常见求积分方法总结

Yi b i n U n i v e r s i t y

毕业论文（设计）

题目常见求积分方法总结

系别数学学院

专业数学与应用数学

学生姓名罗大宏

学号120204036 年级12级4班指导教师刘信东职称xxx

2016 年 3 月10 日

常见求积分方法总结

作者：罗大宏

单位：宜宾学院数学学院12级4班

指导教师：刘兴东

摘要: 微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运

算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法

引言

数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。

1.积分的概念

1.1、不定积分

若()x F 是函数()x f 在区间I 上的一个原函数，则()x f 在I 的所有原函数()C x F +（C 为任意常数）称为()x f 在区间I 上的不定积分。记作

()

()C x F dx x f +=?。其中?称为

积分号，函数()x f 称为被积函数，x 称为积分变量，()d x x f 称为被积表达式，C 称为积分常数。

另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。

1.2、定积分

设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，在[]b a ,内任意插入1-n 个分点：

,

,...,,,1321x x x x n -

,,a 令0x b x n == ,...1210b x x x x x a n n =<<<<<=- 把区间[]b a ,分为n 个小区间

[x x 10,],[x x 21,]，... ，[x x k k ,1-], ... ,[x x n n ,1-],

各个小区间的长度依次为

x x x 011-=?, x x x 122-=?,...,,1x x x n n n

--=?

在每个小区间[x x i i ,1-]上任取一点ζi []

()x x i i i

,1-∈?ζ,作乘积()x f i i ??ζ()

n i ,...,

2,1=，并作和式 ().1

x f S i n i i n

?∑==ζ

记{}

,,...,,max 21x x x n ???=λ当0→λ时，即n 无限增大时，S n 的极限如果存

在并趋于I ，且I 与[]b a ,的分法及ζi 的取法无关，则称此极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记作

()

()I x f dx x f i n

i i b

a =?∑=?=→1

0lim ζλ. 其中符号?

叫做积分号，()x f 叫做被积函数，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做

积分上限，[]b a ,叫做积分区间． 1.3 定积分与不定积分的联系

定积分的本质是将函数的图象在平面直角坐标系上用与y 轴平行的的直线和x 轴将它分割成很多个矩形。接着再把某个区间[]b a ,上的矩形的面积累加起来，所形成的就是这个函数的图象在区间[]b a ,的面积。而不定积分的本质是求一个函数的原函数，它们看起来没有联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

这主要是由于一个重要理论：牛顿-莱布尼兹公式，让它可以计算积分，它的内容是： 若函数()x f 在区间[]b a ,连续，且()x F 是()x f 的原函数，即()()x f x F ='

则()()().a F b F dx x f b

a -=?

2.1求不定积分的方法 2.1.1直接积分法

直接积分法就是通过积分的基础性质和基本积分公式求解不定积分的方法。该方法是

求解不定积分的基本方法，是其它积分方法的根本，应熟练地掌握基本积分公式。在记忆基

本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

基本积分公式：()1 ?+=为常数）

(k k C kx dx

()

2)1(1

11

-≠++=?+a C dx x a dx x a a

()3 =?

dx x

1

C x +ln

()4 C a a

dx a x

x +=

?ln 1 ()1a ,0≠>a ()5 C e dx

e x x

+=?

()6 ?+-=C x xdx cos sin ()7 ?+=C x xdx sin cos

()8 C x xdx

+=?tan sec 2

()9 C

x dx

x

+-=?cot csc 2

()10 ?+=C x xdx x sec tan sec ()11 ?+-=C x xdx x csc cot csc

()12C x C x dx x

12

arccos arcsin 11+-=+=?

-

()13 ?

+-=+=+C x arc C x dx x 12

cot arctan 11

例1 求

dx x x )

2)(1(2

-+? 解 dx x x )2)(1(2-+?

dx x x x )

22(21

225-+-?= ??-?+?-?=dx dx x dx x dx x 12221

225

.23

2327223

327C x x x x +-+-=

例2 求?-dx e x x 3

解 ?-dx e x

x 3?=

=dx e

x

)3

(3

ln

1e )3

(e

x

+C C e x

x +-=-3ln 13 例3 求dx x x ?

++2

411

3 dx x x ?++24113dx x

x ?++-=2

414

)1(3 dx x x ?

++?-=2

211

4)1(3 C x x x ++-=arctan 433 例4 求dx x

x

?

2

cos

2sin

1

2

2

dx x

x

?

2

cos

2

sin

1

2

2

dx x ?

