相对论的四维时空是欧几里得空间
时间与空间科学解释
人类对时空认识的过程 在物理学中，对空间和时间的认识可以分为 三个时段：经典力学阶段、狭义相对论阶段及 广义相对论。 在经典力学中，空间和时间的本性被认为是 与任何物体及运动无关的，存在着绝对空间和 绝对时间。 任何两个不同的惯性参照系的空间和时间量 之间满足伽利略变换 在这种变换下，位置、 速度是相对的，即相对于不同参照系其数值是 不同的：长度、时间间隔是绝对的，即相对于 不同参照系其数值是不变的，同时性也是绝对 的。相对于某一惯性参照系同时发生的两个事 件，相对于其他的惯性参照系也必定是同时的。
空间弯曲的解释
先让我们这样想象：在一 艘宇宙飞船里，有人在仔细观察附 近的一颗行星。这颗行星 的表面完全被深深的海洋覆盖着，因此有 着象台球那样的光 滑表面。再假设有一条船在那个行星的海洋上沿 赤道线朝正东方向行驶着。 现在再进一步设想一下，这位观察者根 本看不见这颗行星，而只能看到这条船。当他研究这条船的运动路 线时，他 会惊讶地发现这条船走的是一条圆弧。它最后会回到自己 的 出发点，从而描绘出一个完整的圆周。 假设得出的结论如果这条船改变路线，航道就会变得弯弯折折 的，不再是个简单的圆周。但是，不管它怎么察 者可能会推断出，这条船被束缚在一个看不见的球体的表面上，而 束缚它的力正是指 向球体中心的重力。要不，他就可能会认为，这 条船被限制 在一块特殊的空间里面。这块空间是弯曲的，而且弯曲 成一 个球形，从而迫使这条船走出这样的路线来。换句话说，我 们必须在一个力和一种空间几何形态之间作出选择。 你大概会认为 这是一种想象出来的局面，但实际上并非 如此。地球这颗行星是沿 着椭圆路线绕着太阳运行的，正象一条船在某个看不见的曲面上行 驶一样。至于这条椭圆路线， 我们是假设太阳和地球之间有一种引 力来解释的，正是这种引力使地球保持在它的轨道上。
爱因斯坦的相对论与穿越时空
爱因斯坦的相对论与穿越时空2008-10-03 21:21相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦(Albert Einstein)创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。
相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。
相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。
奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观条件下的物体。
相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。
相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念【狭义相对论】马赫和休谟的哲学对爱因斯坦影响很大。
马赫认为时间和空间的量度与物质运动有关。
时空的观念是通过经验形成的。
绝对时空无论依据什么经验也不能把握。
休谟更具体的说：空间和广延不是别的，而是按一定次序分布的可见的对象充满空间。
而时间总是又能够变化的对象的可觉察的变化而发现的。
1905年爱因斯坦指出，迈克尔逊和莫雷实验实际上说明关于“以太”的整个概念是多余的，光速是不变的。
而牛顿的绝对时空观念是错误的。
不存在绝对静止的参照物，时间测量也是随参照系不同而不同的。
他用光速不变和相对性原理提出了洛仑兹变换。
创立了狭义相对论。
狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。
在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。
现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。
四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。
我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。
四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系。
四维空间
阻率等。
时间是由爱因斯坦在牛顿的基础上补充的，包括：比热容，速度，功率等。
“维”的含义和推导我们在讨论维度的时候通常会建立N维空间的维度概念。
在数学上一个维度中两点间距离R通常满足以下公式1维空间：a=R2维空间（勾股定理）：a2+b2=c23维空间：a2+b2+c2=R24维空间：a2+b2+c2+d2=R2以此类推……轴对称性对于爱因斯坦的四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。
譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，那么他也许会被‘轴对称’一下。
当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个假设，无法进行验证。
但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。
从零维空间到四维空间从零维空间到四维空间—浅谈几何中的纯概念研究（马利进陇东学院数学系甘肃庆阳 745000）摘要几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。
从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。
关键词零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。
正文n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。
