(秋)高等数学(A)期中考试试题解答

22012-2013（秋）高等数学(A)上期中考试试题解答

一、判断题（本题满分10分，共有5道小题，每道小题2分，请将对或错填在括号中）．

1. 若数列{}n x 有界，则lim →∞

n n x 存在（ 错 ）．

2. 设()10f x <，且2

lim ()x f x →存在，则2

lim ()10x f x →≤（ 对 ）．

３. 若(2)(2)(2)2f g g ''===，则

2

(()

4x df g x dx

==（ 对 ）

． ４. 如果5

y x =，则0dy >（ 错 ）．

５.若当0x ≥时有，(0)0,()0f f x '''=>，则当()f x 在[0,)+∞上单调增（对 ）． 二、选择题（每题3分，共15分）

1．以下条件中（ A ）不是函数()f x 在0x 处连续的充分条件.

(A)()()000

lim lim x x x x f x f x →+→-= (B) ()()0

0lim x x f x f x →=

(C)()'

0f

x 存在 (D) ()f x 在0x 可微

2．以下条件中（ B ）是函数()f x 在0x 处有导数的必要且充分条件.

(A)()f x 在0x 处连续 (B) ()f x 在0x 处可微分 (C)()()000

lim

x f x x f x x x

?→+?--??存在 (D) ()0'

lim x x f x →存在

3．1x =是函数()1

sin x f x x

π-=

的( A )间断点.

(A)可去 (B)跳跃 (C)无穷 (D)振荡

4．设函数()f x 在闭区间[]0,1 上()0f x ''>,那么(0),(1),(1)(0),(0)(1)f f f f f f '--

几个数的大小顺序为( B ).

(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-． (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->． (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>． (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->．

5．设()()[

]2

x x f ψ='，其中()x ψ在()∞+∞-，上恒为正值，其导数()x ψ'为单调减少函数，且()00='x ψ，则 ( D )．

()A ()0x f 是()x f 在()∞+∞-，上的最小值 ； ()B 0x x =是函数()x f 的极大值点；

()C 曲线()x f y =在()∞+∞-，上是凹的()D 曲线()x f y =在点()()00x f x ，处有拐点．

三、填空题（每题3分，共15分）

1.如果3

3

lim ()3,lim ()2,x x f x g x →→==-()g x 在3x =连续，则3

lim (())x g f x →= (2)- ．

2．设x x x y arcsin 12-+=，则dy =

（(2.dx ）

3．设函数()x y y =由方程4

2

ln 2x y y =+所确定，则=dx

dy

（32

2.1x y y +） 4．设()x f 为可导的奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f （5）． 5．函数()2

2sin x x e x f x

+--=在区间()∞+∞-，上的最小值为 （1-）．

四．（本题满分16分，每小题4分）

1. 设0>>a b ，()2

a a f ='，求极限()()a

b a f b f a

b ln ln lim

--→．

解：()()()()

()'

3lim lim .ln ln 1ln ln lim

b a b a b a f b f a f b f a f a b a a b a b a b a a

→→→---===--- 2.

求

11x x x e →-+

解：()()2

0111111

lim lim

lim .222

x x x x x x x x x x e x e e x e xe x x

x →→→→-+-++-==== 3. 求()

()

3

10

lim 1sin sin sin .x x x x →+-

解：

()()()()

()

()()

3

3

30

22

2

0ln 1sin sin sin sin sin sin 1

lim

lim

sin cos 1cos sin 12lim

lim 336

lim 1sin sin sin .

x x x x x x x x x

x x x x

x x x

x x x e e e

e

e →→→→+--→-+-=====

2

2

4

0cos e 4.lim

x x x x -

→-24424440111111()1()2!4!2!2!4lim x x x o x x x o x x

→????-++--++????????=

12

1)

(!241!41lim 4440-

=+??

? ???-=→x x o x x ． 五、计算(本题满分16分，每小题4分)

1. ()ln tan

cos ln tan 2x y x x ??=- ???

,求'y . 解:()2

2'sec sec 2sin ln tan cos tan 2tan 2

x

x y x x x x x =+- =()sin ln tan x x .

2. ()y y x =

是参数方程arctan x y t

??=?=??确定的函数,求22d y dx .

解: 22

1

1

11dy dy dt t dx t dx t

dt t

+===+

2222

2231111111dy d d d d y dt t t dx t t dx dx dx dx dt dx t t t t dt ?????? ? ? ?++??????====-=-=-. 3. 设函数()()()ln 00,0

x x e x f x a a

x ?+>?=>?≤??问a 取何值时()'0f 存在?

解:显然()f x 在0处连续.又因为()()'

10;0ln +

-'==f f a e .由1

ln a e

=,得1

e a e =.

4．设x

y x e -=,求()

(0)n y

解

：

(1)x x x y e xe x e ---'=-=-,

(1)(2)x x x

y e x e x e ---''=---=--,

()1(1)()n n x y n x e --=--, ()1(0)(1)n n y n -=-?

六、 （8分）证明: 当0x >时有x

e

e x ≥,且仅当x e =时成立等式.

证明:令()ln f x x e x =-,则()'1e

f

x x

=-

,所以()0,x e ∈时,()f x 严格下降; (),x e ∈+∞时,()f x 严格上升.而()0f e =.所以0x >时, ln x e x ≥,且仅当x e =时成立等式.所以当

0x >时有x e e x ≥,且仅当x e =时成立等式.

七、（10分）求数列??

?

????????

??

??n

n 322的最大项() ，，，321=n ．

（已知41.05.1ln ≈） 解： 设()x

x x f ??

? ???=322 ()+∞<≤x 1， 则()??? ?

?

-?

?

?

???='23ln 232x x x f x

，令()0='x f ，得()x f 在()1

+∞，内的唯一驻点为 9.42

3ln 2

0≈=

x 当23ln 21<

≤x 时，()0>'x f ；当x <2

3ln 2时，()0<'x f ． 所以2

3ln 20=x 是函数()x

x x f ??? ???=322在区间()+∞<≤x 1上的极大值点，也是最大值点． 由

于

5

9.42

3ln 2

40<≈=

()4

4232163244?

?

?

???=??? ???=f ，

()()43235032554

5

2f f >??? ???=??? ???=，所以数列??

?

?

???????

?? ??n

n 322的最大项为()2438005=f ． 八、(6分 ) 设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(),a b 内有二阶导数.如果

()()f a f b =且存在(),c a b ∈使得()()f c f a >,证明在(),a b 内至少有一点ξ使得()"0f ξ<.

证明:由中值定理,()()()()'

1f c f a f

c a ξ-=-, ()()()()'2f b f c f b c ξ-=-,所以

()()''120f f ξξ>>.再由中值定理, ()()()()''"2121f f f ξξξξξ-=-,而且()"0f ξ<.

九、（本题满分4分）

设函数()x f 在闭区间[]a b ，上二阶可导，且()()f a f b =，证明：存在(),,a b ξ∈使

得()()

'"

2009.f f b ξξξ

=-

证明：由()()f a f b =，根据罗尔定理得存在(),c a b ∈，使得()'

0.f

c =

构造辅助函数()()()2009

',g x f x b x =-它在区间[],c b 上满足罗尔定理的条件，故存

在

(),,c b ξ∈使得()()()()()

2009

2008

'"'20090,g f b f b ξξξξξ=---=所以

()()'"

2009.f f b ξξξ

=-