a a a x f 43)211ln(2)(-+--<.
题1139：陕西西安交大附中高三模拟
已知函数2
()cos ,f x x ax =+当0x ≥时，使()1f x ≥恒成立a 的最小值为k ，存在n 个正数(1,2,,)i p i n =…，
且121i p p p +++=…，任取n 个自变量的值12,,,n x x x …，记1
()n
i
i
I J p f x ==∑
（1）求k 的值；
（2）如果a k =，当2n =时，求证：1122()J f p x p x ≥+
（3）如果a k =，且存在n 个自变量的值12,,,n x x x …，使11223
n n p x p x p x π
+++≥
…，求J 的最小值
解：22131
()cos ()()2323182
f x x x x πππ=+≥-
-++ 1122()()()n n p f x p f x p f x +++ (2211)
311
()()()()323182182n
n
i i i i i p x p π
πππ==≥--++=+∑∑
题1140：未知来源 已知实数,x y 满足：1x y
e
x +=+
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）解关于x 的不等式23
ln(11)1ln
x x e
-
--->
题1141：未知来源
设函数2()(2)ln f x x a x a x =---关于x 的方程()(f x c c =为常数)有两解12,x x （1）求证：12x x a +>
（2）求证：2
124
a x x <
题1142：2016广东佛山二模
设函数()ln (0)f x ax b x x a =+->，22()1
x
g x x =+，若直线y e x =-是曲线1:()C y f x =的一条切线，其中e 是自然对数的底数，且(1)1f = （1）求,a b 的值；
（2）设01n m <<<，证明：()()f m g n >
题1143：未知来源 设函数1
()2ln f x x x x
=-
- （1）设()()(2)ln ()h x f x a x a R =++∈，且()h x 有两个极值点12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()h x h x -的最小值
（2）证明：21
3ln (*)22(1)(2)k
k k n n
n N k n n =->-∈+++∑
解：21
22(1)(2)3ln ln 2(1)(2)(1)(2)22(1)(2)k
k k n n n n
k n n n n n n =++-=>-=-
+++++++∑
题1144：湖南省长沙市雅礼中学2018届高三月考（八）数学（理） 已知函数1
1()(0,t t
t
t
f x x x x
x t +=+->为正有理数）
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当2x ≥时，()0f x ≤
解：（1）111
1
'()(1)(1)t
t t t
x
f x tx
x x t
--=-+
-
当01,'()0,()x f x f x <<>单调递增；当1,'()0,()x f x f x ><单调递减； （2）由（1）知，第二问即证明：11222
0t t
t
t
++-≤，111222
02
210t t t
t t
t
t
+
-
+-≤?-+≤
1()2
21t t
t
h t -
=-+，1112211'()2
ln 2(1)2ln 22ln 2(12)t t t t
t
t h t t t
-
-=?+-=?+-，求导即可
题1145：未知来源
已知22
1122ln ln x x x x =，且12x x <，若整数22
12125(2)2
k x x x x =
++，求k 的值 解：考虑证明：122
1x x e
<+<
（右链极值点偏移） 222
221221122
12212122111211121ln ln ln 11ln 11
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+>?->-?->-?
<=?<
--- 构造函数2
ln 1ln ()(01),'()01(1)
x x x x
f x x f x x x --=<<=>--
题1146：2018年浙江嘉兴4月模考（平中小包公众号） 已知数列{}n a 满足132a =
，112
(1)(*)3(1)
n n n a a n N n n +=++
∈+ （1）判断数列{}n a 的单调性； （2）证明：
1121(2)33(1)
n n n a n a n n +≤++≥+ （3）证明：3n a e <
题1147：未知来源 已知函数ln ()1
x
f x x =
- （1）求方程2
()f x x =的根的个数；
（2）证明：(0,1)a ∈时，方程()f x a =有且只有一个实根；
（3）证明：当(2,)a ∈+∞时，方程()1
a
f x x =+有且仅有两个实根 解：（3）(1)ln (1)ln (),1,1,111
x x x x
f x a x a x a x a x x ++=
->-<+-=--- (1)ln ln ,1
a x x
a x a x e x +->-=-
(1)ln 11
01,(),,11
a x x x x f x a a x x e x x a -++<<=-<-==--
题1148：广东省广州市2018届高三4月综合测试（二模）数学理试题 （已经录入） 已知函数2()x f x e x ax =--
（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围； （2）若1a =，证明：当0x >，2
ln 2ln 2()1()22
f x >-
- 22
22222
ln 2ln 21()22
149
2251
149ln 2ln 2ln 211()225222
x x
x e x x x x e
e x x x x x x >-+--++
<>++
>-+->-+--
题1149：未知来源 已知函数2()(21)x
f x e
mx nx -=?++
（1）若1x =和2是函数()f x 的两个极值点，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若(1)1f =，则方程()1f x =在(0,1)内有解，求m 的取值范围 证明：其中1a ≥ ln 10kx
axe x kx ---≥，主元转换，求得最小值ln a
题1150：延安市2018届高考模拟试题数学（理科） 已知函数 2
()ln (2)()f x x ax a x a R =+++∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若0a >，求证：对任意1x ≥，2
ln ()2(1)x a x x x ++>- ；
（3）设()2x
x
g x e =
-，若对任意给定的0(0,2]x ∈，关于x 的方程0()()f x g x =在(0,]e 上有两个不同的实根，求实数a 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）.
