2014年高考数学题分类汇编 数列

2014年高考数学题分类汇编

数列

1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =

（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12

n n + (D)

()12

n n -

【答案】A 【解析】

.

..6.2,4),6()2(,,,22122222822

4842A A S a a d a a d a a a a a a a d 选正确经验证，仅解得，即成等比=∴==+=+=∴=

2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 【答案】C ．

3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C

4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

【答案】D

5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）

（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）1

2

- 【答案】D .

【解析】依题意得2214S S S =，所以()()2

1112146a a a -=-，解得11

2

a =-，选D .

6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )

.8A .10B .12C .14D

【答案】C

7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a

为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <

【答案】D

8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ）

.2n Aa n = .2(1)n B a n =-

.2n n C a = 1.2n n D a -=

【答案】C

9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）

139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列

【答案】D

10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）

.5A .8B .10C .14D

【答案】B

11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11

，2a =2，则1

a =_________. 【答案】

2

1

【解析】.2

1-11-11,211212==∴=

=+a a a a a a n n 解得 12.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

【解析】∵{}n a 是等差数列且1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，

∴2111(1)(45)(23)a a d a d +++=++即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]a a d a d ++++=+++ 令11,1a x d y +=+=，则有2(4)(2)x x y x y +=+，展开的0y =，即10d +=，∴1q =。 13.【2014·安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形ABC

中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，

123A A a =，…，567

A A a =，则7a =_____ ___.

【答案】

14

14.【2014·北京卷（理12）】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8

15.【2014·天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】1

2

-

【解析】依题意得2214S S S =，所以()()2

1112146a a a -=-，解得112

a =-

. 16.【2014·江西卷（文13）】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】7

18

d -<<-

【解析】 因为170a =>，当且仅当8n =时n S 取最大值，可知0d <且同时满足890,0a a ><， 所以，89770780

a d a d =+>??

=+

18d -<<-

17.【2014·广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则

1220ln ln ln a a a ++

+= 。

【答案】50

18.【2014·广东卷（文13）】等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则

2122232425log log log log log a a a a a ++++ ＝ .

B

A 1

C

第12题图

A

A 2

A 3 A 4

A 5

A 6

【答案】5

19.【2014·上海卷（理10，文,8）】设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞

→a a a n ，

则q= .

20.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减

()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分

（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知

数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1

2

n m +=

，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2

n

m =

，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*

n N ∈），12n n a a +-=

因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分

21.【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2

560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ??

?

???

的前n 项和. 【解析】：（I ）方程2

560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为

d ,，则422a a d -=，故d=12

，从而13

2a =

，

所以{}n a 的通项公式为：1

12

n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ??

????

的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n n a n ++=， 则：234134512

22222n n n n n S +++=

+++++ 34512134512222222

n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 3412121311123112

12422

224422

n n n n n n n S ++++++????=++++

-=+-- ? ????? 所以1

4

22n n n S ++=-

………12分 22.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{

}

12

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：123111n

++<…+.

【解析】 （1）

的等比数列。

公比为是首项为3,23

21}21{∴).21(3211321a ∴.

*N ∈.n 13,111n 11=+++=++=+

+==++a a a a a a a n n n n n (2)由（1）知1322n n a +=，故3-112

23-1

n n n n a a ==，，

111a =，当1n >时，-1121

3-13

n n n a =<； 所以

12-1123

1

1-

111

1111313

311-133

32321-3

n n n n a a a a ++++

<++++==<（），

故

123111

132

n a a a a ++++

< 23.【2014·全国大纲卷（理18）】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，

且4n S S ≤.

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10

5

3

2

d -＃-

，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()1

1111331033103133n

b n n n n ??=

=- ?----??

，于是

()

12111111

111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ??????????=++

+=-+-+

+-=-= ? ? ? ?

??----????

??????24.【2014·全国大纲卷（文17）】数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.

（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.

【解析】（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列； （1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是

1

1

1

()(21)n

n

k k k k a

a k +==-=-∑∑

于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.

25.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1

1

+--n n n a a n

求数列}{n b 的前n 项和n T 。 【解析】（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===

4122421,,S S S S S S =∴成等比

解得12,11-=∴=n a a n （II ）)1

21

121()1(4)1(111

++--=-=-+-n n a a n b n n n n n

)

1

21

121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1

221211+=+-=∴n n

n T n

)

1

21

121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当1

22

21211++=++=∴n n n T n

???????+++=∴为奇数为偶数n n n n n n

T n ,1

222,1

22

26.【2014·山东卷（文19）】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设(1)2

n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .

【解析】（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =

.

