两角和与差的三角函数学案
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版必修4 (2)
3.3 三角函数的积化和差与和差化积[学习目标] 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用．[知识链接]两角和与差的正弦、余弦公式是推导积化和差与和差化积公式的基础：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[预习导引]积化和差公式与和差化积公式(不要求记忆)要点一 利用积化和差与和差化积公式化简求值 例1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 规律方法 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来． 跟踪演练1 求值：cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°. 解 原式＝32·12(cos 60°＋cos 40°)cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋34·12(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋38·cos 30° ＝38·32＝316. 要点二 积化和差与和差化积公式的应用例2 已知A ＋B ＋C ＝π，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.证明 ∵左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2cos B ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sinB －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝2cos π－A 2·2sin B 2cos C2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．∴原式成立．规律方法 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．跟踪演练2 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .证明 方法一 ∵tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos 2x.∴原式成立．方法二 ∵2sin x cos x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立．要点三 三角恒等变换的实际应用例3 点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？ 解 如图所示，∵AB 为直径，∴∠APB ＝π2，又AB ＝1，∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14.∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4<34π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大．规律方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围．跟踪演练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θ cos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12.当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 答案 D解析 由两角和与差的正弦、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确． 2．sin 15°cos 165°的值是( ) A.14 B.12 C ．－14 D ．－12 答案 C解析 sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°) ＝－sin 15°cos 15°＝－12sin 30°＝－14，故选C.3．sin 105°＋sin 15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64答案 C解析 sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 4．在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围． 解 由题意得cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝12[sin(π－B )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )．∵－1≤sin(A －C )≤1，∴－14≤14－12sin(A －C )≤34，∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.1.学习三角恒等变换， 千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．一、基础达标1．sin 70°cos 20°－sin 10°sin 50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 答案 A解析 sin 70°cos 20°－sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°＋sin 50°)＋12(cos 60°－cos 40°) ＝12＋12sin 50°＋14－12cos 40°＝34. 2．cos 72°－cos 36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12C ．－12 D ．3＋2 3答案 C解析 原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin 36°cos 36°cos 72°sin 36°＝－sin 72°cos 72°sin 36°＝－sin 144°2sin 36°＝－12.3．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形 答案 B解析 由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )，又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.22 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴y max ＝12－14＝14.5．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°·cos 15°的值等于________． 答案 54解析 y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos 75°·cos 15° ＝1＋12(cos 90°＋cos 60°)＝54.6．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．答案 －79解析 ∵co s α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×19－1＝－79. 7．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4时，求函数f (x )的值域． 解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x32sin x ＋12cos x －1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得：k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，则f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则f (x )的值域为[－1,2]． 二、能力提升8．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.10．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的最大值是____．答案 34解析 y ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2x ＋π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫－cos 2x ＋cos π3＝14－12cos 2x ，因为－1≤cos 2x ≤1，所以y max ＝34.11．化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A . 解 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A 2＝tan A ＋B2. (2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3Asin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A 2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A ＝2sin 3A cos 2A ＋12sin 5Acos 2A ＋1＝sin 3Asin 5A.12．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sinx 2，x ∈(0，π)．(1)将f (x )表示成cos x 的多项式； (2)求f (x )的最小值． 解 (1)f (x )＝sin 5x 2－sinx 22sinx 2＝2cos 3x2sin x2sinx 2＝2cos 3x 2cos x2＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98，且－1＜cos x ＜1.∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335.求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解 (1)∵f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，∴f (α)＝3sin α＝335. ∴sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，且g (α)＝2sin 2α2＝1－cos α＝15.(2)f (x )≥g (x )⇒3sin x ≥1－cos x ⇒32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12⇒x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6⇒x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋2π3，k ∈Z .。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
