2010-2019北京高考数学(理)真题分类汇编专题四三角函数
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题四三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos 411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3π8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π 18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 20．（2013广东）已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．2521．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 22．（2013福建）将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π424．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A ．23B ．0C ．－1D ．13--27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．228．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是 A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．330．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ω+ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C 3D ．23 二、填空题33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．37．(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．38．（2014山东）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________．44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．45．（2013江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 ．三、解答题50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．54．（2015北京）已知函数2()cos 222x x xf x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．56．（2014福建）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．60．（2014天津）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值．62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值．63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R ． (Ⅰ) 求f ()的最小正周期；(Ⅱ) 求f ()在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求2()3f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的的取值集合．65．(2012安徽) 设函数2())sin 4f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值．。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 三角函数的图象与性质(解析版 可下载)
D． f (x) 的最小正周期为 2π ，最大值为 4
【答案】B.
【解析】易知 f (x) 2 cos2 x sin 2 x 2 3cos2 x 1 3(2 cos2 x 1) 3 1
2
2
3 cos 2x 5 ，则 f (x) 的最小正周期为 ，
2
2
当 x k (k Z) 时， f (x) 取得最大值，最大值为 4．
6.（2018 全国卷Ⅱ）若 f (x) cos x sin x 在 [0, a] 是减函数，则 a 的最大值是
A． π 4
B． π 2
C． 3π 4
D． π
【答案】C.
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ， 4
当 x [0, a] 时， x [ , a ] ， 44 4
4
2
2 2
2.
故选 C．
5.（2018 全国卷Ⅰ）已知函数 f (x) 2 cos2 x sin 2 x 2 ，则
A． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 3
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B． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 4
C． f (x) 的最小正周期为 2π ，最大值为 3
12
4
【解析】（I）因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数，
所以，对任意实数x都有 sin(x ) sin(x ) ，
即 sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ，
故 2 sin x cos 0 ，所以 cos 0 ．
所以结合题意可知 a ≤ ，即 a ≤ 3 ，
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科06】设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．3．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．4．【2013年北京文科05】在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sin A，∴由正弦定理得：sin B．故选：B．5．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．6．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．7．【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα，则sinβ＝．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．故答案为：．8．【2016年北京文科13】在△ABC中，∠A，a c，则．【解答】解：在△ABC中，∠A，a c，由正弦定理可得：，，sin C，C，则B．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则1．故答案为：1．9．【2015年北京文科11】在△ABC中，a＝3，b，∠A，则∠B＝．【解答】解：由正弦定理可得，，即有sin B，由b＜a，则B＜A，可得B．故答案为：．10．【2014年北京文科12】在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，则c＝；sin A＝．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C，C为三角形内角，∴sin C，∴由正弦定理得：sin A．故答案为：2；．11．【2012年北京文科11】在△ABC中，若a＝3，b，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b，，∴由正弦定理得：，∴sin∠B．又b＜a，∴∠B＜∠A．∴∠B．∴∠C＝π．故答案为：．12．【2011年北京文科09】在△ABC中．若b＝5，，sin A，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sin A，所以，a．故答案为：．13．【2010年北京文科10】在△ABC中，若b＝1，c，∠C，则a＝．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sin B，∵b＜c，故B，则A由正弦定理得∴a 1故答案为：114．【2019年北京文科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B，∴sin B，由正弦定理有：，∴sin A，∴sin（B+C）＝sin（A）＝sin A．15．【2018年北京文科16】已知函数f（x）＝sin2x sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x sin x cos x sin2x＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，可得2x∈[，2m]，即有2m，解得m，则m的最小值为．16．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x，（co2x sin2x）﹣sin2x，cos2x sin2x，＝sin（2x），∴Tπ，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin（2x）≤1，∴f（x）17．【2016年北京文科16】已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，，由于函数的最小正周期为π，则：T，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x），令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．18．【2015年北京文科15】已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2sin2＝sin x﹣2＝sin x cos x＝2sin（x）∴f（x）的最小正周期T2π；（2）∵x∈[0，]，∴x∈[，π]，∴sin（x）∈[0，1]，即有：f（x）＝2sin（x）∈[，2]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：．19．【2014年北京文科16】函数f（x）＝3sin（2x）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝3sin（2x），∴f（x）的最小正周期Tπ，可知y0为函数的最大值3，x0；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，0]，∴当2x0，即x时，f（x）取最大值0，当2x，即x时，f（x）取最小值﹣320．【2013年北京文科15】已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α），求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为∴T，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x），，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．21．【2013年北京文科18】已知函数f（x）＝x2+x sin x+cos x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x+x cos x＝x（2+cos x），∵曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，∴f′（a）＝a（2+cos a）＝0，f（a）＝b，联立，解得，故a＝0，b＝1．（II）∵f′（x）＝x（2+cos x）．令f′（x）＝0，得x＝0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y＝f（x）与直线x＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）＝f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）＝1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）＝f（x2）＝b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．22．【2012年北京文科15】已知函数f（x）．