26.【2014·安徽卷（理21）】设实数0>c ，整数1>p ，*

N n ∈. (Ⅰ)证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(；

(Ⅱ)数列{}n a 满足p

c a 1

1>，p

n n n a p

c a p p a -++-=

111，证明：p n n c a a 1

1>>+。 【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明

（1）当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立。 （2）假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立 当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++

21(1)1(1)k x kx k x =+++>++

所以1p k =+时，原不等式成立。

综合（1）（2）可得当当1->x 且0≠x 时，对一切整数1p >，不等式px x p +>+1)1(均成立。

（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明1p

n a c >。

（1）当1n =时由假设11p

a c >知1p n a c >成立。 （2）假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式1p

k a c >成立 由p

n n n a p

c a p p a -++-=

111易知0,*n a n N >∈ 当1n k =+时

1111(1)p k k p k k

a p c c

a a p p p a -+-=+=+- 由10p

k a c >>得111(1)0p k

c

p p a -<-

<-<

由（Ⅰ）中的结论得111(

)[1(1)]1(1)p p k p p p k k k k

a c c c

p a p a p a a +=+->+?-= 因此1p k a c +>，即1

1p

k a c +>

所以当1n k =+时，不等式1p

n a c >也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n ，不等式1

p

n a c >均成立。 再由

111(1)n p n n a c

a p a +=+-得11n n

a a +<，即1n n a a +< 综上所述，1

1,*p

n n a a c n N +>>∈

证法2：设1

11(),p p p c

f x x x x c p p

--=+≥，则p x c ≥，并且

11'()(1)(1)0p p p c p c

f x p x p p p x

---=+-=->，1

p x c >

由此可见，()f x 在1[,)p

c +∞上单调递增，因而当1p x c >时11()()p p

f x f c c ==。 （1）当1n =时由1

10p a c >>，即1p a c >可知

1211111

11[1(1)]p p p c c

a a a a a p p p a --=

+=+-<， 并且1

21()p

a f a c =>，从而112p

a a c >> 故当1n =时，不等式11p

n n a a c +>>成立。

（2）假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11p

k k a a c +>>成立，则

当1n k =+时11()()()p

k k f a f a f c +>>，即有112p

k k a a c ++>>， 所以当1n k =+时原不等式也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n ，不等式1

1p

n n a a c +>>均成立。

27.【2014·安徽卷（文18）】数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.

(Ⅰ)证明：数列n a n ??????

是等差数列；

(Ⅱ)

设3n n b ={}n b 的前n 项和n S .

123+1

+1

+12333333(13)

313

(12)332

n n n n n n S n n n -=+++

+-??-=-?--?-=

【解析】（Ⅰ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a

n n

+-=+ 所以{

}n a n

是以111a

=为首项，1为公差的等差数列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1(1)1n a

n n n

=+-?=，所以2n a n =，从而3n n b n =?

1

2

3

132333

3

n

n S n =?+?+?++?

①

234+1

3132333-133n n n S n n =?+?+?+

+?+?（）②

①－②得：

所以+1(21)33

4n n n S -?+=

28.【2014·浙江卷（理19）】已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*

∈=N n a a a n

b n 221 .若{}n

a 为等比

数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ； （2）设()

*∈-=

N n b a c n

n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；

（ii ）求正整数k ，使得对任意*

∈N n ，均有n k S S ≥．

【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，

同时考查运算求解能力。满分14分。 （I ）由题意，()()*

∈=

N n a a a n

b n 221 ，32

6b b

-=

，知32

38b b a -=

=，

又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈， 所以(

)

()

112

123

2

n n n n n a a a a ++==

，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *

=+∈；

（II ）（i ）由（I ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *

??=

-=--∈ ?+??

，所以11()12n n

S n N n *=-∈+；

（ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11

112n n

n n c n n +??=

-??+??

，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()

5

1551122

n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．

29.【2014·浙江卷（文19）】已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，

2336S S ?=

（1）求d 及n S ；

（2）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++

+=.

【解析】本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。（1）由题意，36)33)(2(11=++d a d a ， 将11=a 代入上式得2=d 或5-=d ，

因为0>d ，所以2=d ，从而12-=n a n ，2

n S n =（*∈N n ）.

（2）由（1）知，)1)(12(1+-+=+???++++k k m a a a k n n n ， 所以65)1)(12(=+-+k k m ，

由*

∈N ,k m 知，1)1)(12(>+-+k k m ，

所以?

??=+=-+5113

12k k m ，所以???==45k m .