高中数学人教版必修四学案：第三单元 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含答案
学习目标1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.知识点一积化和差公式思考根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝________________；②sin(α＋β)－sin(α－β)＝________________；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝________________；④cos(α＋β)－cos(α－β)＝________________.在上述四个等式两边同乘以12，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式.梳理积化和差公式(1)sin αcos β＝________________________________.(2)cos αsin β＝________________________________.(3)cos αcos β＝________________________________.(4)sin αsin β＝________________________________.知识点二 和差化积公式思考 在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝________，β＝________，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：sin θ＋sin φ＝________________；sin θ－sin φ＝________________；cos θ＋cos φ＝________________________；cos θ－cos φ＝________________________.梳理 和差化积公式(1)sin x ＋sin y ＝2sinx ＋y 2 cos x －y 2， (2)sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2 sin x －y 2， (3)cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2 cos x －y 2， (4)cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2 sin x －y 2.类型一 利用积化和差与和差化积公式化简求值例1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.反思与感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟踪训练1 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.类型二 三角恒等式的证明例2 在△ABC 中，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝4sin A sin B sin C .反思与感悟 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.跟踪训练2 已知A ＋B ＋C ＝π，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2.1.sin 75°－sin 15°的值为( )A.12B.22C.32D.－122.sin 15°cos 165°的值是( ) A.14 B.12 C.－14 D.－123.sin 105°＋sin 15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.644.sin 37.5° cos 7.5°等于( ) A.22 B.24 C.2＋14 D.2＋245.在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围.1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系.2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.答案精析问题导学知识点一思考 ①2sin αcos β ②2cos αsin β③2cos αcos β ④－2sin αsin β梳理 (1)12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] (2)12[sin(α＋β)－sin(α－β)] (3)12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] (4)－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] 知识点二思考θ＋φ2 θ－φ2 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cosθ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sinθ＋φ2sin θ－φ2 题型探究例1 解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 跟踪训练1 解 原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20° ＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. 例2 证明 左边＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C＝2sin 2A ＋2B 2cos 2A －2B 2＋sin 2C ＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )·cos(A ＋B )＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin C ·(－2)sin (A －B )＋(A ＋B )2·sin (A －B )－(A ＋B )2＝4sin A sin B sin C ＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2 证明 ∵左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2·cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝2cos π－A 2·2sin B 2cos C 2＝4sin A 2sin B 2cos C 2＝右边．∴原等式成立．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.C5．解 由题意，得cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )] ＝12[sin(π－B )－sin(A －C )] ＝14－12sin(A －C )． ∵－1≤sin(A －C )≤1，∴－14≤14－12sin(A －C )≤34， ∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，34.。
《三角函数的积化和差与和差化积》优秀教案
三角函数的积化和差与和差化积公式学案学习目标:1． 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程。
了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。
2． 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明。
逐步提高推理和运算能力。
知识连接:1复习： C αβ±： S αβ±： 。
课题引入：由以上公式请同学们自己推导出积化和差与和差化积公式，并记忆公式探索与研究：请同学们自己用向量知识证明和差化积公式：二、典型例题：例1：把cos3cos θθ+化成积的形式例2：已知180A B C ++=︒，求证：sin sin sin 4coscos cos 222A B C A B C ++=巩固练习:P151 练习A 1,2,3 练习B 1,2,3当堂检测：1．5cos cos 1212ππ-的值是 A B C D2．下列四个公式中，不正确的是A 1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =--+ B 1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =-++ C 1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =-++ D 1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =--+ 3．已知221cos cos 3αβ-=,那么sin()sin()αβαβ+-等于 。
A 13- B13 C 16- D 164．2cos10sin 20cos 20︒-︒︒等于 。
课后深化提高： 1 12sin 702sin170-︒︒= 2．cos72cos36︒-︒= 3．已知sin()sin()m αβαβ+-=,那么22cos cos αβ-等于4．5sincos 1212ππ= 。
5．cos(2)sin(2)33y ππθθ=+-的最大值是 。
6．sin10cos50cos10sin 50︒+︒︒-︒= 。
两角和与差的余弦学案
盐城市文峰中学高中数学教学案
第三章 三角恒等变换
第1课时 两角和与差的余弦
教学目标：
1掌握两角和的余弦公式的推导；
2能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。
3 进一步体会向量方法的作用。
教学重点：
两角和的余弦公式的推导
教学过程：
Ⅰ.问题情境
已知向量=),1,1(),sin ,(cos =x x 那么⋅等于什么呢？
Ⅱ.建构数学
1．两角差的余弦公式
=-)c o s
(βα 2．两角和的余弦公式
=+)c o s
(βα Ⅲ.数学应用
例1.利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）ααπsin )2cos(
=- （2）ααπcos )2sin(=-
练习.利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）ααπsin )23cos(
-=- （2）ααπcos )2
3sin(-=-
例2.利用两角和（差）的余弦公式，求cos 75， 15cos ， 15sin ， 15tan .
