北京市9区2012届高三上学期期末考试试题--数学

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北京市通州区2012届高三上学期理科数学期末摸底考试及答案

北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷2012年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33ab<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B两点的距离为（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7mB ．78.7mC ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --= B ．250x y +-= C．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是23，那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是22，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ；（Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和，且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围.20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且抛物线上一点(22,)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案2012、1 一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．25 13．②，④ 14．22± 三、解答题15．解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos2f x x x =+2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………..3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()22f x -≤≤.所以函数()f x 的最小正周期是π；最大值是2. ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤，所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是2-.所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是2-. ………………………. 13分16．（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ， ∴//BF 平面A. ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=.∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅16.661==⨯ 如图所示，二面角B AC E --为锐角.∴二面角B AC E --的余弦值是6.6………………………….. 13分17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”，所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分（Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7……………………….. 6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ……………………….. 10分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………….. 12分所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3= …………………..13分18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ………………………..2分因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ………………………..4分所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e =-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………….. 13分19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = …………………….. 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n n na S =，所以()111.2n n n a S +++=所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-=所以当2n ≥时，1.1n n a na n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =，所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭…………………………..7分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ……………………….. 10分因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立.所以2331..122122n m n n n n>=++++. ……………………….. 12分因为12n n+≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.所以124n n ++≥.所以11142n n ≤++所以3.8m > ……………………..14分20．解：（Ⅰ）因为点()22,M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()22,M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()22,M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3.所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分因为1m >，所以4a =. .. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ………………………..5分所以221,24161622 1.2k k x k k ±+==±+ 因为3AF FB = ，且0k > 所以()222213212.k k k k ++=⋅+- …………………….. 7分所以212.k k += 所以21.3k = 所以33k =（舍负）所以k 的值是3.3 ………………….. 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- …………………….. 9分由24x y =，所以21.4y x = 所以1.2y x '= 所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-，切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- ………………………….. 11分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅= …………………………..14分。

