中考数学易错题专题复习统计与概率

统计与概率

易错点1：全面调查与抽样调查的适用范围易分不清楚.

易错题1：下列调查：①了解某市中小学生的视力情况；②了解某市中学生课外阅读的情况；③了解某市百岁以上老人的健康情况；④了解某市老年人的生活条件情况.其中适合采用抽样调查的有……………………………………………………………………………（）

A.①②

B.①②③

C.①②④

D.②③④

错解：A

正解：C

赏析：对常采用抽样调查的一些情形判断不清是造成本题错解的主要原因.常采用抽样调查的情形有：①受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查，如调查某市中小学生的视力情况；②调查具有破坏性，不允许全面调查，如调查某批炮弹的杀伤半径；总体容量较大，个体分布较广，如某市青年在外创业的情况.同时，还应注意抽样调查的一些要求：一是抽取的样本要有代表性；二是抽取的样本数目不能太少.

易错点2：对平均数、中位数与众数的概念理解不透彻，计算易出错.

易错题2：某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加课外体育锻炼的时间，列表如下：

锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 3 7 4 1 则这15名学生一周在校参加课外体育锻炼时间的中位数和众数分别是…………（）

A.6.5，7

B.7，7

C.6.5，6

D.6，6

错解：A

正解：D

赏析：造成出错的原因是对中位数与众数的概念理解不清.众数是指出现次数最多的数据而不是指次数，求中位数一定要把数据先按大小顺序排列，再取正中间的一个数据或正中

间两个数据的平均数作为中位数.本题中，第15+1

2

＝8个数据即为中位数，∵3＜8＜3＋7，

∴第8个数据是6，即中位数为6；数据6出现的次数是7，次数最多，∴众数是6.

易错点3：方差的概念及计算易出错.

易错题3：甲、乙、丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方

差分别为2s甲＝35，2s乙＝24.5，2s

丙

＝15.则数据波动最小的一组是_____________.

错解：甲

正解：丙

赏析：对描述数据离散程度的特征数----方差理解出错，从而本题出现错解.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.本题中，∵15＜24.5＜35，

∴2s

丙

＜2s乙＜2s甲，故填丙.

易错题4：我校八年级（1）组织了一次英语风采大赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：（单位：分）

甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙

10

8

7

9

8

10

10

9

10

9

（1）甲队成绩的众数是___________分，乙队成绩的中位数是_____________分. （2）请从平均数和方差两方面判断，谁的成绩更好些. 错解：（1）10,9；

（2）∵1

=

10x 甲(7×2＋8＋9×2＋10×5)＝9（分）， 1

=10x 乙(7＋8×2＋9×3＋10×4)＝9（分），

2

1=10s 甲[2×(7－9)2＋(8－9)2＋2×(9－9)2＋5×(10－9)2]＝1.4，

2

1=10

s 乙[(7－9)2＋2×(8－9)2＋3×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝1.4，

∴=x x 甲乙，22

=s s 甲乙

， ∴从平均数和方差两方面判断，两人的成绩一样好.

正解：（1）10,9；

（2）∵1

=

10x 甲(7×2＋8＋9×2＋10×5)＝9（分）， 1

=10x 乙(7＋8×2＋9×3＋10×4)＝9（分），

2

1=10s 甲[2×(7－9)2＋(8－9)2＋2×(9－9)2＋5×(10－9)2]＝1.4，

2

1=10

s 乙[(7－9)2＋2×(8－9)2＋3×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝1，

∴=x x 甲乙，22

=s s 甲乙

， ∴从平均数和方差两方面判断，两人的成绩一样好.

赏析：本题错误的原因是从乙的方差计算开始出错，从而导致结果判断不正确.一组数据的平均数计算公式是x ＝

12n x x x n

+++ ，方差的计算公式是s 2

＝

222121

()()()n x x x x x x n ??-+-++-?

? .这类问题通常先计算平均数，然后计算方差，再

分别比较平均数和方差的大小，综合判断，得出结论.从计算平均数开始，每一步都要认真

仔细，否则接下来的步骤就跟着出错.

