2020届高三6月联考数学(理)试题
【附加15套高考模拟试卷】安徽省江南十校2020届高三冲刺联考(二模)数学(理)试卷含答案
安徽省江南十校2020届高三冲刺联考（二模）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设椭圆22221(0,0)x ym nm n+=>>的焦点与抛物线28x y=的焦点相同，离心率为12，则m n-= A．234-B．433-C．438-D．843-2．一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )A．83B．323C．643D．25633．过点()1,1P--且不垂直于y轴的直线l与圆22:230M x y x+--=交于,A B两点，点C在圆M上，若ABCV是正三角形，则直线l的斜率是（）A．34B．32C．23D．434．己知点A是抛物线212(0)=>︰y px pC与双曲线222221(00)-=>>︰，x ya bCa b的一条渐近线的交点，若点A到抛物线1C的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）A2B3C5D．25．若函数()22f x x ax=-+与()1ag xx=+在区间[]1,2上都是减函数，则a的取值范围（）A．()()1,00,1-UB．()(]1,00,1-UC．()0,1D．(]0,16．函数sin()(0,)y A x Aωϕϕπ=+><在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（）A ．2sin(2)3y x π=+B ．2sin()23x y π=-C．2sin(2)3y x π=- D ．22sin(2)3y x π=+ 7．已知函数10()ln ,0x xf x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0)B ．(12e -，0)C ．(0，12e ) D ．(0，21e )8．将函数sin 2y x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后与sin 2y x =-的图像重合，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p 为（ ）A ．6B ．24C ．120D ．72010．已知直线l ：34150x y --=与圆C ：2222450(0)x y x y r r +--+-=>相交于A ，B 两点，若6AB =，则圆C 的标准方程为（ ）A ．22(1)(2)25x y -+-=B ．22(1)(2)36x y -+-=C ．22(1)(2)16x y -+-= D ．22(1)(2)49x y -+-= 11．给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos()2y x π=-，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>的左、右焦点为1F ，2F ，左、右顶点为M ，N ，过2F 的直线l交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，1AF B △的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为23-，则C 的方程为（ ）A ．22=1128x y +B ．22=1124x y +C ．22=132x y +D ．22=13x y +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏银川一中2020届高三下学期第一次模拟考试 理科数学(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第一次模拟考试）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A={-1,0,1}, A 的子集中，含有元素0的子集共有 A.2个B.4个C.6个D.8个2.复数32(1)i i += A. -2iB. -2C.2iD.23.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a =2.2A.2B1.2CD.24.已知m ∈R ,“函数21xy m =+-有零点”是“函数.log m y x =在(0,+∞)上为减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.若函数f(x)=-cosx+ax 为增函数,则实数a 的取值范围为 A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.23A.25B43.C53.D7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为:一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是8.若231()nx x+展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为 A.1B.5C.10D.209.在平面区域(,)02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P,则点P 在圆222x y +=内部的概率为.8A π.4B π.2C π3.4D π10.已知直线l ，m,平面α、β、γ，给出下列命题: ①l//α,l//β,α∩β= m,则l//m;②α//β,β//γ,m ⊥α,则m ⊥γ; ③α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;④l ⊥m,l ⊥α,m ⊥β,则α⊥β. 其中正确的命题有 A.1个B.2个C.3个D.4个11.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P,满足212||||PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为4.3A5.3B5.4C41.4D 12.已知以T=4为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中m>0,若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为.15.(7)A 4.(7)3B48.(,)33C158.)3D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知tanθ=2,则cos 2θ的值为___.14.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r+s 的值为___.15.已知A,B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4,AF BF +=u u u r u u u r 线段AB 的中点到直线2px =的距离为1,则P 的值为___. 16.观察下列算式:311,= 3235,=+ 337911,=++3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n=___.三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题36 基本不等式(解析版)
考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。