北京第九十二中学高三数学理上学期期末试题含解析

北京第九十二中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝()A．1 B．C．－1 D．－参考答案：C2. 已知等差数列{a n}的前项和为S n，若=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），则S2010=（）A．1005 B．1010 C．2009 D．2010参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用向量共线定理可得：a1005+a1006=1，再利用等差数列的求和及其性质即可得出．【解答】解：∵=a1005O+a1006，且A、B、C三点共线（该直线不经过坐标原点O），∴a1005+a1006=1，则S2010==1005（a1005+a1006）=1005，故选：A．3. 是虚数单位A. B. C. D.参考答案：C 4. 复数z＝，则( )A.|z|＝2B.z的实部为1C.z的虚部为－iD.z的共轭复数为－1＋i参考答案：D5. 设全集U＝R，A＝{}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x | x>0} B．{x | x<－1}C．{x|－3<x<0} D．{x|－3<x<－1}参考答案：D6. 复数的实部与虚部之和为（）A．-3 B．-11 C．6D．4参考答案：B考点：复数的四则运算．7. 已知向量,,且，则的值为( )A．B．C． D．参考答案：B8.将式子展开整理后，含项的系数为A．0 B．36 C．48D．-30参考答案：答案:C解析:展开式中通项为．由得．由得，∴由的系数为由．9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（）A.24种B.30种C.36种D.81种参考答案：B10.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知半径为l的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为________.参考答案：略12. 某几何体的三视图（单位：m）如图所示，则其表面积为＿＿＿参考答案：依题意可得该几何体是一个组合体，它的上部分与下部分都是四棱锥，中间是—个正方体，上部分的表面积为=m2，中间部分的表面积为(m2)，下部分的表面积为(m2)，故所求的表面积为m2．13. 已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若，，则当T n 取最大值时，n 的值为_____.参考答案：4 【分析】设等比数列{a n }的公比为，求得，得到，进而利用指数函数的性质，即可判定，得到答案.【详解】设等比数列{a n }的公比为，因为，，可得，解得，则，当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数在R 上递减，又由，，，可得，当，且n 为偶数时，，故当时，T n 取最大值.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式求得公比，进而利用等差数列的求和公式，得到的表达式，结合指数函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14. 满足约束条件的目标函数的最小值是参考答案：－2.作出约束条件表示的平面区域可知，当，时，目标函数取最小值，为－2.15. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）．参考答案：①④【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】①∵若m⊥α，m⊥n，∴n ?α或n∥α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m⊥α，m⊥n，则n ?α或n∥α，再由面面平行的判定定理判断．④若m⊥α，α∥β，由面面平行的性质定理可得m⊥β，再由n∥β得到结论．【解答】解：①∵若m⊥α，m⊥n，∴n ?α或n∥α 又∵n⊥β， ∴α⊥β；故正确．②若m∥α，n∥β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确．③若m⊥α，m⊥n，则n ?α或n∥α，由面面平行的判定定理可知，只有n∥β，两平面不一定平行，故不正确．④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又∵n∥β，则m⊥n．故正确．故答案为：①④【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．16. 已知=3，，则=．参考答案：考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：∵=3，，则===．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．17. 设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是_____参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题数学（理） 2012.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（）A ． 2788n n +B ．2744n n+ C ．2324n n + D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ．1 B ．1- C ． 2- D ．05.已知函数()sin f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD的边长为，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有辆.ADB NMOC时速（km/h ）01002 003 00440 50 60 70 8010．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =AB AC 的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X的分布列及数学期望．17. （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面S AD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB ==，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分）数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .参考答案 2012.1一、选择题：二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分又B 为锐角，则3B π=. …………………………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是222cos214b c a A bc +-===， ………………………… 11分所以cos cos 2114AB AC AB AC A cb A ====． …………… 13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况．所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分所以X 分布列为：所以533EX np ==⨯=．所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，AD ，所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC .即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．在Rt CDS ∆中，tan CD CSD SD ∠===所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥．又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分如图，以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则)S，,0,0)A ，,0)B，(,0)C ，(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分（Ⅰ）易知2(0,3,0),(,0,)CD a SA a =-= 因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有00SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0=⎪-=⎩，所以=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE 为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分所以 1cos ,2<>==n m ，所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++，则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分（1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分（2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以x =.因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为)+∞，函数()f x 的单调递减区间为. ………………………………………………………………… 10分（Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为，则()f x的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意.所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =.所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分（Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k+=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切，由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++ 2236(1).34k k=++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. …………………… 13分所以直线m的方程为4)y x =-. …………………………………… 14分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==.所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立. ②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l ll a b a a ++==<. 综上所述，猜想成立.所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故211,12.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列,11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m++11，即1111n n c c m +->-.…… 12分因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+.故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。

北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则AB 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是 .13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A BC D 中，12AA=AD=，E 是棱CD 上的一点．（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；组别分组频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t +=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. （Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩，，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+- …………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x取得最小值12-. …………………13分（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分（Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分（Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ．因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点，所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分又DE ∥11A B ，且1112DE A B =．所以PM ∥DE ，且PM DE =，所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分（17）（本小题满分13分）A 1B 1CBD 1C 1ADEPM解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,AB AC AD BC BD CD XY 共7种情况． …………………………………………………………………………11分所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分（18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．设2()2h x ax x a =-+，（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得10x a <<或1x a>；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a <<．………………………9分所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,33E F -.所以833EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +. 所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++, …………………………………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 142 6当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分（Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+所以2211n n n n n+<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 510 15 20 25。