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由sin x≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）＝sin2x﹣cos2x﹣1sin（2x）﹣1∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）∵函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）∴由2kπ2x2kπ，x≠kπ（k∈Z）得kπx≤kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]（k∈Z）23．【2011年北京文科15】已知f（x）＝4cos x sin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，＝4cos x（）﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x＝2sin（2x），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵x，∴2x，∴当2x，即x时，f（x）取最大值2，当2x时，即x时，f（x）取得最小值﹣1．24．【2010年北京文科15】已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cos x＝3cos2x﹣4cos x﹣1，因为cos x∈[﹣1，1]，所以当cos x ＝﹣1时，f （x ）取最大值6；当时，取最小值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且c o s c o s A B a b +=，b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积.19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =．。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学(理) 专题04 导数与定积分 Word版含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题04导数与定积分1.(2019·全国2·T文T10)曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0【答案】C【解析】当x=π时，y=2sin π+cos π=-1，即点(π，-1)在曲线y=2sin x+cos x上.∵y'=2cos x-sin x，∴y'|x=π=2cos π-sin π=-2.∴曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π)，即2x+y-2π+1=0.故选C.2.(2019·全国3·T理T6文T7)已知曲线y=ae x+xln x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则 ( )A.a=e，b=-1B.a=e，b=1C.a=e-1，b=1D.a=e-1，b=-1【答案】D【解析】∵y'=ae x+ln x+1，∴k=y'|x=1=ae+1=2，∴ae=1，a=e-1.将点(1，1)代入y=2x+b，得2+b=1，∴b=-1.3.(2018·全国1·理T5文T6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax，解得a=1，则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1，得曲线y=f(x)在(0，0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.4.(2017·全国2·理T11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点，则f(x)的极小值为( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1【答案】A【解析】由题意可得，f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点，所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)e x-1.所以f'(x)=(x2+x-2)e x-1.令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=1.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:选A.5.(2017·浙江·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 ( )【答案】D【解析】设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞，x1)和(x2，x3)上，f'(x)<0，f(x)是减函数，在区间(x1，x2)和(x3，+∞)上，f'(x)>0，f(x)是增函数，所以函数y=f(x)的图象可能为D，故选D.6.(2016·山东·理T10)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3【答案】A【解析】当y=sin x时，y'=cos x，因为cos 0·cos π=-1，所以在函数y=sin x图象存在两点x=0，x=π使条件成立，故A正确;函数y=ln x，y=e x，y=x3的导数值均非负，不符合题意，故选A.7.(2016·全国1·文T12)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在(-∞，+∞)单调递增，则a的取值范围是( )A.[-1，1]B.[-1,13]C.[-13,13] D.[-1,-13]【答案】C【解析】因为f(x)在R 上单调递增，所以f'(x)=-43cos 2x+acos x+53≥0在R 上恒成立. 由题意可得，当cos x=1时，f'(x)≥0， 当cos x=-1时，f'(x)≥0， 即{-43+a +53≥0,-43-a +53≥0,解得-13≤a≤13. 8.(2016·四川·理T9)设直线l 1，l 2分别是函数f(x)={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(0，+∞)D.(1，+∞) 【答案】A【解析】设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，-ln x 2)(不妨设x 1>1，0<x 2<1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1=1x 1，k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1，所以x 1x 2=1.所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程分别为y-ln x 1=1x 1(x-x 1)，切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2)， 即y-ln x 1=-x 1(x -1x1).分别令x=0得A(0，-1+ln x 1)，B(0，1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,lnx 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1，∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x 11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1，故选A.9.(2015·全国2·理T12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(-1，0) D.(0，1)∪(1，+∞)【答案】A【解析】当x>0时，令F(x)=f (x )x，则F'(x)=xf '(x )-f (x )x 2<0， ∴当x>0时，F(x)=f (x )x为减函数. ∵f(x)为奇函数，且由f(-1)=0，得f(1)=0，故F(1)=0. 在区间(0，1)上，F(x)>0;在(1，+∞)上，F(x)<0，即当0<x<1时，f(x)>0; 当x>1时，f(x)<0. 又f(x)为奇函数，∴当x ∈(-∞，-1)时，f(x)>0;当x ∈(-1，0)时，f(x)<0. 综上可知，f(x)>0的解集为(-∞，-1)∪(0，1).故选A.10.(2015·全国1·理T12)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.[-32e ,1) B.[-32e ,34) C.[32e ,34) D.[32e ,1)【答案】D【解析】由已知函数关系式，先找到满足f(x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解. ∵f(0)=-1+a<0，∴x 0=0.又∵x 0=0是唯一的使f(x 0)<0的整数，11.(2014·全国1·理T11文T12)已知函数f(x)=ax 3-3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-1) 【答案】C【解析】当a=0时，显然f(x)有2个零点，不符合题意;当a>0时，f'(x)=3ax 2-6x=3x(ax-2)，易知函数f(x)在(-∞，0)上单调递增. 又f(0)=1，当x →-∞时，f(x)=x 2(ax-3)+1→-∞，故不适合题意;当a<0时，f(x)在(-∞,2a )上单调递减，在(2a ,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，只需f (2a )>0就满足题意. 由f (2a )>0，得8a 2−12a 2+1>0，解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.∴{f (-1)≥0,f (1)≥0,即{e -1[2×(-1)-1]+a +a ≥0,e (2×1-1)-a +a ≥0,解得a≥32e . 又∵a<1，∴32e ≤a<1，经检验a=34，符合题意，故选D. 12.(2014·江西，理8)若f(x)=x 2+2∫10f(x)dx ，则∫1f(x)dx=( )A.-1B.-13C.13D.1【答案】B 【解析】∵∫1f(x)dx=∫1x 2dx+∫1[2∫f 10(x )dx]dx=13x 3|01+[2∫f 10(x )dx]x |01=13+2∫10f(x)dx ， ∴∫10f(x)dx=-13.故选B.13.(2014·全国2·理T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x ，则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1)，∴y'=a-1x+1. ∴y'|x=0=a-1=2，得a=3.14.(2014·全国2·文T11)若函数f(x)=kx-ln x 在区间(1，+∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] C.[2，+∞) D.[1，+∞) 【答案】D【解析】由f'(x)=k-1x ，又f(x)在(1，+∞)上单调递增， 则f'(x)≥0在x ∈(1，+∞)上恒成立， 即k≥1x 在x ∈(1，+∞)上恒成立.又当x ∈(1，+∞)时，0<1x <1，故k≥1.故选D.15.(2014·全国2·理T12)设函数f(x)=√3sin πxm .若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A.(-∞，-6)∪(6，+∞)B.(-∞，-4)∪(4，+∞)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞) 【答案】C【解析】∵x 0是f(x)的极值点， ∴f'(x 0)=0，即πm·√3·cosπx 0m=0， 得πmx 0=k π+π2，k ∈Z ，即x 0=mk+12m ，k ∈Z.∴x 02+[f(x 0)]2<m 2可转化为(mk +12m)2+[√3sin πm (mk +12m)]2<m 2，k ∈Z ，即(k +12)2m 2+3<m 2，k ∈Z ，即(k +12)2<1-3m2，k ∈Z.要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使1-3m 2>(k +12)2成立即可.又(k +12)2的最小值为14，∴1-3m 2>14，解得m<-2或m>2.故选C.16.(2014·湖北·理T6)若函数f(x)，g(x)满足∫1-1f(x)g(x)dx=0，则称f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数.给出三组函数: ①f(x)=sin 12x ，g(x)=cos 12x; ②f(x)=x+1，g(x)=x-1; ③f(x)=x ，g(x)=x 2.其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】对于①，∫1-1(sin 12x ·cos 12x)dx=∫1-112sin xdx=12∫1-1sin xdx=12(-cos x)|-11=12{-cos1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1)=0. 