方式，它的优势在于具有隐蔽性、抗干扰性、高速和多用户性等特点，尤其在无线通信、宽带通信以及高阶调制等领域得到了广泛的应用。
混沌现象
混沌现象一、前言混沌是现代科学的重要概念，是非线性科学的一个非常重要的内容。
混沌作为一门新兴的科学，是人类在认识大自然中的不规则性方面的一个举足重轻的突破。
它已渗透到全部科学之中。
混沌现象是发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。
混沌理论所研究的是非线性动力学，它是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一些复杂问题普遍遵行的共同规律。
牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。
因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
但因为我们对它了解太少，所以往往视而不见，忽略了它的存在。
二、气候学中的“蝴蝶效应”1、什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。
为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。
为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。
而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：对初始值的极端不稳定性，即“混沌”，又称“蝴蝶效应”。
1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。
从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。
2、蝶效应说明了：初始条件的十分微小的变化经过不断的放大，对其未来状态会造成极其巨大的改变，“天气是不可长期准确预料”。
3、蝶效应的解释：问题到底出在哪呢？难道是计算机出错了？当然计算机是很忠诚的，它并没有出错。
究其原因，是因为任何测量都会有误差，无论过去、现在、还是未来，误差都将于我们同在，只要有测量，就一定有误差，无论将来的测量技术有多发达，这都是一个真理，因为任何测量都是有一定精度的。
非线性电路中的混沌现象实验
背景 混沌特点：
倍周期分岔 无穷嵌套的自相似结构 系统长期行为具有某些普适性 系统轨迹敏感依赖于初始条件，即Lyapunov
指数为正 具有分形结构
非线性电路
电路
有源非线性负电阻
动力学方程
C1
dVc1 dt
G(Vc2
Vc1 )
gVc1
C2
dVc2 dt
按已知的数据信息（L～20mh，r～10Ω，C0
见现场测试盒提供的数据）估算电路的共振
频率f；
考虑测共振频率时应如何连线？ 用振幅法和相位法测量共振频率并由此算得
电感量，测量时电流不要超过20mA
实验内容二
倍周期分岔和混沌现象的观察
求观察并记录2倍周期分岔，4倍周期分岔， 阵发混沌，3倍周期，单吸引子，双吸引子 现象及相应的Vc1(t)和Vc2(t)的波形。
由非线性方程组结合本实验的相关参数， 用四阶龙格—库塔(Runge-Kutta)数值积分 法编程并画出奇异吸引子、双吸引子的 相图和对应变量的波形图并与实验记录 进行对照。
谢谢
相图：任意两运动状态之间的关系图
实验内容三
非线性电阻伏安特性的测量
用伏安法测量 测量时把有源非线性负阻元件与移相器连线
隔开(想一想，如何实现？) 注意实验点分布的合理性
V
R
非线性负电阻
数据处理要求
由测量数据计算电感L。
用一元线性回归方法对有源非线性负阻 元件的测量数据做分段拟合，并作图。
周期窗口 间歇现象 —阵发混沌
实验仪器介绍
实验内容 一
串联谐振电路和电感的测量
串联谐振电路
I ( 1 jL R) E I
E
E
混沌理论与非线性系统分析
混沌理论与非线性系统分析在自然界和人类社会中，我们常常会遇到很多看似无法预测和混乱的现象。
混沌理论是一门对这些现象进行研究和解释的学科。
它研究的对象是非线性系统，而非线性系统分析则是一种基于混沌理论的研究和分析方法。
混沌理论的核心概念是“混沌”。
混沌在数学上指的是对初始条件极其敏感的、无周期但仍有确定性的动力学过程。
简而言之，混沌系统是一种看似无序而难以预测的系统。
混沌系统常常体现为某种类型的运动，称为“混沌运动”。
混沌运动常常被描述为非线性系统中的项有序和无序之间的状态。
在非线性系统中，混沌现象的出现通常伴随着系统参数或初始条件的微小变化。
这意味着，一个微小的扰动可能导致系统未来的演化完全不同。
这也是混沌系统难以预测的根本原因之一。
正因为如此，混沌理论对于解释和揭示非线性系统的行为和特性具有重要意义。
混沌理论的应用涵盖了广泛的领域，例如天气预测、经济系统、生物学、化学反应等。
其中，天气预测是混沌理论在实践中的典型例子。
气象系统是一个非常复杂的非线性系统，它受到初始条件、边界条件和大气物理学规律等多种因素的影响。
由于混沌系统的敏感性，即使微小的扰动也可能导致气象系统的演化完全不同，从而使天气预测变得困难。
非线性系统分析是一种对混沌系统进行研究和分析的方法。
其主要目的是揭示系统的行为和特性，提供基于混沌理论的定量描述和预测。
非线性系统分析的核心方法包括相空间重构、延迟坐标嵌入和Lyapunov指数等。
相空间重构是非线性系统分析的基础方法之一，它可以将系统的历史数据重构为一个高维相空间中的轨迹。
通过研究这些轨迹的形态和分布，可以揭示系统的动力学特性，如周期、吸引子、分岔等。
延迟坐标嵌入是另一种非线性系统分析的重要方法。
它通过将系统的历史数据映射到一个高维延迟空间中，使得系统的动力学特征能够更容易地被观察和分析。
延迟坐标嵌入的关键是选择合适的延迟时间和嵌入维度，以保证系统的动力学特性得以保留。
Lyapunov指数是衡量系统混沌性的重要指标。
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非线性物理——混沌 引言 非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等[1]。 要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图1所示的蔡氏电路（Chua's circuit）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（Leon O. Chua）教授于1983年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。如Chen氏电路[6]、Colpitts振荡电路[7]、基于SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。
实验原理 在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R（电路方程中以电导G=1/R做参数，以下方程求解过程都用G来表示，而涉及实验的内容采用R表示）、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr。它的运行状态可以用以下方程组来描述：