2012届高三数学上学期期末练习理北师大版

北京市丰台区2011—2012学年度高三第一学期期末练习（数学理）2012.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A ={x ∣x <4}，B ={x ∣x 2<4}，则(A) A ⊆B (B) B ⊆A(C) A ⊆RB (D) B ⊆RA2．在复平面内，复数2i1+i对应的点位于 (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)23(B)43(C) 2 (D)65．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k <0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A)252(41)3- (B)262(41)3- (C) 5021- (D) 5121-7．若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是(A) 25(log ,1]2-- (B) 25(1,log )2(C) 25(0,log )2 (D) 25[1,log )2俯视图侧视图正视图8．如图，P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5= a 8+5，S 6= a 7+ a 9-5，则公差d 等于． 10．若过点A (-2,m )，B (m ,4)的直线与直线2x +y +2=0平行，则m 的值为． 11．曲线y =3-3x 2与x 轴所围成的封闭图形的面积为．12．已知平面向量(4,3)a =，2(2,2)a b -=-，则a 与b 的夹角余弦值等于． 13．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是． 14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有．．满足条件的函数的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos2xf x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；1A（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB 1-C 的大小．17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得A B CA 1B 1C 1MNOQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）设函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．20.（本小题共13分）若有穷数列{a n }满足：（1）首项a 1=1，末项a m =k ，（2）a n +1= a n +1或a n +1=2a n ，(n =1，2，…，m -1)，则称数列{a n }为k 的m 阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{b n }是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l bb bbk l N =+++∈，且2)l ≥，求m 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01高三数学（理科）答案及评分参考二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．5 10．8- 11．412．2425 13．1214． ①②（只写出一个给2分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos2xf x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．解：（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ ……………………1分12cos()3x π=++， ……………………2分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………4分（Ⅱ）因为 1()33f πα-=，所以112cos =3α+，即1cos 3α=-． ……………………5分因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- ……………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=， ……………………10分又因为α为第二象限角，所以sin 3α=． ……………………11分所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB 1-C 的大小．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥BC ． ……………………1分因为AC =BC =2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分因为AC ∩CC 1=C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………3分因为AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）连结A 1B 交AB 1于P ． ……………………5分因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………6分所以CN //MP ． ……………………7分因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ………………8分所以CN //平面AB 1M ． ……………………9分（Ⅲ）因为BC ⊥AC ，且CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． ………PNM C 1B 1A 1C B AAB CA 1B 1C 1MN……………10分设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩， ……………………11分令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=． ………………12分由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C的大小为4π． ……………………14分 17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ，那么 ……………………1分111()339P A =⨯=． ……………………3分所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为19． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ，那么 ……………………5分111()3333P B =⨯⨯=， ……………………7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是2()1()3P B P B =-=． ……………………8分（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那zM么 ……………………9分044216(0)()381P C ξ==⨯=； 1341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=；22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 334128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 44411(4)()381P C ξ==⨯=．（错三个没分）所以ξ……………………12分1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分（方法二）依题意1(4,)3B ξ, ……………………10分所以ξ的分布列为4444122()()()k k k k kP k C C ξ--==⨯⨯=⨯，0,1,2,3,4k =．即……………………12分所以14433E ξ=⨯=． ……………………13分18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点P的坐标为(,)P x y ，依题意，||1||2PM PN =， ……………………1分即= (3)分化简得224x y +=．所以动点P的轨迹W的方程为224x y +=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l ：3y kx =+与曲线W 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以2k >或k <． ……………………7分假设存在点Q，使得OQ OA OB =+． ……………………8分因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分， ……………………9分所以原点O到直线l：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==． ……………………10分即1O l d -==，解得28k =， k =±，经验证满足条件． ……………………12分所以存在点Q，使得OQ OA OB =+． ……………………13分19.（本小题共14分）已知函数xbx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()1a bf x x x'=--，……………………2分由(1)0f '= 得a b -=1． ……………………3分（Ⅱ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………4分由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． ……………………6分因为1=x 是)(x f 的极值点，所以21x x ≠，即2≠a ． ……………………7分所以当时，，所以单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………8分当21<<a 时，110<-<a ，所以单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………9分（Ⅲ）当3>a 时，)(x f 在1[,1)2上为增函数，在(1,2]为减函数，所以)(x f 的最大值为02)1(<-=a f ． ……………………10分因为函数)(x g 在1[,2]2上是单调递增函数，所以)(x g 的最小值为0341)21(2>+=a g ． ……………………11分所以)()(x f x g >在1[,2]2上恒成立． ……………………12分要使存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，只需要9)1()21(<-f g ，即9)2(3412<--+a a ，所以48<<-a ． …………………13分又因为3>a ，所以a 的取值范围是(3,4)a ∈． ……………………14分20.（本小题共13分）若有穷数列{a n }满足：（1）首项a 1=1，末项a m =k ，（2）a n +1= a n +1或a n +1=2a n ，(n =1，2，…，m -1)，则称数列{a n }为k 的m 阶数列．（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{b n }是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈，且2)l ≥，求m 的最小值．解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ……………………2分（Ⅱ）由已知在数列{a n }中 a n +1= a n +1或a n +1=2a n ，当m a 为偶数时，1(2)2m m m a a a -=≥，或11m m a a -=-．因为12m m a a -≤ (2)m a ≥，所以在数列{a n }中 12m i a a ≤≤中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中j 的个数，要使项数m 最小，只需 1(2)2m m m a a a -=≥． ……………………5分当a m 为奇数时，必然有 11(2)m m m a a a -=-≥，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作．所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．因为312222+2l b b b b m a k ==+++，且1230l b b b b <<<<≤，只需除以1b 次2，得到31121122+2l b b b b b b ---+++为奇数；减1，得到3112122+2l b b b b b b ---++为偶数，再除以21b b -次2，得到322122l b b b b --+++；再减1，得到32222l b b b b --++为偶数， …………，最后得到12l l b b --为偶数，除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ．所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+=l b l +． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市石景山区届高三上学期期末测验数学理试题Wo