故①为一组正交函数;对于②，∫1-1(x+1)(x-1)dx=∫1-1(x 2-1)dx=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0，故②不是一组正交函数;对于③，∫1-1x ·x 2dx=∫1-1x 3dx=(14x 4)|-11=0.故③为一组正交函数，故选C.17.(2014·山东，理6)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2√2 B.4√2 C.2 D.4【答案】D【解析】由{y =4x ,y =x 3,解得x=-2或x=0或x=2，所以直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=∫2(4x-x 3)dx=(2x 2-14x 4)|02=(2×22-14×24)-0=4.18.(2013·北京，理7)直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B.2C.83D.16√23【答案】C【解析】由题意可知，l 的方程为y=1. 如图，B 点坐标为(2，1)， ∴所求面积S=4-2∫2x 24dx=4-2(x 312)|02=83，故选C.19.(2013·全国2·理T10文T11)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R ，f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点，则f'(x 0)=0 【答案】C【解析】∵x 0是f(x)的极小值点，则y=f(x)的图象大致如下图所示，则在(-∞，x 0)上不单调，故C 不正确.20.(2013·湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+251+t (t 的单位:s ，v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln 113 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2【答案】C【解析】由于v(t)=7-3t+251+t ，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)=0可解得t=4，即汽车从刹车到停止共用4 s.该汽车在此期间所行驶的距离s=∫40(7-3t +251+t )dt=[7t -3t 22+25ln (t +1)]|04=4+25ln 5(m).21.(2012·湖北·理T3)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2【答案】B【解析】由图象可得二次函数的【解析】式为f(x)=-x 2+1，则与x 轴所围图形的面积S=∫1-1(-x2+1)dx=(-x 33+x)|-11=43.22.(2011·全国，理9)由曲线y=√x ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B.4C.163D.6【答案】C【解析】由题意知，所围成的面积∫4[√x -(x-2)]dx=(23x 32-12x2+2x)| 04=23×432−12×42+2×4=163.23.(2010·全国，理3)曲线y=xx+2在点(-1，-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2 【答案】A 【解析】∵y'=x+2-x (x+2)2=2(x+2)2，∴在点(-1，-1)处的切线方程的斜率为2(-1+2)2=2.∴切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.24.(2010·全国·文T4)曲线y=x 3-2x+1在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2D.y=-2x+2【答案】A【解析】y'|x=1=(3x 2-2)|x=1=1，因此曲线在(1，0)处的切线方程为y=x-1. 25.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x 2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为 . 【答案】y=3x【解析】由题意可知y'=3(2x+1)e x+3(x 2+x)e x=3(x 2+3x+1)e x， ∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x 2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为y=3x.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x 2在点(0，1)处的切线方程为 . 【答案】x+2y-2=0 【解析】y'=-sin x-12，y'|x=0=k=-12.切线方程为y-1=-12x ，即x+2y-2=0.27.(2019·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ，-1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是 . 【答案】(e ，1)【解析】设点A(x 0，y 0)，则y 0=ln x 0，又y'=1x，当x=x 0时，y'=1x 0，点A 在曲线y=ln x 上的切线为y-y 0=1x 0(x-x 0)，即y-ln x 0=x x 0-1，代入点(-e ，-1)，得-1-ln x 0=-e x 0-1，即x 0ln x 0=e ，得x 0=e ，y 0=1，故点A(e ，1).28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e xln x ，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(1)的值为 . 【答案】e【解析】∵f'(x)=e xln x+e x x，∴f'(1)=eln 1+e 1=e.29.(2018·全国2·理T13 )曲线y=2ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x【解析】∵y'=2x+1，∴当x=0时，y'=2， ∴曲线在(0，0)处的切线方程为y=2x.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x 在点(1，0)处的切线方程为 .【答案】y=2x-2【解析】∵y'=(2ln x)'=2x ，∴当x=1时，y'=2.∴切线方程为y=2(x-1)，即y=2x-2. 31.(2018·全国3，理14)直线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为-2，则a= . 【答案】-3【解析】设f(x)=(ax+1)e x，∵f'(x)=a ·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x，∴f(x)=(ax+1)e x 在(0，1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2，∴a=-3.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为 . 【答案】-3【解析】由f'(x)=6x 2-2ax=0，得x=0或x=a3.因为函数f(x)在(0，+∞)内有且只有一个零点，且f(0)=1，所以a 3>0，f (a3)=0，因此2(a 3)3-a (a 3)2+1=0，解得a=3.从而函数f(x)在[-1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f(x)max =f(0)=1，f(x)min =f(-1)=-4.故f(x)max +f(x)min =1-4=-3. 33.(2017·全国1，文14)曲线y=x 2+ 在点(1，2)处的切线方程为 . 【答案】y=x+1【解析】设y=f(x)，则f'(x)=2x-1x2，所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x 2+1x在点(1，2)处的切线方程为y-2=1×(x-1)，即y=x+1.34.(2017·天津，文10)已知a ∈R ，设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1，f(1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 【答案】1【解析】∵f(x)=ax-ln x ，∴f'(x)=a-1x，f'(1)=a-1，f(1)=a ，则切线l 方程为y-a=(a-1)(x-1)，即y=(a-1)x+1，则l 在y 轴上的截距为1.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x 3④f(x)=x 2+2 【答案】①④【解析】对①，设g(x)=e x·2-x， 则g'(x)=e x(2-x +2-x ln 12)=e x ·2-x·(1+ln 12)>0，∴g(x)在R 上单调递增，具有M 性质; 对②，设g(x)=e x·3-x， 则g'(x)=e x(3-x +3-x ln 13)=e x ·3-x(1+ln 13)<0，∴g(x)在R 上单调递减，不具有M 性质;对③，设g(x)=e x·x 3，则g'(x)=e x·x 2(x+3)，令g'(x)=0，得x 1=-3，x 2=0， ∴g(x)在(-∞，-3)上单调递减，在(-3，+∞)上单调递增，不具有M 性质; 对④，设g(x)=e x(x 2+2)，则g'(x)=e x(x 2+2x+2)，∵x 2+2x+2=(x+1)2+1>0， ∴g'(x)>0，∴g(x)在R 上单调递增，具有M 性质.故填①④.36.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x 3-2x+e x-1ex ，其中e 是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[-1,12] 【解析】因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e -x-1e -x=-f(x)，所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x 2-2+e x+e -x≥3x 2-2+2√e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立)，所以f(x)在R 上单调递增，因为f(a-1)+f(2a 2)≤0可化为f(2a 2)≤-f(a-1)，即f(2a 2)≤f(1-a)，所以2a 2≤1-a ，2a 2+a-1≤0，解得-1≤a≤12，故实数a 的取值范围是[-1,12].37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= . 【答案】1-ln 2【解析】设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x 1，kx 1+b)，(x 2，kx 2+b)，由导数的几何意义，可得k=1x 1=1x 2+1，得x 1=x 2+1.又切点也在各自曲线上，所以 {kx 1+b =lnx 1+2,kx 2+b =ln (x 2+1),所以{ k =2,x 1=12,x 2=-12. 从而由kx 1+b=ln x 1+2，代入解得b=1-ln 2.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax 3+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a= .【答案】1【解析】∵f'(x)=3ax 2+1，∴f'(1)=3a+1， 即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2，∴已知点为(1，a+2). 而由过(1，a+2)，(2，7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a ，∴5-a=3a+1，解得a=1.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切，则a= . 【答案】8【解析】∵y'=1+1x，∴k=y'|x=1=2， ∴切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax 2+(a+2)x+1联立，得ax 2+ax+2=0，再由相切知Δ=a 2-8a=0，解得a=0或a=8. ∵当a=0时，y=ax 2+(a+2)x+1并非曲线而是直线，∴a=0舍去，故a=8.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0，1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 . 【答案】(1，1)【解析】曲线y=e x在点(0，1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=1x ，可得y'=-1x 2，因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0，1)处的切线垂直，故-1x P2=-1，解得x P =1，由y=1x ，得y P =1，故所求点P 的坐标为(1，1).41.