2019-2020学年高中数学 (1.3 集合的基本运算第2课时)示范教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 （1.3 集合的基本运算第2课时）示范教

案 新人教A 版必修1

导入新课

问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x 3-)=0,其结果会相同吗?

②若集合A={x|0

学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题

①用列举法表示下列集合:

A={x∈Z |(x-2)(x+

31

)(x 2-)=0}; B={x∈Q|(x -2)(x+31

)(x 2-)=0};

C={x∈R|(x -2)(x+3

1

)(x 2-)=0}.

②问题①中三个集合相等吗？为什么？ ③由此看,解方程时要注意什么？

④问题①,集合Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.

⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义. ⑦用Venn 图表示

A.

活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围. 讨论结果： ①A={2},B={2,31-

},C={2,3

1

-,2}. ②不相等,因为三个集合中的元素不相同.

③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同. ④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U. ⑤B={2,3}.

⑥对于一个集合A,全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.

集合A 相对于全集U 的补集记为

A,即A={x|x∈U,且

⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.

图1-1-3-9

应用示例

思路1

1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A, B.

活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义

写出A, B.

解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以

A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.

点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.

常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则

(A)∩(B)等于( )

A.{1,6}

B.{4,5}

C.{2,3,4,5,7}

D.{1,2,3,6,7}

分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.

思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.

答案：A

2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},

则A∩(B)等于( )

A.{1,2,3,4,5}

B.{1,4}

C.{1,2,4}

D.{3,5}

答案：B

3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则

P∩(Q)等于( )

A.{1,2}

B.{3,4,5}

C.{1,2,6,7}

D.{1,2,3,4,5}

答案：A

2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求

A∩B,(A∪B).

活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的

含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B

中剩下的元素组成的集合. 解：根据三角形的分类可知 A∩B=?,

A∪B={x|x 是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x 是直角三角形}.

变式训练

1.已知集合A={x |3≤x<8},求 A. 解：A={x|x<3或x≥8}.

2.设S={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是菱形},C={x|x 是矩形},求B∩C,B,

A.

解：B∩C={x|正方形},B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},A={x|x 是梯形}.

3.

已

知

全

集

I=R ,

集

合

A={x|x 2

+ax+12b=0},B={x|x 2

-ax+b=0},满足

(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值. 答案：a=

78,b=7

12-. 4.设全集U=R ,A={x|x≤2+3},B={3,4,5,6},则(

A)∩B 等于…( )

A.{4}

B.{4,5,6}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4} 分析:∵U=R ,A={x|x≤2+3},∴A={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3,

∴(

A)∩B={4,5,6}.

答案：B

思路2

1.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求: (1)A,

B;

(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？ (3)(

A)∩(

B),

(A∪B),由此你发现了什么结论？

活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B. 解：如图1-1-3-10所示,

图1-1-3-10

(1)由图得

A={x|x<-2或x>4},

B={x|x<-3或x>3}.

(2)由图得(A)∪(B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};

∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},

∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.

∴得出结论(A∩B)=(A)∪(B).

(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};

∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},

∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.

∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则

(A)∪(B)等于( )

A.{1,6}

B.{4,5}

C.{1,2,3,4,5,7}

D.{1,2,3,6,7}

答案：D

2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于( )

A.{1}

B.{1,2}

C.{2}

D.{0,1,2}

答案：D

2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.

活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.

解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},

由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,

图1-1-3-11

∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.

点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.

变式训练

1.2007临沂高三期末统考,文1

图1-1-3-12

设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )

A.M∩[(N)∩P]

B.M∩(N∪P)

C.[(M)∩(N)]∩P

D.M∩N∪(N∩P)

分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.

思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P

内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].

答案：A

2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},

则集合A=________,B=________.

分析:借助Venn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.

图1-1-3-13

答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}

知能训练

课本P11练习4.

【补充练习】

1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.

解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.

2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.

图1-1-3-14

分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即

(S)∩(M∩P).

答案：(S)∩(M∩P)

3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知

(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于( )

A.{1,2}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{1,4}

分析:如图1-1-3-15所示.

图1-1-3-15

由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.

答案：C

4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则(S∪T)

等于( )

A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}

分析:直接观察(或画出Venn图),得S∪T={1,3,5,6},则(S∪T)={2,4,7,8}.

答案：B

5.2007河北石家庄一模,文1已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪(B)等于( )

A.{1}

B.{1,3}

C.{3}

D.{1,2,3}

分析:∵B={1,3},∴A∪(B)={1}∪{1,3}={1,3}.

答案：B

拓展提升

问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:

(1)至少解对其中一题者有多少人？

(2)两题均未解对者有多少人？

分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.

解：设全集为U,A={只解对甲题的学生},B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学生},

则A∪C={解对甲题的学生},

B∪C={解对乙题的学生},

A∪B∪C={至少解对一题的学生},

(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.

由已知,A∪C 有34个人,C 有20个人,

从而知A 有14个人;B∪C 有28个人,C 有20个人,所以B 有8个人. 因此A∪B∪C 有N 1=14+8+20=42(人),

(A∪B∪C)有N 2=50-42=8(人).

∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人. 课堂小结

本节课学习了:

①全集和补集的概念和求法.

②常借助于数轴或Venn 图进行集合的补集运算. 作业

课本P 12习题1.1A 组9、10,B 组4.