易错点4：两步及两步以上简单事件的概率求法；用树状图或列表的方法表示各种等可能的情况.

易错题5：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数

y ＝

k

x

的图象在第一、三象限的概率是____________.

错解：

12 正解：13

赏析：本题对概率的概念理解不透彻，误以为正负各两个数，概率就为1

2

，从而出错.其实，从四个数中任选两个，可列表如下：【版权所有：21教育】

﹣2 ﹣1 1 2 ﹣2 （﹣2，﹣1）

（﹣2，1） （﹣2，2） ﹣1 （﹣1，﹣2） （﹣1，1）

（﹣1，2） 1 （1，﹣2） （1，﹣1） （1，2）

2

（2，﹣2）

（2，﹣1）

（2，1）

或画树状图如下：

-2 -1 1

-2 -1 2

-2 1 2(2,-2) (2,-1) (2,1)

(1,-2) (1,-1) (1,2) (-1,-2) (-1,1) (-1,2) 结果

第2个数第1个数开始

-2 -1 1 2-1 1 2

(-2,-1) (-2,1) (-2,2)

共有12个等可能情况，其中积为正的情况有4种，所以概率P ＝

412＝13

. 易错点5：用概率判断游戏是否公平；复杂事件的概率求法. 易错题6：如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等. （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为_____________.

（2）甲、乙两人利用这个转盘做游戏，若采用下列规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次数字大于第二次数字，则甲胜；否则，乙胜.你认为这个游戏规则对两人公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.

错解：（1）1

3

（2）列表如下：

1 2 3 1 （2,1）

（3,1） 2 （1,2） （3,2）

3

（1,3）

（2,3）

所有情况共6种，第一次数字大于第二次数字、第一次数字小于第二次数字各三种.

21

3

∴P （甲）＝

3162=，P （乙）＝3162=，∵12＝1

2

，∴该游戏公平. 正解：（1）

1

3

（2）根据规则，将所有可能情况列表如下：

1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3

（1，3）

（2，3）

（3，3）

或画树状图如下：

结果

第二次第一次开始

1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)

所有等可能情况共9种，第一次数字大于第二次数字的情况有3种，第一次数字不大于第二次数字的情况有6种. ∴P （甲）＝

3193=，P （乙）＝6293=，∵13＝2

3

，∴该游戏不公平. 赏析：本题错在第（2）小题中，对游戏规则的理解错误，从而造成本小题错解.游戏是

否公平的问题实际上是概率是否相等的问题，所以准确求出有关的概率是解决此类问题的关键.

易错点6：从图表中获取信息；统计与概率的综合应用.

易错题7：为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A ：实心球，B ：立定跳远，C ：跳绳，D ：跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①、②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）请计算本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率.

30

60

15D C A

图①

项目

人数80604020B 0

图②

A 10% C 40%

D

20%

B

___

错解：（1）60÷（1－10%－20%－40%）＝200(名)；

（2）本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数为：200－15－60－40＝95（名），

所占百分比为：

95

200

×100%＝47.5%， 两个统计图补充如下：

95

图①

30

60

15D C A

项目

人数80604020B 0

图②

A 10%

C 40%

D 20%

B 47.5%

（3）用A 表示男生，B 表示女生，列表如下：

A 1 A 2 A 3

B 1 B 2 A 1 A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 3 A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 A 2 A 1 A 2 A 2 A 2 A 3 A 2 B 1 A 2 B 2 A 3 A 3 A 1 A 3 A 2 A 3 A 3 A 3 B 1 A 3 B 2 B 1 B 1 A 1 B 1 A 2 B 1 A 3 B 1 B 1 B 1 B 2 B 2

B 2 A 1 B 2 A 2 B 2 A 3 B 2 B 1 B 2 B 2

共有25种情况，其中同性别学生有13种情况，∴刚好抽到同性别学生的概率P ＝

1325

. 正解：（1）由题意，得15÷10%＝150（名）或60÷40%＝150（名）或30÷20%＝150（名）

答：在这项调查中，共调查了150名学生.