练习.求值： 105cos ，
120cos ，cos195.
例3.设31sin =
α，)2
3,(,54cos ),,2(ππββππα∈-=∈,求)cos(βα+的值.
练习.已知),,2(
,53cos ππθα∈-=求)3cos(θπ-的值
Ⅳ.课时小结 掌握 公式()C αβ+的推导，能熟练运用()C αβ±公式，注意()C αβ±公式的逆用。
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P 94 1，2。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________.
＝
s3icno7s02°0°＝
3.
(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋ 3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例 2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三
角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应
(1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
变式迁移 若 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，且 A、B 均为钝角，求 A＋B 的值．
探究点 2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
【课后自主检测】
1．已知 sinα＋π3＋sin α＝－45 3，则 cosα＋23π等于
2．辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，
其中csions
φ＝ φ＝
tan φ＝ba，
， ， 角 φ 称为辅助角（考试只要求特殊角）．
【基础自测】
1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于
两角和与差的三角函数 解斜三角形 两角和与差的宗弦 教案
两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差的宗弦·教案北京市第二十二中学梁伍德教学目标1．使学生掌握两角和与差的余弦公式，并会应用这一公式解决一些有关三角函数的求值问题与证明问题．2．通过两角差的余弦公式的推导与证明，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）．3．在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表达方式．教学重点与难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．教学过程设计师：今天我们开始学习新的一章《两角和与差的三角函数》，这一章中一共有四十多个公式，抓住这些公式中的第一个公式，后面的公式则势如破竹迎刃而解．这第一个公式是什么呢？可以像我们课本上那样，以两角和的余弦公式作为这些公式中的第一个公式，也可以如同我们下面要学习的这样，以两角差的余弦公式作为这些公式中的第一个公式．（由此，使学生认识到这些公式的龙头是第一个公式，也可以说牵牛要牵牛鼻子，只要抓住这第一个公式，后面的公式则可顺利得出．同时，也使同学认识到同样的数学知识可以有不同的数学结构，这样学生自然会认识到掌握数学知识固然重要，同样重要的是掌握它们的数学结构．这样，在同学们头脑中形成的就不是一些孤立的数学知识点，而是由数学知识编织而成的知识网络．）师：我们要学习的第一个公式是两角差的余弦公式，也就是用α与β各自的三角函数值表示cos（α-β）．怎样用α与β各自的三角函数值来表示cos（α-β）呢？同学们可以猜想，猜错了没有关系．牛：cos（α-β）=cosα-cosβ．师：对这一猜想，我们应当做些什么？生：这一猜想可能是对的，也可能是错的．我们不妨先把α与β换成具体的已知角度来检验一下．师：很好．那么我们把α与β分别换成什么角呢？生：把α与β分别换成60°与30°．师：好．请每个同学都算一下，看看下面等式是否成立：cos（60°-30°）=cos60°-cos30°．师：数学发展史上有很多重要的猜想，有些猜想后来被人们证明了是正确的，有些猜想后来被人们证明了是错误的．有些猜想至今还没有人能证明它是对还是错，如“哥德巴赫”猜想，即“任意一个大偶数（大于2的偶数）一定可以表示成两个质数的和．”至今世界上没有人能解决这一猜想，但我国的著名数学家陈景润在这一问题上的研究成果在世界上是处于领先地位的．对于我们的猜想，通常是先用具体数据进行检验．通过检验如果发现猜想错了，则问题得到了解决，如果检验了很多次都没发现猜想是错的，这时可以考虑这一猜想可能是正确的，但它的正确性仍要等待证明．通过验证，我们很快知道了cos（α-β）=cosα-cosβ是错误的．如果再猜cos（α-β）=？，又不知如何猜了．请同学们回顾一下我们提出的问题：如何用α与β各自的三角函数值表示cos（α-β）？这就是说，我们可以把sinα，cosα，sinβ，cosβ当成已知数去求cos（α-β）．在学习数学时，大家已体会到数形结合的数学思想是很重要的．我们现在怎么办呢？生：建立平面直角坐标系，把α与β角画出来．（此时教师把图画在黑板上，如图1．）师：这个图画的行吗？（学生一般会认为这个图画得可以，这时教师要进行引导，培养学生严密而准确的数学思维方法和数学表达方式．）师：这个图体现了α与β的任意性吗？我们把图画成什么样才能体现α与β这两个角的任意性呢？（通过引导，使学生认识到应画成图2状．）师：图中射线OM，ON分别是α和β的终边，那么α-β在图中怎样体现呢？生：α-β=∠MON或β-α=∠MON．