设计感想

本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn 图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本

节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.

习题详解

(课本P 5练习)

1.(1)中国∈A,美国?A,印度∈A,英国?A.

(2)∵A={x|x 2

=x}={0,1},∴-1?A.

(3)∵B={x|x 2

+x-6=0}={-3,2},∴3?A.

(4)∵C={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, ∴8∈C,9.1?C.

2.(1){x|x 2

=9}或{-3,3}; (2){2,3,5,7}; (3){(x,y)|??

?+=+=6

-2x y 3

x y }或{(1,4)};

(4){x∈R |4x-5<3}或{x|x<2}. (课本P 7练习)

1.?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.

2.(1)a∈{a,b,c}.

(2)∵x 2=0,∴x=0.∴{x|x 2

=0}={0}. ∴0∈{0}.

(3)∵x 2+1=0,∴x 2

=-1.又∵x∈R ,

∴方程x 2=-1无解.∴{x∈R |x 2

+1=0}=?.∴?=?. (4).

(5)∵x 2

=x,∴x=0或x=1.

∴{x|x 2

=x}={0,1}. ∴{0}

{0,1}.

(6)∵x 2

-3x+2=0,∴x=1或x=2.

∴{x|x 2

-3x+2=0}={1,2}. ∴{2,1}={1,2}.

3.(1)由于1是任何正整数的公约数,任何正整数都是自身的公约数,所以8的公约数是1,2,4,8,即B={1,2,4,8}.∴A

B.

(2)显然B ?A,又∵3∈A,且3?B,∴B

A.

(3)4与10的最小公倍数是20,4与10的公倍数应是20的倍数,显然A=B. (课本P 11练习)

1.A∩B={5,8},A∪B={3,5,6,7,8}.

2.∵x 2

-4x-5=0, ∴x=-1或x=5.

∵A={x|x 2

-4x-5=0}={-1,5}, 同理,B={-1,1}.

∴A∪B={-1,5}∪{-1,1}={-1,1,5}, A∩B={-1,5}∩{-1,1}={-1}.

3.A∩B={x|x 是等腰直角三角形},

A∪B={x|x 是等腰三角形或直角三角形}. 4.∵B={2,4,6},

A={1,3,6,7},

∴A∩(B)={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4}, (

A)∩(

B)={1,3,6,7}∩{2,4,6}={6}.

(课本P 11习题1.1)

A 组

1.(1)∈ (2)∈ (3)? (4)∈ (5)∈ (6)∈

2.(1)∈ (2)? (3)∈

3.(1){2,3,4,5};

(2){-2,1};(3){0,1,2}.

(3)∵-3<2x-1≤3,∴-2<2x≤4. ∴-1

又∵x∈Z ,∴x=0,1,2.

∴B={x∈Z |-3<2x-1≤3}={0,1,2}. 4.(1){y|y≥-4}; (2){x|x≠0}; (3){x|x≥

5

4}. 5.(1)∵A={x|2x -3<3x}={x|x>-3},B={x|x≥2}, ∴-4?B,-3?A,{2}B,B A.

(2)∵A={x|x 2

-1=0}={-1,1},

∴1∈A,{-1}A,?A,{1,-1}=A. (3);.

6.∵B={x|3x -7≥8-2x}={x|x≥3},

∴A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}, A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}. 7.依题意,可知A={1,2,3,4,5,6,7,8},

所以A∩B={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3}={1,2,3}=B, A∩C={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={3,4,5,6}=C. 又∵B∪C={1,2,3}∪{3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.

∴A∩(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}. 又∵B∩C={1,2,3}∩{3,4,5,6}={3},

∴A∪(B∩C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∪{3}={1,2,3,4,5,6,7,8}=A. 8.(1)A∪B={x|x 是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}. (2)A∩C={x|x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}. 9.B∩C={x|x 是正方形},

B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},

A={x|x 是梯形}.

10.∵A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2

又∵A∩B={x|3≤x<7}∩{x|2

(A)∩B={x|x<3或x≥7}∩{x |2

B 组

1.∵A={1,2},A∪B={1,2}, ∴B ?A.

∴B=?,{1},{2},{1,2}.

2.集合D={(x,y)|2x-y=1}∩{(x,y)|x+4y=5}表示直线2x-y=1与直线x+4y=5的交点坐标; 由于D={(x,y)|?

?

?=+=54y x 1

y -2x }={(1,1)},

所以点(1,1)在直线y=x 上,

即D C.

3.B={1,4},

当a=3时,A={3},

则A∪B={1,3,4},A∩B=?; 当a≠3时,A={3,a},

若a=1,则A∪B={1,3,4},A∩B={1}; 若a=4,则A∪B={1,3,4},A∩B={4};

若a≠1且a≠4,则A∪B={1,a,3,4},A∩B=?. 综上所得,

当a=3时,A∪B={1,3,4},A∩B=?;

当a=1,则A∪B={1,3,4},A∩B={1};

当a=4,则A∪B={1,3,4},A∩B={4};

当a≠3且a≠1且a≠4时,A∪B={1,a,3,4},A∩B= .

4.作出韦恩图,如图1-1-3-16所示,

图1-1-3-16

由U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(B)={1,3,5,7},

可知B={0,2,4,6,8,9,10}.