在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。
在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。
麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。
但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。
这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。
以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。
但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。
四维时空的概念
四维时空的概念
四维时空是一个物理学上的概念，用来描述宇宙中的四个维度：三个空间维度（长度、宽度和高度）和一个时间维度。
在四维时空理论中，空间和时间被视为一个统一的整体，被称为时空。
这个概念最早由爱因斯坦的相对论引入，特别是广义相对论。
根据广义相对论，时空是弯曲的，质量和能量会使时空产生弯曲，从而影响物体在时空中的运动轨迹。
这种理论揭示了空间和时间之间的密切关系，提出了新的物理学观念，比如引力波和时空弯曲等。
在四维时空的观念下，人们可以用四维坐标系来描述物体的位置和运动，包括三个空间坐标和一个时间坐标。
这种方式使得我们能够更全面地理解宇宙中的各种现象和物理规律，也为理解引力、宇宙膨胀等宇宙学问题提供了新的视角。
流形(Manifold)
流形球面(球的表面)为二维的流形，由于它能够由一群二维的图形来表示。
流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。
欧几里得空间就是最简单的流形的实例。
地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。
一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。
物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
他们也用于位形空间（configuration space）。
环面（torus）就是双摆的位形空间。
我们可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析簇看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。
例如一个1维多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化。
我们还可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。
这也许是中文译名流形的原因（整体的形态可以流动）。
该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。
这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。
例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。
所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也像一个平面，这使它成为一个流形。
但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。
一个曲面是二维的。
但是，流形可以有任意维数。
其他例子有：一根线的圈（一维的）以及三维空间中的所有旋转（三维的）。
旋转所组成的空间的例子表明，设M是豪斯多夫空间，若对任意一点，则有x在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间R m的一个开集，称M是一个m维流形。
霍普夫-里诺定理
霍普夫-里诺定理霍普夫-里诺定理（Hopf-Rinow Theorem）是拓扑学中一个关于欧式空间的重要定理。
它的名字来源于两位数学家艾瑞克·霍普夫（Erik Hopf）和约瑟夫·里诺（Joseph Rinow），他们在20世纪50年代分别独立地提出了这个定理。
霍普夫-里诺定理在几何学、微分拓扑学和动力系统等领域有着广泛的应用。
霍普夫-里诺定理的主要内容是：如果一个连通的局部凸空间中的每个点都有一个完全正定的球（即球心到球面上所有点的距离都相等的球），那么这个空间就同胚于一个欧氏空间。
换句话说，如果每个点都有一个内接球，那么这个空间就是一个欧氏空间。
这个定理的关键在于完全正定的球，它提供了空间中点与点之间的一种距离信息，使得空间具有欧几里得结构的性质。
为了证明霍普夫-里诺定理，我们需要引入一些预备知识。
首先，我们需要了解局部凸空间的概念。
局部凸空间是一个拓扑空间，它的每一个点都有一个开邻域，使得邻域中的每个点都有一个半正定二次形式（即满足非负性和对称性的一元二次函数）。
在局部凸空间中，我们可以定义距离和相似等概念。
接下来，我们需要了解欧氏空间的性质。
欧氏空间是一个局部凸空间，它的每个点都有一个完全正定的球。
完全正定的球是指球心到球面上所有点的距离都相等的球。
在欧氏空间中，我们可以使用欧几里得距离来度量点与点之间的距离。
欧氏空间的性质包括相容性、齐性和仿紧性等。
霍普夫-里诺定理的证明过程比较复杂，需要使用到许多拓扑学和几何学的工具和方法。
首先，我们需要证明每个点都有一个完全正定的球的局部凸空间是仿紧的。
然后，我们需要证明仿紧的局部凸空间可以嵌入到一个欧氏空间中。
最后，我们需要证明嵌入后的空间与原空间是同胚的。
霍普夫-里诺定理在许多数学领域都有重要的应用。
例如，在微分拓扑学中，它可以用来证明紧致三维流形的同胚分类问题。
