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6.4 二次函数的运用(1)【何时获得最大利润】
§6.4 二次函数的运用（1）【何时获得最大利润】教案备课时间: 主备人:教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。
教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围． （2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋ab 2）2＋a b ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业：七、课后练习（补充）1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？。
22.3 实际问题与二次函数第2课时 最大利润问题
7．(2020·潍坊)因新冠肺炎疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某 药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
12．(2020·十堰)某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完 成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二 天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会 增加，设第x天(x为整数)的生产成本为m(元/台)，m与x的关系如图所 示．
(1)若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为_______， x的取值范围为____________________________；
A．50元 B．0元 C．90元 D．100元 3．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件， 根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获 得的利润最大，则每件的售价应定为( A) A．130元 B．125元 C．135元 D．129元
4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20
(2)设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×(85－a)，得a＝80，w ＝(－5x＋600)(x－80)＝－5x2＋1000x－48000＝－5(x－100)2＋2000， ∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100， 2000
(3) 设 科 技 创 新 后 成 本 为 b 元 ， 当 x ＝ 90 时 ， ( － 5×90 ＋ 600)(90 － b)≥3750，解得b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元
“利润最大值”问题的解答策略
“利润最大值”问题的解答策略数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。
数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。
纵观近几年各地的数学中考试题，“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。
在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。
下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
一、利用配方法，解决最大值问题例1 （2013年江苏南通中考题）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。
当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x。
根据以上信息，解答下列问题：（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？解析：该题第一问求二次函数的解析式不是难点，只要把两组数值代入公式，然后解方程组就能解决问题，得出二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x.关键是第二问：利润最大是多少？设销售A种产品m吨，则销售B种产品（10-m）吨，代入上述两个函数，得到利润之和w=-0.1m2+1.2m+3.相信绝大部分学生能够得出该解析式，那么下面该怎么办呢？我们利用“配方法”把式子变形为w=-0.1（m-6）2+6.6，因为系数-0.1是负数，所以w有最大值，即当m-6=0时，利润最大。
所以m=6时，最大利润是6.6万元。
只要想到了对二次函数进行配方，那么这个问题就迎刃而解了。
二、利用二次函数图象的顶点，解决最大值问题例2 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件。
经市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出20件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
6.4 二次函数的运用(1)【何时获得最大利润】
§6.4 二次函数的运用（1）【何时获得最大利润】---[ 教案]备课时间: 主备人:教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。
教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围． （2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋ab 2）2＋a b ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业：七、课后练习（补充）1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？。
二次函数——利润问题
利润问题（二次函数应用题）
1、某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-2x)件,应如何定价才能使定价利润最大？最大利润是多少元？
2、某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
3、某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大？
4、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。
（1）设每件衬衫降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
5、某商场销售一批产品零件，进价货为10元，若每件产品零件定价20元，则可售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件产品零件每降价2元，商场平均每天可多售8件。
（1）设每件产品零件降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式___________________。
（2）每件产品利润降价多少元时，商场盈利最多？。
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。
《二次函数中的利润问题》教学设计
二次函数中的利润问题教学目标：通过探究二次函数中的利润问题，让学生经历将实际问题转化为数学问题的过程，从而掌握二次函数中利润问题的解题方法，渗透数形结合、建模、分类讨论以及方程与函数思想，提高学生解决实际问题的能力.教学重点：利用方程及函数模型解决利润问题.教学难点：实际利润问题中的自变量范围及函数值的确定.教学过程：一、复习导入问题：学校商店销售某种文具盒，若文具盒进价为20元/个，售价为x 元/个，则每个文具盒可获利 元，若每天可卖出()x 60-个，则每天的利润为 元.设计意图：从简单生活实际出发，回顾与利润有关的量之间的关系，为解决本节探究二次函数利润问题做铺垫。