(2015·天津，理11)曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为______________.【答案】16【解析】函数y=x 2与y=x 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设其面积为S.由{y =x 2,y =x ,得{x =0,y =0或{x =1,y =1.故所求面积S=∫1(x-x 2)dx=(12x 2-13x 3)|01=16.42.(2015·陕西·理T16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC ，其中A(0，0)，B (12,5)，C(1，0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________________. 【答案】54【解析】由题意f(x)={10x ,0≤x ≤12,-10x +10,12<x ≤1,则xf(x)={10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x ,12<x ≤1.∴xf(x)与x 轴围成图形的面积为∫12010x 2dx+∫112(-10x 2+10x)dx=103x 3|012+(5x 2-103x 3)|121=103×18+(5-103)−(54-103×18)=54.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1，1)处的切线方程为 . 【答案】4x-y-3=0【解析】因为y'=3ln x+4，故y'|x=1=4，所以曲线在点(1，1)处的切线方程为y-1=4(x-1)，化为一般式方程为4x-y-3=0.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x 与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2，则a=. 【答案】49【解析】由题意可得曲线y=√x 与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积S=∫a0√x dx=23x 32|0a =23a 32=a 2，解得a=49.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x 3-ax 2+2. (1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M-m 的取值范围. 【解析】(1)f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0，得x=0或x=a3.若a>0，则当x ∈(-∞，0)∪(a 3,+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(0,a3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，0)，(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减;若a=0，f(x)在(-∞，+∞)单调递增;若a<0，则当x ∈(-∞,a 3)∪(0，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(a3,0)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3)，(0，+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减. (2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在(0,a3)单调递减，在(a3,1)单调递增，所以f(x)在[0，1]的最小值为f (a3)=-a 327+2，最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a 327+2，M={4-a ,0<a <2,2,2≤a <3.所以M-m={2-a +a 327,0<a <2,a327,2≤a <3.当0<a<2时，可知2-a+a 327单调递减， 所以M-m 的取值范围是(827,2). 当2≤a<3时，a 327单调递增，所以M-m 的取值范围是[827,1).综上，M-m 的取值范围是[827,2). 47.(2019·浙江·T22)已知实数a ≠0，设函数f(x)=aln x+√1+x ，x>0. (1)当a=-34时，求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x ∈1e 2，+∞均有f(x)≤√x 2a，求a 的取值范围.注:e=2.718 28…为自然对数的底数.【解析】(1)当a=-34时，f(x)=-34ln x+√1+x ，x>0. f'(x)=-34x 2√1+x=√1+x -√1+x+14x √1+x，所以，函数f(x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，+∞).(2)由f(1)≤12a ，得0<a≤√24. 当0<a≤√24时，f(x)≤√x 2a 等价于√xa 2−2√1+xa-2ln x≥0. 令t=1a ，则t≥2√2.设g(t)=t 2√x -2t √1+x -2ln x ，t≥2√2，则 g(t)=√x t-√1+1x 2-1+x√x -2ln x.①当x ∈17，+∞时，√1+1x≤2√2，则g(t)≥g(2√2)=8√x -4√2√1+x -2ln x. 记p(x)=4√x -2√2√1+x -ln x ，x≥17，则 p'(x)=√x−√2√x+1−1x=√x √x+1-√2x √x+1x √x+1=√x (√2x+2-x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x ).故 17，1 1 p17单调递减所以，p(x)≥(1)=0.因此，g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0. ②当x ∈1e 2,17时，g(t)≥g √1+1x=-2√xlnx -(x+1)2√x.令q(x)=2√x ln x+(x+1)，x ∈1e 2,17，则q'(x)=√x+1>0， 故q(x)在1e 2,17上单调递增， 所以q(x)≤q17.由①得，q17=-2√77p 17<-2√77p(1)=0. 所以，q(x)<0.因此，g(t)≥g √1+1x =-q (x)2√x >0.由①②知对任意x ∈1e 2，+∞，t ∈[2√2，+∞)，g(t)≥0，即对任意x ∈1e 2，+∞，均有f(x)≤√x 2a.综上所述，所求a 的取值范围是0，√24.48.(2019·全国2，文21，12分，难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+∞). f'(x)=x -1x +ln x-1=ln x-1x. 因为y=ln x 单调递增，y=1x单调递减，所以f'(x)单调递增. 又f'(1)=-1<0，f'(2)=ln 2-12=ln4-12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f'(x 0)=0.又当x<x 0时，f'(x)<0，f(x)单调递减; 当x>x 0时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x 0)<f(1)=-2，又f(e 2)=e 2-3>0， 所以f(x)=0在区间(x 0，+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f （1α）=（1α-1）ln 1α−1α-1=f (α)α=0， 故1α是f(x)=0在(0，x 0)的唯一根.综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏，19，16分，难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，a ，b ，c ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c ，f(4)=8，求a 的值;(2)若a ≠b ，b=c ，且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值; (3)若a=0，0<b ≤1，c=1，且f(x)的极大值为M ，求证:M ≤427.【解析】(1)因为a=b=c ，所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3. 因为f(4)=8，所以(4-a)3=8，解得a=2. (2)因为b=c ，所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x 3-(a+2b)x 2+b(2a+b)x-ab 2， 从而f'(x)=3(x-b)(x -2a+b3). 令f'(x)=0，得x=b 或x=2a+b3. 因为a ，b ，2a+b3都在集合{-3，1，3}中，且a ≠b ， 所以2a+b3=1，a=3，b=-3.此时，f(x)=(x-3)(x+3)2，f'(x)=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0，得x=-3或x=1. 列表如下:所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32. (3)因为a=0，c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x 3-(b+1)x 2+bx ，f'(x)=3x 2-2(b+1)x+b. 因为0<b ≤1，所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3>0， 则f'(x)有2个不同的零点， 设为x 1，x 2(x 1<x 2). 由f'(x)=0，得x 1=b+1-√b 2-b+13，x 2=b+1+√b 2-b+13.列表如下f(x)↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗(解法一)M=f(x 1)=x 13-(b+1)x 12+bx 1=[3x 12-2(b+1)x 1+b](x 13-b+19)−2(b 2-b+1)9x 1+b (b+1)9 =-2(b 2-b+1)(b+1)27+b (b+1)9+227(√b 2-b +1)3 =b (b+1)27−2(b -1)2(b+1)27+227(√b (b -1)+1)3 ≤b (b+1)27+227≤427.因此M≤427. (解法二)因为0<b ≤1，所以x 1∈(0，1).当x ∈(0，1)时，f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2. 令g(x)=x(x-1)2，x ∈(0，1)， 则g'(x)=3(x -13)(x-1).令g'(x)=0，得x=13. 列表如下:所以当x=13时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max =g (13)=427.所以当x ∈(0，1)时，f(x)≤g(x)≤427. 因此M≤427.50.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x 3-ax 2+b. (1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a ，b ，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a ，b 的所有值;若不存在，说明理由.【解析】(1)f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0，得x=0或x=a 3.若a>0，则当x ∈(-∞，0)∪(a3,+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(0,a3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，0)，(a 3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减; 若a=0，f(x)在(-∞，+∞)单调递增;若a<0，则当x ∈(-∞,a3)∪(0，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(a 3,0)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a 3)，(0，+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)满足题设条件的a ，b 存在.(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2-a+b.此时a ，b 满足题设条件当且仅当b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2-a+b.此时a ，b 满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.