题1151：湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测（二）理科数学
设函数()x f x e ax a =-+，其中a 实常数，其图像与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且12x x < （1）求a 的取值范围； （2）设012x x x =，证明：0'()0f x <
题1152：2017-2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试理科数学 已知函数()(0)x f x e ax a a =--≠，且()f x 的最小值为0 （1）求实数a 的值；
（2）设()(2)()x g x x e f x =-+，若()g x 的极小值为M ，求证： 2.52M -<<-
题1153：陕西省师大附中2018 届高三第五次模考文科 设函数()(1)()x
f x ax e a R -=+∈
（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）对任意[0,)x ∈+∞，()1f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围
题1154：新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学理科卷 设()()
()ln ,()h x a h x h x x x f x x a
+-==
+，其中a 为非零实数
（1）当1a =时，求()f x 的极值；
（2）是否存在a 使得()f x a ≤恒成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由
ln ()ln(1)a a x
f x a x x a
=++-+
2
ln(1),2
1
a
a a
a x x e +>>
-
ln 21
,ln ,,52525
a x a a x x x x a x a x a +><<-<>-+
题1155：湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测（二）文科数学 已知函数ln ()(2,0)a x b
f x a a x
+=
≤≠，函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0) （1）求,a b 满足的关系式，并讨论函数()f x 的单调区间； （2）已知2
()2g x x a x
=+--，若函数()()()F x f x g x =+在(0,2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围
题1156：浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题（已经录入） 已知函数2ln ()x
f x x x
=
+ （1）求函数()f x 的导函数'()f x ；
（2）证明：1
()(2f x e e e
<+为自然对数的底数）
题1157：浙江省台州市2018年高三年级第一次（4月）调考数学试题 已知函数3
2
()23(1)6,f x x m x mx m R =-++∈ （1）若2m =，写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）若对于任意的[1,1]x ∈-,都有()4f x <，求m 的取值范围
题1158：新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学文科卷 设()()
()ln ,()h ax h x h x x x f x a
-==
，其中0,a >且1a ≠
（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；
（2）是否存在a 使得()1f x >-恒成立？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由
题1159： 2018保加利亚不等式（已经录入） 证明：3
265()
()5
4
>
题1160：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题（一）（已经录入） 已知函数2()()x f x e x ax a =++
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）若关于x 的不等式()7a f x ae ≤在[,)a +∞上有解，求实数a 的取值范围
题1161：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题（二）（已经录入） 已知函数2
(12)()(0)x
x x f x x e -=
≥
（1）求()f x 的单调区间；
（2）证明：当(0,)x ∈+∞时，2(4121)(12)
2(ln 2)'()
x x x x x f x -+->+
题1162：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题（三） 已知函数()ln f x x x =
（1）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）证明：2()x x f x e e
>-
题1162：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题（五）
已知函数221
(2)()1
x x e f x x +-?=+
（1）求()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率； （2）求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值
题1163：浙江省顶级名校冲刺卷数学试题（六） 设2
2()1
x
f x x =
-，2
15()2x g x -=
（1）求()()f x g x =的解集；
（2）设0x >，0y >，()()f x y g x ≤≤，当,x y 变动时，求x y +的最小值
题1164：未知来源 设函数2
1
()1f x x x
=+
+，[0,1]x ∈，证明： （1）2
1
()12
f x x x ≥-
+ （2）1522
()162
f x +<≤
题1165：广东省广州市2018届高三4月综合测试（二模）数学文试题 已知函数()(1)ln f x a x x =--
（1）若函数()f x 的极小值不大于k 对任意0a >恒成立，求k 的取值范围； （2）证明：*n N ?∈,2231
23(1)(1)(1)(1)2222
n n e ++++<…（其中e 为自然对数的底数）
题1166：山西省孝义市2018届高三下学期一模考试理科数学 已知函数()ln f x m x =. （1）讨论函数1
()()1F x f x x
=+
-的单调性； （2）定义：“对于在区域D 上有定义的函数()y f x =和()y g x =，若满足()()f x g x ≤恒成立，则称曲线
()y g x =为曲线()y f x =在区域D 上的紧邻曲线”.试问曲线(1)y f x =+与曲线1
x
y x =
+是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.