=sin 4

112

C x xdx +-=?=cot 4csc 42 例5 求?xdx tan 2

?xdx tan 2C x x dx x +-=?-=tan )

1sec (2

由此可得，熟悉基本积分公式是直接积分法的根本。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式来求解积分。

2.1.2、换元积分法求不定积分

换元积分法是对积分变量进行适当变换的方法，这是与复合函数微分法相对应的积分

方法。不定积分的换元法可分为两类：第一换元法，也叫凑微分法和第二换元法。

设()u F 是()u f 的一个原函数，即()()u f u F ='.若()x g u =可导，由复合函数的微分法则，有

[]{}')(x g F )()(x g u F ''=()u f = )(x g '=[])(x g f ()x g ',

故， []

[],)()()(C x g F dx x g x g f +='? 又，?=+=),(,)()

(x g u C u F du u f 故 []

='?dx x g x g f )()(?du u f )( 如果右边的积分容易求出，则左边的积分就可以通过适当的变量代换()u x g =化为右

边的形式来计算，也就是第一换元法。

如果左边的积分容易求出，则右边的积分就能通过适当的变量代换()x g u =化为左边的形式来计算，也就是第二换元法。

下面我们来分别介绍这两类换元方法。 1、第一换元法（凑微分法）

设()x g u =具有连续导数，()u F 是()u f 的一个原函数，即

()()C u F du u f +=?则()[]()()[]

C x g F dx x g x g f +='

?

为了使用方便，第一换元法能够写成简单实用的形式

()[]()()[]()()()[]

C x g F C u F du u f x dg x g dx x g x g f +=+=?=?='

?)( （1）只有一个因式的被积函数，主要看被积函数与积分基本公式中的哪个式子的被积函数相似，其本质就是利用积分基本公式。接着再与积分的基本公式的相似形式进行凑微分，凑微分的实质就是利用积分基本公式和性质求积分。

（2）有两个因式的被积函数，先由其中一个因式找到与其相似的积分基本公式，再将剩下的一个因式与dx 进行凑微分，再由积分基本公式求出结果。

例1 求dx x

x

?+222 解 dx x x ?+222=()

()

22

1

222222+?+=?+'+x d x dx x x 令u x =+22，得 ()

C x C x C u u du

dx x x ++=++=+=?=?

+2ln 2ln ln 2

2222

例2 求?xdx 2cos 解 ?xdx 2cos ()?='

?=x xd dx x x 22cos 2

1)2(2cos 21 令u x =2,得

C x C u udu xdx +?=+=?=

2sin 2

1

sin 21cos 212cos 例3 求xdx x sec tan 23?

解 xdx x sec tan 23?()()()x d x dx x x tan tan tan tan 3

3?='?=

令u x =tan ,得

C x C u du u xdx x +?=+=

=?tan 4

14sec tan 44

3

2

3

例4 求dx x

a ?

-2

21

()0>a

解 dx x

a ?

-2

2

1

=???

? ????

?

??

? ??-=?

??

? ??-a x d a x dx a x a 22

11

11 C a

x

+=arcsin

例5 求?xdx tan 解 ?xdx tan ()C x x d x

dx x x +-=?-=?=cos ln cos cos 1

cos sin 例6 求xdx ?cos 5

解 xdx ?cos 5()

()x d x xdx x sin sin 1cos cos 2

24?-=??=

()

()x d x x sin sin sin 2142?+-= C x x x ++-=sin 5

1sin 32sin 5

3 2、第二换元法

设函数)(t g x =单调、可导，且(

),0≠'t g ()()[]()t g t g t G 'f 是的一个原函数，即 (

)[]

()(),C t G dt t g t g f +='? 则 ()()[]

C x g G dx x f +=?-1 其中()()t g x g t ==-x 是1的反函数

第二换元法主要分为以下三大类：1、有理化法 2、三角变换法

3、倒代换法

()1有理化法：若被积函数中含有因子

()或,N n b ax n

∈+同时含有两个根式

()N n m x m

n

∈,与x ，为了能够去掉根号，我们作变换n

b ax t +=

，即a

b t x n

-=，或p

x t =

，即t x p =，p 为m 与n 的最小公倍数，使化简后的积分式子能够直接积分或者

使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式。 例1 求dx x x ?-12 解 令t x =-12，则()

12

12

+=

t x ,故

()()

d t t t tdt t t dx x x ?+=?+?

=?-2

422

112112 C t t ++=

3

56

1101 ()()C x x +-+-=2325126

1

12101

例2 求?

+

3

2

x

x dx

解 令()06>=t t x ，于是 dt t t t

t dt t x

x dx ?+=?+=?

+

1662

4

353

2

dt t t ????

? ??++-=1116 ??C t t t +++-=1ln 6632 (

)

C x x x ++

+-=6

631ln 663

()2三角变换法：被积函数分别含有根式x a 22-，x a 22+，()022>-a a x 时为了去

掉根号，相应的分别使用弦换法)cos ,sin (t a x t a x ==、割换法

()t a x t a x

csc ,sec ==，使化简后的积分能够直接使用基本积分公式。

例1 求dx x a ?-22 ()0>a

解 令???

? ??<<-=22sin ππt t a x ,则tdt a dx cos =于是