二、典例探究例1 丰融超市引进一批进价为20元/件的日用商品，经过一段时间的试销发现，每件商品的销售单价x （元/件）与月售量y （件）之间满足的关系如下图：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)设每月获得利润为w 元，当销售价为多少时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？(3)试销期间，若物价部门规定，该商品销售单价不得高于34元/件，且不低于成本价，那么售价定为多少元，每月利润最大？最大利润是多少？设计意图：通过本例学习，让学生进一步熟练运用待定系数法求函数解析式，体会建模思想、数形结合思想和分类讨论思想在解决数学实际问题中的价值，提升学生分析和解决实际问题的能力.三、类比训练九年级某班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(190x ≤≤,且x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y （单位：元/件），每天的销售量为p （单位：件），每天的销售利润为w （单位：元）.（1）求出w 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果.设计意图：通过当堂训练，及时巩固解决二次函数利润问题的方法与技巧，提升学生解决实际问题的能力.四、巩固练习某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，时间x （天） 1 3060 90 每天销售量p （件） 198140 80 20销售价格、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：（1）求（2）该商品应如何确定销售价格，才能使周销售利润w最大？最大值为多少？（3）由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(0)m ,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.设计意图：留作课后练习，强化数学思想方法和应用意识，进一步提升学生的学科素养..五、小结反思通过本节课的学习，你在知识、技能和思想方法等方面有哪些收获？还存在哪些困惑？设计意图：通过梳理本节学习内容，积累解决二次函数实际问题的方法与经验，构建自我知识体系.六：课后作业：完成巩固练习.附板书设计：课题: 二次函数中的利润问题基本关系式: 单件利润= 总利润=思想方法: 1.待定系数法2.数学建模思想及二次函数图象与性质3.数形结合思想4.分类讨论思想。
专题08 二次函数实际应用中的利润问题(解析版)-【压轴必考】
专题08 二次函数实际应用中的利润问题 经典例题例1.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得： 501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+； （2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ∴5080x ≤≤，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．例2.合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a 值为（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m 件与n 件的利润相同，且m n ≠，请直接写出m 与n 所满足的关系式．【答案】（1）20；（2）160元；（3）m +n =80【解析】（1）∴130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售价与产品的日销量之和为200，∴a =200-180=20，故答案为：20；（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，设每件产品定价为x 元（x ＞120），则产品的日销量为（200-x ）元，依题意得：（x -120）（200-x ）=1600，整理得：x 2-320x +25600=0，解得：x 1=x 2=160．答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，∴当销售该种商品m 件时，定价为：（200-m ）元，销售该种商品n 件时，定价为：（200-n ）元， 由题意得：（200-m -120）m =（200-n -120）n ，整理得：（m -n ）（m +n -80）=0，∴m ≠n ，∴m +n -80=0，即m +n =80．故答案为：（1）20；（2）160元；（3）m +n =80例3.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800-+-x x ， 当752b x a=-=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【变式训练1】天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y 件，销售单价为x 元/件(3)1x ≥．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w （元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．【答案】（1）10380y x =-+；（2）1950元【解析】（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，∴销售量y 件，销售单价x 元/件(13)x 之间的关系为：25010(13)10380y x x =--=-+； （2）每天销售量不少于150件，150y ∴，即10380150x -+，解得23x ，商场每天的销售利润2(10)(10)(10380)10(24)1960w x y x x x =-⋅=-⋅-+=--+，w ∴关于x 的抛物线对称轴为24x =，而100-<，开口向下，当23x 时，图象在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，23x ∴=时，w 最大，且w 最大值为1950，∴若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．【变式训练2】某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．（1）求每千克蔬菜销售单价y 与销售月份x 之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【解析】（1）设y kx b =+，将(3,5)和(6,3)代入得，3563k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得237k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．273y x ∴=-+； （2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y =a （x -6）2+1，把(3,4)代入得，4=a （3-6）2+1，解得13a =．21(6)13y x ∴=-+，即214133y x x =-+． 收益23W =-217(413)3x x x +--+217(5)33x =--+， 103a =-<，∴当5x =时，73W =最大值．故5月出售每千克收益最大，最大为73元； （3）一年中销售每千克蔬菜的收益：23W =-217(413)3x x x +--+， 当1W =时，23-217(413)13x x x +--+=，解得：x 1=7，x 2=3， 103a =-<，x 为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月． 故答案为：（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【变式训练3】红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【解析】（1）由题意，当4050x ≤≤时，5y =，当50x >时，50.1(50)0.110y x x =--=-+，0y ≥，0.1100x ∴-+≥，解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩； （2）设该产品的月销售利润为w 万元，①当4050x ≤≤时，5(40)5200w x x =-=-，由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大，则当50x =时，w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时，2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+，由二次函数的性质可知，当70x =时，w 取得最大值，最大值为90，因为9050>，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元，由题意得：(40)(0.110)Q x a x =---+，整理得：221400.1()390240a a Q x a +=--+-+， 140702a +>，∴在5070x <≤内，Q 随x 的增大而增大， 则当70x =时，Q 取得最大值，最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-，因此有90378a -=，解得4a =．【变式训练4】某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y （万件）与售价x （元/件）的函数关系式为()()2140,406080.6070x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ （1）当售价为60元/件时，年销售量为________万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤【解析】（1）=6080608020x y x y =-+=-+=当时，代入中，得．