2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RAB ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞， 所以(),3RB =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =， 所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2， 故选：C 【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆=⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】 因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+， 所以该复数位于第四象限，故选D ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.6．已知集合{}2|4120A x x x =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB==,所以()()()4|5P ABP B AP A==，故选A.【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（）①若mα⊥，nβ⊥，则//m n；②若mαγ=，nβγ=，//m n，则//αβ；③若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果. 【详解】因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射， 由22y x x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象， 所以(],1t ∉-∞，因此1t >. 故选：A. 【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型.11．已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =在区间(),-∞+∞上既是奇函A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象. 【详解】 解：函数()(2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()(2log a f x x x b =+在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a g x x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）555【答案】C【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围．【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤， 又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-． 由()g x 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．二、填空题13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案； 【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式6(2x x展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个． 【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果. 【详解】由()()()0h x f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期； 又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤． （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤．【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式； （2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅；当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-； 当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-； ∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x a xa R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->．（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B ⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()3122x a x a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆， 所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-． （2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-， 对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆；②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩， 又因为2m >，所以23m <≤，综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件． 【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-； 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． 即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）．当80x ≥时，10000()120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）． 因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26． 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。
2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届四川省绵阳市高三第三次诊断性测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B 中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点评：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．2．已知复数z满足（1﹣i）•z＝3i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i答案：B利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解：（1﹣i ）•z ＝|3+i|，∴（1+i ）（1﹣i ）•z ＝2（1+i ），则z ＝1+i ． 故选：B ． 点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 3．已知x •log 32＝1，则4x ＝（） A ．4 B ．6C ．432logD ．9答案：D利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 解：∵x •log 32＝1， ∴x ＝log 23，∴4x 243944log log ===9， 故选：D ． 点评：本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于容易题．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A ．