题1167：未知来源（已录入）
已知23
()ln(1)23
x x f x x =+-
-，证明，当[0,1]x ∈时，1()4f x <
题1168：河北省深州中学2018届4月高考模拟试题 文科数学 已知函数()()x
a f x x e x
=-
（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）求证：当01a <<时，函数()f x 有且只有一个极小值点
题1169：全国1卷二轮复习调研试卷（理数）（已录入）
设实数0m >，若对任意的x e ≥，若不等式2
ln 0m
x
x x me -≥恒成立，则m 的最大值为（ ）
1.A e .3
e
B .2
C e .
D e 解：令x e =，则有2
0m e
e me -≥，
令2()m e g m e me =-，'()0m m
e
e m
g m e e e
=--<，()g m 单调递减，而()0g e =，因此m e ≤，
当m e =时，下证明：2
ln 0e x x x e e -?≥，即证：ln ln e e x x
x x e e ≥?，
令()ln f x x x =，'()1ln 0,()f x x f x =+>单调递增，又因为e x
x e ≥，因此有()()e x
f x f e ≥，因此max m e =
题1170：2015郑州模拟改编（已录入） 已知函数2
1()ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈ （1）当2a =时，求()f x 的最值；
（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0，若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由；
题1171：四川省德阳市高2015级第三次诊断性考试数学（文史类） 已知函数()1x
f x e mx =+- （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若曲线()f x 在点(0,0)处的切线垂直于直线2y x =-+，求证：当0x >时，()2ln 32ln 2f x x ->-
题1172：陕西省西安中学2018届高三第四次模拟考试数学（理）
已知函数2
1()(1)()2
x
f x x e x ax a R =+-
-∈在(0,(0))f 处的切线与x 轴平行 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）设2
1()(2)2
x
g x e m x x n =+--
+，若x R ?∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，求2m n +的最大值
题1173：数学小丸子的解题笔记（导数压轴题与放缩应用）：74页第十五题注解的应用
不等式2
1
20ax
e ax x a ++-
≥对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围 解：若0,a <此时2
(1)0f a -<不符合题意，因此有0,a >
由题212()0ax e ax x a -++-≥，令21()2()ax f x e ax x a
-=++-，则'()(1)(2)ax
f x e ax ax -=+-
当1,'()0,()x f x f x a <-<单调递减；12,'()0,()x f x f x a a -<<>单调递增，当2
,()20x f x a ≥>>
故只需1()0,f a -≥解得2
e
a ≥
此题来源——微信公众号：王小呆的高中数学课（imath1113）
题1174：浙江省温州市2018届高三5月高考适应性测试数学试题
已知函数1
(),()x x e f x g x e x
-== （1）求曲线()y f x =在点(1,1)e -处的切线方程； （2）求正实数,m n 满足()()f m g n =，求证；12
n m >
题1175：安徽省合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测数学理（已经录入） 已知函数2
1()2
x
f x e x ax =-
-有两极值点12,x x (e 为自然对数的底数） （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：12()()2f x f x +>
解：（1）'()x
f x e x a =--，令()x
g x e x a =--，由题知()g x 有两个不同的零点
'()1x g x e =-，
当0,'()0,()x g x g x <<单调递减；当0,'()0,()x g x g x >>单调递增 因此必有当(0)0g <，即1a >，此时()0,()0g a g a ->>，
不妨设12x x <，因此1(,0)x a ?∈-使得1()0g x =；2(0,)x a ?∈使得2()0g x =，符合题意 综上：(1,)a ∈+∞
（2）由（1）知当1,'()0,()x x f x f x <>单调递增；10,'()0,()x x f x f x <<<单调递减
则12()()f x f x ≥-，要证12()()2f x f x +>，可证22()()2f x f x -+>，即证：222
22x x e e x -+->
构造函数2()(0)x x h x e e x x -=+->，'()2x x h x e e x -=--，
令()'()2x x x h x e e x ?-==--，'()2220x x x x x e e e e ?--=+->?-=，
()x ?单调递增，()(0)0,x ??>=即'()0,()h x h x >单调递增，()(0)2h x h >=，原不等式成立
已知函数2
()()ln (0)f x x a x a =->
（1）当1a =时，判断()f x 图象与其在(1,(1))f 处的切线公共点个数； （2）若()2e f x ≤
对任意5
(0,]4
x a ∈恒成立，求a 的取值范围（其中e 为自然对数的底数） 解：（1）当1a =2
(1)'()2(1)ln x f x x x x
-=-+，因此'(1)0f =，又因(1)0f =，
则()f x 在(1,0)处的切线方程为：0y =，1,()0;1,()0x f x x f x >><<，又因(1)0f =， 故()f x 图象与其在(1,(1))f 处的切线有且仅有一个公共点
（2）由题必有(),2
2a
e f ≤
即22()ln()22
a a
e ≤，解得02a e <≤， 下证明当02a e <≤时，题目成立，只需研究425a e <≤，5(1,]4x a ∈情况（若不然()02
e
f x ≤<）
此时只需证：0,02ln 2ln 2ln e e e
x a x a x a x x x -≤
?+-≥--≤ ①22202ln e
e e
x a x e x e x x
x e
+
-≥+-=+-≥ ②20552ln 4444552ln 44
22e a e a e a e e e
x a a a x e a e
-
-≤-≤-=-≤-
综上：(0,2]a e ∈ 其中：构造函数()ln (0)x g x x x e =-
>，11'()g x x e
=- 0,'()0,()x e g x g x <<>单调递增；,'()0,()x e g x g x ><单调递减，
因此有()()0g x g e ≤=，即有不等式ln x
x e
≤
，当且仅当x e =取等
2017-2018学年度下学期期中考试高二试题数学（理）（命题单位：沈阳二中）
设函数2
(),()ln ,,f x x g x a x a R ==∈其0a ≠
（1）若直线y a =与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别交于,A B 两点，且()y f x =在点A 处的切线与()y g x =在点B 处的切线平行，求a 的值； （2）若()()()F x f x g x =-讨论()F x 的单调性； （3）当1a =时，22
()()f x g x bx b