A.
B.
C．
Ｄ．
8.在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，ﻫ即 , ．给出如下四个结论：
① ;
② ;
③ ；
④整数属于同一“类”的充要条件是“ ”．
其中,正确结论的个数为(）.
Ａ． B. C. Ｄ．
第二部分(非选择题共11０分)
二、填空题共6小题,每小题5分，共3０分．
１8.(本小题共13分)
已知函数是常数.
(Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
(Ⅱ)证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）讨论函数零点的个数.
19.（本小题共14分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ,且经过点，直线交椭圆于不同的两点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ)求的取值范围;
１
2
3
4
5
6
７
8
答案
B
A
D
C
Ｃ
A
Ｂ
C
二、填空题共６小题，每小题5分,共3０分.
题号
9
10
1１
12
13
14
答案
2;6
9
(9题、1１题第一空2分,第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分．
１5．（本小题共13分)
(Ⅰ）因为，所以．
所以函数的定义域为 ……………2分
……………5分
……………7分
(Ⅱ)因为 ,所以 ……………9分
北京市石景山区届高三上学期期末测验数学理试题Ｗo
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北京市怀柔区2012届九年级上学期期末考试数学试题

7题图6题图5题图4题图怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数学试卷 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的相反数是（） A ．3- B ．3 C ．13-D ．132．已知，ABC △中，∠C=90°，sin ∠3，则∠A 的度数是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ． 90° 3．若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限内，则k 的取值范围是（） A ．2k >- B ．2k <- C ．0k > D ．0k <4．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（）. A ． 8 B ．6C ．4D ．105．如图，D 是ABC △边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．ABC ACD △∽△的是( ) A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC=D ．2AC AD AB =⋅6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( ) A ．12 B ．56 C ．13 D ．237．如图，BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上两点，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是 ( )A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为．10．如图，点A 、B 、C 是半径为3cm 的⊙O 上三个点，且︒=∠30ABC ，则劣弧 »AC 的长是 .11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正弦值等于．12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第99个格子中的数为，2012个格子中的数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 60360+18.︒+︒︒ 14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，3abc－12…11题图10题图AEOBC DOABCDE9题图BCAED抛物线与x 轴交点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来．解：16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C. 解：17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，AC=8，BC=6．求DE 的长．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．解：20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球两红一红一白两白礼金券（元）205020乙超市：球两红一红一白两白礼金券（元）502050（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由．解：21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若22AB =，求OC 的长．证明：22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积.解：五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：BC D E DBACOAxyB OCD24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是（α为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：x yαFE DBO AC xy αF ED BOAC参考答案一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBACABC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 101112 答案91π55 2；－1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 603tan 60+18.︒+︒-︒解: 原式=212+2-33+3222⋅⋅⋅…………………………4分 =2+1-3+32=42-2………………………………………………5分14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x 轴交点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大.解（1）228y x x =--=x 2－2x+1－1－8=(x －1)2 －9.………………………………………………3分(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)抛物线的对称轴方程是 x =1 ……………………………4分抛物线与x 轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；当x ＞1 时，y 随x 的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去括号，得 4x ＋4≤5x ＋8 ……………………………… 1分移项、合并同类项，得－x ≤4……………………………… 3分系数化为1，得 x ≥4- ……………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：………………… 5分BCAED16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C.解:方法一、作DE ⊥BC ，如图1所示，…………1分 ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，∴四边形ABED 是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB =3. 又∵BC =7，∴EC =4，……………………………………3分由勾股定理得CD =5.…………………………4分 ∴ cos ∠C=45EC CD =.