30.【2014·北京卷（理20）】对于数对序列1122(,),(,),

,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，

112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中

112max{(),}k k T P a a a -++

+表示1()k T P -和12k a a a ++

+两个数中最大的数，

（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值. （2）记

m 为,,,a b c d

四个数中最小值，对于由两个数对

(,),(,)a b c d 组成的数对序列

(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的

大小.

（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）. 【解析】解：（I ）1()257T P =+=

{}11()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+=8 （Ⅱ）2()T P {}max ,a b d a c d =++++ 2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++.

当m=a 时，2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++

因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2(')T P 当m=d 时，2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++

因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2(')T P 。 所以无论m=a 还是m=d ，2()T P ≤2(')T P 都成立。

（Ⅲ）数对序列:P （4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()T P 值最小， 1()T P =10， 2()T P =26， 3()T P =42， 4()T P =50， 5()T P =52

31.【2014·北京卷（文15）】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，

420b =，且{}n n b a -是等比数列.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.

【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：41123

333

a a d --===， 所以1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==L ， 设等比数列{}n n

b a -的公比为q ，由题意得：3

44112012843

b a q b a --=

==--，解得2q =.

所以1

111()2n n n n b a b a q

---=-=，从而132(1,2,)n n b n n -=+=L .

（II ）由（1）知，1

32

(1,2,)n n b n n -=+=L ，

数列{}3n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列{}1

2n -的前n 项和为1212112

n n -?=--，

所以数列{}n b 的前n 项和为

3

(1)212

n n n ++-. 32.【2014·天津卷（文理19）】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，

集合{}11

2

,,1,2,

,n n i A x x x x q x q x M i

n -+?=

=++

.

（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A ?，112n n s a a q a q -=++

+，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M ?，

1,2,,

i n =. 证明：若n n a b <，则s t <.

【解析】本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.

可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. （Ⅱ）证明：由,s t A ?，112n n s a a q a q -=++

+，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M ?，

1,2,,

i n =及n n a b <，可得

()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-+

+-+-

()()()21111n n q q q q q q --?+-++--

()()

11111n n q q q q

----=

--

10=-<. 所以，s t <.

33.【2014·福建卷（文17）】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.

（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log n

n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得

14

1

3

81a q a q =??=?， 解得11

3

a q =??

=?，

因此，13n n a -=.

（2）因为3log 1n n b a n ==-，

所以数列{}n b 的前n 项和21()22

n n n b b n n

S +-==. 34.【2014·辽宁卷（理17）】已知首项都是1

的两个数列

（

）

，满足

.

(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若

，求数列

的前n 项和.

【解析】（1）因为，

所以

1112,2n n

n n n n

a a c c

b b +++-=-= 所以数列{}n

c 是以首项11c =，公差2

d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列

前n 项和0111333(21)3n n S n -=?+?+

+-?

1231333(21)3n n S n =?+?+

+-?

相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+?++--?=--?

所以(1)3 1.n n S n =-?+

35.【2014·陕西卷（理文16）】ABC ?的内角C B A ，，

所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，

成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，

成等比数列，求B cos 的最小值. 【解析】解：（1）

c b a ，，成等差数列 2a c b ∴+=

由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=

sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+

()sin sin 2sin A C A C ∴+=+

（2）

c b a ，，成等比数列

22b ac ∴=

由余弦定理得2222221

cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--=

=== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）

22

12a c ac

+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）

2211112222

a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）

即1

cos 2

B ≥

所以B cos 的最小值为

12

36.【2014·湖南卷（理20）】已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈ （1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1

2

p =

，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11n

n n n n a a a a p ++-=-=。而11a =，因此又123

,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而2

30p p -=，解得1

,03

p p =

= 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。故13

p =.

（Ⅱ）由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是 但

221

1122n n -<，所以()()2122210n n n n a a a a +--+-< ① 21

2221

a

a a a

n n n n -<-+-. ② 又①，②知，2210n n a a -->，因此222121211(1)()22

n n

n n n a a -----== ③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故

221

21221(1)22

n

n n n

n

a a ++?? ???

--=-= ④ 由③，④即知，1

1(1)2

n n n n

a a ++--=。 于是121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1 (222)

n

n --=+-++

1

1

1()1211212

n ---=+?

+141(1)332n n --=+?. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332

n

n n a --=+?

37.【2014·湖南卷（文16）】 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n

n S n ，2

2. （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设()n n

a

n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.

【解析】(I)当1n =时,111a S ==;

当2n ≥时,()()2

2

111,2

2

n n n n n n

n a S S n --+-+=-=

-=

故数列{}n a 的通项公式为n a n =.

（II ）)由(1)可得()21n

n

n b n =+-,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则

()()12221

2

222212342.

