10知识讲解_正弦函数、余弦函数的图象_提高

正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】

1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；

2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象． 【要点梳理】

要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1．描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法． 2．几何法

利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．

3．五点法

先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．

在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是

)0,2(),1,2

3

(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-

要点诠释：

（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点．

（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．

（3）由诱导公式cos sin()2

y x x π

==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左

平移

2

π

个单位长度得到． 要点二：正弦曲线、余弦曲线

（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

（2）图象

要点诠释：

（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质．

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数．

要点三：函数图象的变换

图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．

sin sin()sin()y x y x y A x ?ω?=→=+→=+

【典型例题】 类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象 例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象． （1）1

1cos 3

y x =-；（2）3sin 2y x π??=+

??

?

． 【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数11cos 3

y x =-在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y 轴对称的图象即可．（2）由于3sin |cos |2y x x π?

?

=+= ??

?

，因此只需作出函数y=|cos x|，x ∈[－2π，2π]的图象即可． x

2

π π

32

π 2π

1

1cos 3

y x =-

23

1

43

1

23

（2）函数y=|cos x|，x ∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x ，x ∈[－2π，2π]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

【总结升华】作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．

举一反三：

【变式1】用五点法作出下列函数的图象．

（1）2sin y x =-，[0,2]x π∈；

（2）cos 6y x π??

=+

??

?

，11,66x ππ??

∈-

????

． 【思路点拨】（1）取[0,2]π上五个关键的点（0，2）、（2

π

，1）、(,2)π、3(,3)2π、

（2π，2）．（2）取11,66ππ??

-

????

上五个关键的点． 【解析】（1）找出五点，列表如下：

x

0 2

π

π

32

π 2π

sin u x =

0 1 0 －1 0 y=2－u

2

1

2

3

2

描点作图（如下图）．

（2）找出五点，列表如下：

6

u x π

=+

2π π

32π 2π

x

6

π-

3

π 56

π 43

π 116

π

y=cos u 1

－1

1

描点作图（如下图）．

【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．

类型二：利用图象变换作出函数的图象 例2．（1）作函数21cos y x =- （2）作函数cot sin y x x =的图象．

【思路点拨】（1）要善于利用函数()y f x =的图象来作|()|y f x =及(||)y f x =的图象．

（2）函数cot sin y x x =的定义域为{}|,≠∈x x k k z π，因此作出函数cos y x =的图象后，要把

=x k π（k ∈Z ）对应的点去掉．

【解析】 （1）将21cos y x =-化为|sin |y x =，其图象如下图．

（2）当sin 0≠x ，即≠x k π（k ∈Z ）时，有cos sin cos sin =?=x

y x x x

，即cos y x =（≠x k π，k ∈Z ）．其图象如下图．

【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数()f x -的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，()f x -与()f x 的图象关于x 轴对称，()f x --和图象与()f x 的图象关于原点对称，

(||)f x 的图象关于y 轴对称．

举一反三：

【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：1cos y x =-．

【解析】先作出cos y x =的图象，然后利用对称作出cos y x =-的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．

类型三：利用函数图象解简单的三角不等式 例3．根据正弦曲线求满足3

sin 2

x ≥-

的x 的范围． 【思路点拨】先在一个周期内求出x 的范围，然后加上周期的整数倍． 【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x 与3

2

y =-

的图象，如下图．

观察在一个周期的闭区间

3

,

22

π

π

??

-??

??

内的情形，满足

3

sin

2

x≥-的

4

,

33

x

π

π

??

∈-??

??

．

因为正弦函数的周期是2π，所以满足

3

sin x≥-的x的范围是

4

2,2()

33

k k k Z

π

πππ

??

-+∈

??

??

．

【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或

3

,

22

ππ

??

-??

??

；对于y=cos x，

观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．

（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．举一反三：

【变式1】（2016 河南南阳月考）（1）已知函数y=3cos x，

4

(,)

33

x

ππ

∈-，求单调区间、最值及取得

最值条件．

（2）已知

31

2

θ

-<<，求θ的范围．

【思路点拨】（1）画出y=3cos x，

4

(,)

33

x

ππ

∈-的图象，由图象直接写出答案．

（2）直接根据正弦函数的图象和性质，得到θ的范围．

【解析】（1）画出y=3cos x，

4

(,)

33

x

ππ

∈-的图象，如图所示，

由图象可知单调增区间为

4

(,0),(,)

33

ππ

π

-，单调减区间为（0，π）时，当x=0时，有最大值，最大

值为3，当x=π时，有最小值，最小值为－3；

（2）∵31

sin

2

θ

≤<，

∴2236k k π

π

πθπ-

+<<

+，或

542263

k k πππθπ+<<+，k ∈Z ，

∴θ的范围为54{|22,22,}3663

k k k k k Z ππππ

θπθππθπ-+<<++<<+∈或．

类型四：三角函数图象的应用

例4．（1）方程lg sin x x =的解的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

（2）（2015 四川广安模拟）已知函数()sin 2|sin |f x x x =-，x ∈[0，2π]，作出函数()f x 的图象；讨论直线y =k 与函数()f x 的交点个数，并求此时的k 的取值范围．

【解析】（1）作出lg y x =与sin y x =的图象，当5

2

x π=

时，5lg 12y π=<，5sin 12y π==，

当92x π=时，9

lg 12

y π=>，lg y x =与sin y x =再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．

（2）sin [0,]

()3sin [,2]

x x f x x x πππ-∈?=?

∈?的图象如图，

由图象可知：

当k ＞0或k ＜―3时，直线y =k 与函数()f x 有0个交点； 当k =―3时，直线y =k 与函数()f x 有1个交点； 当―3＜k ＜―1时，直线y =k 与函数()f x 有2个交点； 当k =0或k =―1时，直线y =k 与函数()f x 有3个交点； 当―1＜k ＜0时，直线y =k 与函数()f x 有4个交点．

【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．

举一反三：

【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围． 【解析】用“五点法”作出y=sin x ，y=cos x （0≤x ≤2π）的简图如图．

由图象可知（1）当4

x π

=或54

x π

=

时，sin x=cos x ． （2）当

544

x π

π

<<

时，sin x ＞cos x ．

（3）当04x π≤<或524

x π

π<≤时，sin x ＜cos x ．

故x ∈[0，2π]时要使sin x ＞cos x ，则x 的取值范围为5,44ππ??

??

?

．