母函数与递推关系

母函数与递推关系
§1 母函数
定义：给定序列(a0,a1,…,an,…)，记为{an}.函数 f(x)= a0+a1x+…+anxn+…
称为该序列的普通母函数，简称母函数。
例 常数列(1,1,…)的母函数为 f(x)= 1+x+…+xn+…=1/(1-x)
数列{C(n,i)},i=0,1,2,…n的母函数为
1 4x 8x2 11x3 11x4 8x5 4x6 x7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为
f ( x) [1 x x2 ][1 x2 ( x2 )2 ( x2 )3 ]
11 1 x • 1 x2
1 (5x)n
4
n0
n!
(4x)n n0 n!
n0
xn n!
1
5n 4n 1 x n
n1
4
n!
所以
an
5n
4n 4
1,
n 1,2,...
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。
A
B
C
母函数与递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计 算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。
算法：n = 2时 第第最到一二后此步步把转先把B移把上下完最的面毕上圆的面盘一的移个一到圆个C盘上圆移盘到套C上在B上
例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
aan1
an1 1,
2an2 a2 2
母函数与递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中 经常用到，举例说明如下：
例一. Hanoi Tower（河内塔）问题：n个圆盘 依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图 示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不 允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个 盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动 几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。
例 求用1,2,3,4,5五个数字组成的n位数的个数， 要求1出现的次数为偶数，2 出现的次数为奇数 ，并且3至少出现一次。
解：设所求n位数的个数为an ，则由题设可得 {an}的指数母函数为：
母函数与递推关系
fe (x)
1
x 1!
x2 2!
2
... 1
x2 2!
x4 4!
...
x 1!
(1
x1
x2
...) 3
1 (1 x)3
1 3x 6x 2 10x 3 ... F (3, n) x n
n0
母函数与递推关系
所以，构造某组合问题的组合数an的母函数f(x) 的基本方法为： 用一个乘积因子(1+x+x2+…)来代表一个所选元素 ，若该元素可重复n次，则因子中应出现xn。 例 设有2个红球，3个白球，1个黑球和1个黄球. 求从这些球中取出5个的不同方案数。 解：设从所给球中取出i个的不同方案数为ai,则 由题设可得{ai}的母函数为 f ( x) (1 x x2 )(1 x x2 x3 )(1 x)2
n
f ( x) C(n, i) x i (1 x)n
i0
这里的母函数只是“形式幂级数”，运算均按收 敛
母函数与递推关系
母函数的组合意义：考察
[1 (ax)1 (ax)2 ...] [1 (bx)1 (bx)2 ...] [1 (cx)1 (cx)2 ...] 1 (a b c)x (a2 ab ac b2 bc c2 )x2 (a3 a2b ab2 a2c ac2 abc b3 b2c bc2 c3 )x3 ...
母函数与递推关系
其中： x前的系数为a,b,c的所有可重1-组合，
x2前的系数为a,b,c的所有可重2-组合， 一般地： xn前的系数为a,b,c的所有可重n-组合， 在前式中取a=b=c=1,则xn前的系数为a,b,c的所有 可重n-组合数F(3,n). (1 x1 x 2 ...)( 1 x1 x 2 ...)( 1 x1 x 2 ...)
x3 3!
x5 5!
...
x 1!
x2 2!
x3 3!
...
e 2 x • e x e x • e x e x (e x 1)
2
2
e 2x e 2x e 2x (e x 1) 4
1 (e 5 x e 4 x e x 1) 4
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从而有
fe ( x)
1
(1 x)(1 x)2
1 4
2
(1
x)2
1 1
x
1 1
x
母函数与递推关系
由 1
xn两边求导数得
1 x n0
1
(1 x)2
nxn1
n1
(n 1)xn
n1
于是
f
(x)
1 4
2 n0
(n
1)x n
n0
xn
n0
(1)n
x
n
2n 3 (1)n xn
n0
4
母函数与递推关系
定义：给定序列(a0, a1,…,an,…)，记为{an}.函数
fe (x)
a0
a1
x 1!
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x2 2!
... an
xn n!
...
称为该序列的指数型母函数,简称指数母函数。
例 常数列(1,1,…)的母函数为
fe (x)
1
x 1!
x2 2!
...
xn n!
...
ex
例 从 n 个不同元素中取 r 个的排列数P(n，r)指
母函数与递推关系
递推关系是计数的一个强有力的工具，特别 是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主 要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但 这主要是介绍解递推关系上的应用。例如
(1 a1 x)(1 a2 x) (1 an x) 1 (a1 a2 an )x (a1a2 a1a3 an1an )x2 a1a2 an xn
数母函数为：
fe ( x)
n r0
P(n, r)
xr r!
n
C(n, r) x r
r0
(1
x)n
母函数与递推关系
例 n 个不同元素的可重 r-排列数 nr (r = 0, 1, 2, … )的指数母函数为
(1 x x 2 ...) n e nx nr x n
1! 2!
r0 r!