整体把握算法

整体把握算法 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。在本内容中，学生将结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。 问题关注 为什么把算法加入高中数学课程？ 高中数学课程的算法与计算机课程的算法有何差异？ 《课标》的要求 《课标》内容与目标的表述 内容 《课标》目标表述

算法的含义、程序框图 ①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。 ②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

基本算法语句 经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

古代算法案例 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 教育分析 “算法”内容的教育价值主要体现在： 1.培养思维能力 算法具有具体化、程序化、机械化的特点，又有高度抽象性、概括性和精确性。对一个具体算法而言，从算法分析到算法语言的实现，任何一个疏漏或错误都将导致算法的失败。算法是思维的条理化、逻辑化。算法体现出的逻辑化特点被有些学者看成是继形式逻辑和数理逻辑之后逻辑学发展的第三个阶段。 2.培养理性精神和实践能力 算法既重视“算则”，更重视“算理”。对于算法而言，一步一步的程序化步骤，即“算则”固然重要，但这些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用，“算理”是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现。算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系。因而，算法有利于培养学生的理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材。 3.强调解决一类问题的通性通法 点到直线的距离、点到平面的距离、平面到平面的距离、直线到平面的距离等问题的算法，其本质是相同的。这就是说，同一个算法可以解决求距离的一类问题。所以算法强调了解决一类问题的通性通法。通过算法的学习，将使学生对通性通法意义的认识得以深化。 4.了解中国古代数学的发展状况和特点 中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就。现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力。算法进入中学数学课程，可以让学生进一步了解中国古代数学的成就与特点，增强民族自豪感。 数学分析 1.算法的定义及其现代意义 算法（algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的和有效的，而且能够在有限步之内完成。也就是说，解决一个问题所采取的方法（明确、有效、有限）顺序，是算法的核心。比如，解线性方程组的消元法、求两个数的最大公约数，其解决过程都