…………………………5分方法二、作AE ∥CD ，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形.………………2分 ∵A B=AD=3，∴EC=AD =3，又∵BC =7，∴BE=4，……………………………………3分∵ AB ⊥BC ，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos ∠C= cos ∠1=45BE AE =. …………………………5分 17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， ………………………………………1分Q 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩… ………4分∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………5分18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．解：在ABC △中，9086C AC BC ===o，，∠， 2210AB AC BC ∴=+=．…………………2分又6BD BC ==Q ，4AD AB BD ∴=-=． DE AB ⊥Q ，90ADE C ∴==o∠∠．又A A =Q ∠∠，图1 图2AED ABC ∴△∽△．………………………………4分DE ADBC AC∴=． .3684=⨯=⋅=BC AC AD DE ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CDCBD BC∠=……………3分又∵ 20BC = ，60CBD ∠=o，由BCCD=ο60sin ∴ 3sin 60201032CD BC =⋅︒=⨯= .……………4分 103 1.5CE ∴=+ .………………………………………5分即此时风筝离地面的高度为()103 1.5+米 .20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球两红一红一白两白礼金券（元）205020乙超市：球两红一红一白两白礼金券（元）502050（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况；（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由．解：（1）树状图为：…………2分（2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （甲）=64=32，…………3分去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （乙）=62=31……………………4分 ∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若22AB =，求OC 的长．（1）证明：连接OD .∵OA OD =，22.5A ∠=o， 22.5ODA A ∴∠=∠=︒，45DOC ∴∠=︒ . ……………………1分∵45ACD ∠=o，90ODC ∴∠=︒ ，OD CD ∴⊥ . ……………………2分又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线 .……………………3分（2）∵直径22AB =122OD AB ∴==. …………… 4分在Rt OCD △中，sin ODC OC= ，∴ 2sin 45OC ︒= ，∵ 2sin 452︒=，2OC ∴= .……………………5分22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E .∴DCO ECO ∠=∠，且OD AC ⊥.…………………1分∵AC BC =， ∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==. BCD E DBACO∵120C ∠=︒，∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1. ……………………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得：222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得 23x =（23x =-舍去）∴ 112343422ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=△. …………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴ 438332S ππ-=-=阴影. ….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：作AE y ⊥轴于E ∵42AOD S OD ==△， ∴.421=⋅AE OD ∴4AE =. ………………………………………1分 ∵AB OB C ⊥，为OB 的中点，∴90DOC ABC OC BC OCD BCA ==︒==∠∠，，∠∠. ∴Rt Rt DOC ABC △≌△.…………………………………3分∴2AB OD ==. ∴A （4，2）. 将A （4，2）代入1k y x =中，得8k =. 18y x∴=． ……………4分将()42A ，和()02D ，-代入2y ax b =+，得422a b b +=⎧⎨=-⎩解之得：12a b =⎧⎨=-⎩∴22y x =-.…………………………………………………………………5分（2）在y 轴的右侧，当12y y >时，04x <<． ………………………6分当1y ＜2y 时x ＞4. ……………………………………………………7分24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角,旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是（α为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：（1）E （4，132） ………………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分（3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6，在Rt △FGC 中，∵222CG FG CF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG . ∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y .x y αFE DBO A C xy αF ED BOACAxyBOCD(第25题)EPQ Axy BOCD(第25题)把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a . ∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分 ∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ，∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ， ∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2分 (2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3分证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴223213AB =+=.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°. 又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.∴CE BCOB AB =.∴62213CE -=.∴8213CE =>.…………4分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线AC 的解析式为132y x =-+.………………6分设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式，即：2327(3)44PAC S m ∆=--+.评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.。

