高中数学选修12第三章推理与证明1归纳与类
高中数学选修1-2第三章 推理与证明2_数学证明-word文档
§2 数学证明一、教学目标1．知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2．方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。
二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习准备：1. 练习： （1） 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？（2）在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则）2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3. 导入：（二）、新课探析1.概念：（1） 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
（2）讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊. （3） 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. SM PP2.例题探析：例1 求证：一个三角形中最大的角不超过O 60证明：设△ABC 中，,3C C B A ∠≤∠+∠+∠即O ≥∠1803C所以O ≥∠60C这个例子中，由（1）（2）是三段论推理，详细表述就是：大前提：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121 都是实数，若,,,,,332211n n b a b a b a b a ≤≤≤≤ 则有n n b b b b a a a a +++≤++++321321；小前提：△ABC 中各角的度数都是实数，设C B A ∠≤∠≤∠,即C C C B C A ∠≤∠∠≤∠∠≤∠,,;结论：C C C C C B A ∠=∠+∠+∠≤∠+∠+∠3.在这个例子当中，由（2）到（3）也是三段论推理，省略的大前提是“三角形的内角和等于180O ”.例2：在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论. 例3 证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论. 思考：因为所有的边长相等的凸多面体是正多边形,大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前题所以菱形是正多边形结论 (1)上面的推论形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?为什么?(3)演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）4. 小结：“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推理错误的主要原因是（1）、大前提不成立；（2）、小前提不符合大前提的条件。
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高中数学推理与证明高中数学推理知识点1、归纳推理：顾名思义，一个归纳的过程。
比如，一个篮子里有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是水果、梨是水果、葡萄是水果、草莓是水果，然后你猜想：篮子里装的是水果。
这个推理是由特殊推到一般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮子里确实都是水果，那么你就猜对了;如果篮子里有一根胡萝卜，那你就猜错了。
所以才会有证明。
2、类比推理：同样顾名思义，一个类比的过程。
例如，你知道苹果水分多又甜、梨水分多又甜、葡萄水分多又甜，所以你推理出同样作为水果，香蕉水分多又甜，那这个结论显然是不对的，香蕉并没有什么水分。
但如果你推导出荔枝水分多又甜，这就是正确的。
(这个例子中指的都是正常水果)显然，这个推理方式是一个由特殊推特殊的过程，也不一定正确。
3、演绎推理：一般推特殊，一定对。
例如，f(x)=1，那么f(1)=1高中数学证明知识点1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件一直往下推。
例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。
证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。
2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成立。
同样上面的例子的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。
因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。
3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是一个战胜自己的过程!4、数学归纳法：解题过程：A.命题在n=1(或n0)时成立，这是递推的基础;B.假设在n=k时命题成立;C.证明n=k+1时命题也成立高中数学推理与证明一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 高考数学类比题考查类型探求拓展资料素材 北师大版选修1-
高考数学类比题考查类型探求从近几年高考数学试题中不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。
笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。
下举例谈谈高考数学类比题考查类型。
一、 图象特征类比型例1、如图1，对于函数2()(0)f x x x =>上任意两点A 2(,)a a ,B 2(,)b b ，连线段A B 必在弧线段AB 的上方，设点C 分AB u u u r 的比为λ (λ>0)，则由点C 在点/C 上方可得不等式222()11a b a b λλλλ++>+>+>。
请分析函数y=lnx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是 .解析:本题的类比物是函数2()(0)f x x x =>与函数y=lnx (x>0)的图象，而类比项是a,b 与λ之间建立的不等关系.首先弄清不等式222()11a b a b λλλλ++>+>+>的来龙去脉。
按题给信息，该不等式是“由点C 在点/C 上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。
因为C 分AB u u u r 的比为λ (λ>0)，又因为A 2(,)a a ,B 2(,)b b ，所以221a b λλ++>是C 点的纵坐标，而1a b λλ++>是C 点的横坐标，2()1a b λλ++>就是/C 点的纵坐标。
因此由C 点在/C 点的上方.即得222()11a b a b λλλλ++>+>+>。
最后.作出函数y=lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A (,ln )a a ,B(,)b lnb )，点C 分AB u u u r 的比为λ (λ>0)，则C 点坐标为为ln ln (,)11a b a b λλλλ++++。
2016-2017学年高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比(2)学业分层测评(含解析)北师大版选修1-2
3.1 归纳与类比（2）学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D2．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n与(a ＋b )n类比，则有(x ＋y )n＝x n＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz )【解析】 乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy )z ＝x (yz )．故选D. 【答案】 D3．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A ．b 5b 7>b 4b 8B ．b 7b 8>b 4b 5C ．b 5＋b 7<b 4＋b 8D ．b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C 二、填空题6．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 47．在Rt △ABC 中，若C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有______________________________．【解析】 Rt △ABC 类比到空间为三棱锥A BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A BCD 的外接球．【答案】 在三棱锥A BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 228．等差数列有如下性质：若数列{a n }是等差数列，则当b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，数列{b n }也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，则当d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．【解析】 类比等差数列与等比数列的性质，可猜测d n ＝nc 1c 2…c n 时，{d n }为等比数列． 【答案】nc 1c 2…c n三、解答题9．如图3113①，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，写出图3113②中类似的体积关系，并证明你的结论．① ②图3113【解】 类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，有V P A ′B ′C ′V P ABC＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.证明：如图，设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P A ′B ′C ′V P ABC ＝13S △PA ′B ′·h ′13S △PAB ·h＝PA ′·PB ′·h ′PA ·PB ·h ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.10．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？【解】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)．[能力提升]1．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15【解析】 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2．(2016·广东一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014【解析】 由题意知数表的每一行都是等差数列，且第一行数的公差为1，第二行数的公差为2，第三行数的公差为4，…，第2 015行数的公差为22 014，第1行的第一个数为2×2－1， 第2行的第一个数为3×20， 第3行的第一个数为4×21， …第n 行的第一个数为(n ＋1)×2n －2，第2 016行只有一个数M ， 则M ＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014，故选B.【答案】 B3．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝__________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__________．【解析】 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，并写出这个定值(不要求写出解题过程)．【解】 (1)证明如下： 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．。
2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 归纳推理