(ⅲ)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f (a3)=-a 327+b ，最大值为b 或2-a+b. 若-a 327+b=-1，b=1，则a=3√23，与0<a<3矛盾.若-a 327+b=-1，2-a+b=1，则a=3√3或a=-3√3或a=0，与0<a<3矛盾.综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1. 51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e xcos x ，g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间;(2)当x ∈π4,π2时，证明f(x)+g(x)π2-x ≥0;(3)设x n 为函数u(x)=f(x)-1在区间2n π+π4，2n π+π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π+π2-x n <e -2nπsinx 0-cosx 0.【解析】(1)由已知，有f'(x)=e x (cos x-sin x).因此，当x ∈2k π+π4，2k π+5π4(k ∈Z)时，有sin x>cosx ，得f'(x)<0，则f(x)单调递减;当x ∈2k π-3π4，2k π+π4(k ∈Z)时，有sin x<cos x ，得f'(x)>0，则f(x)单调递增.所以，f(x)的单调递增区间为2k π-3π4，2k π+π4(k ∈Z)，f(x)的单调递减区间为2k π+π4，2k π+5π4(k ∈Z).(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)π2-x .依题意及(1)，有g(x)=e x (cos x-sin x)，从而g'(x)=-2e x sin x. 当x ∈π4,π2时，g'(x)<0，故h'(x)=f'(x)+g'(x)π2-x +g(x)(-1)=g'(x)π2-x <0.因此，h(x)在区间π4,π2上单调递减，进而h(x)≥h π2=f π2=0. 所以，当x ∈π4,π2时，f(x)+g(x)π2-x ≥0.(3)证明依题意，u(x n )=f(x n )-1=0，即e x n cos x n =1.记y n =x n -2n π，则y n ∈π4,π2，且f(y n )=e y n cos y n =e x n -2nπcos (x n -2n π)=e-2n π(n ∈N).由f(y n )=e -2n π≤1=f(y 0)及(1)，得y n ≥y 0.由(2)知，当x ∈π4,π2时，g'(x)<0，所以g(x)在π4,π2上为减函数， 因此g(y n )≤g(y 0)<g π4=0. 又由(2)知，f(y n )+g(y n )π2-y n ≥0，故π2-y n ≤-f (y n )g (y n )=-e -2nπg (y n )≤-e -2nπg (y 0)=e -2nπe y 0(siny 0-cosy 0)<e -2nπsinx 0-cosx 0. 所以，2n π+π2-x n <e -2nπsinx 0-cosx 0.52.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x)，f'(x)为f(x)的导数.证明: (1)f'(x)在区间(-1,π2)存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设g(x)=f'(x)， 则g(x)=cos x-11+x ，g'(x)=-sin x+1(1+x )2.当x ∈(-1,π2)时，g'(x)单调递减， 而g'(0)>0，g'(π2)<0，可得g'(x)在区间(-1,π2)内有唯一零点，设为α. 则当x ∈(-1，α)时，g'(x)>0;当x∈(α,π2)时，g'(x)<0.所以g(x)在区间(-1，α)内单调递增，在区间(α,π2)内单调递减，故g(x)在区间(-1,π2)内存在唯一极大值点，即f'(x)在区间(-1,π2)内存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1，+∞).(ⅰ)当x∈(-1，0]时，由(1)知，f'(x)在区间(-1，0)内单调递增，而f'(0)=0，所以当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，故f(x)在区间(-1，0)内单调递减.又f(0)=0，从而x=0是f(x)在区间(-1，0]上的唯一零点.(ⅱ)当x∈(0,π2]时，由(1)知，f'(x)在区间(0，α)内单调递增，在区间(α,π2)内单调递减，而f'(0)=0，f'(π2)<0，所以存在β∈(α,π2)，使得f'(β)=0，且当x∈(0，β)时，f'(x)>0;当x∈(β,π2)时，f'(x)<0.故f(x)在区间(0，β)内单调递增，在区间(β,π2)内单调递减.又f(0)=0，f(π2)=1-ln(1+π2)>0，所以当x∈(0,π2]时，f(x)>0.从而，f(x)在区间(0,π2]上没有零点.(ⅲ)当x∈(π2,π]时，f'(x)<0，所以f(x)在区间(π2,π)内单调递减.而f(π2)>0，f(π)<0，所以f(x)在区间(π2,π]上有唯一零点.(ⅳ)当x∈(π，+∞)时，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在区间(π，+∞)内没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.53.(2019·全国1·文T20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x，f'(x)为f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0，π)存在唯一零点;(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.【解析】(1)证明设g(x)=f'(x)，则g(x)=cos x+xsin x-1，g'(x)=xcos x.当x∈(0,π2)时，g'(x)>0;当x∈(π2,π)时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g (π2)>0，g(π)=-2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点. 所以f'(x)在(0，π)存在唯一零点.(2)解由题设知f (π)≥a π，f (π)=0，可得a ≤0.由(1)知，f'(x)在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f'(x)>0;当x ∈(x 0，π)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，x 0)单调递增，在(x 0，π)单调递减. 又f(0)=0，f (π)=0，所以，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax. 因此，a 的取值范围是(-∞，0].54.(2019·全国2·理T20)已知函数f(x)=ln x-x+1x -1. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 【解析】(1) f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞). 因为f'(x)=1x +2(x -1)2>0，所以f(x)在区间(0，1)，(1，+∞)内单调递增. 因为f(e)=1-e+1e -1<0，f(e 2)=2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1>0，所以f(x)在区间(1，+∞)内有唯一零点x 1，即f(x 1)=0.又0<1x 1<1，f 1x 1=-ln x 1+x 1+1x 1-1=-f(x 1)=0，故f(x)在区间(0，1)内有唯一零点1x 1.综上，f(x)有且仅有两个零点.(2)证明因为1x 0=e -lnx 0，故点B -ln x 0，1x在曲线y=e x 上.由题设知f(x 0)=0，即ln x 0=x 0+1x 0-1，故直线AB 的斜率k=1x 0-lnx 0-lnx 0-x 0=1x 0-x 0+1x 0-1-x 0+1x 0-1-x 0=1x 0.曲线y=e x 在点B -ln x 0，1x处切线的斜率是1x 0，曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y=ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线. 55.(2019·天津·文T20)设函数f(x)=ln x-a(x-1)e x，其中a ∈R. (1)若a ≤0，讨论f(x)的单调性; (2)若0<a<1e ，①证明f(x)恰有两个零点;②设x 0为f(x)的极值点，x 1为f(x)的零点，且x 1>x 0，证明3x 0-x 1>2.【解析】(1)由已知，f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=1x -[ae x +a(x-1)e x]=1-ax 2e x x .因此当a≤0时，1-ax 2e x>0，从而f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)内单调递增.(2)证明①由(1)知，f'(x)=1-ax 2e x x .令g(x)=1-ax 2e x ，由0<a<1e，可知g(x)在(0，+∞)内单调递减，又g(1)=1-ae>0，且g ln1a=1-a ln1a21a=1-ln1a2<0，故g(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，从而f'(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，不妨设为x 0，则1<x 0<ln 1a . 当x ∈(0，x 0)时，f'(x)=g (x )x>g (x 0)x=0， 所以f(x)在(0，x 0)内单调递增; 当x ∈(x 0，+∞)时，f'(x)=g (x )x <g (x 0)x=0，所以f(x)在(x 0，+∞)内单调递减，因此x 0是f(x)的唯一极值点.令h(x)=ln x-x+1，则当x>1时，h'(x)=1x-1<0，故h(x)在(1，+∞)内单调递减，从而当x>1时，h(x)<h(1)=0，所以x<x-1. 从而f ln1a=ln ln1a-a ln 1a -1e ln 1a =ln ln 1a -ln 1a +1=h ln 1a<0，又因为f(x 0)>f(1)=0，所以f(x)在(x 0，+∞)内有唯一零点.又f(x)在(0，x 0)内有唯一零点1，从而，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点.②由题意，{f '(x 0)=0,f (x 1)=0,即{ax 02e x 0=1,lnx 1=a (x 1-1)e x 1,从而ln x 1=x 1-1x 02e x 1-x 0，即e x 1-x 0=x 02lnx 1x 1-1.因为当x>1时，ln x<x-1，又x 1>x 0>1，故e x 1-x 0<x 02(x 1-1)x 1-1=x 02，两边取对数，得ln e x 1-x 0<ln x 02，于是x 1-x 0<2ln x 0<2(x 0-1)，整理得3x 0-x 1>2.56.(2018·全国2·理T21)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1，证明:当x ≥0时，f(x)≥1; (2)若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a.【解析】(1)当a=1时，f(x)≥1等价于(x 2+1)e -x-1≤0. 设函数g(x)=(x 2+1)e -x-1，则g'(x)=-(x 2-2x+1)e -x=-(x-1)2e -x.当x ≠1时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)单调递减.而g(0)=0，故当x ≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1. (2)设函数h(x)=1-ax 2e -x.f(x)在(0，+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，+∞)只有一个零点. (i)当a ≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点;(ii)当a>0时，h'(x)=ax(x-2)e -x.当x ∈(0，2)时，h'(x)<0;当x ∈(2，+∞)时，h'(x)>0. 所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增. 故h(2)=1-4a e2是h(x)在[0，+∞)的最小值. ①若h(2)>0，即a<e 24，h(x)在(0，+∞)没有零点; ②若h(2)=0，即a=e 24，h(x)在(0，+∞)只有一个零点; ③若h(2)<0，即a>e 24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0，2)有一个零点. 