?≥+
恒成立，求b 的取值范围，
2018年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测
理科数学试题
已知函数2211
()()ln (1)124
f x x x x x a x =---++，a R ∈.
（1）试讨论函数()f x 极值点个数；
（2）当2ln 22a -<<-时，函数()f x 在[1+∞，）上最小值记为()g a ，求()g a 的取值范围.
【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，难度：难题．
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B
高中数学导数经典100题
题401：省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科 已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数． （1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值； （2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数． 题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六） 已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间； （2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文） 已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性； （2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域的任意x 恒成立,数a 的取值围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立.
题405：一中2017-2018学年度高三年级第五次月考 数学（理）试 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）若()0f x >对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值围. 题406：第一中学2018届高三上学期期末考试数学（理） 已知函数()ln 1,a f x x a R x =+-∈ （1）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值； （2）证明：(ln 1)sin 0x e x x +-> 题407：2017—2018学年度衡中七调理科数学 已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln ,g x ax x a R =+∈ （1）求函数()y g x =的单调区间； （2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞恒成立，数a 的取值围 （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x e x x -->-+
高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)
高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0
高中数学导数经典习题
导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B
高中数学导数练习题(有答案)
导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx
（9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10
(完整)高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e(完整word)高中数学导数练习题
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
(完整版)高二数学导数大题练习详细答案
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．
高中数学导数及微积分练习题
1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．
高中数学导数题型分析及解题方法
导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高二数学导数测试题(经典版)
一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1
高中数学导数专题训练
精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.
13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，
(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
导数复习 一．选择题 (1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (3) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (4) 函数,93)(2 3-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π 的点中，坐标为整数的点的 个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 .10设函数()1 x a f x x -= -,集合M={|()0}x f x <,P=' {|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 14.经过原点且与曲线y =5 9++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25 x +y =0 B.x －y =0或25 x +y =0 C.x +y =0或 25 x －y =0 D.x －y =0或 25 x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又x x f x )(lim 0 '→=－1,则 f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于0 16.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C.n n )221(+- D.1)2 ( 4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( ) A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( ) A 、3 10 B 、3 13 C 、3 16 D 、3 19 19.过抛物线y=x 2 上的点M （4 1,21）的切线的倾斜角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 20.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) a b x y ) (x f y ?=O
函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
高中数学导数典型例题精讲(详细版)
导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．