[A 组 基础巩固]1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案：D2．已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( ) A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1D ．2n －1解析：a 0＝1，a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2a 1＝2，a 3＝a 0＋a 1＋a 2＝2a 2＝4，a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＝8，….猜想当n ≥1时，a n ＝2n －1. 答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B. 答案：B4．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63D ．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，若a 既是三角形数又是正方形数，则a ＋1为偶数，a 为奇数，故排除B 、D ；由n2(n ＋1)＝289＝17×17，知n ∉N ，所以排除A ，而1 225＝352＝35×35×22＝49×502＝1 225，满足题意，故选C. 答案：C6．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 解析：f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.答案：f (2n )>n ＋227．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1169．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…这就是斐波那契数列，此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出a n与a n－1间的递推关系式．解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明． 解析：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°] ＝32－12[cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α]＝32＝右边 (将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32，sin 2(α－240°)＋sin 2(α－120°)＋sin 2α＝32等均正确．) [B 组 能力提升]1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，排除B 项、D 项．黑圈按照依次向右，右边无圆圈则向下的顺序每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不计算在移动格子内)，所以符合条件的只有C 项． 答案：C2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 的值为________．解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x －20＝12,47－x ＝15，∴x ＝32. 答案：323．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n4．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．(2)(3)现已知某个平面图形有1 005个顶点，且围成了1 005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：(2)由该表可以看出，所给四个平面图形的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数． 边数＝顶点数＋区域数－1＝1 005＋1 005－1＝2 009.5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示，为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解析：(1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上述规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2) ＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋12(1－1n )＝32－12n .。
高中数学第三章推理与证明3.3.1综合法与分析法-综合法教案北师大选修1-2(2021年整理)
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3.3。
1综合法与分析法-综合法学习目标1．理解综合法的思维过程及其特点;2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题.学法指导在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤;并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。
事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的.重点：理解综合法的思维过程和特点；难点：运用综合法证（解）题时,找出有效的推理“路线”;教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明.若要证明下列问题:已知a,b〉0,求证2222a b c b c a abc+++≥()()4教师活动:给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论,思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0+≥>，b c bc a所以22+≥,a b c abc()2因为222,0c a ac b +≥>， 所以22()2b c a abc +≥。
高中数学选修2-2推理与证明数学归纳法说课讲解
[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 数学归纳法1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下.题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3)＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立. 题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立.证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立. 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎡⎦⎤3k2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立.题型三用数学归纳法证明整除问题例3求证n∈N*时，a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.反思与感悟用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n＝k＋1时的式子中拼凑出当n＝k时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.跟踪训练3用数学归纳法证明对于任意非负整数n，A n＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.证明(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133，能被133整除.(2)假设当n＝k(k≥0)时，A k＝11k＋2＋122k＋1能被133整除，那么当n＝k＋1时，A k＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1，能被133整除.由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，A n都能被133整除.题型四用数学归纳法解决平面几何问题例4已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分.证明(1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *).错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12 ＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的. 正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋...＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋...＋12k ＋2k ＞k ＋12＋2111 (222222)k k k k k k k ++++++个＝k ＋12＋2k 2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12.防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 4答案 B解析 当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B. 2.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D.增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1答案 C解析 n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，②比较①②可知C 正确.3.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是______.答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________. 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________. 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧.在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A.当n＝4时命题不成立B.当n＝6时命题不成立C.当n＝4时命题成立D.当n＝6时命题成立答案 A解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4答案 C解析 当n ＝1,2,3时满足，当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n ＝4不满足.3.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2B.πC.3π2D.2π 答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.4.k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A.f (k )＋k －1B.f (k )＋k ＋1C.f (k )＋kD.f (k )＋k －2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 6.用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A.2k ＋1B.2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1).二、填空题7.用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_______________________________________. 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)28.用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________.答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.9.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到的式子为________.答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k 解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立.由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立.上述证明的错误是________.答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f (n )＝(2n ＋7)3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意正整数n ，f (n )被m 整除，猜测出最大的m 的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明如下：当n ＝1,2时，由上得证.假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)， ∴f (k ＋1)能被36整除.∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.12.设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *). (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳数列{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1.证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论.解 由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立.。