与非O 型血相比，O 型血人群对COVID ﹣19相对不易感，风险较低B ．与非A 型血相比，A 型血人群对COVID ﹣19相对易感，风险较高C ．与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID ﹣19的易感性要高 D ．与A 型血相比，非A 型血人群对COVID ﹣19都不易感，没有风险答案：D根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答． 解：根据A 、B 、O 、AB 血型与COVID ﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知： A 型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感； 故而D 选项明显不对． 故选：D ． 点评：本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于中档题5．在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（） A ．﹣360 B ．﹣160 C ．160 D ．360答案：B根据展开式二项式系数最大，求出n ＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可． 解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大， ∴展开式共有7项，则n ＝6， 则展开式的通项公式为T k+1＝C 6kx 6﹣k （2x-）k ＝（﹣2）k C 6kx 6﹣2k ， 由6﹣2k ＝0得k ＝3，即常数项为T 4＝（﹣2）3C 36=-160， 故选：B ． 点评：本题主要考查二项展开式的应用，求出n 的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．属于中档题．6．在△ABC 中，已知sin 2sin cos C A B =，则△ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形答案：B根据三角形内角和定理以及诱导公式,将sin 2sin cos C A B =化为sin()2sin cos A B A B +=,再根据两角和的正弦公式和两角差的正弦公式的逆用公式化为in 0()s A B -=,最后根据,A B 的范围,可得A B =.解：在△ABC 中,因为sin 2sin cos C A B =, 所以sin[()]2sin cos A B A B π-+=, 所以sin()2sin cos A B A B +=所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=, 所以sin cos cos sin 0A B A B -=, 所以in 0()s A B -=, 所以,A B k k Z π-=∈, 因为0,0A B ππ<<<<, 所以0,k A B ==,所以△ABC 一定是等腰三角形. 故选:B 点评：本题考查了三角形的内角和定理,考查了诱导公式,考查了两角和与差的正弦公式,属于基础题.7．已知两个单位向量,a b →→的夹角为120°，若向量c →═2a b →→-，则a →•c →=（） A ．52B ．32C ．2D ．3答案：A根据平面向量的数量积定义，计算即可． 解：由题意知|a →|＝|b →|＝1，且a →•b →=1×1×cos120°12=-，又向量c →═2a b →→-，所以a →•c →=22a a →→-•b →=2×1﹣（12-）52=．故选：A ． 点评：本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210＞，＞0-=y x a b a b 上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3答案：B利用已知条件求出方程组，得到a ，c ，即可求解双曲线的离心率． 解：双曲线22221(0y x a b a b-=＞，＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22可得：22222222c a bca b c a b -=⎧=+=+⎩，解得a ＝1，c ＝3，b ＝2， 所以双曲线的离心率为：e ca==3． 故选：B ． 点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，属于中档题．9．设函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜则下列结论错误的是（）A ．函数f （x ）的值域为RB ．函数f （|x|）为偶函数C ．函数f （x ）为奇函数D ．函数f （x ）是定义域上的单调函数答案：A根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x +1＞2，当x ＜0时，f（x ）＝﹣2﹣x﹣1＝﹣（2﹣x+1）＜﹣2，其值域不是R ，A 错误；对于B ，函数f （|x|），其定义域为{x|x ≠0}，有f （|﹣x|）＝f （|x|），函数f （|x|）为偶函数，B 正确；对于C ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，﹣x ＜0，有f （x ）＝2x +1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝﹣2﹣x﹣1，反之当x ＜0时，﹣x ＞0，有f （x ）＝﹣2x﹣1，f （﹣x ）＝﹣f （x ）＝2x +1，综合可得：f （﹣x ）＝﹣f （x ）成立，函数f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，函数f （x ）210210x x x x -⎧+=⎨--⎩，＞，＜，当x ＞0时，f （x ）＝2x+1＞2，f （x ）在（0，+∞）为增函数，当x ＜0时，f （x ）＝﹣2﹣x﹣1＜﹣2，f （x ）在（﹣∞，0）上为增函数，故f （x ）是定义域上的单调函数； 故选：A ． 点评：本题考查分段函数的性质，涉及函数的值域、奇偶性、单调性的分析，属于中档题． 10．已知函数f （x ）＝sin （ωx+φ）（ω＞0，02πϕ＜＜）的最小正周期为π，且关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，则下列结论正确的是（） A ．f （1）＜f （0）＜f （2） B ．f （0）＜f （2）＜f （1） C ．f （2）＜f （0）＜f （1） D ．f （2）＜f （1）＜f （0）答案：D根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可． 解：∵函数的最小周期是π， ∴2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝sin （2x+φ）， ∵f （x ）关于08π⎛⎫-⎪⎝⎭，中心对称，∴2×（8π-）+φ＝k π，k ∈Z ， 即φ＝k π4π+，k ∈Z ，∵02πϕ＜＜，∴当k ＝0时，φ4π=，即f （x ）＝sin （2x 4π+），则函数在[8π-，8π]上递增，在[8π，58π]上递减，f （0）＝f （4π）， ∵4π＜1＜2，∴f （4π）＞f （1）＞f （2）， 即f （2）＜f （1）＜f （0）， 故选：D ． 点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，属于中档题．11．已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）＝x ﹣[x]，则函数x xg x f x e=+（）（）的零点个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y＝f （x ）与y x xe=-的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案． 解：函数x x g x f x e =+（）（）的零点个数，即方程xxf x e =-（）的零点个数，也就是两函数y ＝f （x ）与y x xe =-的交点个数．