由(1)知，当x>0时，e x>x 2，所以 h(4a)=1-16a 3e 4a =1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a )4=1-1a >0. 故h(x)在(2，4a)有一个零点.因此h(x)在(0，+∞)有两个零点. 综上，f(x)在(0，+∞)只有一个零点时，a=e 24.57.(2018·全国2·文T21度)已知函数f(x)=13x 3-a(x 2+x+1). (1)若a=3，求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.【解析】(1)当a=3时，f(x)=13x 3-3x 2-3x-3，f'(x)=x 2-6x-3. 令f'(x)=0，解得x=3-2√3或x=3+2√3.当x ∈(-∞，3-2√3)∪(3+2√3，+∞)时，f'(x)>0; 当x ∈(3-2√3，3+2√3)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，3-2√3)，(3+2√3，+∞)单调递增，在(3-2√3，3+2√3)单调递减. (2)由于x 2+x+1>0，所以f(x)=0等价于x 3x 2+x+1-3a=0. 设g(x)=x 3x 2+x+1-3a ，则g'(x)=x 2(x 2+2x+3)(x 2+x+1)2≥0，仅当x=0时g'(x)=0，所以g(x)在(-∞，+∞)单调递增，故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a 2+2a-13=-6(a -16)2−16<0，f(3a+1)=13>0，故f(x)有一个零点. 综上，f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理T20)已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x ，其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2)) 处的切线平行，证明x 1+g(x 2)=-2lnlnalna; (3)证明当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.【解析】(1)由已知，h(x)=a x-xln a ，有h'(x)=a xln a-ln a. 令h'(x)=0，解得x=0.由a>1，可知当x 变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞).(2)证明由f'(x)=a xln a ，可得曲线y=f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线斜率为a x 1ln a.由g'(x)=1xlna ，可得曲线y=g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线斜率为1x 2lna .因为这两条切线平行，故有a x 1ln a=1x 2lna ，即x 2a x 1(ln a)2=1.两边取以a 为底的对数，得log a x 2+x 1+2log a ln a=0，所以x 1+g(x 2)=-2lnlnalna .(3)证明曲线y=f(x)在点(x 1，a x 1)处的切线l 1:y-a x 1=a x 1ln a ·(x-x 1).曲线y=g(x)在点(x 2，log a x 2)处的切线l 2:y-log a x 2=1x 2lna (x-x 2).要证明当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥e 1e 时，存在x 1∈(-∞，+∞)，x 2∈(0，+∞)，使得l 1与l 2重合. 即只需证明当a≥e 1e 时，方程组 {a x 1lna =1x 2lna ,①a x 1-x 1a x 1lna =log a x 2-1lna ②有解. 由①得x 2=1a x 1(lna )2，代入②，得ax 1-x 1a x 1ln a+x 1+1lna +2lnlnalna =0.③因此，只需证明当a≥e 1e 时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数u(x)=a x-xaxln a+x+1lna +2lnlnalna ，即要证明当a≥e 1e 时，函数y=u(x)存在零点.u'(x)=1-(ln a)2xa x，可知当x ∈(-∞，0)时，u'(x)>0;当x ∈(0，+∞)时，u'(x)单调递减，又u'(0)=1>0，u'(1(lna )2)=1-a1(lna )2<0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u'(x 0)=0，即1-(ln a)2x 0a x 0=0.由此可得u(x)在(-∞，x 0)上单调递增，在(x 0+∞)上单调递减，u(x)在x=x 0处取得极大值u(x 0). 因为a≥e 1e ，故ln ln a≥-1，所以u(x 0)=a x 0-x 0a x 0ln a+x 0+1lna +2lnlna lna =1x 0(lna )2+x 0+2lnlnalna ≥2+2lnlnalna≥0. 下面证明存在实数t ，使得u(t)<0. 由(1)可得a x≥1+xln a，当x>1lna 时，有u(x)≤(1+xln a)(1-xln a)+x+1lna +2lnlna lna =-(ln a)2x 2+x+1+1lna +2lnlna lna， 所以存在实数t ，使得u(t)<0.因此，当a≥e 1e 时，存在x 1∈(-∞，+∞)，使得u(x 1)=0. 所以，当a≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.59.(2018·天津·文T20)设函数f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列.(1)若t 2=0，d=1，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程; (2)若d=3，求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【解析】(1)由已知，可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x 3-x ，故f'(x)=3x 2-1.因此f(0)=0，f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0)，故所求切线方程为x+y=0. (2)由已知可得f(x)=(x-t 2+3)(x-t 2)(x-t 2-3)=(x-t 2)3-9(x-t 2)=x 3-3t 2x 2+(3t 22-9)x-t 23+9t 2.故f'(x)=3x 2-6t 2x+3t 22-9.令f'(x)=0，解得x=t 2-√3，或x=t 2+√3. 当x 变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的极大值为f(t 2-√3)=(-√3)3-9×(-√3)=6√3;函数f(x)的极小值为f(t 2+√3)=(√3)3-9×√3=-6√3.(3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x-t 2+d)(x-t 2)(x-t 2-d)+(x-t 2)+6√3=0有三个互异的实数解.令u=x-t 2，可得u 3+(1-d 2)u+6√3=0. 设函数g(x)=x 3+(1-d 2)x+6√3，则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t 2)-6√3有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.。
2010～2019十年高考理科数学分类汇编专题4三角函数与解三角形第十讲三角函数的图象与性质答案
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.(2019北京9)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.(2019全国Ⅲ理12)设函数()f x =sin(5x ωπ+)(ω＞0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④3.(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1.A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ,且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减,则由04ππ+≤≤x ,得344ππ-≤≤x .因为()f x 在[,]-a a 上是减函数,所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,解法二 因为()cos sin =-f x x x ,所以()sin cos '=--f x x x , 则由题意,知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立, 即sin cos 0+≥x x ,)04π+≥x ,在[,]-a a 上恒成立,结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ,解得4π≤a ,所以04π<≤a , 所以a 的最大值是4π,故选A. 2.A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象,由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z ),令1k =,得3544x ππ≤≤, 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ,故选A. 3.C【解析】由题意可得d ====(其中cos ϕ=,sin ϕ=),∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时,d 取得最大值3,故选C. 4.D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦,2C :22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线2C .选D5.D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π,k ∈Z ,所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-,所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+,而3()cos 062g ππ==,C 正确；选D.6.A 【解析】由题意5π8x =取最大值,11π8x =与x 相交,设()f x 周期为T ,所以11538844T πππ-==或34T ,所以3T π=或T π=, 又()f x 的最小正周期大于2π,所以3T π=,所以223T πω==,排除C 、D ；由5π()28f =,即252sin()238πϕ⨯+=,102242k ππϕπ+=+,即212k πϕπ=+,令0k =,12πϕ=.选A.7.A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上,所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=,又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上,所以1sin 2()24s π=-,则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+,k Z ∈,得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--,k Z ∈.又0s >,故s 的最小值为6π,故选A.8.B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+,故该函数的最小正周期22T ππ==.故选B. 9.B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,所以2π24kT T=+(k Z ∈,T 为周期),得221T k π=+(k Z ∈).又()f x 在5(,)1836ππ单调,所以11,62T k π厔,又当5k =时,11,4πωϕ==-,()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时,9,4πωϕ==,()f x 在5(,)1836ππ单调,满足题意,故9ω=,即ω的最大值为9. 