在动力系统中，它可以用来研究离散动力系统的吸引子和奇异点等性质。
空间时间曲率与引力场的关系
空间时间曲率与引力场的关系引力场是宇宙中一种强大的力量，它塑造了天体间的运动轨迹和整个宇宙的结构。
在爱因斯坦广义相对论中，空间和时间共同构成了四维时空，而引力场则由物质和能量通过其产生的曲率来表现。
本文将探讨空间时间曲率与引力场的关系，从而揭示引力现象的本质。
首先，让我们了解一下空间时间曲率的概念。
在相对论中，宇宙的几何形状不再是传统的欧几里得几何，而是由物质和能量分布所决定的弯曲的空间时间。
这种空间时间的弯曲被称为曲率，而由曲率引起的物体的运动被称为引力。
空间时间的曲率体现了物质和能量对周围时空的影响，类似于放置在弯曲表面上的物体会受到向下的引力。
进一步探讨空间时间曲率与引力场的关系，我们需要回顾爱因斯坦的等效原理。
等效原理表明，惯性质量和引力质量是相等的，也就是说物体的质量既决定了其受到的引力，也决定了其对引力场的响应。
空间时间的曲率由物质和能量的分布决定，而物质和能量由质量来描述。
因此，质量不仅决定了物体所受的引力，同时也决定了物体在引力场中的运动轨迹。
引力场的产生是因为物质和能量弯曲了周围的空间时间，使其在物质周围形成一个曲率量。
这个曲率量决定了物质在引力场中的运动方式。
我们可以将引力场想象成一个巨大的弹性织物，物质和能量的存在将该织物拉伸和弯曲，而其他物体则在该织物上运动，受到织物弯曲程度的影响。
引力场的曲率还与物体的密度有关。
更密集的物体会产生更强的引力场，从而导致更大的曲率。
这也解释了为什么较大质量的天体，如太阳和黑洞，会在周围产生强大的引力场。
而我们所经历的地球引力相对较小，因为地球的质量较小。
此外，在曲率空间中的物体运动也会影响引力场的分布和变化。
根据质量能量等效关系，物体的能量也会产生引力场。
因此，运动的物体或高能量的粒子也会对周围的引力场产生一定的改变。
这也是研究黑洞和引力波等引力现象时，对高速运动和高能量物体的重要性。
总结起来，空间时间的曲率与引力场的关系是密不可分的。
物质和能量由质量来描述，质量决定了引力场的产生和物体的运动轨迹。
广义相对论_第2章
第二章广义相对论的物理基础Einstein狭义相对论的建立，抛弃了牛顿的绝对时空观，所有惯性参考系之间在描述物理规律时是平权的、等价的。
新理论解决了牛顿绝对时空观与Maxwell方程的矛盾，把惯性参考系之间的伽利略变换扩展成洛仑兹变换。
然而，狭义相对论的诞生又给物理学家带来了新的矛盾和问题，那就是惯性系如何定义以及万有引力定律不满足Lorentz协变性的困难。
2.1 等效原理和广义相对性原理在牛顿理论中，惯性系被定义为相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系。
狭义相对论不承认绝对空间，自然上述定义也就无法运用了。
一个通常的办法就是利用惯性定律来定义惯性系，即定义惯性定律在其中成立的参考系为惯性系。
惯性定律表述为：“一个不受外力的物体将保持静止或匀速直线运动的状态不变。
”然而，“不受外力”如何判断？“不受外力”通常意味着一个物体能够在惯性系中保持静止或匀速直线运动状态。
显然，这其中存在着无法摆脱的循环论证，本来以为很自然的惯性系都无法准确定义，于是整个狭义相对论理论就好像建立在了沙滩上的高楼大厦一样，没有了最起码的基础。
同时，另一个棘手的问题是，按照狭义相对性原理任何物理规律在不同的惯性参考系之间的变换应满足洛仑兹协变性。
可是，作为自然界最普遍规律的万有引力定律，却不满足洛仑兹协变性。
为了克服这两个严重的困难，Einstein 准确地抓住了等效原理这把金钥匙。
2.1.1 等效原理牛顿力学中的质量概念从本质上讲可以从两个角度引入，一个反映了物体产生和接受万有引力的能力，即引力质量g m ；另一个则可看成物体惯性的量度，即惯性质量I m 。
在经典力学中没有任何理由把二者混为一谈，但奇怪的是不把它们区别开来并没有给我们带来任何麻烦，似乎它们本来就应该相同一样。
爱因斯坦曾以地球和石子之间的吸引力为例来说明这一点：“地球以引力吸引石头而对其惯性质量毫无所知，地球的‘召唤’力与引力质量有关，而石头所‘回答’的运动则与惯性质量有关。
闵氏时空的球对称度规
闵氏时空的球对称度规摘要：一、闵氏时空背景介绍1.闵氏时空概念2.闵氏时空在物理中的应用二、球对称度规定义及性质1.球对称度规的概念2.球对称度规的性质3.球对称度规与闵氏时空的关系三、球对称度规在物理中的应用1.球对称度规与黑洞物理2.球对称度规与宇宙学四、总结与展望1.球对称度规在闵氏时空中的重要性2.球对称度规在未来的研究方向正文：闵氏时空的球对称度规一、闵氏时空背景介绍闵氏时空，又称为闵可夫斯基时空，是狭义相对论的数学基础。
它是一个四维的欧几里得空间，其中每个事件由一个四元组(x, y, z, t) 来表示，满足相对论的基本假设：在任何惯性参考系中，光速在真空中都是常数c。
闵氏时空在物理中的应用广泛，尤其在相对论、引力、粒子物理等领域有着重要地位。
二、球对称度规定义及性质球对称度规是一种特殊的度规，它具有球对称性。
在闵氏时空中，球对称度规可以表示为：ds^2 = -dt^2 + R^2(dθ^2 + sin^2θ dφ^2)其中，R 是球对称空间的半径，θ和φ是球坐标系的两个角坐标。
这个度规具有以下性质：1.球对称性：球对称度规满足在任何球面上，度规的值都相等。
2.静态性：度规中没有包含时间t，说明该度规下的时空是静态的。
3.可知性：由于度规中只包含时间t 和空间坐标，因此我们可以知道这个度规下的空间结构。
球对称度规与闵氏时空的关系在于，闵氏时空中的事件可以用球坐标系来描述，而球对称度规正是描述这种坐标系下的时空关系的。
三、球对称度规在物理中的应用1.球对称度规与黑洞物理：在黑洞物理中，球对称度规被广泛应用于描述黑洞的时空结构。
由于黑洞具有极强的引力，使得其周围的时空弯曲程度非常高，而球对称度规可以很好地描述这种弯曲的时空结构。
2.球对称度规与宇宙学：在宇宙学中，球对称度规也被应用于描述宇宙的大尺度结构。