由y x x e =-，得y ′21x x xx e xe x e e--=-=． 可知当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减，当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增．作出两函数y ＝f （x ）与y xxe =-的图象如图：由图可知，函数xxg x f x e =+（）（）的零点个数为2个． 故选：B ． 点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，3AC =，D 为AC 上的一点（不含端点），将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是（） A ．（12，1） B ．（12，32） C ．（32，1） D ．（0，32） 答案：A由题意，OC ⊥平面ABD ，根据三余弦定理，线线角的余弦值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积，从而求解. 解：由题意，OC ⊥平面ABD ， 如图：设∠CBD ＝θ，∠CBO ＝θ1，则∠ABD ＝60°-θ；则cos θ＝cos θ1×cos （60°﹣θ） 所以cos θ1()6013cos cos tan θθθ==︒-+∵θ∈（30°，60°）； ∴OB ＝cos θ1∈（12，1）． 故选：A ．本题考查△ABC 的折叠和三余弦定理（最小角定理），要求熟悉余弦定理，属于中档题． 二、填空题13．已知cossin22αα-=，则sin α＝_____． 答案：45将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解． 解：∵225cossinαα-=， ∴两边平方可得：cos 22α+sin 22α-2cos 1sin 225αα=，可得1﹣sin α15=， ∴sin α45=． 故答案为：45．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于容易题．14．若曲线f （x ）＝e x cosx ﹣mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为34π，则实数m ＝_____． 答案：2对函数求导，然后得f ′（0）314tan π==-，由此求出m 的值． 解：f ′（x ）＝e x（cosx ﹣sinx ）﹣m ．∴3'0114f m tan π=-==-（）． ∴m ＝2． 故答案为：2 点评：本题考查导数的几何意义以及切线问题．抓住切点处的导数为切线斜率列方程是本题的基本思路．属于容易题．15．已知F 1，F 2是椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，P 是椭圆C ．上的一点，∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的面积为43，则b ＝_____． 答案：2根据正余弦定理可得PF 1•PF 2＝16且4c 2＝（2a ）2﹣16，解出b 即可． 解：△F 1PF 2的面积12=PF 1•PF 2sin120°34=PF 1•PF 2＝43，则PF 1•PF 2＝16， 又根据余弦定理可得cos120°2221212122PF PF F F PF PF +-=⋅，即4c 2＝PF 12+PF 22+16＝（2a ）2﹣32+16，所以4b 2＝16，解得b ＝2， 故答案为：2． 点评：本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为_____． 答案：433设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值． 解：设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；则h 2+2a 2＝（2×2）2， 所以a 2＝812-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V ＝a 2h ＝（812-h 2）h 12=-h 3+8h ，h ∈（0，4）；求导数得V ′32=-h 2+8，令V ′＝0，解得h 3=，所以h ∈（0，3）时，V ′＞0，V （h ）单调递增；h ，4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；所以h =时，V 取得最大值．故答案为：3． 点评：本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题． 三、解答题17．若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n+123n S =． （1）求S n ； （2）设b n 1n s =，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n 52＜． 答案：（1）S n ＝（53）n ﹣1；（2）详见解析． （1）由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n ，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得b n 1n s ==（35）n ﹣1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 解： （1）a n+123n S =，可得a n+1＝S n+1﹣S n 23=S n ， 由a 1＝1，可得S 1＝1，即S n+153=S n ，可得数列{S n }是首项为1，公比为53的等比数列， 则S n ＝（53）n ﹣1；（2）证明：b n 1n s ==（35）n ﹣1， 则b 1+b 2+b 3+…+b n 31()55532215n-==--•（35）n 52＜．点评：本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和运算能力、推理能力，属于中档题．18．如图，已知点S 为正方形ABCD 所在平面外一点，△SBC 是边长为2的等边三角形，点E 为线段SB 的中点．（1）证明：SD//平面AEC ；（2）若侧面SBC ⊥底面ABCD ，求平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 答案：（1）详见解析；（215． （1）连接BD 交AC 于F ，连接EF ，由已知结合三角形的中位线定理可得EF ∥SD ，再由直线与平面平行的判定可得SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS 与平面ACE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值． 解：（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ，∵ABCD 为正方形，F 为BD 的中点，且E 为BS 的中点， ∴EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ， ∴SD ∥平面AEC ；（2）取BC 的中点O ，连接OF 并延长，可知OF ⊥OC ，在等边三角形SBC 中，可得SO ⊥BC ，∵侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥平面ABCD ，得OS ⊥OF ，OS ⊥OC ．以O 为坐标原点，分别以OF ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得：A （2，﹣1，0），C （0，1，0），E （0，12-3，D （2，1，0），S （0，03． ()200CD →=，，，(03CS →=-，，，()220AC →=-，，，1322AE →⎛=- ⎝⎭，，． 设平面CDS 与平面ACE 的一个法向量分别为()n x y z ，，=，()111m x y z =，，．