10.B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得()ππ26k x k =+∈Z ,所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ,故选B. 11.B 【解析】sin 4()12y x π=-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位. 12.A 【解析】采用验证法,由cos(2)sin 22y x x π=+=-,可知该函数的最小正周期为π 且为奇函数,故选A. 13.D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+,32425ωm πϕπ+=+,m Z ∈, 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈,所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为,224k x k πππππ<+<+,即132244k x k -<<+,k Z ∈.14.A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π,且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴,∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴.∵12|2|66ππ--=,512|(2)|66πππ---=,|0|66ππ-=,∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-,且2233ππ-<<,2233πππ-<-<,2033ππ-<<,∴(2)(2)(0)f f f π<-<,即(2)(2)(0)f f f <-<.15.A 【解析】①|2|c os x y =,最小正周期为π；②|c os |x y =,最小正周期为π；③)62c os (π+=x y ,最小正周期为π；④)42tan(π-=x y ,最小正周期为2π.最小正周期为π的函数为①②③.16.A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-,所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后,可得到)4y x π=-的图象,故选A.17.C 【解析】())4f x x π=+,将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-,由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈,即328k ππϕ=+,所以ϕ的最小正值是为38π.18.D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位,得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象,()cos f x x =为偶函数,排除A ；()cos f x x =的周期为2π,排除B ； 因为()cos022f ππ==,所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称,排除C ；故选D.19.B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+,即23sin(2)3y x π=-的图象,令2222232k x k πππππ-+-+≤≤,k Z ∈,化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++,k Z ∈,即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++,k Z ∈,令0k =.可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增,故选B.20.C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C. 21.B 22.B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ,解得3πθ=, 所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ,把)23,0(P 代入得,πϕk =或6ππϕ-=k , 观察选项,故选B 23.A 【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈),∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.24.C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+. 25.A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+,故选A.26.A【解析】709,,sin()1,363663x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤≤-≤max min 2,y y ∴==故选8.27.D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(s in =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.28.A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍,纵坐标不变得到的,而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ,所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数,需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥, 解得1524ω≤≤. 29.B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点,根据已知并结合函数图象可知,3π为函数()f x 的四分之一周期,故243ππω=,解得32ω=. 30.D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=,所以2y x =在(0,)2π单调递减,对称轴为2x k π=,即()2k x k Z π=∈.31.C 【解析】因为当x R ∈时,()|()|6f x f π≤恒成立,所以()sin()163f ππϕ=+=±,可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-,k Z ∈,因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<,所以526k πϕπ=-,所以5()sin(2)6f x x π=-, 由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈), 得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈),故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k Z ∈).32.B 【解析】半周期为3884πππ-=,即最小正周期为2π,所以2ω=.由题意可知,图象过定点3(,0)8π,所以30tan(2)8A πϕ=⨯+,即34k πϕπ+= ()k Z ∈所以3()4k k Z πϕπ=-∈,又||2πϕ<,所以4πϕ=,又图象过定点(0,1),所以1A =.综上可知()tan(2)4f x x π=+,故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33.23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立,故当4x π=时,函数()f x 有最大值,故()14f π=,246k πωππ-=(k ∈Z ),∴283k ω=+(k ∈Z ),又0ω>,∴min 23ω=.34.3【解析】由题意知,cos(3)06x π+=,所以362x k πππ+=+,k ∈Z ,所以93k x ππ=+,k ∈Z ,当0k =时,9x π=；当1k =时,49x π=；当2k =时,79x π=,均满足题意,所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3.35.π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,得2sin()13πϕ+=±,因为22ϕππ-<<,所以27636πππϕ<+<, 则232ππϕ+=,6πϕ=-.36.32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 37.π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ,故最小正周期为π,单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈).38.π【解析】22cos 2y x x =+=1112cos 2sin(2)22262y x x x π=++=++,所以其最小正周期为22ππ=. 39.6π【解析】由题意交点为1(,)32π,所以21sin()32πϕ+=,又0ϕπ<≤,解得6πϕ=.40.2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象,再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数1()sin()26f x x π=+的图象,所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 2664πππ⨯+==41.38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+- ∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈,∴()82k k Z ππϕ=--∈,当1k =-时min 38πϕ=.42.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5(cos )55x x -令cos ϕ=5,sin 5ϕ=-,则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+, 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=5-. 43.56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+,向右平移2π个单位,得到sin(2)3y x π=+, 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+,sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位,得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+,即56πϕ=.44.2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥. 45.π【解析】2==2T ππ.46.2:A =741234T πππ=-=,所以T π=,22Tπω==,又函数图象经过点(,0)3π,所以23πϕπ⨯+=,则3πϕ=,故())3f x x π=+,所以(0)s i n 3f π==.47.①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan baϕ=),因此对一切x R ∈,()|()|6f x f π≤恒成立,所以sin()13πϕ+=±,可得()6k k Z πϕπ=+∈,故())6f x x π=+.而1111())012126f πππ=⨯+=,所以①正确；74717|()||||123030f πππ==,17|()|||530f ππ=,所以7|()||()|105f f ππ=,故②错；③明显正确；④错误:由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象(图略)可知,不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交,故⑤错误.48.23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值,且其中的x 满足6cos 5tan x x =,解得sin x =23.线段12P P 的长为23. 49.3[,3]2-【解析】由题意知,2ω=,因为[0,]2x π∈,所以52[,]666x πππ-∈-,由三角函数图象知:()f x 的最小值为33sin ()=62π--,最大值为3sin =32π,所以()f x 的取值范围是3[,3]2-.50.【解析】(1)若()f x 为偶函数,则对任意∈R x ,均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x , 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立,故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ,所以=a故2()22cos =+f x x x .