竖直方向弹簧振子
高二高三物理-简谐运动之弹簧振子
例9、
kM
如图所示，木块的质量为M，小车的质量为m，它们之间的最大静
摩擦力为f，在倔强系数为k的轻质弹簧作用下，沿水平地面做简
谐振动.为了使木块与小车在振动中不发生相对滑动，则它们的
振幅不应大于多少?
PART 02
总结巩固
总结
课后作业
弹簧振子 振动的过程中，以下说法中正确的是（ BC ）
A、振子加速度增大的过程中，其速度增大 B、振子加速度增大的过程中，其速度减小 C、振子加速度减小的过程中，其位移减小 D、振子加速度减小的过程中，其位移增大
衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（ B ）
A、频率不变，振幅不变 B、频率不变，振幅改变 C、频率改变，振幅改变 D、频率改变，振幅不变
课后作业
两学生坐在停在湖中离岸24m的小船上，一个学生观察到在18s内
小船上下晃动12个来回，每晃动一次有一个水波的波峰经过小船
。另一个学生观察到经过船的波峰要6s才能到达湖岸，那么水波
A 二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之
比T1∶T2为（
）
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶4
例3、
一单摆的摆长为L，振动过程中在距悬点O的正下方L/2处钉一颗钉 子，问该单摆的周期变为多大？
例4、
一弹簧振子做简谐运动．周期为T，则（ D ）
A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相 反，则Δt一定等于T/2的整数倍 B．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相 同，则△t一定等于T的整数倍
C．若△t＝T／2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定
相等 D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一 定相同
简谐运动
简谐运动1.做简谐振动的物体,当它每次经过同一位置时,可能不同的物理量是( )A.位移B.速度C.加速度D.回复力2.如图为一水平弹簧振子的振动图像,由此可知( )A.在t 1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大B.在t 2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小C.在t 3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小D.在t 4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大3.悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期T=2s,从最低点位置向上运动时刻开始计时,在一个周期内的振动图像如图所示,关于这个图像,下列哪些说法是正确的( )A.t=1.25s 时,振子的加速度为正,速度也为正B.t=1.7s 时,振子的加速度为负,速度也为负C.t=1.0s 时,振子的速度为零,加速度为负的最大值D.t=1.5s 时,振子的速度为零,加速度为负的最大值4、如图所示,弹簧振子在B 、C 间振动,O 为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B 到C 的运动时间是1s,则下列说法正确的是( )A.振子从B 经O 到C 完成一次全振动B.振动周期是1s,振幅是10cmC.经过两次全振动,振子通过的路程是20cmD.从B 开始经过3s,振子通过的路程是30cm5、一水平弹簧振子做简谐运动的位移x 与时间t 的关系如图所示,由图可知以下判断错误的是( )A.频率是2HzB.振幅是5cmC.t=1.7s 时的加速度为正,速度为负D.t=0.5s 时振子所受的合外力为零6、如图所示,弹簧下面挂一质量为m 的物体,物体在竖直方向上做振幅为A 的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,弹簧在弹性限度内,则物体在振动过程中( )A.弹簧的最大弹性势能等于2mgAB.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C.物体在最低点时的加速度大小应为2gD.物体在最低点时的弹力大小应为mg7.如图所示,弹簧振子在振动过程中,振子从a 到b 历时0.2s,振子经a 、b 两点时速度相同,若它从b 再回到a 的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为( )A.1HzB.1.25HzC.2HzD.2.5Hz8、光滑的水平面上放有质量分别为m 和 m 的两木块,下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连,弹簧的另一端固定在墙上,如图所示。
简谐运动的回复力和能量+示范教案
简谐运动的回复力和能量教学目标(1)会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
(2)认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
(3)会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
教学重难点教学重点(1)理解回复力的概念。
(2)位移、速度、回复力和加速度的变化规律。
(3)简谐运动中动能和势能的变化。
教学难点从回复力角度证明物体的运动是简谐运动。