由2030n CD x n CS y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取z ＝1，得()031n →=，，； 由1111122013202m AC x y m AE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取x 1＝1，得(3m →=，，． ∴cos231525m nm n m n→→→→→→⋅===⋅＜，＞． ∴平面ACE 与平面SCD 15． 点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定、法向量与数量积的应用、空间角，考查空间想象能力与思维能力、计算能力，属中档题．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X （40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？ 答案：（1）485512；（2）3． （1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）38=，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，，设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”， 则P （A ）38=， ∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p 22120333335355485()()()88888512C C C ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，， 设物流公司每天的营业利润为Y ， 若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y＝4000）78=，P（Y＝1600）18=，∴Y的分布列为：∴E（Y）＝4000160086⨯+⨯=3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）58 =，P（Y＝3600）14 =，P（Y＝1200）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）600036001200848=⨯+⨯+⨯=4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）18 =，P（Y＝5600）12 =，P（Y＝3200）14 =，P（Y＝800）18 =，∴Y的分布列为：∴E（Y）8000560032008008248=⨯+⨯+⨯+⨯=4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车． 点评：本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝ax ﹣（a+2）lnx 2x-+2，其中a ∈R ． （1）当a ＝4时，求函数f （x ）的极值；（2）试讨论函数f （x ）在（1，e ）上的零点个数．答案：（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．（1）把a ＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求． 解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝4x ﹣6lnx 2x -+2，()()22221162'4x x f x x x x--=-+=（），x ＞0，易得f （x ）在（0，12），（1，+∞）上单调递增，在（112，）上单调递减， 故当x 12=时，函数取得极大值f （12）＝6ln2，当x ＝1时，函数取得极小值f （1）＝4，（2）()()222122'ax x a f x a x x x--+=-+=（）， 当a ≤0时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，f （x ）＜f （1）＝a ≤0，此时函数在（1，e ）上没有零点；当a ≥2时，f （x ）在（1，e ）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝a ≥2，此时函数在（1，e ）上没有零点； 当02a e≤＜即2e a ≥时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，由题意可得，1020f a f e ae a e =⎧⎪⎨=--⎪⎩（）＞（）＜， 解可得，0()21a e e -＜＜，当22a e ＜＜即21e a＜＜时，f （x ）在（1，2a ）上单调递减，在（2e a ，）上单调递增， 由于f （1）＝a ＞0，f （e ）＝a （e ﹣1）()2224120e e e e e ---=-＞＞，令g （a ）＝f （2a ）＝2﹣（a+2）ln 2a-a+2＝（a+2）lna ﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h （a ）2'2g a lna ln a ==+-（），则22'a h a a-=（）＜0， 所以h （a ）在（22e ，）上递减，h （a ）＞h （2）＝1＞0，即g ′（a ）＞0， 所以g （a ）在（22e ，）上递增，g （a ）＞g （2e ）＝240e-＞， 即f （2a）＞0，所以f （x ）在（1，e ）上没有零点， 综上，当0＜a ()21e e -＜时，f （x ）在（1，e ）上有唯一零点，当a ≤0或a ()21e e ≥-时，f （x ）在（1，e ）上没有零点．点评：本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．21．已知动直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，且点M 在x 轴上方．（1）若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q ，若|FQ|＝8，求直线l 的斜率； （2）设点P （x 0，0），若点M 恒在以FP 为直径的圆外，求x 0的取值范围．答案：（1）3±；（2）x 0∈[0，1）∪（1，9）． （1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN 的中点坐标，进而可得MN 的中垂线方程，令y ＝0可得Q 的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l 的斜率；（2）由题意可得∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，求出MF MP →→⋅的表达式，换元等价于h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0恒成立，分两种情况求出x 0取值范围． 解：（1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x ＝ty+1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 的最大E （x 0，y 0），联立直线与抛物线的方程可得：214x ty y x =+⎧⎨=⎩，整理可得y 2﹣4ty ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，所以y 0＝2t ，x 0＝ty 0+1＝2t 2+1，即E （2t 2+1，2t ）， 故线段MN 的中垂线方程为：y ﹣2t ＝﹣t （x ﹣2t 2﹣1）， 令y ＝0，则Q （2t 2+3，0）， 所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8， 解得t =，所以直线l 的斜率k 1t ==； （2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于MF MP →→⋅＞0，设M （214y ，y 1），F （1，0），P （x 0，0），则MP →=（x 0214y -，﹣y 1），MF →=（1214y -，﹣y 1），故MF MP →→⋅=（x 0214y -）（1214y -）+y 1242113164y y =++（1214y -）x 0＞0恒成立， 令t 214y =，t ＞0，原式等价于t 2+3t+（1﹣t ）x 0＞0对任意t ＞0恒成立，即t 2+（3﹣x 0）4+x 0＞0对任意t ＞0恒成立， 令h （t ）＝t 2+（3﹣x 0）4+x 0，t ＞0， ①△＝（3﹣x 0）2﹣4x 0＜0，即1＜x 0＜9，②0030200x h ∆≥⎧⎪-⎪≤⎨⎪≥⎪⎩（），解得0≤x 0≤1，又因为x 0≠1，故x 0∈[0，1）， 综上所述x 0∈[0，1）∪（1，9）． 