可以用算法来表示。求一元二次方程22390xx的解，用公式法解的步骤基本上是固定的：先计算判别式，然后判别它是否大于等于0，若大于等于0，那

么该方程有实根，用求根公式求出121.5,3xx；若判别式小于0，那么原方程没有实数解，可以求出复数解。公式法具有一般性，即这些步骤对任何一个一

元二次方程20(0)axbxca都是可行的，这就是一个算法。 2.算法是计算机科学的基础 数学的应用和数学与计算机科学的同步发展是20世纪数学的两个重要的标志。这两个标志的所有成就，无不与计算机密切相关。而计算机和算法有着密切的联系，计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。所以算法在其中起了重要的作用。因此，人们说算法是计算机科学的重要基础，没有算法也就没有计算机是毫不为过的。 3.算法在构造性数学中有重要作用 证明一个方程有解，通常有两种做法，一种是构造的方法，直接构造出该方程的解；另一种是用反证法，先假定该方程的解不存在，然后推出矛盾。但后一种方法无法知道这个解是什么。算法给出的是第一种方法的解。由于算法能够构造出方程的解，所以算法在构造性数学中十分重要。 4.中国古代数学以算法为主要特征 中国古代数学是以算法为主要特征的，这可从中国古代数学家的著作中看出端倪。其中最具代表性的是《九章算术》，它是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。其内容按类分章，以数学问题的形式出现，包括分数四则运算、开平方与开立方、盈不足术、各种面积和体积公式、高次方程根的求法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展史上遥遥领先。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。在随后11~14 世纪约三百年期间著名的数学家的数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》中，算法的特点得到了进一步的强化和发展。 教学问题关注 1．为什么把算法加入数学课程？ （1）时代的需要 20世纪数学发生了很大的变化，这种变化有两个重要的标志，一个是数学的应用，另一个就是数学与计算机科学的同步发展。数学对计算机科学发展的作用是毋庸置疑的，计算机之父有两个人，一个是图灵，一个是冯．诺伊曼，他们都是伟大的数学家。对于计算机来说，无论是软件还是硬件都离不开算法的设计，算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。计算机的应用也是一样的，它离不开程序设计，程序设计就是算法设计。从另一个角度看，计算机的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。 了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。 （2）与传统的内容有密切的联系 算法并不是一个十分陌生的东西。虽然，在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但是，它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。例如，求解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组；求解不等式；求解线性规划问题；几何作图，几何证明，等等，都可以说是算法问题。了解了算法的基本知识，就会对这些问题有一个新的认识。 （3）能引起学生的兴趣 算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它会使学生产生成就感。在新课程实验地区的很多教师告诉我们，学生对算法很喜欢，容易教，学生爱学，学生还有很多的创造；有一些学生过去不太喜欢数学，通过学习算法，经过操作，验证，渐渐地喜欢上了数学，数学成绩也有了一定的提高。 （4）对教师没有太大的难度 对教师来说，过去对算法不太熟悉，在大学的学习中没有专门学习过算法的知识，有一定的畏惧，这是很正常的。实际上，算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训，是不会有困难的。有些地、市、县教研室采取了一些有效的措施，例如，分成小组，分工备课，集体研讨，教案共享，很好地解决了这个问题。 在对实验区的调研中，很多教师告诉我们，教了一遍下来，心里就踏实了，积累了一些经验。我们正在及时地总结这些经验，将通过一定方式告诉广大教师们。 （5）算法将对未来的数学课程将产生很大的影响 算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反映。我们已经了解到有一批硕士、博士研究生开始研究这些问题。这些研究成果一定会反映在下一轮数学课程改革中。我们估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究： ①大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来，例如，计算方法课程融入了大量的算法内容；有一些学校在尝试把“算法”内容与计算机程序设计有机地结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。在师范大学数学课程中必然会给予更为特别的关注。 ②“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。 ③“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能（skill）,淡化技巧（trick）。 ④“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。它与平面几何有很多相同的东西。例如，不需要很多的准备知识，可以产生丰富的问题，这些问题会很有趣的，也会有一定的挑战性。另外，还有几点好处是平面几何所不具备的。例如，算法的思想方法会渗透到几乎每一个数学内容中，不仅是中学，在大学数学教育中依然会发挥重要的作用。但是，平面几何在后继学习中有用的方法和结果却不是很多。又例如，“算法”强调了一种构造性的证明，突出“实现”，这就是我们在前面提到的所谓“构造性数学”。这种思想在数学上已受到越来越大的重视，尤其在计算机的作用发挥越来越大的时代，显得更加重要。“算法”这种证明方式是通过框图的形式展示，一个问题的算法框图可以把解决这个问题的过程非常清晰、直观、简洁、准确地表示出来。这对学习和掌握数学的思维过程是非常有用的。 “算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。 2. 高中课程的算法与计算机课程的算法有何差异？ 在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分： 一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法基本思想，算法基本结构，算法基本语句。 另一部分通过一些具体的案例介绍算法的基本思想，使学生了解：为了解决一个问题，设计出解决问题的系列步骤，任何人实施这些步骤就可以解决问题，这就是解决这个问题的一个算法。这是对算法的一种广义的理解。 算法的基本结构一般有三种：顺序结构、分支结构、循环结构。 算法的基本语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，等等。因此，高中数学课程对算法教学的定位，重在“算理”，学生通过学习算法能初步理解和体会算法的思想，并能根据实际问题设计出相应的算法框图。 计算机课程的算法侧重于将算法框图用算法语言编程，使其能在计算机上实现。现在使用的算法语言是很多的，例如，basic 语言，q-basic 语言，c-语言，等等。在高中的数学课程中，不要求介绍算法语言，仅仅需要了解基本语句。在不同的语言中，这些语句的表示可能不一样，数学课程要求采用公认的统一表示，称为伪代码。伪代码很容易被翻译成任何一种算法语言。 只有明确在高中数学课程与计算机课程中算法的区别，在教学中才能把握好重点，实现《课标》的目标。