高考文科导数考点总结

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高考导数文科考点总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），

比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00。如果当0→?x 时，x y

??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）

在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →?x x y

??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y

??不存在极限，就说函

数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y

x ??→?0lim

。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:

①

0;

C'=②

()1;

n n

x nx-

'=

③

(sin)cos

x x

'=

; ④

(cos)sin

x x

'=-

;

⑤();

x x

e e

'=

⑥

()ln

x x

a a a

'=

; ⑦

()1

ln x

x

'=

; ⑧

()1

l g log

a a

o x e

x

'=

.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即：(

.

)'

'

'v

u

v

u±

=

±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

.

)

('

'

'uv

v

u

uv+

=

若C为常数,则

'

'

'

'

'0

)

(Cu

Cu

Cu

u

C

Cu=

+

=

+

=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数

的导数：

.

)

('

'Cu Cu=

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除

以分母的平方：

?

?

?

?

?

v

u

‘=2

'

'

v

uv

v

u-

（v≠0）。

形如y=f [x(?])

的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇

|X= y＇|U·u＇|X 导数应用知识清单

单调区间：一般地，设函数

)

(x

f

y=在某个区间可导，

如果

'

f)

(x0

>，则)

(x

f为增函数；

如果

'

f0

)

(<

x，则)

(x

f为减函数；

如果在某区间内恒有

'

f0

)

(=

x，则)

(x

f为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f

)

(x在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?

)

(x在(a，b)内的极值；

②求函数?

)

(x在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．

32

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2

=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；

3．函数3

31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线3

4y x x =-在点

()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4

)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）

3．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=

4．求下列直线的方程：

（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2

x y =过点P(3,5)的切线；

解：（1）

123|y k 23 1)1,1(1x /2/2

3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ

所以切线方程为02

11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为)

,(00y x A ，则

2

00x y =①又函数的导数为x y 2/

=，

所以过

)

,(00y x A 点的切线的斜率为

/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有

3

5

2000--=

x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25

5 110

000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为

;

2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分

别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，

或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数

))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围

解：（1）由

.23)(,)(2

23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：

).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即

而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上

故??

?-=-=+??

?-=-=++30233

23c a b a c a b a 即

∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③

由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(2

3+-+=x x x x f

（2）).2)(23(443)(2

+-=-+='x x x x x f

当;

0)(,32

2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时

13)2()(.0)(,132

=-=∴>'≤

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又

,23)(2

b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x

①当

6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=

b b b f x f b

x 时； ②当

φ∈∴≥++=-'='-≤=

b b b f x f b

x ,0212)2()(,26min 时；

③当.

60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时

综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞

2．已知三次函数32

()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．

(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；

解：(1) 2

()32f x x ax b '

=++，

① ②

由题意得，1,1-是2

320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．

再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3

()32f x x x =--．

(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，

当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '

=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '

=；

当1x >时，()0f x '

>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,

]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．

3．设函数()()()f x x x a x b =--．

（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．

解：（1）

2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．

（2）当b=1时，

()0f x '=令得方程2

32(1)0.x a x a -++= 因

,0)1(42

>+-=?a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('

x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当

时，2x x >)('

x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313

+-=

x x y ( A )

3．方程内根的个数为在)2,0(07622

3=+-x x ( B )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

1．设函数.

10,3231

)(223<<+-+-=a b x a ax x x f

（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.

（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.

解：（1）22

()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a ==

列表如下：

x （-∞，a ） a

（a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0 +

0 -

()f x

] 极小

Z 极大

]

∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减

x a =时，3

4

()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小

（2）22

()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，

∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减

∴

22(1)4(1)321Max

f a a a a a '=-+++-=-，

22min

(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-

依题|()|f x a '≤?||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤

x y o 4 - 2 4 -2 --x y o 4 - 2 4 -2

--x y

y 4 - 2 4 -

2 --6 6 6 6 y

x -

-o 4 2 2 4

解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)5

题型六：利用导数研究方程的根

1．已知平面向量a v =(3,－1). b v

=(21

,23).

（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x v =a v +(t2－3)b v ，y u v =-k a v +t b v ，x v ⊥y u

v ，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况.

解：(1)∵x v ⊥y u v ，∴x y ?v u v =0 即[a v +(t2-3) b v ]·(-k a v +t b v )=0. 整理后得-k 2a v +[t-k(t2-3)] a b ?v v

+ (t2-3)·2b v =0

∵a b ?v v

=0，2a v =4，2b v =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41

t(t2-3)

(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41

t(t2-3)与直线y=k 的交点个

数.

于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43

(t+1)(t-1).

令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变化时，f ′(t)、f(t)的变化情况如下表： t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t)

↗

极大值

↘

极小值

↗

当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21

. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21

函数f(t)=41

t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

(1)当k ＞21或k ＜－21

时,方程f(t)－k=0有且只有一解；

(2)当k=21或k=－21

时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21

时,方程f(t)－k=0有三解.

题型七：导数与不等式的综合

1．设

ax x x f a -=>3

)(,0函数在),1[+∞上是单调函数.求实数a 的取值范围； 解：（1） ,3)(2

a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须,3,02

x a y ><'即这

样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数.

若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2

3x ， 由于

[)33,,12

≥+∞∈x x 故.从而0

()()()

2f x x x a =++

（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的

12(1,0)

x x ∈-、，不等式

125

|()()|16f x f x -<

恒成立

解：

3233()22f x x ax x a =++

+Q ，23'()322f x x ax ∴=++

Q 函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解

2344302a ∴?=-??≥，292a ≥，所以a 的取值范围是33

2][222-∞-+∞U （，，）

'(1)0f -=Q ，

33202a ∴-+

=，94a =，2931

'()33()(1)

222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或

12x >-

；由1'()0,12f x x <-<<-

()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)

2-∞--+∞；单调减区间为

1

(1,)2--