高等数学 上、下册6_4 一阶线性微分方程的应用举例

(2)分 辨 所 建 立 的 微 分 方 程 的 类 型 ， 运 用 相 应 解 法 求 出 其通解；
(3)利 用 初 始 条 件 ， 定 出 通 解 中 的 任 意 常 数 ， 求 得 满 足 初始条件的特解；
(4)根 据 某 些 实 际 问 题 的 需 要 ， 利 用 所 求 得 的 特 解 来 解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.
以上四个步骤中列方程、解方程是重点.
例 1 一 曲 线 通 过 点 （ 2 ， 3 ） ， 在 该 曲 线 上 任 一 点 P (x ,y)处 的 法 线 与 x轴 的 交 点 为 Q ， 且 线 段 P Q 恰 被 y轴 平 分 ， 求 此 曲 线 方 程 .
解 i)列方程并确定初始条件. 设所求曲线方程为 y=y(x)，则它在 P(x,y)处的法线方程 为
y x2y29.
*例4容器内有100L的盐水,含10kg的盐， 先以3L/min 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合） ，
又以2L/min的均匀速率从容器中抽出盐水，问60min后 容器内盐水中盐的含量是多少？
解 ⅰ）列方程并确定初始条件. 本题用用微元法来建立微分方程.设在时刻t，盐的含 量为x(t)，依题意，注入容器的净水为3tL,抽出容器的盐 水为2tL，因此这时溶液的总量为
于是
u x du u 1u2
dx
即
du 1dx
1 u2 x
两端积分，得
ln(u 1 u 2 ) ln x C1
即通解为
y x2 y2 C
ⅲ ） 确 定 任 意 常 数 以 求 得 特 解 将 初 始 条 件 （ 6） 带 入 通 解 ， 解 得C=9,则 所 求 曲 线
方 程 为
(5)
令X=0，得切线在y 轴上的截距为
Y y y'x
由题设条件得
yxy' x2 y2
即
y' y x2 y2
x
由 于 曲 线 过 点 （ 3 ， 4 ）， 故 得 初 始 条 件
y 4
(6)
x3
ii） 求 通 解 .
方
程
（
5）
是
齐
次
方
程，
令
y
u(x)x
，
则
d d
y x
u
x
d d
u x
，
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma （ 其 中 a 为 加 速 度 ）， 得 函 数v(t ) 应 满 足 的 方 程 为
m d v mg kv
(3)
dt
按题意，处始条件为
v 0 t0
ii） 求 通 解
方 程 （ 3） 是 可 分 离 变 量 后 ， 得
其浓度为
100+(3-2)t=100+t x(t) ;
100t
在 时 间 间 隔 t,t t 内 ，抽 出 容 器 的 盐 水 为 2dt，即
容器中盐的改变量是
x x(t) (2 d t) 2 x d t,
100 t
100 t
由此得微分方程
d x 2x dt 100 t
根 据 题 设 条 件 又 知 ， 初 始 条 件 为 x |t0 1 0 .
例 3一 曲 线 过 点 （ 3， 4） ， 在 该 曲 线 上 任 意 点 处 的 切 线 在 y轴 上 的 截 距 恰 等 于 原 点 （ 0， 0） 到 该 点 的 距 离 .
解 i）列方程并确定初始条件
设所求曲线方程为 y=y(x)则它在任一点(x,y)处的切线方程
为
Y y y'(X x),
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根 据 题 设 条 件 ， 利 用 已 知 的 公 式 或 定 理 ， 建 立 相 应 的微分方程及确定初始条件；
于是所求的特解为
v
mg
(1
kt
e m)
(4)
k
iv） 实 际 问 题 的 物 理 意 义 .
由 （ 4） 式 可 以 看 出 ， 随 着 时 间t 的 增 大 ， 速 度v逐
渐接近于 常 数mg,且不会 超 过mg，也就 是 说，跳伞 后 开
k
k
始 阶 段 是 加 速 度 运 动 ， 但 以 后 逐 渐 接 近 于 匀 速 运 动 .
Y y 1 (X x) y
如图 6-4 所示,令 Y=0，得法 线在 x 轴上的截距为
X yy x，
y
P(x,y)
QO
x
图6-4
由题设条件得
x yy x 0 2
即得曲线 y=y(x)应满足微分方程 yy 2x 0
（1）
由于曲线通过点（2，3），故得初始条件
y x2 3
（2）
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
kv
dt m
考虑到 mg kv 0,得
即
1 k
ln (m g
kv)
t m
C1
mg
kv
e
k m
t
kc1
或
v
mg
kt
Ce m (C
e kc1
)
k
k
这 就 是 方 程 （ 3） 的 通 解 .
Leabharlann Baidu
iii）确定任意常数以求得特解.
将初始条件v 0代入通解，得 t0 C mg k
ⅱ）求通解.
这是一个可分离变量的方程，分离变量后积分，得 ln x 2 ln (1 0 0 t ) ln C ,
即所求通解为
C x (1 0 0 t ) 2
ⅲ）确定任意常数以求得通解.
将初条件（8）代入通解，得
所求特解为
10
C 1002
ii)求通解.
将方程（1）分离变量，得 ydy=2xdx=0，两端积分，
得
y2 2
x2
C1，, 即通解为
y2+2x2=C，
iii)确 定 任 意 常 数 以 求 得 特 解 .
将 初 始 条 件 （ 2） 代 入 通 解 ， 解 得 C=17， 则 所 求 曲
线 方 程 为
y22x217
例 2 设 降 落 伞 从 跳 伞 塔 下 落 后 ， 所 受 空 气 阻 力 与 速
度 成 正 比 ， 并 设 降 落 伞 离 开 跳 伞 塔 时 (t= 0 )速 度 为 零 ， 求 降
落 伞 下 落 速 度 与 时 间 的 函 数 关 系 .
解 i)列方程并确定初始条件.
设降落伞下落速度为 v(t)，降落伞
在空中下落时，同时受到重力 P
与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力
大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 小为 kv（k 为比例系数），方向与 v