第三节 圆的方程

2 2
26 12 37 D．x2＋y2－ x－ y－ ＝0 5 5 5
解析：设所求圆的方程为 (x＋ 1)2＋ (y－2)2－ 4＋ k(2x＋ y＋ 4)＝ 0， 即 x2＋y2＋ 2(k＋ 1)x＋ (k－4)y＋ 1＋ 4k＝ 0， 化为圆的标准方程得 [x＋ (k ＋ 1)]
2
2 1 1 1 ＋ y＋2k－4 ＝ (k＋ 1)2＋ (k－ 4)2－ (4k＋ 1)， 由 (k＋ 1)2＋ (k 4 4
D＝－10， 或E＝－8， F＝4.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
(2)法一
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.
由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.① 由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4 2， 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10， 整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 由弦长公式得 2 a＋b2－2a2＋b2－10＝4 2，
解析： 法一
直线 3x－4y＋12＝0 与两坐标轴的交点分别为 A(－
4,0)，B(0,3)， 所以线段 AB 的中点为
3 C －2，2，|AB|＝5.
2
故所求圆的方程为(x＋2)
32 52 ＋ y－2 ＝2 .
法二 易得圆的直径的两端点为 A(－4,0)，B(0,3)， 设 P(x，y)为圆上任一点，则 PA⊥PB. y y－3 ∴kPA· kPB＝－1 得 · ＝－1(x≠－4，x≠0)， x＋ 4 x 即 x(x＋4)＋y(y－3)＝0. 化简得(x＋2)
第三节
圆的方程
[最新考纲]
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题．
1．圆的定义及方程
定义 标准
平面内与 定点 的距离等于 定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)
方程
一般 方程
r 圆心： (a，b，半径： )
D E － ，－ 2 2
)
1 解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0 知 m＜ 或 m＞1. 4
答案：B
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定 参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择 圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
2．求圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．
答案：B
3. 过直线 2x＋y＋4＝0 和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4 的交点，并且 面积最小的圆的方程为 26 12 37 A．x2＋y2＋ x－ y＋ ＝0 5 5 5 26 12 37 B．x ＋y ＋ x－ y－ ＝0 5 5 5
2 2
(
)
26 12 37 C．x ＋y － x－ y＋ ＝0 5 5 5
－4)2－(1＋4k)＞0，得 5k2－16k＋16＞0，此时，所求圆的半径 r＝ 1 1 k＋12＋ k－42－1＋4k＝ 5k2－16k＋16. 4 2 －16 8 16 显然，当 k＝－ ，即 k＝ 时，5k2－16k＋16 有最小值 ，此时， 10 5 5 26 12 圆的半径最小， 从而面积最小． 故所求的圆的方程为 x2＋y2＋ x－ 5 5 37 y＋ ＝0. 5
10－8＝ 2.
又弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离， |a－b| |a－b| 所以d＝ ，即 ＝ 2.③ 2 2 又已知b＝2a.④ 解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. 故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10 或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数 形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：
用． (2)待定系数法：利用待定系数法求圆的方程关键是根据条件设出圆的方 程，再由题目给出的条件建立关于 a，b，r或D，E， F的方程组，求 出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一 般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独 立等式．
[练一练]
1．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 ( A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心： (D2＋E2－4F>0) 半径：
，
D2＋E2－4F
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) > r 0 0 (1)若M(x0，y0)在圆外，则
2 2 2 (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a) ＋(y0－b) ＝r
解
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．①
将P，Q点的坐标分别代入①得
4D－2E＋F＝－20， D－3E－F＝10，
② ③ ④
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0. 由已知|y1－y2|＝4 3，其中y1，y2是方程④的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤ D＝－2， 解②、③、⑤组成的方程组得E＝0， F＝－12
2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) < r 0 0 (3)若M(x0，y0)在圆内，则
.
. .
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F ＞0这一成立条件．
[试一试]
方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件是( 1 A. ＜m＜1 4 1 C．m＜ 4 1 B．m＜ 或 m＞1 4 D．m＞1
解析：两圆的圆心均在第一象限，先求 |PC1|＋|PC2|的最小值， 作点 C1 关于 x 轴的对称点 C1 (2， －3)， 则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1 C2|＝5 2，所以(|PM|＋|PN|)min＝5 2－(1＋3)＝5 2－4.
′ ′
答案：A
[类题通法]
数形结合法求解与圆有关的最值问题
答案：A
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的 方程为 A．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1
x＝1， 解析：由 x＋y＝2
( B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
x＝1， 得 y＝1，
)
即所求圆的圆心坐标为 (1,1)，又由该圆过点 (1,0)，得其半 径为 1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 |2k－0| ＝ k2 ＋ 1 3，解得k＝± 3.(如图)
y 所以x的最大值为 3，最小值为－ 3.
角度二
截距型最值问题
2.在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截 距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取 得最大值或最小值，此时 图) 所以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. |2－0＋b| ＝ 2 3 ，解得b＝－2± 6.(如
2
32 52 ＋y－2 ＝2 .
32 25 ＋ y－2 ＝ 4
答案：(x＋2)
2
（2014· 陕西卷）若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝ x2＋(y－1)2＝1 ． x对称，则圆C的标准方程为_______________ （2010新课标全国）圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( A．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
)
解 析 ： 设 圆 心 坐 标 为 (0 ， b) ， 则 由 题 意 知 0－12＋b－22＝1，解得 b＝2，故圆的方程为 x2 ＋(y－2)2＝1.

角度四
利用对称性求最值
4．(2013· 重庆高考)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 ( D. 17 )
解析：设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r＝|b|， ∴圆的方程为 x2＋(y－b)2＝b2. ∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5. ∴圆的方程为 x2＋y2－10y＝0.
)
答案：B
2．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方 程为______________．
(1)形如 t＝ 题；
y－ b 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问 x－a
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题， 可转化为动直线截距的最值 问题；
(3)形如 t＝(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定 点的距离的最值问题．
[针对训练] 已知点 P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1 上任意一点． (1)求 P 点到直线 3x＋4y＋12＝0 的距离的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值； y－2 (3)求 的最大值和最小值． x－1
2 ＋ y2 ＝ 2 的方程为x ____________ ．
【针对训练】 根据下列条件，求圆的方程． (1)求过 P(4， －2)， Q(－1,3)两点， 且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 的圆的方程． (2)已知圆的半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，圆被直线 x－y＝0 截得的弦长为 4 2.