（2）本次调查中喜欢“立定跳远”的学生人数为：150－15－60－40＝45（名），

所占百分比为：

45

150

×100%＝30%， 两个统计图补充如下：

30

6045

15D C A

图①

项目

人数80604020B 0

图②

A 10%

C 40%

D 20%

B 30%

（3）用A 表示男生，B 表示女生，列表如下：

A 1

A 2 A 3

B 1 B 2 A 1

A 1 A 2

A 1 A 3 A 1

B 1 A 1 B 2 A 2 A 2 A 1

A 2 A 3

A 2

B 1 A 2 B 2 A 3 A 3 A 1 A 3 A 2

A 3

B 1

A 3

B 2 B 1 B 1 A 1 B 1 A 2 B 1 A 3

B 1 B 2

B 2

B 2 A 1

B 2 A 2

B 2 A 3

B 2 B 1

或画树状图如下：

B 1A 3A 2A 1B 2 B 2 B 2 B 2A 1 A 2 A 3 B 1

B 1 B 1 B 1 B 1A 1 A 2 A 3 B 2

A 1A 2A 3

B 2B 2B 1A 2A 1A 3 A 3 A 3 A 3A 1 A 2 B 1 B 2

A 2 A 2 A 2 A 2A 1 A 3

B 1 B 2

A 1A 3

B 1B 2B 2

B 1A 3A 2B 2

B 1

A 3

A 2

结果

第2个学生第1个学生

开始

A 1

A 1 A 1 A 1 A 1A 2 A 3

B 1 B 2

共有20种情况，其中同性别学生有8种情况，∴刚好抽到同性别学生的概率P ＝

8

20

＝25

. 赏析：本题（1）中，对C 项目所占百分比获取了错误信息，导致出错，C 项目所占百分比应是40%，，这也是导致第（2）小题出错的原因.第（3）小题出错的主要原因是对所有等可能情况分析错误，第一次抽取的学生不能放回继续抽取.

易错练

1.希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查地点一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ ）

A.被调查的学生有200人

B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人

C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%

D.扇形中，公务员部分所对应的圆心角为72°

第1题图

医生15%

公务员20%军人10%

其他

教师

职业其他

军人公务员

医生教师人数80604020O

2.一组数据6,5,2，x ，4的平均数是4，则这组数据的方差是_____________.

3.下列事件是必然事件的是……………………………………………………………（ ） A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

B.方程x 2

－x ＋1＝0有两个不等实根

C.面积之比为1︰4的两个相似三角形的周长之比也是1︰4

D.圆的切线垂直于过切点的半径

4.将长度为8cm 的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米.如果截成的三段木棍长度分别相同算为同一种截法，那么截成的三段木棍可构成三角形的概率是___________.

5.在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动.有A 、B 两组卡片，每组各三张，A 组卡片上分别写有0、2、3；B 组卡片上分别写有﹣5、﹣1、1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A 组随机抽取一张记为x ，乙从B 组随机抽取一张记为y .

（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是﹣1，它们恰好是方程ax －y ＝0的解，求a 的值；

（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax －y ＝5的解的概率.（请用树状图或列表法求解）

参考答案

3.D 解析：两边一角中，一角为夹角时全等，一角不是夹角时不全等，∴A是随机随机；

∵△＝（﹣1）2－4×1×1＝﹣3＜0，方程无实数根，∴B为不可能事件；

面积之比为1︰4的两个相似三角形的相似比为1

4

＝1︰2，∴周长之比＝相

似比＝1︰2，∴C是不可能事件；

D是圆的切线性质定理，∴D是必然事件.

4.1

5

解析：∵将长度为8cm的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有5种情况：

1,2,5；1,3,4；2,3,3；4,2,2；1,1,6.能构成三角形的只有一种情况：2,3,3.∴概率为1

5

.

5.解：（1）将x＝2，y＝﹣1代入方程得：2a＋1＝5，∴a＝2；

（2）列表如下：

0 2 3

﹣5 （0，﹣5）（2，﹣5）（3，﹣5）

﹣1 （0，﹣1）（2，﹣1）（3，﹣1）

1 （0，1）（2，1）（3，1）