2212211211)()()(UdtdILIUUGdtdUCUgUUGdtdUC
LL (1) 其中U1为C1（或负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流，错误!未指定书签。g(U)为非线性负阻的I-V特性函数，其表达式为：
|)||(|2)(EUEUGGUGUgabb (2) 式中各参数和变量的具体意义间图3。从g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称，可以一并求解。
图1：蔡氏电路示意图 U1、U2、IL构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为T
LIUU21X。混沌实验仪中一般演示X点的相轨迹在U1-U2平面的二维投
影，可用双踪示波器的X-Y模式来观察，即常说的李萨如图形。 在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程：
0)0()()(XXbAXXtt
(3)
其中X(t)、b为三维矢量，A为三阶矩阵。方程(3)在0)(tX时的解即为相空间的不动点XQ，bAXQ1。原方程组的解即可写为线性齐次方程)()(ttAxx的通解与不动点特解XQ的和。方程(3)的本征值方程为|λI-A|=0，若A存在三个本征值λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为：
332211321
)(ξecξecξectxttt
(4)
其中ξi为λi对应的本征向量，ci由初始状态X0决定。 在有些情况下，A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ±iω，方程的解可以写成：
])sin()[cos(2)()()()()(icrctcctrrcrttectecttttxxxxx
(5)
式中ξγ是实本征值对应的本征向量，ηr±iηi是共轭的复本征值对应的本征向量。c、cr、cc由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为： )()()(tttcrxxXXQ (6) 我们把实本征向量ξγ方向标记为Er，把ηr和ηi张成的平面记为Ec。齐次方程解的独立分量xr(t)在Er方向，xc(t)在平面Ec内。方程的解随着时间演化具有如下性质：如果γ<0，xr(t)指数衰减到0；如果γ>0，xr(t)沿着Er方向指数增长。由此可见，对于任何一条相轨迹X(t)，Er方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越Ec平面（图错误!未定义书签。、错误!未定义书签。）。如果σ>0且ω≠0，则xc(t)在Ec平面内螺旋离开不动点XQ；若σ<0，xc(t)在Ec平面内螺旋收
缩到不动点XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。 非线性负阻的结构[9]如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）构成，输入电源电压±15V。理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性，被±E拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb，且满足Ga数可计算[12]出Ga=-1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09 ±0.06)×10-4Ω-1。
图2：非线性负阻的内部结构 图3：理想非线性负阻I-V特性（示意图） 实验内容 一、各种混沌现象的观测 用图1所示的方法，调节可调电阻R，观察单周期、双周期、阵发混沌、三周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的U1,U2的信号特点。 二、测量非线性负阻的I-Ｖ特性 1、用如图4所示的方法，用信号发生器驱动，分别在30Hz，300Hz和3.3kHz等频率测量非线性负阻的I-V特性，讨论不同频率时I-V曲线的特点。
图4：外部信号扫描测量I-V特性电路图 2、用图5所示的方法：在电路中接入一个r=100Ω的采样电阻，非线性负阻两端的电压U1仍在CH1端测量，用CH2端输出的r两端的电压代替电流信号来记录I-V曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入。CH1和CH2的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图，记录电路出现各种混沌状态时的I-V曲线。 3、比较上述两种方法得到的I-V曲线的异同，并讨论原因。 4、分析第二种方法得到的结果，并解释相图和I-V曲线之间的关联。
图5：内置信号扫描测量I-V特性电路图 5、（选做）用伏安法测量非线性负阻的I-V曲线，分析得到的结果。 三、（选做）元件参数测量和非线性方程的求解 1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。（有兴趣的同学可查阅万用表测电容、电感的原理。） 2、用函数信号发生器作电源，用伏安法测量电容、电感的值，讨论电流、频率不同时，测量结果的变化。注意：实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电感和一个损耗电阻的组合。 3、用高精度的LCR表测量各个元件的参数。 4、用实际测得的实验参数求解非线性方程组（1），找出不同条件下的不动点，分析不动点的稳定性和解的特点。 四、（选做）C调制 设计实验方法，实现用电容C的调节了得到各种混沌相图，并讨论G调制和C调制得到的相图的不同。 五、（选做）数值模拟 1、采用四阶Runge-Kutta法求解方程组（1），画出各种相图。 2、用FFT法分析各种相图时时域型号的频率特性。 3、绘制U1随R变化的分岔图，得出单周期、双周期等混沌状态时的R值，和实验观察的结果进行比较。 六、（探索）混沌保密通讯 阅读文献，了解混沌通讯的原理和实现方法，从实验上实现两台混沌实验仪的信号同步，并完成混沌保密通讯的原理演示实验。 七、（探索）分形 用计算机编程得到各种分形图形。
思考题 1、非线性系统的动力学行为的特点有哪些？ 2、一个自治的非线性系统至少包含哪些元件？各起什么作用？ 3、将非线性负阻直接接到一个电阻两端，随着外接电阻阻值的改变，电阻上的电压和电流之间会有什么关系？有兴趣的同学可以进行实验测量，并解释得到的结果。 4、怎样求解非线性方程组？什么是Runge-Kutta法？ 5、G调制和C调制有什么不同？
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