则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ,化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ,解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ,,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解,则1335[,]2424∈-k ,1929[,]2424'∈-k , 即0=k 或1；0'=k 或1, 对应的x 的值分别为:1124π-、1324π、524π-、1924π.51.【解析】(1)因为(cos ,sin )x x =a ,(3,=b ,∥a b ,所以3sin x x =.若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[0,]x π∈,所以56x π=.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()6x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3；当π6x +=π,即5π6x =时,()f x 取到最小值-.52.【解析】(Ⅰ)因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=)3x πω=-由题设知()06f π=,所以63k ωπππ-=,k Z ∈.故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<, 所以2ω=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-, 所以2[,]1233x πππ-∈-,当123x ππ-=-,即4x π=-时,()g x 取得最小值32-. 53.【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.54.【解析】(Ⅰ)因为()cos )22f x x x =--sin()42x π=+- 所以()f x 的最小正周期为2π. (Ⅱ)因为0x π-≤≤,所以3444x πππ-≤+≤. 当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值.所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--. 55.【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 56.【解析】解法一:(Ⅰ)5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=(Ⅱ)因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二:因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++(Ⅰ)511()112444f πππ=+=+=.(Ⅱ)22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57.【解析】(Ⅰ)ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(Ⅱ)因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+, 又024t ≤<,所以πππ7π31233t ≤+<,ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时,ππsin()1123t +=；当14t =时,ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.58.【解析】解法一:(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=.所以11()22f α=-=.(Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二:2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31()sin(2)24242f ππαα=+== (Ⅱ)22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59.【解析】:(I)()f x 的最小正周期为π,076x π=,03y =.(II)因为[,]212x ππ∈--,所以52[,0]66x ππ+∈-,于是当206x π+=,即12x π=-时,()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-,即3x π=-时,()f x 取得最小值3-.60.【解析】(Ⅰ)由已知,有21()cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 244x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以,()f x 的最小正周期22T pp ==. (Ⅱ)因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数,在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫,144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫. 所以,函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14,最小值为12-. 61.【解析】:(I)因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期T π=,从而22T πω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称,所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±因22ππϕ-≤<得0k =.所以2236πππϕ=-=-.(II)由(I)得2226f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=.62.【解析】(1)()f x ＝22ωx －sin ωx cos ωx＝1cos 21sin 2222x x ωω--＝2cos 2ωx －12sin 2ωx ＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4, 又ω＞0,所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. (2)由(1)知()f x ＝πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭.当π ≤x ≤3π2时,5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭,因此－1≤()f x故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦－1.63.【解析】(1)()f x ＝sin 2x ·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以,()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.又f (0)＝－2,3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭,π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为,最小值为－2. 64.【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈-.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：65.【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-. (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ==. (Ⅱ)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=.当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.66.【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上,所以sin 1,26A A π==,故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦67.【解析】(Ⅰ)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期T π=,∴2ω=.故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.(Ⅱ)∵()2f α2sin()126πα=-+=,即1sin()62πα-=,∵02πα<<,∴663πππα-<-<,∴66ππα-=,故3πα=.。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
全国1卷三角函数真题及答案汇编(2010-2019)
全国1卷三角函数真题汇总（2010-2019）一、 选择题（1） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（ ）（A ）k（B ）. —k（C.） （D ）.解析：222s i n 801c o s 801c o s (80)1k =-=--=-,所以t a n 100t a n 80︒=-s i n 80c o s 80=-=-（2）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（ ）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 答案：A（3）函数11-y x=的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8答案：D（4）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围(A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1(0,]2(D)(0,2]解析：592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤（5）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=答案：C（6）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）2-（B）2 （C ）12- （D ）12解析:原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. （7）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈解析:由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. （8）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5解析：则，其中在单调，接下来用排除法若，此时，在递增，在递减，不满足在单调 若，此时，满足在单调递减故选B ．（9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2 答案：D12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21k ω=+k ∈Z ()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭5π,123618122T ππω∴-=≤≤π11,4ωϕ==-π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭π9,4ωϕ==π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭2π3π6π1212π612π12（10）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③解析：()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i n fx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．二、 填空题（1）已知a 为第三象限的角，3cos 25a =-，则tan(2)4a π+=解析：因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))(k k k Z απππ∈+++∈，又3c o s 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+.（2）在三角形ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。