师：应当是α-∠MON与β终边相同或α+∠MON与β终边相同，即α∠MON=β+2kπ（k∈Z，0≤∠MON≤π），所以α-β=±∠MON＋2kπ（k∈Z，0≤∠MON≤π）．这时，我们再考虑怎样把sinα，cosα，sinβ，cosβ作为已知量去求cos（α-β），也就是去求cos∠MON．生：画一个单位圆，设单位圆分别交OM，ON于A和B，连AB（如图3）．师：我们向大家介绍过基本量法，请一个同学简述基本量法．生：在一个数学问题中往往涉及到许多量，其中有些量是可以独立取值的，而其余的量可以看做是这些量的函数．我们任取一组可以独立取值的量，把它们叫做基本量，然后把其余的量（导出量）用基本量表示出来，这样往往可以使问题得到解决．师：回答得很好．在我们研究的问题中把什么作为基本量呢？生：把sinα，cosα，sinβ，cosβ做为基本量，用它们去表示cos（α-β），也就是求cos∠AOB．师：我们知道一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就是这个角的正弦值，一个角的终边与单位圆交点的横坐标就是这个角的余弦值．因此，图3中A，B两点的坐标是——生：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．师：这样，我们可以用α的三角函数与β的三角函数表示|AB|．下面解决什么问题？能否用α-β的三角函数表示|AB|呢？师：我们把图3中的∠AOB顺时针旋转一些，使OB落在x轴正半轴上得图4．这时射线OA就是α-β的终边位置．图3中的|AB|与图4中的|AB|相等，图4中A点坐标为（cos（α-β），sin（α-β））．师：接下来，我们可以建立sinα，cosα，sinβ，cosβ与cos（α-β）的关系．（在教师的引导下，学生不难进行下面的推导．）（cos（α-β）-）2＋sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2＋（sinα-sinβ）2，2-2cos（α-β）＝2-2cosα·cosβ-2sinα·sinβ，从而cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ．师：到此，我们得到公式cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ，其中α，β∈R．我们把这一公式简记为Cα-β．既然这一公式对任意的α，β∈R都成立，那么哪位同学能利用这一公式得出公式Cα+β，即利用α，β的三角函数表示cos（α+β）．生：把公式Cα-β中的β换成-β，则有cos［α-（-β）］=cosα·cos（-β）＋sinα·sin（-β）＝cosα·cosβ-sinα·sinβ，即cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（α，β∈R）．（这时学生会进一步认识到我们在推导公式Cα-β时强调其中α，β的任意性的重要作用．）师：这两个公式很重要，我们要熟记．请同学们抓住公式特点，要把公式记住．主要是公式右端中间的“＋、-”号与公式左端α与β间的“-、＋”号正好相反．师：下面通过几个例题来看一下这两个公式的应用．例1 不查表，求cos15°及cos75°的值．（这两个小题比较简单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，学生做完后教师进行小结．）例2（这个题目也比较简单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，然后教师进行小结．）例3 不查表，求cos21°·cos24°＋sin159°·sin204°的值．解原式＝cos21°cos24°＋sin（180°-21°）sin（180°＋24°）=cos21°cos24°-sin21°sin24°师：通过此题，我们学会了公式Cα±β可以从右往左倒着应用．对于我们学过的公式要熟练地掌握它们，这包括灵活地运用公式．要做一定数量的习题，并随时加以总结，才能达到这一目标．例4 证明α∈R时，有证α∈R时，有例5 证明α∈R时，有（此例请同学们自己证明，然后教师小结．）师：例4与例5共包含8个公式，这8个公式也要求大家记住，今天先不讲其特点与记忆方法，请同学们课下想一下怎样记忆这8个诱导公式．师：我们把这节课作一个小结（略）．师：布置作业．先复习今天学的公式，注意公式的推导过程．笔答作业：课本练习P207第1，2，3，4，5，6题．课堂教学设计说明本节内容课本上是一开始就给出了结论，即公式的右端，然后给予证明．这样做简单明了，节省篇幅，课本可以这样写，但我们最好换一个方式讲，因为这样不符合人们认识事物的过程．人们对任一事物所下结论应在对这一事物认真研究之后，而不是在之前．认真研究之前可以猜想结论是什么样，可以大胆地猜，但是猜完了要证明．猜完了往往是先验证，经过验证发现猜错了可以再猜再验证．经过多次验证没发现错，这时可以设想：猜想有可能是对的，但是要经过证明．如果猜想经验证发现是错的，可再猜．如果不好猜了，这时会估计结论可能不是一个非常简单的形式，难以猜测其结论．这时要换一个方式去考虑，对公式Cα-β就是把sinα，cosα，sinβ，cosβ当做已知量去求cos （α-β）．这样就较自然地形成了本节对公式Cα-β的证法．在整个教学过程中，不是简单地把数学知识与教学思想方法抛给学生，而是使学生时刻处于积极思维的状态．结论是什么样？这是一个谜，我们只有认真研究才有可能得到谜底．然后，进一步启发学生考虑研究的方法．学生经过思考，想到数形结合、基本量法，通过解三角形最终揭开谜底．这样，问题的提出，猜想，否定，进一步研究，解决，这一系列的所作所为都是顺理成章的，没有一点儿矫揉造作，显得和谐而自然，本节课的难点——公式Cα-β的推导与证明就顺利解决了．本节若先证公式cos（α+β）＝cosα·cosβ-sinα·sinβ（α，β∈R）也可以．再提供一个证Cα-β的方法供参考．图5中α终边与单位圆交于A（cosα，sinα），β终边与单位圆文于B（cosβ，sinβ），α+β终边与单位圆交于C（cos（α+β），sin（α+β））．设单位圆与x轴正半轴交于P点，显然有｜AP｜＝｜CB｜，所以（cosα-1）2＋sinα2＝［cos（α+β）-cosβ］2+［sin（α+β）-sinβ］2，2-2cosα=2-2cos（α+β）cosβ-2sin（α+β）sinβ，cosα=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ．注意到α与β的任意性，把公式中的α换成α-β，则有cos（α-β）=cosα·cosβ＋sinα·sinβ．在布置作业时，练习与习题中的证明题没作为作业，是打算把证明题集中在习题课中处理．。