教学准备水平弹簧振子，多媒体课件教学过程新课引入教师设问：当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。
小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力迫使它再一次回到平衡位置；正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。
我们把这样的力称为回复力。
讲授新课一、简谐运动的回复力教师活动：做简谐运动的物体受到的回复力有什么特点？下面我们以弹簧振子做简谐运动为例进行分析。
如图1甲，当小球在O 点(平衡位置)时，所受的合力为0；在O 点右侧任意选择一个位置P ，无论小球向右运动还是向左运动，小球在P 点相对平衡位置的位移都为x ，受到的弹簧弹力如图1乙所示。
从图中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，回复力大小为F =kx (k 为弹簧的劲度系数)，方向指向平衡位置。
同样道理，当小球在O 点左侧某一位置Q 时，迫使小球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为F =kx (如图1丙所示)，方向指向平衡位置。
从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做简谐运动的回复力，(1)回复力的特点：大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反。
《金版教程(物理)》2025高考科学复习解决方案第十三章机械振动 机械波第十三章 核心素养含答案
《金版教程(物理）》2025高考科学复习解决方案第十三章机械振动机械波第十三章核心素养提升[科学思维提炼]1．理想模型法：弹簧振子、单摆。
2．解析法：(1)简谐运动的描述；(2)振动和波中多解性问题的求解。
3．图像法：简谐运动的描述，简谐波的描述，受迫振动振幅随周期性驱动力频率变化的图像，波的干涉图样的分析。
4．控制变量法：探究影响单摆周期的因素的演示实验、探究单摆周期与摆长之间的关系的实验。
5．等效法：单摆拓展问题中的等效摆长、等效重力加速度。
6．从特殊到一般的思维方法：振动、波动中由于周期性造成的多解性问题的求解思路。
7．对称思维：分析简谐振动质点的运动状态。
8．分析与综合法：弹簧振子和单摆的动力学、能量问题。
[素养提升集训]一、选择题(本题共7小题)1．(2023·辽宁高考)(多选)“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的阻力。
下列现象的物理原理与之相同的是()A．插入水中的筷子，看起来折断了B．阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹C．驶近站台的火车，汽笛音调变高D．振动音叉的周围，声音忽高忽低答案BD解析 题中描述现象的物理原理是波的干涉；插入水中的筷子看起来折断了，是光的折射造成的；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是肥皂膜两个表面反射的光干涉造成的；驶近站台的火车汽笛音调变高，是多普勒效应造成的；振动音叉的周围声音忽高忽低，是声波的干涉造成的。
故选B 、D 。
2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。
可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s 。
当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。
地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船。
在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( ) A ．0.5 s B ．0.75 s C ．1.0 s D ．1.5 s答案 C解析 设游船振动图像表达式为y ＝A sin ωt ，由题意知A ＝20 cm ，ω＝2πT ＝23π rad/s ，当y ＝10cm 时，在0<t <T 范围内，解得t 1＝0.25 s 或t 2＝1.25 s ，则在一个周期内游客舒服登船时间Δt ＝t 2－t 1＝1.0 s 。
【单元练】深圳龙洲学校初中部高中物理选修1第二章【机械振动】测试(含答案)
一、选择题1．一弹簧振子做简谱运动，它所受的回复力F 随时间t 变化的图象为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．在t 从0到2s 时间内，弹簧振子做加速运动B ．在t 1=3s 和t 2=5s 时，弹簧振子的速度大小相等，方向相同C ．在t 2=5s 和t 3=7s 时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同D ．在t 从0到4s 时间内，t =2s 时刻弹簧振子所受回复力做功瞬时功率最大C 解析：CA ．在t 从0到2s 时间内，回复力逐渐变大，说明振子逐渐远离平衡位置，做减速运动，A 错误；B ．在t 1=3s 和t 2=5s 时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，B 错误；C ．在t 1=5s 和t 2=7s 时，回复力相等，根据公式F kx =-所以位移相同，C 正确；D ．在t 从0到4s 时间内，t =2s 时刻弹簧振子的速度为零，所以功率为零，D 错误。
故选C 。
2．如图甲所示为以O 点为平衡位置。