（2）设销售该产品的年利润为W 万元，当60x ≤40＜时，()()()2302140250800W x x x =--+=--+．∴20<－，∴当50x =时，800W =最大当6070≤≤x 时，()()()2308055625W x x x =--+=--+∴10-<，6070≤≤x ，∴当60x =时，600W =最大∴800600>，∴当50x =时，800W =最大∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．（3）4555x ≤≤理由如下：由题意得 ()()3021407504555x x x --+≥≤≤解得：故答案为：（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤ 课后训练1．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【解析】（1）∴依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ∴y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）∴依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =， ∴7090<∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w ，依题意得 ()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-∴50-<，此图象开口向下∴当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元），∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．2．红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y （万元/吨）与当日订购产品数量x （吨）之间的关系如图所示：（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y （万元/吨）月单日所获利润为w （万元）， ①求w （万元）与x （吨）的函数关系式；②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？【答案】（1）9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）①w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜；②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．【解析】（1）当0≤x ≤5时，设函数关系式为：y =kx +b ，把（0，9），（5，4）代入上式，得945b k b =⎧⎨=+⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩，∴y =-x +9， 当5＜x ≤15时，y =4，综上所述：9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜； （2）①由题意得：w =(y -3)x =()()6(05)43(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨-≤⎪⎩＜，∴w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜； ②当05x ≤≤时，w =()22639x x x -+=--+，此时x =3，w 最大值=9，当515x ≤＜时，w =x ，此时，x =15，w 最大值=15，综上所述：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．3．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？【答案】（1）50012000y x =-+；（2）一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元【解析】（1）设y 和x 的函数表达式为y kx b =+，则10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得50012000k b =-⎧⎨=⎩， 故y 和x 的函数表达式为50012000y x =-+；．（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w 元，由题意得：3155001200006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩， 解得312x ≤≤，这一周该商场销售这种商品获得利润：()()()235001200035001350036000w y x x x x x =-=-+-=-+-，∴22750055125551252w x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， ∴312x ≤≤，故12x =时，w 有最大值为54000，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价为12元．4．夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克．如果售价为30元/千克，那么每天可售出150千克：如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克．经调查发现：每天销售盘y (千克）与售价x (元/千克)之间存在一次函数关系．（1）求出y 关于x 的一次函数关系式；（2）若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉（3）设杨梅每天销售的毛利润为W 元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?【答案】（1）y=-10x+450；（2）33元/千克；（3）售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．【解析】（1）∴每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，∴设y=kx+b，∴x=30时，y=150，x=32时，y=130，则1503013032k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10450kb=-⎧⎨=⎩，∴y关于x的一次函数关系式：y=-10x+450；（2）设销售单价应定为x元/千克，由题意得：（x-25）（-10x+450）=960，解得：x=37或x=33，∴杨梅售价不得高于36元/千克，∴x=37不合题意，∴x=33，答：销售单价应定为33元/千克；（3）设杨梅的售价定为m元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，则W=（m-25）（-10m+450）=-10m2+700m-11250=-10（m-35）2+1000，∴-10＜0，∴当m=35时，W有最大值，最大值1000元，答：杨梅的售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．5．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元）．①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见解析；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元．【解析】（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-；∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-；②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤，∴22203210x x -+-=，解得：123,7x x ==，∴3x =； 答：此时的销售单价应定为3元．。
第三章6第2课时用二次函数解决最大利润问题练习题含2021中考题
数学
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W关于x的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大
利润是多少.
解:(2)根据题意,得W=y·(x-40)
=(-2x+200)·(x-40)
=-2x2+280x-8 000(40≤x≤80).
是 1 558 元.
数学
7.某公司分别在A,B两城生产同种产品,共100件.A城生产产品的成本y(万元)与产品数量x(件)之
间具有函数关系y=ax2+bx+c,当x=10时,y=400;当x=20时,y=1 000.B城生产的产品每件的成本为
70万元.
(1)求a,b的值.