三角恒等变化公式的应用学案
教学过程一、复习预习1．两角和和差的正弦、余弦和正切公式。
二、知识讲解考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.考点3 有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan α tan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 考点4 辅助角公式函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 易错点：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时， 一般是观察角度、函数名、所求问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三、例题精析【例题1】【题干】已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 【解析】(1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ， 又cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－725， ∴f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725. 【例题2】【题干】（1）已知sin α＝35，α∈,)2ππ（，则cos 22sin()4απα+＝________. （2）化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x . 【答案】（1）75- （2） 12cos 2x . 【解析】（1）cos 22sin()4απα+22cos sin =cos sin sin cos αααααα-=-+ ∵sin α＝35，α∈,)2ππ（，∴cos α＝－45. ∴原式＝75-. （2） 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝121－sin 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝12cos 2x . 【例题3】【题干】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值． 【答案】－239729. 【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.【例题4】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π，求β. 【答案】β＝π3. 【解析】∵0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∵cos α＝17，β＜α＜π2，∴sin α＝1－cos 2α＝437∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π. ∴β＝π3.四、课堂运用【基础】1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ． 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于 ． 3． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________． 4．(2013·辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝ ．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.【巩固】1．化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α=2. 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．3. 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，则α＋β的值为 ．4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期分别为5．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3，则cos 2α＝6.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．【拔高】1. 