点评：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合及点在圆外的性质，属于中难题． 22．如图，在极坐标系中，曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，曲线C 2是以22C π⎫⎪⎭，为圆心的圆，曲线C 1、C 2都过极点O ．（1）分别写出半圆C 1，C 2的极坐标方程； （2）直线l ：()3R πθρ=∈与曲线C 1，C 2分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为C 2上的动点，求△PMN 面积的最大值． 答案：（1）1:C 802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2:C ()230sin ρθθπ=≤≤；（2）334． （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为802cos πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， 曲线C 2是以232C π⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心的圆，转换为极坐标方程为()230sin ρθθπ=≤≤．（2）由（1）得：|MN|＝|823|133M N cossinππρρ-=-=．显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大． 此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 如图所示：在Rt △OHC 2中，|223|6HC OC sinπ==所以点P 到直线MN 的最大距离d 22333||3C HC r =+==， 所以113333122PMNSMN d =⨯⋅=⨯=点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|． （1）解关于x 的不等式f （x ）≤5；（2）若函数f （x ）的最小值记为m ，设a ，b ，c 均为正实数，且a+4b+9c ＝m ，求11149a b c++的最小值．答案：（1）{x|﹣2≤x ≤3}；（2）3．（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后根据f （x ）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最小值m ，然后由a+4b+9c ＝m ，根据111111149349a b c a b c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭（a+4b+9c ），利用基本不等式求出11149a b c++的最小值． 解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|212312211x x x x x -⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜． ∵f （x ）≤5， ∴2152x x -≤⎧⎨⎩＞或﹣1≤x ≤2或2151x x -+≤⎧⎨-⎩＜，∴﹣2≤x ≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x ≤3}．（2）∵f （x ）＝|x ﹣2|+|x+1|⩾|（x ﹣2）﹣（x+1）|＝1 ∴f （x ）的最小值为1，即m ＝3， ∴a+4b+9c ＝3．()11111114949349a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 14499334949b a b c c a a b c b a c ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭21 1323⎛+= ⎝3， 当且仅当1493a b c ===时等号成立， ∴11149a b c++最小值为3． 点评：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
浙江省名校协作体2020届高三下学期联考数学试题及答案
高三年级数学学科考生须知：1.本卷全卷共5页,满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。
5.参考公式:柱体的体积公式:V=Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高;锥体的体积公式:V=13Sh,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高;台体的体积公式:121v ()3S S h =,其中S 1.S 2分别表示台体的上、下底面积；h 表示台体的高球的表面积公式:24,S R π=球的体积公式: 343V R π=,其中R 表示球的半径; 如果事件A ，B 互斥,那么()()()B B P P A A P +=+;如果事件A,B 相互独立,那么()()()P A P B B P A =⋅⋅:如果事件在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()10,1,)(2,,n k n n k k P k C p p k n -=-=第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 是符合题目要求的1.已知集合(){|{|ln 1},A x y B x A B y x ====-=则.{|2}A x x .{|12}x x B ≤ .{|12}C x x < .{|2}D x x >2椭圆22124x y +=的离心率是.22B C D3.若实数x,y 满足约束条件,310201x x y y y -+≥+-≤⎧⎪⎨⎪≥⎩则z=x+2y 的最大值是A.2B.94C.134D.1544.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A.35B.40C D.485.若a,b ∈R.则“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“a>|b|+1”的A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数()2x x x x e y eππ--+≤=的图象大致是7.随机变量ζ的分布列如下表所示,若()1,3E ζ=-则()31D ζ-=A.4B.5C.6D.78.已知函数()||f x x x a =-的图象与()31g x ax =-的图象有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是111.(,) ) . .(422A B C D +∞+∞（ 9.已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点,沿直线DE 将ADE ∆翻折成△PDE,直线PB 与平面BCDE 所成角最大时,线段PB 长是57544474.3 .2..3 2A B C D10.数列311*{}01,,n n n n n a a a a a n N S +>=∈-+满足，表示数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和,则下列选项中错误．．的是 A.若1203a <<1n a <则 B. 若1213a <<则{}n a 递减 C.若112a =,则1142n n S a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭D.12a =若，则200023S > 第Ⅱ卷(非选择题部分,共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分。