解:(1)由题意,得当产品的数量为 0 时,总成本也为 0,即当 x=0 时,y=0,
数学
第2课时
用二次函数解决最大利润问题
1.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件.若想获得最
大利润,则x的值为(
A.150
B.170
A )
C.200
D.210
2.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头
年中第n月获得的利润y和对应月份n之间的函数表达式为y=-n2+12n-11,则该公司一年12个月中应
停产的所有月份是(
D )
A.6月
B.1月,11月
C.1月,6月,11月
D.1月,11月,12月
6.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
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在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
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一、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出20 件。
已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（ x-40 ）问题 2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为（ x-60）问题 3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为x-6020 （件）2问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 x-60300 10( x 60) =10x 90020 =2x f 0因为60 0x自变量 x 的取值范围是x 60问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W ( x 40) y=( x 40)( 10 x900)=10x2 1300 x 36000问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 W ( x 40) y= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000=10( x 65)24225036000=10( x 65)26250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元二、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每降价 2 元，每星期可多卖出40 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为 x 元时，每件的利润可表示为（ x-40 ）问题 2：售价为 x 元，售价降了多少元？可表示为（ 60-x）问题 3：售价为 x 元，销售数量会增加，增加的件数为60 x40 （件）2问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 60 x300 20(60 x) =20 x 150040 =2x f 0因为x 060所以，自变量x 的取值范围是0 x 60问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W (x 40) y=( x 40) （20x1500）=20x2 2300x 60000问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为W ( x 40) y= ( x 40) （20x 1500）= 20x2 2300x 60000= 20( x2 115x) 600002 2= 20 x2 115x 115 ) 115 600002 2= 20( x 115 )2 66125 600002= 20( x 57.5) 2 66125 60000= 20( x 57.5) 2 6125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元三、某商品现在的售价为每件价 2 元，每星期可多卖出4060 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？20 件；每降分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（ 1）售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 x-60300 10( x 60) =10x 900 220 =因为x f 0x 60 0自变量 x 的取值范围是x 60（ 2）售价为 x 元，销售数量为y（件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W1 (x 40) y= ( x 40)( 10 x 900)=10x2 1300 x 36000（3）售价为 x 元，销售总利润为 W （元）时，可获得的最大利润是多少？W1= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000=10( x 65)24225036000=10( x 65)26250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元2、降价时：（ 1）售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为60 x300 20(60 x) =20 x 1500y 300 40 =2x f 0因为x 060所以，自变量 x 的取值范围是 0 x 60（ 2）售价为 x 元，销售数量为 y （件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W 2 = (x 40) y= ( x 40) （ 20x 1500）=20x 2 2300x 60000（ 3）售价为 x 元，销售总利润为 W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为W 2 = ( x 40) （ 30060 x 40 ）2= (x 40) （ 20x 1500）=20 x 2 2300 x 60000= 20( x 2115x) 6000022= 20 x 2115x115 ) 115 600002 2= 20( x 115)266125 600002= 20( x 57.5) 266125 60000= 20( x 57.5)26125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为 6125 元本题解题过程如下：解：设售价为 x 元，利润为 W （ 1）涨价时，W 1 = ( x 40) （ 300 -x-60 20 ）2= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000= 10( x 65)2 42250 36000= 10( x 65)2 6250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元（ 2）降价时，W2= (x60 x40) （300+ 40 ）2= ( x 40)（20x 1500）= 20x2 2300x 60000= 20( x2 115x) 600002 2= 20 x2 115x 115 ) 115 600002 2= 20( x 115 )2 66125 600002= 20( x 57.5) 2 66125 60000= 20( x 57.5) 2 6125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元综上所述，售价为65 元或售价为 57.5 元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250 元或 6125 元。
四、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出20 件；每降价 2 元，每星期可多卖出40 件，已知商品的进价为每件40 元，为尽快清仓库存，如何定价才能使利润最大？解：设售价为x 元，利润为 W（ 1）涨价时，W1= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000= 10( x 65)2 42250 36000= 10( x 65)2 6250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元（ 2）降价时，W2= (x 40) （20x 1500）= 20x2 2300x 60000= 20( x2 115x) 600002 2= 20 x2 115x 115 ) 115 600002 2= 20( x 115 )2 66125 600002= 20( x 57.5) 2 66125 60000= 20( x 57.5) 2 6125所以可知，当售价为 57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元综上所述，售价为 65 元或售价为 57.5 元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250 元或 6125 元。
因为，为了尽快减少库存，所以应该采用降价销售。
因此售价应为57.5 元。
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
求最大利润，学生版一、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出20 件。
已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为x 元时，每件的利润可表示为________________问题 2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为____________________问题 3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为_____________（件）问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？二、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每降价 2 元，每星期可多卖出40 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为x 元时，每件的利润可表示为_______________问题 2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为______________问题 3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为__________________ （件）问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？三、某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出 20 件；每降价 2 元，每星期可多卖出 40 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为 x 元，销售数量为 y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为（2）售价为 x 元，销售数量为 y（件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为（ 3）售价为 x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？2、降价时：（1）售价为 x 元，销售数量为 y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为（2）售价为 x 元，销售数量为 y（件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为（3）售价为 x 元，销售总利润为 W （元）时，可获得的最大利润是多少？本题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W。