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，则2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值为 ．.2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β ≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.课程小结1.三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．2.角的变换技巧当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．3.化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； ③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；④弦、切互化：一般是切化弦．课后作业【基础】1．计算1－2sin 222.5°的结果等于 ．2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ． 3．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于 ．4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ．5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ ．【巩固】1．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin 2α＝________. 2．化简020222tan(45)sin cos 1tan (45)sin cos αααααα-⋅---＝________.3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．4．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．5．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ．6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ．7．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.8.知,αβ均为锐角,且3sin 5α=,1tan()3αβ-=-. (1)求sin()αβ-的值; (2)求cos β的值.【拔高】1．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋3cos 2B －2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．2.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．。
《两角和与差的余弦公式》学案
《两角和与差的余弦公式》学案
【学习目标】
.了解两角差的余弦公式的产生背景；
2.熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，通过对比，体会向量法的优越性；
3.把握两角和与差的余弦公式的结构特点，熟记公式，并能灵活运用.
【重点难点】
用向量的数量积推导两角差的余弦公式
【预习指导】
.左图是我校桅杆标志，你有什么办法可以知道其高度：（1）
；
（2）
；
（3）如果有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明
（4）桅杆底部外侧正在施工，有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明
2.阅读课本P124_126,想想学好这节课该做好哪些知识准备：
（1）如何在单位圆中定义三角函数？如何用角表示终边上点的坐标？
（2）三角函数线的意义？
（3）向量的夹角的定义及求法？
（4）向量的投影的定义？回顾一下我们是如何用投影证明向量的数量积的分配律？
【典型例题】
例1.利用两角和与差的余弦公式求.
变式：利用两角和与差的余弦公式推导下列诱导公式
例2.已知是第四象限的角，求的值.
变式：已知是第二象限角，求的值.
例3.已知均为锐角，且，求的值.
变式：
【当堂检测】
.求值：
2．
3.化简
4.已知是锐角求
【课下拓展】
.已知均为锐角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式吗？。
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两角和与差的余弦公式 之
辅助讲义
班级________________姓名________________
储备知识：
1、
2、
3、两角差的余弦公式
两角和的余弦公式
扣扣杀杀；加减相反
（公式的适用：对任意角都成立）
应用知识
配套练习1：求 与 的值。
（提示类型：将非特殊角拆成特殊角之和或差）
配套练习2：已知
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
cos
3045
60
,2,0,5147)cos(,171cos
求 （提示类型二：将所求角拆成已知角的和或差）
配套练习3：已知
)2,47(,54)cos(,54)cos(
),43(
求 （提示类型二：将所求角拆成已知角的和或差）
配套练习4：（提示类型三：求出 后直接用公式展开）
已知 ),2,23(,53cos
求).3cos(
配套练习5：（提示类型三：求出 ， 后直接用公式展开）
已知)23,(,54cos),,2(,54sin
求
配套练习6：（提示类型四：逆用公式）化简求值：
sin
cos
sin
coscos+
coscos+