2020届成都省统一试题高三数学第三次诊断性检测试题及答案理
四川省成都市2020届高三数学第三次诊断性检测试题 理第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合,}{0,,{02,4}A x B ==，若A ←B ，则实数x 的值为 (A)0或2 (B)0或4 (C)2或4 (D)0或2或42．若复数z 满足zi ＝2＋5i (i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为 (A)(2，5) (B)(2，-5) (C)(-5，2) (D)(5，-2) 3．命题“∃x 0∈R ，x 02－x 0＋1≤0的否定是0(),A x ∃∈R x 02－x 0＋1＞0 (B)∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0(0)C x ∃∈R ，x 02－x 0＋1≥0 (D) ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞04．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是5．已知函数2(2)f x x x --＝,则()2log 3f = (A)2 (B)83 (C)3 (D)1036．已知实数x,y 满足10,20,50x x x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-⎩…则z ＝2x ＋y 的最大值为(A)4 (B)6 (C)8 (D)107．在等比数列{a n }中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（A ）-3 (B)3 （C ）±3 (D)98．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则“a>-1”是“f (a )＞f (－1)”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9．已知F 1，F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，经过点F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ∠剟，则该双曲线离心率的取值范围是()A [5,13] ()B [5,3] (C) [3,13] (D)[7,3]10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m ，圆心角为π4的扇形空地OPQ 的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD ，如图所示则观赛场地的面积最大值为 （A ）200m 2()B 400(2－2)m 2(C)400(3－1)m 2(D)400(2－1)m 211．在三棱锥P ABC —中,,AB BC P ⊥在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ， DP = DC= 1, 有下列结论： ①三棱锥 P — A B C 的三条侧棱长均相等； ②∠PAB 的取值范围是(π4，π2)③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为2π3④若 A B = B C ，E 是线段PC 上一动点，则+DE BF 的最小值为6＋22其中正确结论的个数是(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 12．已知函数()sin 10,01, )4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭（588f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且f (x )在区间30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为2．若对任意的x 1，x 2∈[0，t ]，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是(A)3π4 (B)2π3 （C)712π (D)π2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上13．已知向量(1,),(2,3),λ==a b 且,⊥a b 则实数λ的值为 ▲14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为$$,y bx a $＝＋若下一次实验中x ＝170，利用该回归直线方程预测得$117,y =则b$的值为 ▲ 15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1.S 5=35,112(211n n n S S S n n n n -+=+-+且且…n +N ,∈则12231011111a a a a a a +++L 的值为 ▲ 16．已知点F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线与抛物线相交于A ，B 两点,(OAB O ∆为坐标原点)的面积为2sin 2α，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则|FM|的值为 ▲三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
评价大联考2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析
评价大联考2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =2．已知i 为虚数单位，则()2312ii i+=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 3．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1B ．5C ．3D ．54．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．355．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%6．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ． 2D ．2-7．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-8．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交9．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．5D ．5210．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-211．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A 2B 3C ．4D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6月联考理科数学第1页 共2页
高三6月联考
理科数学试题
本试卷共 2 页，共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1．已知a是实数，1aizi是纯虚数，则z的虚部为
A．1 B．1 C．i D．i
2．已知集合220Axxx，集合11Bxx，则AB