222,12342,n n n

T n A B n =++

++-+-+-

+=++???+=-+-+-???+记则

[]2n 212(12)22

12

(12)(34)(21)2.

n A B n n n +-==-==-++-++???+--+= 故数列{}n b 的前2n 项和2n 1222n T A B n +=+=+-.

38.【2014·江西卷（理文17）】已知首项都是1

的两个数列

（

）

，满足

.

(3) 令，求数列的通项公式； (4) 若

，求数列

的前n 项和.

【解析】（1）因为，

所以

1112,2n n

n n n n

a a c c

b b +++-=-= 所以数列{}n

c 是以首项11c =，公差2

d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列

前n 项和0111333(21)3n n S n -=?+?+

+-?

1231333(21)3n n S n =?+?+

+-?

相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+?++--?=--?

所以(1)3 1.n n S n =-?+

39.【2014·江西卷（文16）】已知数列

{}n a 的前n 项和*∈-=N

n n n S

n

，2

32.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：对任意1>n ，都有*

∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 【解析】（1）当1n =时111a S == 当2n ≥时 ()2

21

31

133222

n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-

检验 当1n =时11a =，32n a n ∴=-

（2）使m n a a a ，，1成等比数列. 则21n m a a a =，()2

3232n m ∴--=，

即满足()2

233229126m n n n =-+=-+，所以2342m n n =-+ 则对任意1>n ，都有2342n n N *-+∈

所以对任意1>n ，都有*

∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 40.【2014·湖北卷（理16）】已知等差数列

满足：=2，且，

成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小

值；若不存在，说明理由.

【解析】（I ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意，d d 42,2,2++成等比数列，

所以)42(2)2(2

d d +=+，化简得240d d -=，解得0=d 或4=d ，

当0=d 时，2=n a ；当4=d 时，244)1(2-=?-+=n n a n ， 从而得数列}{n a 的通项公式为2=n a 或24-=n a n .

（II ）当2=n a 时，n S n 2=，显然800602+n S n .成立

当24-=n a n 时，222

)]

24(2[n n n S n =-+=

，

令8006022

+>n n ，即0400302

>--n n ， 解得40>n 或10-

此时存在正整数n ，使得80060+>n S n 成立，n 的最小值为41. 综上所述，当2=n a 时，不存在满足题意的n ；

当24-=n a n 时，不存在满足题意的n ；n 的最小值为41.

41.【2014·湖北卷（文19）】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的

最小值；若不存在，说明理由.

【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有学科网

2(2)2(24)d d +=+，

化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；

当d =4时，2(1)442n a n n =+-?=-，

从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.

（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，

此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]

22

n n n S n +-=

=.

令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），

此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；

当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.

42.【2014·四川卷（理文19）】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1

2ln 2

-

，求数列{}n n

a

b 的前n 项和n T 。 【解析】（1）点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上，所以2n a

n b =，又等差数列{}n a 的公差为d

所以1

112222

n n n n a a a d n a n b b ++-+===

因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以8

7842a b b ==，所以8

7

24d b b =

=2d ?= 又12a =-，所以221(1)

232

n n n S na d n n n n n -=+

=-+-=- （2）由()2()2ln 2x

x

f x f x '=?=

函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a

y b x a -=- 所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而2112ln 2ln 2

a -=-，故22a = 从而n a n =，2n n

b =，

2

n n n a n b = 231232222n n n T =

++++ 2341112322222n n n T +=++++ 所以23411111112222222n n n n T +=+++++-111211222

n n n n n +++=--=-

故2

22

n n n T +=-

43.【2014·重庆卷（理文22）】设111,(*)n a a b n N +==∈

（1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；

（2）若1b

=-，问：是否存在实数c 使得221

n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.

【解析】（Ⅰ）解法一：232,1a a =

再由题设条件知()()22

1111n n a a +-=-+，从而(){}2

1n a -是首项为0公差为1的等差数列，

故()2

1n a -=1n -，即()*1,n a n N =∈

解法二：232,1a a ==

可写为1231,1,1,a a a ==.因此猜想1n a =. 下用数学归纳法证明上式： 当1n =时结论显然成立.

假设n k =时结论成立，即1k a =.则

1111k a +=

=

=

这就是说，当1n k =+时结论成立.

所以()*1,n a n N =

∈

（Ⅱ）解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.

令()c f c =，即1c =

，解得14

c =

. 下用数学归纳法证明加强命：

2211n n a c a +<<<

当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以231

14

a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<

易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>= 即2221k c a a +>>>

再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14

c =.

解法二：设()1f x =

，则()1n n a f a +=

先证：01n a ≤≤()

*

n N ∈…………………………①

当1n =时，结论明显成立.