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4开始输入x 否是>2x2=log y x7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38 B ．4C ．2D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式2560x x -+≤的解集为 .10．直线+0x y =被圆22+4+0x x y =截得的弦长为．11．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 323112．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．13．在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则c = ． 14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方；（Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围．A BCD E图1图2A 1B CDE19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，长轴长为45，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADDCCBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面1//BC A DE ∴面 …………………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．22222111=A B AC BC A D DC BC +=++题号 91011 121314 答案[]2,3222；611222n ；---3①③22213(6)A B x x =++-221245x x =-+ ………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33．…………………14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =． …………………6分（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分18.（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--，解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分（Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 245a =，又因为32e =，解得=25,=5,=15a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12nn n k kk +++>解得1-515<22k +<. 所以当15(1,)2k +∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164nn n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <,由②得3lg>-lg20134n，解得26.4n .即数列{}nb最多有26项.…………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市丰台区高三数学上学期期末考试试题文北师大版

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43 (B) 83(C) 4 (D) 8 3．“0x >”是“12x x+≥”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)13 (B)12 (C) 23 (D) 565．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+(D) 72sin()216x y π=+6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为.(A)3 (B)6 (C) 7(D) 107．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0),B(0,1)，点C 在第一象限内，6AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ,μ的值是S S n =+开始结束S =0, n =0输出S n =n +1 n >3? 否是1 (B) 11 (D) 18．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，则(A) ()0,1,x ∀∈都有f(x)>0 (B) ()0,1,x ∀∈都有f(x)<0 (C) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)=0 (D) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)>0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．不等式组2,0,1x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是___________.11．设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， . 12．圆()221x a y -+=与直线y=x 相切于第三象限，则a 的值是．13．已知ABC ∆中，，BC=1，AC 等于______. 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ija （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于，____(3)mn a m =≥．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()(04)g x x a x =-≤≤的值域为集合B ．（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =I ,求实数a 的取值范围．16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ）若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值.17．（本题共13分）如图，三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1． 18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值. 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴．直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=2， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值． 20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）1A是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标；（Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值；若不存在，说明理由.丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习高三数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12．（写给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =I ,求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B =I ，∴B A ⊆． (9)分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ）若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得， 3cos 5α=， 12sin 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5cos 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB u u u r |=|OB OA -u u u r u u u r |32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， …………11分∴9224OA OB -⋅=u u u r u u u r ．∴18OA OB ⋅=-u u u r u u u r ． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分∴OA OB ⋅u u u r u u u r =1||||cos 8OA OB AOB ∠=-u u u r u u u r ．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点， ∴MN∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =I ，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分 18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同．又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee --=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当A (2a -,C 1(2a ．………………………………….……5分又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，OC AN ⋅=u u u r u u u r （*）． ……………………………............................................…10分∵OC u u u r =），AN u u u r =（,-1-m)，代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标；（Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可得，11n n nnn n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑L =111112(1)2231n n -+-++-+L =12(1)1n -+，…………….……..11分 2111(1)11112211222212n n i n n i c =-=+++==--∑L ． …………………….……12分欲使11n ni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -，只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分 *110(),012n n n N n -≥∈-<+Q ，∴不存在正整数N ，使n≥N 时， 11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。