高中数学北师大版选修2-2课件：1 类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
7
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
3
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
4
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
1
一、教学目标：1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实 例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程； 体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结 论就越可靠。3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现 中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类 比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解 决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦； 体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生 学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 2 四、教学过程
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理课件北师大版选修22
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到 可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结 合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
题型一 题型二 题型三
设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1,
则 T4= ������14������6, ������8 = ������18������1 + 2 + ⋯+7= ������18������28,
T12= ������112������1 + 2 + ⋯+11= ������112������66,
答案:
������8 ������4
������12 ������8
题型一 题型二 题型三
题型二 平面几何与空间几何之间的类比
【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分 别为α,β,则cos2α+cos2β=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想 并证明.
分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形, 故可联想到立体几何中的长方体.
相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体
积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)+2.因为 f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,…,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(n∈N+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在 空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n>100时,f(n)≠2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一
2021_2022学年高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课件北师大版选修2_2
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下:
(1)明确各行、各列数的大小;
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系;
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论.
探究一
探究二
探究三
12 345×9+6=111 111
A.1 111 110
B.1 111 111
C.1 111 112
D.1 111 113
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解析:由1×9+2=11,
12×9+3=111,
123×9+4=1 111,
1 234×9+5=11 111,
……
归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数与等式左边的第二
般性结论也就越可靠.
(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事
实,获得新结论,是科学发现的重要手段.
知识梳理
思考辨析
【做一做1】 数列5,9,17,33,x,…中的x等于(
)
A.47
B.65 C.63 D.128
解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65.
化简整理,得 f(n)= (n-2)(n+1)(n>4).
2
1
答案:5 2(n-2)(n+1)(n>4)
探究一
探究二
探究三
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1.2 类比推理
一、教学目标
1.知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；
（2）能利用类比进行简单的推理；
（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类
比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的
结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、
新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方
法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法
的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类
事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；
2.典型例子方法归纳。
（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家
赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：
如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，
由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。
惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。
（三）例题探析
例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，
空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？
解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜
测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。
例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结
论。
解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、
平面PBC、平面PCA两两垂直
勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。
类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。
即：2222PCAPBCPABABCSSSS
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，
在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们
把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的
合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确
的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
(四) 巩固练习：
练习1已知实数加法满足下列运算规律：（1）abba；
（2）cbacba．
类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．
练习2 我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；
(2)探索等和数列na的奇数项和偶数项有什么特点；
练习3若数列na是等差数列，且12...,nnaaabn则nb也是等差数列。类比上述
性质，相应地，数列nc是等比数列，且0nc，___________nd，则nd也是等比
数列（以上*nN）
练习4在ABC中，若,,ACBCACbBCa，则ABC的外接圆半径222abr，将
此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SASBSC、、两两互
相垂直，,,SAaSBbSCc，则四面体SABC的外接球半径R( )
A．2222abc B．2223abc C．33333abc D．3abc
练习5类比解答（1）（2）：（1）求证：1tantan41tanxxx；
（2）设,xRa为非零常数，且1(),1()fxfxafx试问：
()fx
是周期函数吗？证明你的结论。
（五）小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其
他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。
注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的
合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确
的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行
归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。
（六）作业：1.课本P57练习：2．课本。P57习题3-1：4,5
五、教后反思：