例如，宇宙微波背景辐射的观测数据可以用球对称度规来描述。
四、总结与展望闵氏时空的球对称度规在物理学中具有重要意义。
4维空间被证实是真实存在的？如果人类进入4维空间,会变成什么？
4维空间被证实是真实存在的？如果人类进入4维空间，会变成什么？前言你听说过四维空间吗?一直往上的楼梯，可以理解为某个点出现了时空扭曲，让一切回到原点。
而恰恰目前的人类无法证实宇宙中存在这个时空扭曲点，所以没办法理解。
按照怪谈的未来人类穿越回到过去，如果能够稳定掌握这个技术，那么就算是理解四维空间了。
那么四维空间真的存在吗？四维空间究竟是什么样的？四维空间，更高阶的空间我们生活的这个世界,长宽高,三个维度,简单明了。
但是,科学家们可不满足于此。
他们觉得,这个宇宙可能藏着更多的秘密,比如说,四维空间!说到四维空间,很多人第一反应就是"时间"。
没错,爱因斯坦那个天才就是这么想的。
他把时间当成了第四个维度,提出了"时空"的概念。
这一下子就把物理学界给炸翻天了!但是,四维空间真的存在吗?如果存在,又是什么样子的呢?这可把科学家们给难住了。
毕竟,我们生活在三维世界里,想象四维空间就像是让平面上的小人理解立体世界一样困难。
不过,别小看那些数学家和物理学家。
他们可是绞尽脑汁地想要搞清楚四维空间的奥秘。
有人说,四维空间可能是无数个三维空间叠加在一起的结果。
听起来有点像千层饼,是不是?还有人觉得,在四维空间里,时间可能变得和空间一样实在。
你可以像走路一样在时间里前进后退!但是,如果真有一天我们能进入四维空间,会发生什么呢?有科学家猜测,我们可能会变成高速振动的能量团。
听起来像是科幻电影里的情节。
还有人说,我们可能会像幽灵一样,能看到三维物体的内部。
想象一下,你可以直接看到别人的心脏在跳动,那场景估计挺吓人的!说到这儿,我们不得不提到一个有趣的东西——克莱因瓶。
这可不是普通的瓶子,而是一个理论上存在于四维空间的奇怪物体。
它的内部和外部是连通的,没有明确的界限。
虽然在我们的三维世界里没法真正做出来,但是数学家们可以用公式来描述它。
你可能会问,研究这些高维空间有什么用?其实,这些研究对我们理解宇宙的结构非常重要。
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相对论的四维时空是欧几里得空间
四维空间是一个时空的概念。
简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。
不过，日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。
根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。
时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
简介
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的"平面几何"，他接着分析三维物体的"立体几何"，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的"标准"例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧氏空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
欧几里德空间是4维或N维的理论无穷大的空间。
严格定义
设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g(g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系:
(1)g(x,y)=g(y,x);
(2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z);
(3)g(kx,y)=kg(x,y);
(4)g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
例子:
1. (经典欧几里德空间E^n)在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n，则R^n 为欧几里德空间。
(事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。
)
2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间:(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。
折叠标准欧几里得空间
四维空间被称为标准欧几里得空间，可以拓展到n维;四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。
人类作为三维物体可以理解四维时空(三个空间维度和一个时间维度)但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。
通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。
四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。
然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。
通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的以一些猜想。
尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是有猜想开始的。
现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。