苏科版九年级数学上册辅导讲义()(解析版)

初中数学试卷

九年级数学

活动中心讲义（九）

一．选择题

1．（2013?宁海县模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．将△ACD沿AC折叠为

△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．

①∠BAC=45°；

②四边形AFHG是正方形；

③BC=BG+CF；

④若BD=6，CD=4，则AD=10．

以上说法正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【考点】圆周角定理；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，则

∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数，即可①对于做出判断；由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形；设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长．

【解答】解：连接OB和OC；

∵OE⊥BC，

∴BE=CE；

∵OE=BC，

∴∠BOC=90°，

∴∠BAC=45°，选项①正确；

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°；

由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，

∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，

∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；

∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；

∴四边形AFHG是正方形，选项②正确；

由折叠可得：BD=BG，CD=CF，

∴BC=BD+CD=BG+CF，选项③正确，

由②得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；

设AD的长为x，则BH=GH﹣GB=x﹣6，CH=HF﹣CF=x﹣4．

在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102；

解得，x1=12，x2=﹣2（不合题意，舍去）；

∴AD=12．选项④错误，

则正确的选项有3个．

故选B

【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．

2．（2013?滨湖区校级模拟）如图，已知AB=12，点C、D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，则下列说法中正确的有（）

①△EFP的外接圆的圆心为点G；②△EFP的外接圆与AB相切；

③四边形AEFB的面积不变；④EF的中点G移动的路径长为4．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】切线的判定；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可确定④正确；又由G为EF的中点，∠EPF=90°，可知②错误．故可求得答案．

【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．

∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，

∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，

∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°﹣∠EPA﹣∠FPB=90°，

∴四边形EPFH为平行四边形，

∴EF与HP互相平分．

∵G为EF的中点，

∴G也为PH中点，

即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，

∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．

∵CD=12﹣2﹣2=8，

∴MN=4，即G的移动路径长为4．

故④EF的中点G移动的路径长为4，正确；

∵G为EF的中点，∠EPF=90°，

∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．

∴①④正确．

连接PG，

∵PG≠PF，

∴△EFP的外接圆与AB相交，故②错误；

∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三

个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=

∴AP不断增大，

∴四边形的面积S也会随之变化，故③错误．

故选B．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形外接圆的知识以及三角形中位线的性质等知识．此题综合性很强，图形也很复杂，解题时要注意数形结合思想的应用．此题属于动点问题，是中考的热点．

二．填空题

3．（2015?黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．

【考点】垂径定理；坐标与图形性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．

【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．

∵AB=2，

∴AE=，PA=2，

∴PE=1．

∵点D在直线y=x上，

∴∠AOC=45°，

∵∠DCO=90°，

∴∠ODC=45°，

∴∠PDE=∠ODC=45°，

∴∠DPE=∠PDE=45°，

∴DE=PE=1，

∴PD=．

∵⊙P的圆心是（2，a），

∴点D的横坐标为2，

∴OC=2，

∴DC=OC=2，

∴a=PD+DC=2+．

故答案为：2+．

【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．

4．（2013?日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴

影部分）的面积为（3π﹣）cm2．

【考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．

【专题】压轴题．

【分析】如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

【解答】解：作OH⊥DK于H，连接OK，

∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，

∴A'D=2CD，

∵∠C=90°，

∴∠DA'C=30°，

∴∠ODH=30°，

∴∠DOH=60°，

∴∠DOK=120°，

∴扇形ODK的面积为=3πcm2，

∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，

∴OH=cm，DH=cm；

∴DK=3cm，

∴△ODK的面积为cm2，

∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．

故答案为：（3π﹣）cm2．

【点评】此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．

三．解答题

5．（2012?湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB 上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．

（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；

（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

【考点】圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；

（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂

径定理，求得=，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，继而求得答案．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵PD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠D=∠ACB，

∵∠A与∠P是对的圆周角，

∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC；

（2）解：当点P运动到以OC所在直径交AB的点上时，△PCD≌△ABC，

理由：∵AB，PC是⊙O的直径，

∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，

∵∠A=∠P

在△PCD和△ABC中，

，

∴△PCD≌△ABC（AAS）；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∵△PCD∽△ABC，

∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴=，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠DCB+∠ABC=60°，

∴∠BCD=30°．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．

6．（2012?河北）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t 秒．

（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP=15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；解直角三角形．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；

（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO﹣∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；

②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；

（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：

①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ﹣OP 求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；

②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；

③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9﹣t，PO=t﹣4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．综上，得到所有满足题意的时间t的值．

【解答】解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，

∴OC=OB=3，

又∵点C在y轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（0，3）；

（2）分两种情况考虑：

①当点P在点B右侧时，如图2，

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，

故PO=CO?tan30°=，此时t=4+；

②当点P在点B左侧时，如图3，

由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，

故OP=COtan60°=3，

此时，t=4+3，

∴t的值为4+或4+3；

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，

从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；

②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，

∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9﹣t）2，PO2=（t﹣4）2，

于是（9﹣t）2=（t﹣4）2+32，即81﹣18t+t2=t2﹣8t+16+9，

解得：t=5.6，

∴t的值为1或4或5.6．

【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．