北京石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学(文)试卷

北京市石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学（文）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．38B．4C．2D．348.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即[]{}5k n k n=+∈Z，0,1,2,3,4k=．给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z=∪∪∪∪；④整数,a b属于同一“类”的充要条件是“[]0a b-∈”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．2C．3D．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 不等式2560x x-+≤的解集为 .10．直线+0x y=被圆22+4+0x x y=截得的弦长为．11．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S的面积为4，则=a；若点SyxP∈),(，则yxz+=2的最大值为 .12．在等比数列{}na中，141=,=42a a-，则公比=q；123++++=na a a aL．13．在ABC∆中，若2,60,a B b=∠=︒=c=．14.给出定义：若11< +22m x m-≤(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}=x m.在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．图1图2A 1BCDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是､2､､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率． 18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面 1//BC A DE ∴面 ……4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B =………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =． …………………6分（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x ''--，解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分（Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x.令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知,2a =2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <, 由②得3lg>-lg 20134n ，解得26.4n <. 即数列{}n b 最多有26项. …………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

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北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2012.1 第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i(1i)（）（A）1i （B）1i （C）1i （D）1i

2．若向量(3,1)a，(0,2)b，则与2ab共线的向量可以是（）（A）(3,1) （B）(1,3) （C）(3,1) （D）(1,3)

3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（）（A）1yx （B）||exy

（C）23yx （D）cosyx

4．“直线l的方程为0xy”是“直线l平分圆221xy的周长”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能．．．是（）

（A）（B）（C）（D）

主视图左视图 6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）3 （B）6 （C）10 （D）15

7．已知0ab，给出下列四个不等式： ① 22ab； ② 122ab； ③ abab； ④ 3322abab．其中一定成立的不等式为（）（A）①、②、③ （B）①、②、④ （C）①、③、④ （D）②、③、④

8．有限集合P中元素的个数记作card()P.已知card()10M，AM，BM，AB，且card()2A，card()3B.若集合X满足XM，且AX，BX，

则集合X的个数是（）

（A）672 （B）640 （C）384 （D）352 第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．函数2()logfxx的定义域是______. 10．双曲线221169xy的一个焦点到其渐近线的距离是______．

11．若曲线3yxax在原点处的切线方程是20xy，则实数a______． 12．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若5b，4B， tan2C，则c______．

13．已知{}na是公比为2的等比数列，若316aa，则1a ；

22212111naaa

______．

14．设0，不等式组 2,0,20xxyxy所表示的平面区域是W．给出下列三个结论： ① 当1时，W的面积为3； ② 0，使W是直角三角形区域； ③ 设点(,)Pxy,对于PW有4yx．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sinsincosfxxxx，π[,π]2x.

（Ⅰ）求2π()3f的值；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n

（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求nm,；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.

17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111CBAABC的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：AD平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1AB∥平面1ADC；（Ⅲ）求三棱锥11ADBC的体积． 18.（本小题满分13分）已知函数21()ln2fxaxx，其中aR.

（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）若)(xf在(0,1]上的最大值是1，求a的值.