在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（ ）A ．在0.2s t =时，弹簧振子一定运动到B 位置B ．在0.3s t =与0.7s t =两个时刻，弹簧振子的速度相同C ．从0到0.2s t =的时间内，弹簧振子的动能持续地减少D ．在0.2s t =与0.6s t =两个时刻，弹簧振子的加速度相同C解析：CA ．在t =0.2s 时，弹簧振子位移最大，但没有规定正方向，故可能在A 点，也可能在B 点，故A 错误；B ．x -t 图象的切线斜率表示速度，在t =0.3s 与t =0.7s 两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B 错误；C ．从t =0到t =0.2s 的时间内，位移增加，远离平衡位置，故动能减小，故C 正确；D ．在t =0.2s 与t =0.6s 两个时刻，位移相反，根据kx a m=-可知，加速度大小相等，方向相反，故D 错误。
弹簧振子的典型特征与解题应用
弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
11.3 简谐运动的回复力和能量(解析版)
《11.3 简谐运动的回复力和能量》针对训练1．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m 的受力分析，正确的是A ．重力、支持力、弹簧的弹力B ．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C ．重力、支持力、回复力、摩擦力D ．重力、支持力、摩擦力【答案】A【解析】有不少同学误选B ，产生错解的主要原因是对回复力的性质不能理解清楚或者说是对回复力来源没有弄清楚造成的，一定清楚地认识到回复力是根据效果命名的，它是由其他力所提供的力。
2．关于做简谐运动的物体完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的A ．回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程B ．速度第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程C ．动能或势能第一次恢复原来的大小所经历的过程D ．速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程【答案】D【解析】回复力满足F ＝－kx ，一个周期内两次经过同一位置，故全振动过程是回复力第2次恢复原来的大小和方向所经历的过程，故A 错误；一个周期内速度相同的位置有两处，故全振动过程是速度第二次恢复原来的大小和方向所经历的过程，故B 错误；每次经过同一位置动能或势能相同，关于平衡位置对称的点的动能或势能也相同，故一个周期内动能和势能相同的时刻有4个时刻，故C 错误；根据a ＝－kx m，加速度相同说明位移相同，经过同一位置速度有两个不同的方向，故全振动过程是速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程，故D 正确。
3．下图为某个弹簧振子做简谐运动的图象，由图象可知A ．由于在0.1s 末振幅为零，所以振子的振动能量为零B ．在0.2s 末振子具有最大势能C ．在0.4s 末振子具有的势能尚未达到最大值D ．在0.4s 末振子的动能最大【答案】B【解析】简谐振动的能量是守恒的，故A 、C 错；0.2秒末、0.4秒末位移最大，动能为零，势能最大，故B 对，D 错。
4．光滑的水平面上放有质量分别为m 和12m 的两木块，下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。
《物理通报》群神题研究之弹簧摆
MathCAD2001 主要针对具备一定应用数学知识，但并不具备很高计算机知识的用户，
如工程研究人员、学生和教师等。MathCAD2001 使用简单直观，并且符合通常的书写习惯，
充分体现了交互式的特点，在输入数学公式，数值、方程之后，计算机能直接给出结果，使
用户无需考虑中间计算过程，对于物理学中物体运动学和动力学研究也可以深入透彻。如果
《物理通报》群神题研究之弹簧摆的运动规律
弹簧振子模型是高中力学中一个非常重要的模型，对于它的研究一般局限于一维空间
的运动轨道研究，即振子的运动是简谐运动，运动轨迹是一条线段其长度是振子振幅的两倍。
但是对于它在二维空间和三维空间的运动特点我们知之甚少，笔者通过一个电脑软件
MathCAD2001 对这个问题进行了如下研究，如有不当之处还请各位物理同仁批评指正。
( X Y Z)
L0 越大，图形越简单下图中的 L0 20m, k / m 1N / m.kg
( X Y Z)
3.3 三维的振动图形
弹簧振子的三维振动图形的复杂程度与初位置、初速度、 k / m, L0 都有关系，如图中 k / m 1N / m.g, L0 20m, z0 0, g 10m / s2, x(0) L0, y(0) z(0) 0, x(0) z(0) 0, y(0) 1m / s
( X Y Z)
像一朵盛开的莲花；如果 k / m 0.2N / m.g, L0 1m, z0 0, g 10m / s2,
，则
x(0) L0, y(0) z(0) 0, x(0) z(0) 0, y(0) 1m / s
有下图
( X Y Z)
弹簧振子的运动轨迹像一个灯笼。 4 图形规律
以振子的悬点为坐标原点建立如右图所示的坐标系，
如何判定是简谐运动
如何判定物体作简谐振动一、概念和规律1、定义：（象弹簧振子那样）物体在跟位移（相对于平衡位置）大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动，叫做简谐运动。
2、动力学特点：F回= -kx 。
3、简谐运动的周期：简谐运动的周期可表示为：T＝2πm。
k故：简谐运动的周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的比例常数（回复系数）的平方根成反比，而与振幅无关。