A． B．1xx C．01xx D．20xx
3
．“lnlnxy”是“1132xy”的
A．充分不必要条件 B
．必要不充分条件
C．充要条件 D
．既不充分也不必要条件
4．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，在数学上，斐波拉契数列na
定义如下：121aa，123,nnnaaannN，随着n的增大，1nnaa越来越逼近黄金
分割510.6182，故此数列也称黄金分割数列，而以1na、na为长和宽的长方形称为“最
美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是
A．20厘米 B．19厘米 C．18厘米 D．17厘米
5．设nS是等差数列na的前n
项和，若2413SS，则36SS等于
A．316 B．13 C．516 D
．716
6．函数2e2xfxxx的图象大致为
A B C D
7．已知函数sin0fxxx，方程fxkx恰有三个根，记最大的根为，则
2
1sin2
A．2 B．12 C．1 D．2
8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾
分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四
个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从
这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为
A．27 B．37 C．821 D．1021
9．设抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于,AB，点A
在第一象限，
且32AFBF，则AFBF
A．32 B．2
C．3 D．4
10．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边
长为1，则该几何体的外接球的表面积为
A．16 B．12
C．9 D．8
11．已知函数fx满足221lnxfxxfxx，1fee，当0x时，下列说法正确的是
①fx只有一个零点； ②fx有两个零点；
③fx有一个极小值点； ④fx有一个极大值点．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
12．已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD∥，以,AD为焦点的双曲线经过,BC两点．
若7CDAB，则双曲线的离心率为
A．324 B．334 C．354 D．354
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在三角形ABC中，5AB，8ABAC，则ABBC_____．
14．若13nxx的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是_____．
15
．在数列,nnab中，22122nnnnnaabab，22122nnnnnbabab，
111ab，设数列nc满足11nnncab，则数列nc的前10项和10
S
_________．
16．四面体PABC中，2PA，2PBPCABAC，22BC，动点Q在
ABC的内部（含边界），设PAQ，二面角PBCA
的平面角的大小为，APQ
和BCQ的面积分别为1S和2S，且满足123sin4sinSS，则2S的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
Oxy11O
x
y11y1O1xOxy
1
1
6月联考理科数学第2页 共2页
17．（本小题满分12分）
已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2,2cos2acAba．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）如图，若点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足，且
2DE
，求BD的长．
18．（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD中，将ACD△沿对角线AC折起，使点D到达点P的位置，且平面ABP平
面ABC．
（Ⅰ）求证：APPB；
（Ⅱ）若直线PC与平面ABP所成角的正弦值为34，求二面角PACB的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知圆22:3Oxy，直线PA与圆O相切于点A，直线PB垂直y轴于点B，且2PBPA．
（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点1,0且与x轴不重合的直线与轨迹E相交于,PQ两点，在x轴上是否存在定点D，使
得x轴是PDQ的角平分线，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态．若机器处于故障状态，则停机检
修．为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个
产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图．由统计结果可以认为，这种产品的质量指标
值服从正态分布N2(,)，其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x，σ2近似为这
1000个产品的质量指标值的方差s2 (同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．若产品的质量指标
值全部在(3,3)之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态．
（Ⅰ）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：
29 45 55 63 67 73 78 87 93 113
请判断该机器是否出现故障？
（Ⅱ）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：
方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；
方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元．
现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号
机器近100单常规检修在第i(i＝1，2，…，7)天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将
第i天常规检修单数的频率代替概率．已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器
检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？
附：18813.7120814.4222815.10，，
21．（本小题满分12分）
已知函数21ln0fxxaxa．
（Ⅰ）讨论fx的单调性；
（Ⅱ）若fx存在两个极值点1212,xxxx，且关于x的方程fxbbR恰有三个实
数根3x，4x，5x345xxx，求证：21532xxxx．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,3,xmtyt（t为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2241sin．
（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l上的点,0Pm为曲线C内的点，且直线l与曲线C交于,AB，且2PAPB，
求m的值．
23．选修4-5：不等式选讲
若对于实数x，y有|12|4x，|31|3y．
（Ⅰ）求16xy的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a，b满足12Mab，证明：50(1)(2)9ab．