19.（本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的一个焦点是(1,0)F，且离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于,MN两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点

0(0,)Py，求0y的取值范围.

20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,nnAaaa.如果数列12:,,,nnBbbb满足1nba，11kkkkbaab，

其中2,3,,kn，则称nB为nA的“衍生数列”. （Ⅰ）写出数列4:2,1,4,5A的“衍生数列”4B；（Ⅱ）若n为偶数，且nA的“衍生数列”是nB，证明：1nba；（Ⅲ）若n为奇数，且nA的“衍生数列”是nB，nB的“衍生数列”是nC，„.依次将数列nA，nB，nC，„的首项取出，构成数列111:,,,abc. 证明：是等差数列. 北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准

2012.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. D； 6. C ； 7. A； 8. A .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. {|1}xx； 10.3； 11.2；

12. 22； 13.2，1(14)3n； 14. ①、③. 注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：22π2π2π2π3333()3sinsincos3333442f. „„„„„„4分

（Ⅱ）解：31π3()1cos2sin2sin(2)2232fxxxx（）. „„„„„„8分因为π[,π]2x，所以π2π5π2[]333x,. „„„„„„9分当π2π233x，即π2x时，)(xf的最大值为3； „„„„„„11分

当π3π232x，即11π12x时，)(xf的最小值为312. „„„„„„13分

16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.35mn，即 0.45mn. „„„„„„2分由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得 1.0202n. „„„„„„4分所以0.450.10.35m. „„„„„„5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,xxx；等级为5的零件有2个，记作12,yy. 从12312,,,,xxxyy中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：

12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)xxxxxyxyxxxyxyxyxyyy 共计10种. „„„„„„9分记事件A为“从零件12312,,,,xxxyy中任取2件，其等级相等”. 则A包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)xxxxxxyy共4个. „„„„„„11分故所求概率为 4()0.410PA. „„„„„„13分

17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为111CBAABC是正三棱柱，所以 1CC平面ABC. 又 AD平面ABC，所以 ADCC1. „„„„„„3分因为 △ABC是正三角形，D是BC的中点，所以 ADBC， „„„„„„4分所以 AD平面11BBCC. „„„„„„5分（Ⅱ）证明：连结1AC，交1AC于点O，连结OD. 由 111CBAABC是正三棱柱，得四边形11ACCA为矩形，O为1AC的中点. 又D为BC中点，所以OD为1ABC△中位线，所以 1AB∥OD， „„„„„„8分因为 OD平面1ADC，1AB平面1ADC，所以 1AB∥平面1ADC. „„„„„„10分（Ⅲ）解：因为 1111DCBAADBCVV， „„„„„„12分所以 1111Δ12333CADBBDCVSAD. „„„„„„14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：21(),(0,)axfxxx. „„„„„„3分当0a时，()0fx，从而函数)(xf在),0(上单调递增. „„„„„„4分当0a时，令()0fx，解得1xa，舍去1xa. „„„„„„5分此时，()fx与()fx的情况如下： x 1(0,)a 1a 1

(,)a

()fx  0 

()fx ↗ 1()fa ↘

所以，()fx的单调增区间是1(0,)a；单调减区间是),1(a.„„„„7分（Ⅱ）① 当0a时，由（Ⅰ）得函数)(xf在]1,0(上的最大值为(1)2af. 令12a，得2a，这与0a矛盾，舍去2a. „„„„„„9分

② 当10a时，11a，由（Ⅰ）得函数)(xf在]1,0(上的最大值为(1)2af. 令12a，得2a，这与10a矛盾，舍去2a. „„„„„„10分 ③ 当1a时，101a，由（Ⅰ）得函数)(xf在]1,0(上的最大值为1()fa. 令1()1fa，解得ea，适合1a. „„„„„„12分综上，当)(xf在(0,1]上的最大值是1时，ea. „„„„„„13分

19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得 1c. „„„„„„1分