对弹簧振子而言：弹簧振子的周期与振子的质量的平方根成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比，而与振幅无关。
二、判断简谐运动的方法：例1、如图1和2所示装置中，小球的运动是振动、是简谐运动吗？接触面均光滑。
解析:图1中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在AB斜面上的运动.受重力和斜面弹力作用:在垂直斜面方向上,重力的分力G cosα与斜面弹力N平衡;在平行斜面方向上,只有重力的分力Gsinα沿斜面AB向下,为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.同理,小球在斜面BC上运动时,其受力Gsinβ沿斜面BC向下,也为恒力,不随小球相对于B点的位移变化而变化.综合小球在ABC斜面上的受力情况.不满足F回= -kx的关系,故不是简谐运动.图2中, 从能量角度考虑,小球将在斜面AB与BC上往复运动,是机械振动.小球在光滑圆弧形凹槽中运动,受重力和凹槽弹力作用:在凹槽半径R方向,弹力N与重力的分力G cosθ提供向心力;在轨道切线方向上,重力的分力Gsinθ提供回复力.即:F 回= Gsinθ,当θ≤5O时, sinθ≈θ.弦=||AB弧││, 小球相对于平衡位置的位移x=≈|mg.|AB││=s=Rθ,则F回= Gsinθ≈Gθ≈xR对指定的小求和凹槽轨道,m、R均为定值,故mg为一不变的常量,再考虑到回R复力F回与振动物体相对于平衡位置的位移x方向相反,则F回= -kx 。
故当θ≤5O时,小球的运动是简谐运动.例2、截面为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上。
机械振动概念、知识点总结
机械振动概念、知识点总结1、机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动。
例1：乒乓球在地面上的来回运动属于往复运动，不属于机械振动。
因为：乒乓球没有在平衡位置附近做往复运动。
（1）平衡位置：①物体所受回复力为零的位置。
②振动方向上，合力为零的位置。
③物体原来静止时的位置。
（2）机械振动的平衡位置不一定是振动范围的中心。
（3）机械振动的位移：以平衡位置为起点，偏离平衡位置的位移。
（4）回复力：沿振动方向，指向平衡位置的合力。
①回复力是某些性质力充当了回复力，所以回复力是效果力，不是性质力。
②回复力与合外力的关系： 直线振动（如弹簧振子）：回复力一定等于振子的合外力，也就是说，振子的合外力全部充当回复力。
曲线振动（如单摆）：回复力不一定等于振子的合外力。
③平衡位置,回复力为零。
例2：判断：机械振动中，振子的平衡位置是合外力（加速度）为零的位置。
答：错误。
正例：弹簧振子的平衡位置是合外力为零的位置。
反例：单摆中，小球的最低点为平衡位置，回复力为零， 但合外力为：2mv F F T mg L==-=合向 最低点时，小球速度最大，0v ≠，所以0F ≠合2、简谐运动（简谐运动是变加速运动，不是匀变速运动） （1）简谐运动定义：①位移随时间做正弦变化②回复力与位移的关系： F 回=-kx ，即：回复力大小与位移大小成正比。
（2）F 回，x ，v 的关系①F 回与x 的大小成正比，方向总是相反。
（F 回总是指向平衡位置，x 总是背离平衡位置） ②v 的大小与F 回，x 反变化，但方向无联系。
振动范围的两端：F 回，x 最大，v=0，最小 平衡位置： F 回=0，x =0最小，v 最大例3：判断：简谐振动加速度大小与位移成正比 答：错误。
正例：弹簧振子的F 合=F 回=-kx ，a=F 合/m=-kx/m ，a 与位移大小成正比反例：单摆中，小球在平衡位置时，位移为零，但0F ≠合，0a ≠，a 与位移大小不成正比。
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竖起方向的弹簧振子
1.]一只质量为M的塑料球形容器在平面桌面上．它的内部有一根直立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内壁底部，上端系一个带正电、质量为m的小球．如图所示．加竖直向上的匀强电场后，在弹簧恢复原长时，小球恰有最大速度，则当球形容器对桌面压力为零时，小球的加速度为．
2.一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数k=400N/m，弹簧
的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图所示．A 和B质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后由静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动．已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变大小(g取10m/s2，阻力不计)
(1)物体A的振幅；
(2)物体B的最大速率；
(3)在最高点和最低点A对B的作用力．
3.(12分)如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为L=lm，上面连接一个质量为m1=lkg的物体，平衡时物体离地面0.9m。
距物体m1正上方高为0.3m 处有一个质量为m2=lkg的物体自由下落后与弹簧上物体m1碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐振动。
当弹簧压缩量最大时，弹簧长为0.6m。
求(g取lOm/s2)：
(1)碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少?
(2)两物体一起做简谐振动时振幅的大小?
(3)弹簧长为0.6m时弹簧的弹性势能大小?。